El documento describe las características básicas de los triángulos, incluyendo sus elementos, clasificaciones, propiedades fundamentales y otros conceptos geométricos relacionados como cevianas, medianas, alturas, bisectrices y ejercicios resueltos. Se define al triángulo, sus elementos y ángulos, y se clasifican según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos internos. También se explican cinco propiedades fundamentales de los triángulos y conceptos adicionales con ejemplos resueltos.

2. 1.TRIÁNGULO.- Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales
mediante segmentos.
A B
C ELEMENTOS:
VERTICE: A ; B ; C
LADOS: AB BC AC
NOTACIÓN:
TRIÁNGULO: ABC: ABCV
ÁNGULOS: ; ;A B C  

3. 2. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:
1.Según sus lados:
a. Triangulo escaleno.- Es aquel triángulo en el cual sus lados tienen diferente
longitud.
A
B
C
°
°
°
Si: "a", "b" y "c" son diferentes entre si
ABC: escaleno
a
b
c
  °, °, ° son diferentes entre si

4. A
B
C

a
BASE
a

b .triángulo isósceles.- Es aquel triángulo
que tiene dos lados de igual longitud.
c.Triángulo equilátero.- Es aquel
triángulo cuyos lados son de igual
longitud.
A
B
C
60°
L
60°
60°
L
L

5. 2.Según la medida de sus ángulos:
a. Triángulo oblicuángulo.- Es aquel que no tiene ángulo
recto y puede ser:
-Triángulo acutángulo.- Es aquel triángulo que tiene sus
ángulos internos agudos.
A
B
C
°
°
°
0° < , , < 90°  ° ° °
ABC: Acutángulo

6. Triángulo obtusángulo.- Es aquel triángulo que tiene un
ángulo interior obtuso.
A
B
C
°
90° < < 180°°
ABC: obtusángulo, obtuso en "A"
b.Triángulo rectángulo.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto.
A
B
C
c a
b
° °
 
    
m ABC 90
Catetos : AB y BC
Hipotenusa : AC
90

7. 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO.
1.En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es
igual a 180°
A
B
C
°
°
°
  ° + ° + ° = 180°
En el triángulo ABC se cumple:

8. A
B
C
x°
°
°
x° = ° + ° 
En el triángulo ABC se cumple:
2.En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de
las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

9. 3.En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es
igual a 360°
A
B
C
z°
y°
x°
x° + y° + z° = 360°
En el triángulo ABC se cumple:
4.En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de
mayor medida y viceversa.
A
B
C

a

c

Si: > > a > b > c  
b

10. 5.En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia
de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de los
mismos.
A
B
C
ac
b
Sea: a > b > c
a - c < b < a + c

11. OTRAS PROPIEDADES:
x      x y     x y    

12. Ejercicios desarrollados:
1.En un triángulo ABC: 15m A m B     30m B m C    y
¿ cuánto mide el ángulo B?
Desarrollo:



15   
30   
Por dato se tiene:
180     
Sabemos:
15  
30   
Reemplazando  y  en :
180     
15 30 180       
Resolviendo :
65m B  

13. 2.Hallar el calor de x en el gráfico.
Desarrollo:
Por propiedad se tiene:
2x 90° = 7x
X = 18°
3. Si + + = 130° , hallar «x»
Desarrollo:

14. 2x
Por ángulo exterior:
3x = + 
Además:
= 90° - x
Sabemos:
+ + = 130°
3x + 90° - x = 130°
2x = 40°
X = 20°
4. En la figura: AE = AD; DC = CF. Hallar «x»

15. Desarrollo:

 

Por propiedad se tiene que:
X + 90° =  + ...
Además:
X + + = 180°
Despejando:
+ = 180° - x
Reemplazando en la primera ecuación:
I
X + 90° = 180° - x
X = 45°
5. Encuentra el valor de «x», si AB = BD
54m CBD  
Desarrollo:

16. 54°
x
54° + 
54°
54m BDA    Por ángulo exterior
El triángulo ABD , Isósceles .
2 ( 54° + ) +  = 180°
= 24°
X = 54°+ 
X = 54° + 24°
X = 78°

18. 1.CEVIANA.
Es aquella recta que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado
opuesto o de su prolongación.
BP BQy
Son cevianas del
Triángulo ABC

19. 2.MEDIANA.
Es la recta que parte de un vértice y cae en el punto medio del
lado opuesto.
es mediana relativo al ladoBM AC
AM = MC

20. 3. ALTURA.
Es la recta que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado
opuesto o en su prolongación.
BH Es la altura de los triángulos ABC

21. 4.MEDIATRIZ
Es la recta que pasa por el punto medio de un segmento, formando 90°
Es mediatriz del lado1L
sur
BC
BM = MC

22. 5.BISECTRIZ
Es la recta que divide a la medida del ángulo de un triángulo.
Bisectriz interior Bisectriz exterior.

23. ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR
90
2
B
x

  90
2
B
x

 
2
B
x


Incentro excentro excentro

24. EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Dos ángulos externos de un triángulo miden 7 a y 9 a , el ángulo interno
no adyacente a los anteriores miden 4 a. Halle la medida del mayor ángulo
interno.
9a
7a
4a
Desarrollo:
Por suma de los ángulos exteriores se tiene:
7 a + 9 a + 180° - 4 a = 360°
12 a = 180°
a = 15°
los ángulos exteriores son:
135° y 105°
Los ángulos interiores serán:
60°; 45° y 75°
Respuesta: 75°

25. 2.En el interior de un triángulo ABC, se ubica el punto «p» tal que
20 , 40 , 2m PAB m PCB m B a        y 7m APC a 
Halla el valor de «a»
desarrollo:
A
B
C
P
20° 40°
2a
7a
7 a = 20° + 40° + 2 a
a = 12°

26. 3.Uno de los ángulos internos de un triángulo mide 4x y los dos ángulos externos
correspondientes a los otros dos ángulos miden: 3x + 40° y 5x + 20°.Halla la
medida del menor ángulo interior.
Desarrollo:
4x
3x + 40°
5x + 20°
3x 40° + 5x + 20° + 180° - 4x = 360°
4x = 120°
X = 30°
El menor ángulo interno es 10°

27. 4.En la prolongación del lado AC de un triángulo ABC, se toma toma el punto P
y sobre AB se toma el punto E tal que PE interseca a BC en N. Halla
si y
m NCP
64 , 69m B m BEN      2m A m mP  
Desarrollo:
A
B
C P
E
N
x
64°
69°
2x
133°
2x + x + 64° = 133°
3x = 69°
X = 23°

28. 5.Sobre el lado de un triángulo ABC se toma el punto N, tal que
Y
Halla la medida del ángulo exterior de C .
AC
2 , 70m NBC m ABN m A      80BNC  
Desarrollo:
A
B
CN
2xx
70° 80°
Por ángulo exterior del triángulo ABN:
X = 10°
El ángulo exterior de C es : 100°

29. 6.Si a + b = 100°, AB = BC , DE = EF. Halla el valor de «x»

30. Desarrollo:
   
En el triángulo ABC: 2 180a   
En el triángulo DEF: 2 180b   
Sumando las dos ecuaciones se tiene:
2 2 360a b      
100 2 2 360    
130   
En el triángulo CDG:
180x    
X = 50°