Este documento describe los diferentes tipos de ángulos y sus elementos. Define ángulos agudos, rectos, obtusos, extendidos, cóncavos y completos. Explica las relaciones entre ángulos complementarios, suplementarios, adyacentes y opuestos por el vértice. También describe la bisectriz de un ángulo y resuelve ejemplos.

1. HOLA
CHICAS
θ
Lic: Evaristo Huamaní Velásquez

2. ÁNGULO
θ
Vértice
Es la figura geométrica formada por dos
rayos que forman una amplitud o abertura y
tienen un mismo origen llamado vértice.

3. ELMENTOS DE UN ÁNGULO
Lado
O
B
B
Vértice
O
Amplitud
Lado OA
A
Son:
•Lados OA y OB
•Amplitud o ángulo
•Vértice

4. SISTEMA DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos se miden con un instrumento llamado TRANSPORTADOR y
utilizan el sistema sexagesimal. Cuyas notaciones es el siguiente
1º Se llama grado sexagesimal
1` Se llama minuto sexagesimal
1``Se llama segundo sexagesimal
EQUIVALENCIAS
1º = 60`
1`= 60``
ω = 110°
TRANPORTADOR
1º = 3600``

5. MURAL DENTRO DE LA
HUACA DE LA LUNA
Trujillo
CONSTRUCCIÓN EN
SACSAYHUAMAN
Los ángulos en los murales y construcciones

6. CLASIFICACIÓN
DE LOS
ÁNGULOS

7. ÁNGULO AGUDO
Son aquellos ángulos que miden más de 0º y
menos de 90º
Ejemplos
θ
0º < θ < 90ο
θ
θ
0º < θ < 90
ο
0º < θ < 90ο

8. ÁNGULO RECTO
Son aquellos ángulos que mide 90º. Se simboliza en la figura, con
un pequeño cuadrado lo que indica un ángulo recto.
 Se dice que las líneas o rectas son perpendiculares entre si.
θ
θ = 90ο
θ
θ = 90
ο
Forman ángulos de 90º

9. ÁNGULO OBTUSO
Son aquellos ángulos que mide más de 90º y
menor de 180º
θ
θ
90ο < θ < 180ο
90ο < θ < 180ο
θ
θ

10. ÁNGULO EXTENDIDO O LLANO
Son aquellos ángulos que mide 180º y son dos rayos
opuestos
θ
α = 180º
180º
θ
θ = 180º
α = 180º
180º

11. ÁNGULO CÓNCAVO
Son aquellos que miden más de 180º y menos de 360º
180º < α < 360º
α
180º < α < 360º
α
α
180º < α < 360º

12. ÁNGULO COMPLETO
Es aquel ángulo que mide
360º. Es decir una vuelta
completa
La tierra vista del espacio
β
β = 360º
180º
180º
360º
Los tres ángulos forman un
ángulo completo en las piedras

13. RELACIONES
ENTRE
ÁNGULOS

14. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son los ángulos consecutivos que suma 90º
b
a
α
a + b = 90º
β
α + β = 90
α β
φ
β + α + φ = 90

15. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son aquellos ángulos consecutivo que suma 180º
a
b
a + b = 180º
δ
β
θ
α
δ + θ = 180º
El candelabro de pisco

16. ÁNGULOS ADYACENTES O CONSECUTIVOS
δ
La
do
c
θ
mú
n
co
β
La
do
om
ún
Son aquellos ángulos que tiene un lado común
α
α + β Son conse c utivos
δ + θ Son con sec utivos

17. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida
b
a=b
δ
δ
Estos
ángulos son
opuestos por
el vértice
δ
δ
a

18. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es aquel rayo que divide a un ángulo en dos ángulos iguales
Bisectriz
Bisectrices
β
β
θ
θ
α
α

19. EJERCICIOS RESUELTOS
1.En la figura hallar x, si OM es bisectriz
B
x +10º
M
2x
O
A
Solución
β
Pasamos x al 2do
Miembro
Observando la figura, si OM es bisectriz,
entonces los ángulos BOM = MOA
Luego: x +10º = 2x
10º = 2x – x
10º = x

20. 2. En los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD se cumple que
AOB = 20º, BOC = 50º y COD = 30º .Hallar la medida del ángulo
formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
Solución
Bisectriz
del
Según el enunciado se tiene la x es el ángulo
siguiente figura
ángulo
formado por
Bisectriz del
COD
C
ángulo AOB
las bisectrices
N
x
D
15º 15º
B
30º 50º
10º M
20º 10º
O
A
Observando la figura y hallando el ángulo pedido se tiene:
x = 15º +50º +10º
x = 75º

21. 3. En la figura hallar el valor de “x”
2 x − 75°
65°
Los ángulos forman
Solución
una
Observando la figura se tiene dos ángulos suplementarios
semicircunferencia
2 x − 75°
Lo cual mide 180°
2 x = 180° + 10°
65°
⇒ 2 x − 75° + 65° = 180°
2 x − 10° = 180°
190°
2 x = 190° → x =
2
→ x = 95°

22. 4. En la figura hallar el valor de “x”
2 x − 19°
x + 5°
x
Solución
El cuadrado rojo
nos indica que
se trata de un
ángulo de 90°
Analizando el gráfico se tiene 3 ángulo que forman un ángulo recto de 90°
2 x − 19°
90°
x + 5°
x
Sumando los ángulos se tiene:
⇒ 2 x − 19° + x + 5° + x = 90°
4 x − 14° = 90°
4 x = 90° + 14°
4 x = 104°
104°
x=
4
→ x = 26°

23. 5.Se tiene dos ángulos consecutivos AOB=30° y BOC=110° de modo
que se traza una bisectriz OM del ángulo AOC, hallar el ángulo
formado por OMB
Analizando la lectura y graficando se tiene:
M Bisectriz
C
x
55º
55º
O
B
30º
A
Observando el grafico se tiene:
⇒ x + 30° = 55°
x = 55° − 30°
→ x = 25°

24. 6.Se tiene tres ángulos consecutivos en una recta AOB,BOC y COD
cuyas medidas son x+8°, 2x+4° y 3x-24° hallar el ángulo BOC
Solución
Haciendo la gráfica según el enunciado se tiene:
C
3 x − 24°
D
B
2 x + 4°
x + 8°
O
A
Observando la gráfica se formo un ángulo llano
⇒ 3 x − 24° + 2 x + 4° + x + 8° = 180°
3 x + 2 x + x − 24° + 4° + 8° = 180°
6 x − 24° + 12° = 180°
6 x − 12° = 180°
6 x = 180° + 12°
6 x = 192°
192°
x=
6
→ x = 32°
Luego :
 BOC = 2 x + 4°
 BOC = 2 ( 32° ) + 4°
= 64° + 4°
= 68°