El documento describe las propiedades fundamentales de los triángulos. Define un triángulo como una figura geométrica formada por tres puntos no colineales unidos por segmentos. Explica que los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos internos. Además, detalla propiedades como la suma de los ángulos internos, las bisectrices, las alturas y más.
2. 1.CONCEPTO:
Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no coloniales
mediante segmentos.
Ángulos interiores:
A
n m BAC
m ACB
m ABC
s
Ángulos exteriores:
B
m C M, N y S
ELEMENTOS:
Vértices: A, B, C
Lados: AB, AC y BC
3. 2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
a) De acuerdo a sus lados:
60°
60° 60° Triángulo escaleno
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles
4. b) De acuerdo a la medida de sus ángulos.
Triángulo acutángulo
, , 90
Triangulo obtusángulo
Triángulo rectángulo
5. 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS
y
x
z
180
La suma de los ángulos
x y
internos es igual a 180°.
z
Un ángulo exterior es igual a la suma de
los ángulos exteriores no adyacentes a él.
6. Aplicaciones:
x
z
y
X + y + z = 360° x
La suma de loa ángulos exteriores
es igual a 360° x
8. Ejemplos
En los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad.
78°
x 20°
46°
35° x
Desarrollo:
Por ángulo exterior Desarrollo:
X = 78° + 46° = 124° Por ángulo exterior
35° = 20° + x
X = 15°
9. x
x
50°
100°
Desarrollo: Desarrollo:
50°
x
80° 80° 100°
El triángulo es isósceles
El triángulo es isósceles
X = 80°
X = 20°
10. B
El triángulo A, B, C es equilátero.
E
Suplemento de 60° = 120°
En el triángulo E , C, D
40°
x
D
A C X + 40° + 120° = 180°
Desarrollo: B X = 20°
E
40°
60° 120° x
D
A C
11. 70°
X + 20° X + 10°
40°
30°
X + 30°
x
Desarrollo: Desarrollo:
X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180 X = 30° + 70° + 40°
X = 40° X = 140°
12. 70°
x 70°
x 60°
50°
80°
50°
Desarrollo:
Desarrollo:
X + 70° = 50° + 80° X + 60° = 70° + 50°
X = 60° X = 60°
13.
14. LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
a) Bisectriz interior.
I
Todo triángulo tres bisectrices
La bisectriz interior divide interiores que concurren en un
al ángulo en dos ángulos punto llamado incentro ( I )
congruentes.
15. a) Bisectriz exterior
Dos bisectrices exteriores y una
interior concurren en un punto
llamado ex centro ( E )
E
a
a
b) Altura. B
La altura es el segmento trazado
desde un vértice, perpendicular
al lado opuesto. BH es la altura.
C
A H
16. C
B
N M
H A B
O
Q
A H C
La altura puede caer en Todo triángulo tiene tres alturas
prolongación del lado. que concurren en un punto
llamado orto centro ( O )
17. d) Mediana C
La mediana es un segmento
que une un vértice con el
M punto medio del lado opuesto
. AM es la mediana.
A B
Las tres medianas concurren
en un punto llamado
baricentro ( G )
G
18. e) Ceviana
B La ceviana es un segmento
que une un vértice con su
lado opuesto.
Q
C
A
f) mediatriz
La mediatriz es una recta que
C divide a uno de los lados de
un triángulo en partes iguales
formando un ángulo recto.
A B
20. Ejemplos:
1.Encuentra el valor de «x»
B
70°
R
a x
a 30°
C
A
Desarrollo: B
En el triángulo ABC
70°
m BAC 80 R
AR es bisectriz, por lo
Tanto: a = 40° 40° x
40° 30°
C
X = 110° A
21. 2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura. 3.En la figura encuentra el valor de «x»
B B
x
H
20° X
70°
C 50°
A C
R A
Desarrollo:
Desarrollo:
AHB es un triángulo rectángulo por BRA es un triángulo rectángulo.
lo tanto:
m BAR 70
X + 70° = 90°
Suplemento de 70° =110°
X = 20° Del triángulo ABC
X = 20°
22. 4.Halla el valor de «x» si AB = 20m.
A
B
C
Desarrollo:
MB = X + 5m
AB = X + 5m + x + 5m
20m = 2x + 10m X = 5m
23. 5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana.
B
M
C
A
Desarrollo:
15cm = x + 2cm
X = 13cm
24.
25. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ 2.Ángulo formado por una bisectriz
interior y exterior.
1.Ángulo formado por dos bisectrices
interiores. C
C
x
X
A B B
A
x
x 90 2
2
26. 3.Angulo formado por dos bisectrices ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNA
exteriores. BISECTRIZ EXTERIOR.
B
x
C
A H M
x 90
2
2
27. PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS
C
M
G
B
A P
AM, CP medianas
AG = 2 GM
CG = 2 GP
28. PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ
B
L
L, M,N son mediatrices
AC = BC = CD
M
C
N
D
A
29. Ejemplos. 2.Halla el valor de «x»
1.Halla e l valor de «x»
b b
20° x
x
a
a 25°
Desarrollo:
Desarrollo:
x
2 x
25 x 50
2
20
x 10
2
30. 3.Encuentra el valor de «x» 4.Encuentra el valor de «x»
70°
a b°
x a° 135° b°
x
135 90
Desarrollo: 2
x 90 x
2 135 90
2
70
x 90 90° = x
2
x 125
31. 5.Halla el valor de «x» 6.Halla el valor de «x»
x
X° b°
a° b°
a° 80°
150°
Desarrollo:
Desarrollo:
x
80 90
x 90 2
2 x
80 90
150 2
x 90
2 x
10
2
x 90 75 15 20° = x
32.
33. 1.Del gráfico encuentra el valor de «x»
150 2 2 30
60
30°
Nuevamente aplicando
x
x 30
150°
Reemplazando:
X = 60° + 30°
Desarrollo:
Por: X = 90°
34. 2.En la figura, halla «x»
3( 70°) – x = 180°
2 - X = 180° - 210°
70°
x 2
X = 30°
Desarrollo:
Por suma de los ángulos exteriores en un
triángulo se tiene:
3 3 180 x 360
3 x 360 180
35. Por propiedad
3.En el triángulo ABC, m A m C 40
Halla la medida que forman la altura y
la bisectriz interior que parte de B.
m A m C
2
Desarrollo:
B
40
20
2
C
A H M
36. 4.En la figura , halla HP, m ABH m BHP 120 Y BC = 20 m
B
40° 20°
C Por dato:
A H
m ABH m BHP 120
Desarrollo:
B
m BHP 70
50° 70° Se observa: BP = PC = HP
Los dos triángulos son
70° isósceles.
40° 20° 20°
C
HP = 10 cm
A H
37. 5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella se
ubica el punto R. sí BN = BR y m RBC 36 , halla m NCA
Desarrollo: B
Entonces:
36°
N
m BCN x
Por ángulo exterior del triángulo BCR
R y ACN se observa:
x 36 x
C x
A
Igualando las ecuaciones se tiene:
Triángulo BNR isósceles.
36 x x
m BAC
Por dato X = 18°
m BCA
38. 6.En un triángulo ABC, m ACB 20 . Sobre AC y BC se ubica
Los puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y m CRS 40 , halla m ABC
Desarrollo:
B
60°
20°
60° S
80° 60°
80° 40° 20° C
A
R
Por ángulo exterior: m BSR 60
Triángulo BRS es equilátero.
Triángulo ABR isósceles
m ABS 80
39. 7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x»
B
x x
40°
x B
C
A
x x
40°
x
Desarrollo:
60° 80° 60°
C
Por ángulo exterior:
A
X = 100° - x + 60°
100°- x
X = 80°
40. 8.Halla el valor de «x»
En el triángulo ABC:
50° + X +
X = 170° - (
9.En la figura, halla m PIR
Desarrollo: B
2
P
I
A
40°
2 Q
R
C
41. Desarrollo: 10.Halla «x»
A 2
P
I
40°
2 Q
R
Por ángulos formado por bisectrices
exteriores m A 70
En el triángulo APR:
2 2 70 180
55
El ángulo pedido es:
m PIR 180
m PIR 125
42. Desarrollo:
Por ángulo exterior:
m A x
En el triángulo DBC
A
2 2 2 180
90
X+
D
Por
2
4x x
Resolviendo:
B C
X = 30°
43. 11.Halla Por ángulo formado de las
bisectrices exteriores ( ver fig )
4
Desarrollo: 90°-
B
Resolviendo:
E
D
= 22,5°
A C
90° -
44. 12.Halla «x» Por ángulo formado por una
bisectriz interior y exterior:
m D x
4x
4x
B
Desarrollo: x
C
Resolviendo:
A E X = 20°
x
D
45. 13.Halla el valor de «x» Luego:
X+
150°
x 150 360
Desarrollo:
Se observa que:
180
Resolviendo:
X+
X = 30°
46. 14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo:
50° 50°
120° -
Entonces:
x 120 180 X = 60°
47. 15.Halla « » si . m A m C 32
De la condición:
m A m C 32
90 2 90 32
= 32°
Desarrollo:
90°-