El documento proporciona información sobre ángulos, incluyendo su definición, medición, clasificación y tipos. Explica que un ángulo se forma por dos rayos que comparten un punto de origen llamado vértice, y que se mide comparando su apertura con grados sexagesimales, donde un grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. También clasifica los ángulos según su medida en agudos, obtusos, rectos y llano, y según su posición en consecutivos, opuestos, complementarios y sup

1. Gran Unidad Escolar Inca Garcilaso de la Vega Matemática
ANGULOS
Es la figura geométrica formada por
dos rayos con el mismo origen. Tal
origen común es el vértice del ángulo y
ambos rayos constituyen sus lados.
AOB ó BOA o también ∠AOB ó ∠BOA
ó ∠θ
MEDIDA DE UN ANGULO
Para medir un ángulo comparamos la
abertura de sus lados con otro ángulo
o unidad de medida llamada GRADO
SEXAGESIMAL (1°)
Si se divide un circulo en 360 ángulos
a partir de su centro, cada uno de
estos es un grado sexagesimal
Además cada grado se ha dividido en
60 minutos y cada minuto en 60
segundos.
1° = 60’ 1’ = 60” 1° =3600
El transportador es un instrumentos
utilizado para medir de ángulos.
BISECTRIZ DE UN ANGULO
La bisectriz es un rayo cuyo origen es
el vértice del {ángulo y divide a esta
en 2 ángulos de igual medida o
congruentes. Por eso se dice que este
rayo biseca al Angulo.
OX: bisectriz del ∠AOB
CLASIFICACION DE ANGULOS
SEGÚN SU MEDIDA
a) Angulo agudo.- Cuando la medida de
su ángulo es menor de 90°
b) Angulo obtuso.- Cuando la medida
de su ángulo es mayor que 90° y menor
que 180°
c) Angulo Recto.- cuando la
medida de sus ángulos es igual a 90°
d) Angulo llano.- Si su medida es igual
a 180°
Pedro Pablo López Huarancca
- 1 -
θ
A
0 θ
B
Vértice
Lados
A
X
α
0 α
B
A
0 θ
B
α
θ = 90°
180°
θ < 90°
90° < α < 180|

2. A
O 40° B
X M
OM ES BISECTRIZ DEL ∠AOC
α
β
Gran Unidad Escolar Inca Garcilaso de la Vega Matemática
DE ACUERDO A LA POSICIÓN DE
SUS LADOS
A) ángulos consecutivos, si tienen
el mismo vértice y 2 a 2 un lado
común.
Se puede tener ángulos consecutivos
alrededor de un punto, tales ángulos
consecutivos suman 360°
α + β + γ = 360°
también ángulos consecutivos a un lado
de una recta,. Los cuales suman 180°
α + β + γ = 180°
Dos ángulos consecutivos a un lado de
una recta se llaman adyacentes o par
lineal.
Ángulos opuestos por el vértice, son
dos ángulos de igual medida, tales que
los lados de unos son las
prolongaciones de los lados del otro.
DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS
MEDIDAS
A) Ángulos complementarios.- Son
dos ángulos cuya suma de sus
ángulos es igual a 90°. Uno es el
complemento del otro
α + β = 90°
B) Ángulos suplementarios.- son
dos ángulos cuya suma de sus
medidas es 180°. Uno es el
suplemento del otro.
α + β = 180°
EJERCICIOS
Pedro Pablo López Huarancca
- 2 -
α
β γ
β
α γ
α β
α
β β
α
α β
α = α y β = β

3. Gran Unidad Escolar Inca Garcilaso de la Vega Matemática
Hallar la medida del ángulo X en las
siguientes figuras:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar el ángulo que es igual a su
complemento. R. 45º
2. Hallar el ángulo que es el doble de
su complemento. R. 60º
Pedro Pablo López Huarancca
- 3 -
B
M
X
A O C
OM ES BISECTRIZ
110° α
X α
120°
X 2X
150°
X 2X
110° X+30°
100°
X+10°
2X
x
20° x
100°
X
x
x 3x
82°20’
x x + 40°
36°
x x
OM ES BISECTRIZ
0
M

4. Gran Unidad Escolar Inca Garcilaso de la Vega Matemática
3. Hallar el ángulo que es igual a la
mitad de su complemento. R. 30º
4. ∠ AOC y ∠ COB están en la relación
2 : 3. Encuéntralos:
R. ∠ AOC = 72º; ∠ COB = 108º
5. Si: ∠ AO D = 2x , ∠ DOC = 5x , CO B
= 3x ; ¿cuánto mide cada ángulo?
R. ∠ AOD = 36º ∠ DOC = 90º; ∠ COB
= 54º
6. Encuentra los complementos de
estos ángulos:
a) 18º 72º
b) 36º52' R. 53º8'
c) 48º39'15'' 41º20'45'
7. Encuentra los suplementos de los
siguientes ángulos:
a) 78º 102º
b) 92º15' R. 87º45'
c) 123º9'16'' 6º50'44''
8. Si el ∠ AOB es recto y ∠ AOC y ∠4
BOC están en la relación 4:5, ¿cuánto
vale cada ángulo?
R. ∠ AOC = 40º; ∠ BOC = 50º
9. Si el ∠ AOD es recto y ∠ AOB = 2x ,
∠ BOC = 3x , ∠ COD = 4x , ¿cuánto
vale cada ángulo?
R. ∠ AOB = 20º; ∠ BOC = 30º; ∠
COD = 40º
10. Hallar el ángulo que es igual a la
mitad de su suplemento.
R. 60º.
11. Hallar el ángulo que es igual al
doble de su suplemento.
R. 120º.
12. Si ∠ BOC = 2∠ AO B, hallar: ∠AOB
, ∠ CO D, 4∠ BO C , ∠ AO D .
R. ∠AO B = ∠ CO D = 60º; ∠ BOC =
∠ AOD = 120º
Pedro Pablo López Huarancca
- 4 -

5. Gran Unidad Escolar Inca Garcilaso de la Vega Matemática
13. Si ∠ MON y ∠ NOP están en la
relación 4 : 5, ¿cuánto mide cada
uno?
R. ∠ MON = ∠ POQ = 80º; ∠ NOP =
∠ MOQ = 100º
14. Un ángulo y su suplemento están
en relación 5:1. ¿Cuáles son?
R. 150º y 30º
15. Dos ángulos están en relación 3:4
y su suma vale 70º. ¿cuáles son? R.
30º y 40º.
16. Dos ángulos están en relación 4:9
y su suma vale 130º. ¿cuáles son?
R. 40º y 90º.
17. Un ángulo y su complemento están
en relación 5:4. Hallar dicho ángulo
y su complemento.
R. 50º y 40º.
18. Hallar el ángulo que es igual a su
suplemento.
R. 90º.
19. En la siguiente figura: Si los
ángulos ABC están en la razón de los
números 2;3;4 respectivamente
R.80°.
20. Un ángulo mide (4x – 100°) y su
opuesto por el vértice mide (2x – 40°).
La medida del primer ángulo es:
21. La diferencia de dos ángulos es 30°
y la suma de sus complementos es
110|. el menor ángulo es:
22. ¿Cuál es el ángulo cuya mitad es
igual a ¼ de ½ de su complemento’
23. Si en la siguiente figura se tiene :
Rayo OB es perpendicular al rayo OD.
El ángulo BOC mide 100°. El ángulo x
mide
Pedro Pablo López Huarancca
- 5 -
B
A C
B
A O C
X
D

6. Gran Unidad Escolar Inca Garcilaso de la Vega Matemática
13. Si ∠ MON y ∠ NOP están en la
relación 4 : 5, ¿cuánto mide cada
uno?
R. ∠ MON = ∠ POQ = 80º; ∠ NOP =
∠ MOQ = 100º
14. Un ángulo y su suplemento están
en relación 5:1. ¿Cuáles son?
R. 150º y 30º
15. Dos ángulos están en relación 3:4
y su suma vale 70º. ¿cuáles son? R.
30º y 40º.
16. Dos ángulos están en relación 4:9
y su suma vale 130º. ¿cuáles son?
R. 40º y 90º.
17. Un ángulo y su complemento están
en relación 5:4. Hallar dicho ángulo
y su complemento.
R. 50º y 40º.
18. Hallar el ángulo que es igual a su
suplemento.
R. 90º.
19. En la siguiente figura: Si los
ángulos ABC están en la razón de los
números 2;3;4 respectivamente
R.80°.
20. Un ángulo mide (4x – 100°) y su
opuesto por el vértice mide (2x – 40°).
La medida del primer ángulo es:
21. La diferencia de dos ángulos es 30°
y la suma de sus complementos es
110|. el menor ángulo es:
22. ¿Cuál es el ángulo cuya mitad es
igual a ¼ de ½ de su complemento’
23. Si en la siguiente figura se tiene :
Rayo OB es perpendicular al rayo OD.
El ángulo BOC mide 100°. El ángulo x
mide
Pedro Pablo López Huarancca
- 5 -
B
A C
B
A O C
X
D