Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica, incluyendo la interpolación de Lagrange, Newton-Gregory y Gauss. La interpolación consiste en construir una función polinómica que pase por valores conocidos de una función para aproximarla cuando sólo se conocen algunos de sus valores.

1. Analisis numerico
Teoria de interpolacion
Interpolacion de Langrange
Interpolacion de Newton-
Gregory
Tema 4

2. Por lo general en una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder,
por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que desconocemos.
Para calcular la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la
aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. También puede
suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada como
para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya conocidos.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es
la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos
(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como
funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.
Interpolación

3. Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le
puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un
polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones
de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene
dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de
partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de
diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de
avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal
hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores
de xi
Polinomio Interpolante de Newton-
Gregory

4. La fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la
trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida
Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag,
iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así
sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-
zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del
Polinomio Interpolante de Gauss.
Polinomio Interpolante deGauss

5. Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por
los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento
de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del
polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se
propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se
vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple
terminamos si no, se repite el procedimiento.
Polinomio Interpolante de Lagrange