Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica, que es el proceso de construir una función polinómica que pasa a través de unos puntos de datos conocidos. Discute métodos como la interpolación de Lagrange, Newton-Gregory, Hermite y la tabla de diferencias, los cuales permiten aproximar funciones desconocidas basadas en unos valores muestrales dados. El objetivo general de la interpolación polinómica es hallar valores intermedios a los datos originales usando funciones polinómicas.

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
I.U.P.S.M. PORLAMAR
Omar Abou Jok
V-25.157.120
ELECTRONICA

2. Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en
ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”)
de la que se conoce una serie de datos denominados “datos de interpolación”.
Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado
experimento en el que se relacionan dos o más variables e involucran valores de
una función y/o de sus derivadas. El objetivo será determinar una función que
verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su
sencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones
interpolantes.
Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la siguiente
forma: Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o sus
derivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · n que llamaremos nodos,
nuestro objetivo es construir otra función que coincida con la función dada en los
datos de interpolación.

3. Uno de los principales usos de la
interpolación ha sido el de hallar valores
intermedios a los calculados en tablas
trigonométricas o astronómicas
Muchas veces, de una función sólo
conocemos un conjunto de valores. Esto
puede suceder, por ejemplo, porque son
los resultados de un experimento
gobernado por una ley que
desconocemos. Si queremos calcular el
valor de la función para una abscisa
diferente de las conocidas, debemos
utilizar otra función
que la aproxime y, naturalmente, el valor
que obtengamos será una aproximación
del valor real.
Existen varias formas de hacer
esto, pero la más sencilla y una de
las más utilizadas es la
interpolación, que consiste en
construir una función que pase por
los valores conocidos (llamados
polos) y utilizar ésta como
aproximación de la función
primitiva. Si se utilizan polinomios
como funciones de aproximación,
hablamos de interpolación
polinómica.

4. Cuando la función ha sido tabulada, se
comporta como un polinomio, se le
puede aproximar al polinomio que se le
parece.
Una forma sencilla de escribir un polinomio
que pasa por un conjunto de puntos
equiespaciados, es la fórmula
del Polinomio Interpolante de Newton-
Gregory (en avance y retroceso).
Hay una gran variedad de
fórmulas de interpolación además
del Método de
Newton-Gregory, difieren de la
forma de las trayectorias tomadas
en la tabla de
diferencias;
Por ejemplo la fórmula del
Polinomio Interpolante de Gauss
(en
avance y retroceso), donde la
trayectoria es en forma de Zig-
Zag, es decir los valores desde el
punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-
zag.

5. Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea
cúbico en cada sub-intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en
los puntos .
La función Hn(x) queda determinada en forma única por
estas condiciones y su cálculo requiere de la
solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno.
La desventaja de la interpolación de Hermite es que
requiere de la disponibilidad de los lo cual no es
el caso en muchas en muchas aplicaciones.

6. Para construir un polinomio de grado menor o
igual que n que pase por los
n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este
Polinomio Pn es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse
independientemente del espaciamiento de
la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se
conoce el grado del polinomio.
Como no se conoce, se tiene que determinar
iterativamente. Se propone un
grado, se realiza la interpolación, se propone el
siguiente grado, se vuelve a
interpolar y se compara con algún criterio de
convergencia, si se cumple
terminamos si no, se repite el procedimiento.

7. Resulta conveniente arreglar los datos en
una tabla con los valores x en orden
ascendente. Además de las columnas para
x y f(x), se deberán tabular las diferencias
de los valores funcionales. La tabla que se
muestra a continuación es llamada tabla
de diferencias
Los términos calculados en la tabla de
diferencias, permiten determinar los
coeficientes de polinomios interpolantes.