Este documento presenta información sobre variables aleatorias continuas. Introduce conceptos como función de densidad, función de distribución acumulada y valores esperados para variables aleatorias continuas. También cubre distribuciones específicas como la uniforme y la normal, incluyendo sus propiedades y cómo calcular probabilidades para estas distribuciones. Finalmente, incluye ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
Este documento introduce las series de Taylor y Maclaurin. Explica que las funciones que tienen representación en serie de potencias pueden aproximarse mediante polinomios de Taylor. Proporciona ejemplos como la serie de Maclaurin para ex y sen x, y cómo calcular los coeficientes y el error de las aproximaciones.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento describe las distribuciones gamma y exponencial. La distribución gamma describe el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias de un evento generado por un proceso de Poisson. La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma cuando α = 1. La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos de un proceso de Poisson o el tiempo hasta la primera ocurrencia. El documento también presenta ejemplos y propiedades clave de ambas distribuciones.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento describe el cálculo de integrales dobles. Explica que una integral doble integra una función de dos variables sobre una región del plano, manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra. También cubre temas como los límites de integración, el teorema de Fubini y el uso del determinante jacobiano para realizar cambios de variable en integrales dobles.
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia linealalgebra
El documento presenta varios conjuntos y determina si son linealmente independientes (LI) o linealmente dependientes (LD). Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales asociado a cada conjunto para encontrar si tiene una única solución o infinitas soluciones. Los conjuntos S, A y C son LI, mientras que los conjuntos B, D y E son LD.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
Este documento introduce las series de Taylor y Maclaurin. Explica que las funciones que tienen representación en serie de potencias pueden aproximarse mediante polinomios de Taylor. Proporciona ejemplos como la serie de Maclaurin para ex y sen x, y cómo calcular los coeficientes y el error de las aproximaciones.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento describe las distribuciones gamma y exponencial. La distribución gamma describe el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias de un evento generado por un proceso de Poisson. La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma cuando α = 1. La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos de un proceso de Poisson o el tiempo hasta la primera ocurrencia. El documento también presenta ejemplos y propiedades clave de ambas distribuciones.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento describe el cálculo de integrales dobles. Explica que una integral doble integra una función de dos variables sobre una región del plano, manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra. También cubre temas como los límites de integración, el teorema de Fubini y el uso del determinante jacobiano para realizar cambios de variable en integrales dobles.
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia linealalgebra
El documento presenta varios conjuntos y determina si son linealmente independientes (LI) o linealmente dependientes (LD). Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales asociado a cada conjunto para encontrar si tiene una única solución o infinitas soluciones. Los conjuntos S, A y C son LI, mientras que los conjuntos B, D y E son LD.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
Este documento describe la ecuación diferencial de Bessel. Las funciones de Bessel son soluciones de esta ecuación y fueron definidas originalmente por Daniel Bernoulli y generalizadas por Friedrich Bessel. La ecuación de Bessel tiene importancia para problemas de calor, electricidad, ondas y elasticidad.
5 funciones logaritmicas y exponencialesHenry Romero
Este documento trata sobre la derivación de funciones exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas. Explica las propiedades y reglas de derivación de estas funciones, así como aplicaciones de la derivada como determinar funciones crecientes, decrecientes, máximos y mínimos relativos y absolutos usando el criterio de la primera y segunda derivada.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
Este documento explica conceptos clave relacionados con ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo dependencia e independencia lineal de funciones y soluciones, y cómo usar el wronskiano para determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El método se puede aplicar cuando la función consiste en una suma finita de funciones polinominales, exponenciales o trigonométricas, y permite hallar una solución particular Yp usando una tabla de derivadas.
El documento describe los operadores anuladores y su relación con las funciones diferenciables. Explica que un operador anula una función si al aplicarlo a la función da como resultado cero. Por ejemplo, el operador diferencial D anula a funciones constantes y x. También cubre la factorización de operadores diferenciales lineales y cómo determinar el operador que anula funciones específicas como una suma de funciones exponenciales y trigonométricas.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
La distribución beta es una familia de distribuciones de probabilidad continua definida en el intervalo (0,1) que depende de dos parámetros. Se utiliza cuando no hay datos históricos sólidos y para variables aleatorias continuas no negativas. Extiende la distribución uniforme y su forma depende de los valores de los parámetros alfa y beta.
La tabla resume las derivadas e integrales de funciones comunes como constantes, identidades, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También cubre reglas para derivar sumas, restas, productos y cocientes de funciones. No hay ejemplos provistos para las integrales.
Ecuaciones Diferenciales Lineales Reduccion De OrdenDavid Torres
Este documento explica el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente a una ecuación diferencial de segundo orden, dado que se conoce una primera solución. El método involucra transformar la ecuación diferencial original en una de primer orden, la cual puede resolverse más fácilmente. Se proveen dos ejemplos para ilustrar el método.
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...Oscar Lopez
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Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MNTensor
Este documento describe el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una función. El método aprovecha la idea de unir los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) con una línea recta cuya intersección con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El algoritmo repite este proceso de sustituir el intervalo por la nueva estimación hasta alcanzar un error menor al establecido. El documento también muestra ejemplos de implementar este método en Excel y Visual Basic.
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
Este documento presenta un estudio de caso sobre probabilidad que involucra calcular la probabilidad de que la estatura de un hombre chino sea menor o igual a 154 cm, basado en suposiciones sobre la distribución de estaturas en China. El autor realiza cálculos utilizando una distribución normal asumiendo valores como la media y desviación estándar, pero sus resultados no concuerdan con las probabilidades originales, lo que sugiere errores en sus suposiciones.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
Este documento presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas. Explica cómo encontrar la solución general mediante la suma de la solución homogénea y la solución particular, y cómo determinar las constantes a partir de las condiciones iniciales. Los ejemplos cubren ecuaciones con funciones seno y coseno en el lado derecho y una ecuación proveniente de un circuito RC.
Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias discretas. Explica que una variable aleatoria discreta es aquella cuyo soporte es un conjunto contable. Define la función de distribución de probabilidades y el histograma de probabilidades. También introduce conceptos como la media, la varianza y el sesgo de una variable aleatoria, y cómo estos valores cambian cuando se aplican transformaciones lineales a la variable.
El documento describe los conceptos de UML (Unified Modeling Language) y diagramas de clases. UML es un lenguaje de modelado para sistemas orientados a objetos que permite construir, visualizar y documentar los elementos de un sistema de software. Los diagramas de clases son diagramas estáticos que describen la estructura de un sistema mediante la representación de sus clases, atributos y relaciones. Se explican los conceptos de herencia, composición, agregación, dependencia e interfaces en UML. Finalmente, se incluyen ejemplos de diagramas de clases.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
Este documento describe la ecuación diferencial de Bessel. Las funciones de Bessel son soluciones de esta ecuación y fueron definidas originalmente por Daniel Bernoulli y generalizadas por Friedrich Bessel. La ecuación de Bessel tiene importancia para problemas de calor, electricidad, ondas y elasticidad.
5 funciones logaritmicas y exponencialesHenry Romero
Este documento trata sobre la derivación de funciones exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas. Explica las propiedades y reglas de derivación de estas funciones, así como aplicaciones de la derivada como determinar funciones crecientes, decrecientes, máximos y mínimos relativos y absolutos usando el criterio de la primera y segunda derivada.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
Este documento explica conceptos clave relacionados con ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo dependencia e independencia lineal de funciones y soluciones, y cómo usar el wronskiano para determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El método se puede aplicar cuando la función consiste en una suma finita de funciones polinominales, exponenciales o trigonométricas, y permite hallar una solución particular Yp usando una tabla de derivadas.
El documento describe los operadores anuladores y su relación con las funciones diferenciables. Explica que un operador anula una función si al aplicarlo a la función da como resultado cero. Por ejemplo, el operador diferencial D anula a funciones constantes y x. También cubre la factorización de operadores diferenciales lineales y cómo determinar el operador que anula funciones específicas como una suma de funciones exponenciales y trigonométricas.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
La distribución beta es una familia de distribuciones de probabilidad continua definida en el intervalo (0,1) que depende de dos parámetros. Se utiliza cuando no hay datos históricos sólidos y para variables aleatorias continuas no negativas. Extiende la distribución uniforme y su forma depende de los valores de los parámetros alfa y beta.
La tabla resume las derivadas e integrales de funciones comunes como constantes, identidades, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También cubre reglas para derivar sumas, restas, productos y cocientes de funciones. No hay ejemplos provistos para las integrales.
Ecuaciones Diferenciales Lineales Reduccion De OrdenDavid Torres
Este documento explica el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente a una ecuación diferencial de segundo orden, dado que se conoce una primera solución. El método involucra transformar la ecuación diferencial original en una de primer orden, la cual puede resolverse más fácilmente. Se proveen dos ejemplos para ilustrar el método.
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...Oscar Lopez
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Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MNTensor
Este documento describe el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una función. El método aprovecha la idea de unir los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) con una línea recta cuya intersección con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El algoritmo repite este proceso de sustituir el intervalo por la nueva estimación hasta alcanzar un error menor al establecido. El documento también muestra ejemplos de implementar este método en Excel y Visual Basic.
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
Este documento presenta un estudio de caso sobre probabilidad que involucra calcular la probabilidad de que la estatura de un hombre chino sea menor o igual a 154 cm, basado en suposiciones sobre la distribución de estaturas en China. El autor realiza cálculos utilizando una distribución normal asumiendo valores como la media y desviación estándar, pero sus resultados no concuerdan con las probabilidades originales, lo que sugiere errores en sus suposiciones.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
Este documento presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas. Explica cómo encontrar la solución general mediante la suma de la solución homogénea y la solución particular, y cómo determinar las constantes a partir de las condiciones iniciales. Los ejemplos cubren ecuaciones con funciones seno y coseno en el lado derecho y una ecuación proveniente de un circuito RC.
Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias discretas. Explica que una variable aleatoria discreta es aquella cuyo soporte es un conjunto contable. Define la función de distribución de probabilidades y el histograma de probabilidades. También introduce conceptos como la media, la varianza y el sesgo de una variable aleatoria, y cómo estos valores cambian cuando se aplican transformaciones lineales a la variable.
El documento describe los conceptos de UML (Unified Modeling Language) y diagramas de clases. UML es un lenguaje de modelado para sistemas orientados a objetos que permite construir, visualizar y documentar los elementos de un sistema de software. Los diagramas de clases son diagramas estáticos que describen la estructura de un sistema mediante la representación de sus clases, atributos y relaciones. Se explican los conceptos de herencia, composición, agregación, dependencia e interfaces en UML. Finalmente, se incluyen ejemplos de diagramas de clases.
Este documento describe las reglas de sintaxis y elementos básicos del lenguaje de programación Java. Explica conceptos como separadores, comentarios, palabras reservadas, identificadores, variables, asignación de valores, conversiones de datos, sentencias condicionales e iterativas, clases y métodos. También cubre temas como paquetes, modificadores de acceso y estructura básica de una clase en Java.
Este documento describe los conceptos básicos de la programación orientada a objetos. Explica que una clase define las propiedades y métodos comunes de un grupo de objetos, y que una clase contiene atributos (datos) y métodos (comportamientos). También describe cómo se implementan las clases, incluyendo la definición de atributos, métodos, constructores y el uso de la palabra reservada this.
Este documento introduce conceptos básicos de programación orientada a objetos. Explica que la POO es un paradigma que representa la realidad descomponiendo problemas en objetos con atributos y comportamientos. Compara la POO con la programación estructurada, y define conceptos clave como clase, objeto, encapsulamiento, herencia y polimorfismo. Finalmente, presenta a Java como un lenguaje orientado a objetos multiplataforma e introduce su máquina virtual y API.
Este documento explica los conceptos de variables y métodos estáticos en Java. Define lo que es "static" y cómo pueden accederse variables y métodos estáticos sin necesidad de instanciar un objeto. También describe el uso de variables estáticas globales, constantes finales, clases wrapper para tipos primitivos, y sus constructores y métodos como valueOf(), toString(), y conversiones entre tipos primitivos y wrappers.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística como experimentos estadísticos, espacio muestral, eventos, funciones de probabilidad y teoremas relacionados con la probabilidad de eventos. Explica qué es un experimento estadístico y define el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Además, introduce la noción de eventos como subconjuntos del espacio muestral y las funciones de probabilidad como una forma de asignar probabilidades a eventos. Por último, presenta dos teoremas relacionados
Este documento describe las principales distribuciones de probabilidad, incluyendo la distribución uniforme discreta, la distribución binomial, la distribución uniforme continua, la distribución normal, y las distribuciones chi-cuadrado, t de Student y F de Snedecor. Define cada distribución, explica su significado intuitivo y proporciona ejemplos de su uso en estadística.
Este documento presenta una introducción a las funciones de distribución de probabilidad y simulación en el lenguaje R. Explica cómo calcular probabilidades, evaluar funciones de densidad y generar valores aleatorios siguiendo diferentes distribuciones tanto discretas como continuas en R. También describe cómo graficar distribuciones y realizar muestreo aleatorio, así como una aplicación de la integración de Monte Carlo.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, valor esperado, varianza, covarianza, correlación, muestreo, estimadores, sesgo y eficiencia de estimadores. También cubre propiedades de estimadores muestrales como consistencia y el teorema del límite central.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, valor esperado, varianza, covarianza, correlación, muestreo, estimadores, sesgo y eficiencia de estimadores. Finalmente, define la consistencia de un estimador como tener un límite probabilístico cuyo pico se localice en el parámetro poblacional verdadero cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito.
Este documento describe las distribuciones estadísticas t de Student, Ji-cuadrado, y F de Fisher. Explica cómo estas distribuciones se usan para realizar pruebas de hipótesis e intervalos de confianza cuando se trabaja con muestras pequeñas. También incluye fórmulas clave, tablas de valores críticos, y funciones en Excel para trabajar con estas distribuciones.
Este documento describe las distribuciones estadísticas t de Student, Ji-cuadrado y F de Fisher. Explica que la distribución t de Student se usa para intervalos de confianza y pruebas de hipótesis con muestras pequeñas, la distribución Ji-cuadrado representa la distribución muestral de varianzas, y la distribución F de Fisher representa la razón de dos varianzas muestrales. También incluye fórmulas, tablas y funciones en Excel para estas distribuciones.
Este documento presenta conceptos sobre variables aleatorias discretas y continuas. Introduce las funciones de probabilidad y distribución de probabilidad acumulada para variables aleatorias discretas y continuas. Explica que una variable aleatoria discreta puede tomar valores de un conjunto finito o infinito numerable, mientras que una variable continua puede tomar cualquier valor real en un intervalo. También presenta ejemplos de distribución normal y sus intervalos.
Resumen completo de Variables Aleatorias Continuas.pdfHelmerPinto1
1) Este documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias continuas como su función de densidad de probabilidad, función de distribución acumulada y valor esperado. 2) También introduce algunos modelos comunes como la uniforme, exponencial y normal, describiendo sus funciones de densidad y propiedades. 3) Finalmente incluye ejemplos ilustrativos sobre el cálculo de probabilidades para estas distribuciones.
Este documento resume los conceptos básicos de regresión lineal. Explica que la regresión lineal analiza la dependencia entre dos o más variables y observa cómo las variaciones de una variable afectan a otra. Proporciona ejemplos y describe cómo se representa gráficamente la relación entre las variables a través de un diagrama de dispersión. También explica el método de los mínimos cuadrados para determinar la ecuación de la recta de regresión que mejor se ajusta a los datos.
Distribuciones de probabilidad continuaLIZBETH IZA
Este documento presenta un resumen de las distribuciones de probabilidad continuas más importantes, incluyendo la distribución normal, uniforme, exponencial, t de Student y chi cuadrado. Proporciona las funciones de densidad, propiedades y ejemplos para cada distribución. El objetivo es proveer una introducción básica a estas distribuciones comúnmente usadas en estadística.
Este documento presenta los conceptos básicos de correlación y regresión lineal simple. Introduce las variables dependientes e independientes y explica cómo medir la relación entre ellas a través de la covarianza y el coeficiente de correlación. Luego, describe cómo construir un modelo de regresión lineal simple estimando los parámetros de la pendiente e intercepto y evaluando su significancia estadística. Finalmente, provee un ejemplo práctico utilizando datos reales para ilustrar estos conceptos.
1) Los espacios métricos son conjuntos donde se ha definido una función de distancia entre puntos que cumple con tres axiomas. 2) Se presentan ejemplos de espacios métricos como los números reales con la métrica usual, el espacio euclidiano y el espacio de funciones continuas. 3) También se describen otras métricas como la métrica del ascensor, la métrica de correos y la métrica del taxi.
El documento describe los conceptos básicos del análisis de regresión y correlación. El análisis de regresión determina la mejor relación funcional entre variables, mientras que el análisis de correlación mide el grado de asociación entre variables. La regresión lineal simple estima los parámetros de una ecuación de la forma Y = β0 + β1X + ε. El coeficiente de correlación r y el coeficiente de determinación R2 miden la intensidad de la asociación lineal entre variables.
Este documento describe la distribución muestral y sus características principales. Una distribución muestral es la distribución de probabilidad de una estadística muestral calculada a partir de todas las muestras posibles de tamaño n elegidas al azar de una población. Generalmente nos interesa conocer la forma funcional, media y desviación estándar de la distribución muestral. El documento explica cómo varían estas características dependiendo de si el muestreo es con o sin reemplazo y si la población es finita
Este capítulo describe modelos estocásticos y distribuciones de probabilidad para la imputación de datos, incluida la distribución uniforme. Explica cómo generar números aleatorios según una distribución uniforme usando métodos como la función de densidad de probabilidad. También cubre conceptos como la función generadora de momentos y la prueba de bondad de ajuste chi cuadrada para determinar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución dada.
Este documento presenta conceptos clave sobre límites en cálculo. En primer lugar, introduce el problema de calcular la tangente a la curva y=2x^2+x-1 en el punto P(1,2). Luego, explica que el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un valor a es la base del cálculo diferencial. Por último, resume propiedades de límites como la continuidad y el teorema de compresión.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo: (1) La definición de función de varias variables y representación gráfica; (2) El concepto de curvas de nivel y su relación con la gráfica de una función; (3) Definiciones topológicas como entornos, conjuntos abiertos y cerrados que son necesarias para definir límites; (4) La extensión del concepto de límite y continuidad para funciones de varias variables. El objetivo es familiarizar al lector con estas nociones básicas
Este documento describe las distribuciones normal y t de Student. Explica que la distribución normal es importante porque muchas variables naturales la siguen. Define la función de densidad normal y sus propiedades como la simetría y que el 95% de los datos se encuentra dentro de dos desviaciones estándar de la media. También introduce la distribución t de Student que se usa para muestras pequeñas en lugar de la normal.
Este documento introduce conceptos básicos sobre variables aleatorias y funciones de distribución. Explica que una variable aleatoria asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Distingue entre variables aleatorias discretas y continuas, y describe cómo se definen sus distribuciones de probabilidad y funciones de distribución. También define parámetros comunes como la esperanza matemática y la varianza para caracterizar las variables aleatorias.
El documento describe los conceptos de estimación puntual y por intervalos en estadística. Explica que la estimación puntual calcula un solo valor para estimar un parámetro poblacional, mientras que la estimación por intervalos provee un rango de valores dentro del cual el parámetro tiene una probabilidad especificada de encontrarse. Luego, detalla diversos métodos de estimación puntual como para la media, varianza y proporciones poblacionales, así como intervalos de confianza para estos parámetros y la diferencia entre ellos. Finalmente, presenta ejemplos il
El documento describe un proyecto para crear un juego similar a QuickDraw que grafica dibujos de objetos extraídos de archivos de datos. Los jugadores intentan adivinar el objeto mientras se grafican sus trazos. Si aciertan antes de que termine de grafiarse obtienen más puntos. Luego pueden ver otros dibujos del mismo objeto y pasar al siguiente jugador, eligiendo siempre al que menos haya jugado.
El documento describe un libro titulado "Ecología: impacto de la problemática ambiental actual sobre la salud y el ambiente" escrito por Manuel Erazo Parga y publicado en Colombia por Ecoe Ediciones en 2013. El libro examina los efectos de los problemas ambientales contemporáneos en la salud humana y el medio ambiente.
Este documento contiene las instrucciones para una evaluación sobre estructuras de datos. Se piden 5 temas con preguntas sobre listas enlazadas, pilas, colas y otros TDA. El estudiante debe responder preguntas, implementar métodos para resolver problemas y definir estructuras de datos apropiadas para diferentes escenarios.
Este documento trata sobre estructuras de datos enlazadas dinámicas como listas, pilas y colas. Explica cómo se pueden implementar estas estructuras utilizando punteros para referenciar los nodos de forma dinámica y así permitir que el tamaño de la estructura cambie en tiempo de ejecución. También describe las operaciones básicas como agregar y eliminar elementos en cada tipo de estructura enlazada.
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos y las estructuras de datos mapa y conjunto. Explica que un conjunto es una colección de elementos únicos del mismo tipo y que un mapa asocia claves únicas con valores. También describe formas comunes de representar conjuntos y mapas, como vectores de bits, listas enlazadas y tablas de dispersión, así como operaciones básicas como unión, intersección y diferencia.
El documento describe las características de las colas de prioridad. Explica que en una cola de prioridad, el orden de atención de los elementos no depende solo del orden de llegada, sino también de una prioridad asociada a cada elemento. Describe dos tipos de colas de prioridad (ascendente y descendente) y métodos para insertar y eliminar elementos considerando su prioridad. También presenta posibles implementaciones usando arreglos y listas.
El documento define una cola y describe su funcionamiento. Una cola tiene dos extremos, frente y final. Los elementos se agregan al final y se quitan del frente siguiendo el orden FIFO (primero en entrar, primero en salir). Las colas se pueden implementar como listas enlazadas o arreglos, aunque los arreglos circulares son más eficientes al no desperdiciar espacio.
Este documento explica el algoritmo de backtracking para rellenar un área con un color dado, comenzando desde una posición inicial. El algoritmo utiliza una pila para guardar el rastro de las posiciones ya pintadas a medida que explora las posiciones adyacentes en busca de más áreas vacías que pintar, retrocediendo cuando no encuentra más áreas vacías adyacentes.
Este documento describe la estructura de datos pila (stack) y sus operaciones básicas. Una pila es una colección de elementos donde los elementos se agregan y eliminan solo desde un extremo llamado tope. Las pilas siguen el principio LIFO (último en entrar, primero en salir). Las operaciones básicas de una pila incluyen push para agregar elementos, pop para eliminar elementos desde el tope, y peek para ver el elemento en el tope.
El documento describe las características de las listas doblemente enlazadas y circulares. Las listas doblemente enlazadas permiten recorrer la lista hacia adelante y hacia atrás, mientras que las listas circulares permiten un recorrido continuo desde el primer hasta el último nodo. El documento también discute el rendimiento de operaciones como el acceso, inserción y eliminación de nodos en estas implementaciones de listas.
El documento describe el TDA Lista y su implementación como una lista simplemente enlazada. Define una lista como una colección de nodos enlazados que almacenan un elemento de datos y una referencia al siguiente nodo. Explica cómo una lista enlazada permite agregar y eliminar nodos de manera eficiente al no requerir mover los demás elementos. Luego describe las operaciones básicas de una lista enlazada como agregar al inicio/fin, eliminar, buscar, e imprimir los elementos.
El documento presenta métodos iterativos y recursivos para determinar si una cadena es un palíndromo. También presenta un problema de salto de caballo en ajedrez y cómo resolverlo de forma recursiva explorando todos los movimientos posibles del caballo. Finalmente, propone simular la propagación de un virus entre empleados de una empresa de forma recursiva.
El documento describe conceptos clave sobre recursividad y eficiencia de algoritmos. Explica que la recursividad implica que un método se llame a sí mismo, y debe contener un caso base y uno recursivo. También cubre temas como bucles, notación asintótica, y ejemplos como factoriales y búsqueda binaria que ilustran el enfoque "dividir para vencer".
Este documento describe conceptos fundamentales de programación orientada a objetos en Java como atributos estáticos, métodos estáticos, herencia, clases abstractas, interfaces, overriding, overloading, clase Object y tipos genéricos. Explica cómo estos conceptos permiten modelar relaciones entre clases, reutilizar código y representar distintos tipos de datos de forma flexible.
Este documento presenta la cuarta edición del libro "Teoría básica de probabilidad" de Martha Gaitán Garavito. El libro contiene cinco capítulos que introducen los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad a través de ejemplos y problemas resueltos. El libro define probabilidad y variables aleatorias, y explica distribuciones de probabilidad discretas y continuas comúnmente usadas. Además, incluye apéndices sobre el uso de funciones estadísticas en Excel y métodos de enumeración. El objetivo del
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Introduce la noción de espacio muestral y eventos como conjuntos de resultados posibles en un experimento aleatorio. Explica diferentes definiciones de probabilidad como la frecuencia relativa de un evento y la asignación de probabilidades subjetivas. Además, cubre conceptos como sucesos mutuamente excluyentes, independencia estadística y la regla de Bayes para calcular probabilidades condicionales.
El documento presenta varios ejercicios resueltos sobre cálculo de probabilidades. El primer ejercicio calcula la probabilidad más probable de obtener una cantidad de caras al lanzar 20 monedas con probabilidad de cara de 0,6. El segundo ejercicio calcula la probabilidad de un suceso A dados otros sucesos. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de que suba sólo una de dos acciones cuyas subidas son independientes con probabilidad del 70%.
Este documento trata sobre conceptos de probabilidad. Explica que la probabilidad se utiliza para expresar la posibilidad de que ocurra un evento o la incertidumbre en ingeniería. La probabilidad de un evento puede interpretarse como el grado de certeza o una frecuencia relativa y puede medirse entre 0 y 1. También presenta algunas reglas como que la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades individuales.
Este documento presenta 36 problemas de probabilidad y estadística. Los problemas incluyen determinar si ciertos experimentos son aleatorios, calcular probabilidades de eventos para lanzamientos de dados, sacar bolillas de una caja y más. También incluye problemas sobre espacios muestrales, independencia de eventos, combinatorias y probabilidades condicionales. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen conceptos básicos de probabilidad.
El documento habla sobre conceptos estadísticos como muestreo con y sin reposición, probabilidad condicional, independencia de eventos y la regla de probabilidad total. También menciona el teorema de Bayes, que es una fórmula para calcular probabilidades condicionales a partir de probabilidades previas e independientes.
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calorGerardoBracho3
Las aletas de transferencia de calor, también conocidas como superficies extendidas, son prolongaciones metálicas que se adhieren a una superficie sólida para aumentar su área superficial y, en consecuencia, mejorar la tasa de transferencia de calor entre la superficie y el fluido circundante.
3. Guayaquil, junio de 2015
Variables Aleatorias Continuas
Estadística para Ingenierías3
Variable Aleatoria Continua: una Variable Aleatoria X,
definida sobre un Espacio Muestral ( , L) es continua
cuando y solo cuando para todo x real su Distribución
Acumulada F es una función continua en R.
0)x(Flimy1)x(Flim:quecumpleSe
)xX(P)x(F
xx
4. Guayaquil, junio de 2015
Variables Aleatorias Continuas
Estadística para Ingenierías4
Densidad de una Variable Aleatoria Continua: si X es
continua, entonces existe una función continua y no
negativa f tal que, para todo x real,
b
a
dx)x(f)bxa(P
1dx)x(f
0)x(f
5. Guayaquil, junio de 2015
Variables Aleatorias Continuas
Estadística para Ingenierías5
Si X es continua y con densidad f:
Función de Distribución: de una Variable Aleatoria
Continua, siempre es continua.
a
a
0dt)t(f)aXa(P)aX(P
)a(F)b(F)bXa(P
)x('F)x(f
dt)t(f)xX(P)X(F
x
6. Guayaquil, junio de 2015
Variables Aleatorias Continuas:
ejemplo
Estadística para Ingenierías6
Se conoce que el tiempo de vida útil, en años, de una
máquina troqueladora previo a que se produzca la primera
falla que lleve a un mantenimiento emergente, ha sido
modelado como una Variable Aleatoria X tal que,
Determinar la función de densidad f(x) y determinar la
probabilidad que una de estas máquinas vaya a
mantenimiento emergente, antes del primer año de vida.
0x;e1
0x;0
)X(F
2
x
7. Guayaquil, junio de 2015
Variables Aleatorias Continuas:
ejemplo
Estadística para Ingenierías7
Desarrollo:
Función de Densidad
P(X < 1)
xderestoelparaceroy0xpara;e
2
1
)x('F)x(f 2
x
3935.06065.01e1)1X(P
)1(F)1X(P)1X(P
2
1
8. Guayaquil, junio de 2015
Variables Aleatorias Continuas:
ejemplo
Estadística para Ingenierías8
Encuentre la Función de Distribución de la Variable
Aleatoria X cuya densidad está dada por:
Desarrollo:
0 < x < 1
xderesto;0
2x1;x2
1x0;x
)x(f
2
x
2
t
tdtdt)t(f)x(F
2x
0
2x
0
x
0
1
9. Guayaquil, junio de 2015
Variables Aleatorias Continuas:
ejemplo
Estadística para Ingenierías9
Desarrollo:
1 x < 2
2x;1
2x1;1
2
x
x2
1x0;
2
x
0x;0
)x(F 2
2
1
2
x
x2
2
1
2
3
2
x
x2)x(F
2
3
2
x
x2
2
1
2
2
x
x2
2
t
t2dt)t2(dt)t(f)x(F
22
2
22
x
1
2x
1
x
1
2
Por lo tanto, la Función
de Distribución será:
10. Guayaquil, junio de 2015
Valores Esperados de unaVariable
Aleatoria Continua
Estadística para Ingenierías10
El Valor Esperado de una función U se denota E[u(x)] y
de existir se define como:
Función Generadora de Momentos
Media Varianza
dx)x(f)x(u)]x(u[E
)a,a(t;dx)x(fe)e(E)t(M xtxt
x
dx)x(xf]x[E 22222
dx)x(fx]x[E
11. Guayaquil, junio de 2015
Valores Esperados de unaVariable
Aleatoria Continua: ejemplo
Estadística para Ingenierías11
Si la Función de Densidad de Probabilidad de X está
dada por:
Encontrar el valor esperado de g(x) = 3 + x2 - 5x
xderesto;0
3x2;2/)x3(
2x1;2/1
1x0;2/x
)x(f
13. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Uniforme
Continua
Estadística para Ingenierías13
Una Variable Aleatoria Continua es denominada
Uniforme con parámetros y cuando y solo cuando
su densidad f se define como:
Media Varianza
}xRx{S;
1
)x(f
2
12
)( 2
2
14. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Uniforme
Continua
Estadística para Ingenierías14
Distribución Acumulada
Función Generadora de Momentos
x;1
),(x;dx
1
ax;0
)x(F
x
0t;
)(t
)ee(
)t(M
2tt
x
15. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Uniforme
Continua
Estadística para Ingenierías15
Densidad f Distribución Acumulada F
X
f(x)
1
X
F(x)
1
16. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Uniforme
Continua: ejemplo
Estadística para Ingenierías16
En ciertos experimentos, el error cometido cuando se determina
la densidad de una sustancia es una Variable Aleatoria que tiene
Densidad Uniforme con = -0.015 y = 0.015. Encuentre la
probabilidad de que un error esté entre -0.002 y 0.003.
Desarrollo:
Por lo tanto, la probabilidad de que un error esté entre -0.002 y
0.003 es 0.1667.
1667.0)003.0x002.0(P
03.0
005.0
03.0
002.0
03.0
003.0
03.0
x
dx
03.0
1
)003.0x002.0(P
003.0
002.0
003.0
002.0
17. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Normal
Estadística para Ingenierías17
Se dice que una Variable Aleatoria Continua X tiene
Distribución Normal con media y varianza 2 si su
densidad es
Se cumple que , además es verdad que
E(x) = y E(x – )2 = 2.
RS,e
2
1
)x(f)x( x
x
2
1
2
1dx)x(f
18. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Normal
Estadística para Ingenierías18
Nótese que la densidad de X es simétrica con respecto a ,
por lo que P(X > ) = 0.50 = P(X < ). Su gráfico semeja
una “campana” y muchos han optado por llamarla la
“campana de Gauss”.
18171615141312
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
2 = 1
19. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Normal Estándar
Estadística para Ingenierías19
Si X N(, 2), tal que = 0 y 2 = 1, se dice que X es
Normal Estándar, y su distribución es
RS);z(e
2
1
)z(f z
2
z2
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0
z
1 -
Z es el percentil (1 - )100
de la Normal Estándar
20. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Normal Estándar
Estadística para Ingenierías20
Es importante recordar cuál es el valor del percentil
90, así como el 95, el 97.50 y el 99, por lo que
expresamos que:
90.0dz)z(f
281.1
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,2820
0,1
95.0dz)z(f
6448.1
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,6450
0,05
21. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Normal Estándar
Estadística para Ingenierías21
Es importante recordar cuál es el valor del percentil
90, así como el 95, el 97.50 y el 99, por lo que
expresamos que:
975.0dz)z(f
959.1
99.0dz)z(f
326.2
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,960
0,025
0
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
2,326
0,01
0
22. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Normal Estándar
Estadística para Ingenierías22
Supongamos ahora que tenemos una Variable Aleatoria Z N(0,1) y se
pide determinar la probabilidad de que Z tome valores menores que
0.50.
Usando lo aprendido hasta el momento, el cálculo de esta probabilidad
sería de la siguiente manera:
Esta integral es posible resolverla solamente con el uso de Métodos
Numéricos. Por lo tanto, para determinar probabilidades cuando se
trabaja con la Distribución Normal Estándar, nos valemos de una Tabla
que se presenta en la siguiente lámina.
dze
2
1
dz)z(f)50.0z(P
5.0 5.0
2
z2
23. Guayaquil, junio de 2015
Tabla de la Distribución Normal
Estándar
Estadística para Ingenierías23
El valor de la tabla para Z representa el área bajo la
curva de la Normal Estándar a la izquierda de Z.
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0 Z
Probabilidad
24. Guayaquil, junio de 2015
Tabla de la Distribución
Normal Estándar
Estadística para Ingenierías24
Percentil
Probabilidades
25. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Normal Estándar:
ejemplo
Estadística para Ingenierías25
Usando la Tabla de la Distribución Normal Estándar,
determinar la probabilidad de que Z sea menor o
igual que 0.21, mayor que -0.5; y, tome valores
entre -1 y 1.
Desarrollo
P(Z 0.21) = 0.5832
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0,21
0,5832
0
26. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Normal Estándar:
ejemplo
Estadística para Ingenierías26
Desarrollo
P(Z > -0.50) = P(Z > 0.50) = 1 – P(Z 0.50)
P(Z > -0.50) = 1 – 0.6915 = 0.3085
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
-0,5
0,3085
0
27. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Normal Estándar:
ejemplo
Estadística para Ingenierías27
Desarrollo
P(-1 Z 1) = P(Z 1) – P(Z -1) = P(Z 1) – P(Z 1)
P(-1 Z 1) = P(Z 1) – [1 – P(Z < 1)]
P(-1 Z 1) = 2P(Z 1) -1 = 2(0.8413) – 1 = 0.6826
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
-1
0,6827
0 1
28. Guayaquil, junio de 2015
De una Normal cualquiera a la
Normal Estándar
Estadística para Ingenierías28
Si X es una Variable Aleatoria Normal con media
cualquiera y varianza 2 > 0, es posible probar que X
se relaciona con Z N(0,1) a través de una
transformación muy simple:
Esta última expresión, nos permite determinar la
probabilidad de que X, tome valores en cualquier
intervalo real.
)1,0(N
X
Z),(NX 2
29. Guayaquil, junio de 2015
De una Normal cualquiera a la
Normal Estándar: ejemplo
Estadística para Ingenierías29
El valor de la nota, sobre 100 puntos, de Matemáticas
que obtiene un estudiante nativo de una comunidad
rural ecuatoriana al terminar la educación primaria
puede ser modelada como una Variable Aleatoria
Normal con = 60 y 2 = 225. Si en dicha comunidad
estudian 1200 niños, determine:
¿Cuántos de ellos obtienen notas entre 50 y 70?
¿Con qué nota se alcanza el percentil 95 de la
distribución?
30. Guayaquil, junio de 2015
De una Normal cualquiera a la
Normal Estándar: ejemplo
Estadística para Ingenierías30
Desarrollo
X: Nota, sobre 100 puntos, de Matemáticas que
obtienen al terminar la educación primaria.
¿Cuántos de ellos obtienen notas entre 50 y 70?
59764.596)4972.0(120070y50entrenotasconsestudiantedeNúmero
4972.01)7486.0(2)70x50(P
1)67.0Z(P2)]67.0Z(P1[)67.0Z(P
)67.0Z(P)67.0Z(P)67.0Z(P)67.0Z(P
)67.0Z67.0(P
15
6070
Z
15
6050
P)70x50(P
31. Guayaquil, junio de 2015
De una Normal cualquiera a la
Normal Estándar: ejemplo
Estadística para Ingenierías31
¿Con qué nota se alcanza el percentil 95 de la
distribución?
6.84x
60)15(64.1x
64.1
15
60x
95.0
15
60x
ZP
95.0)xX(P
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,645
0,95
0
Por lo tanto, se alcanza el
percentil 95 de la distribución
con una nota de 84.6
32. Guayaquil, junio de 2015
Función Generadora de Momentos de
unaVariable Aleatoria Normal
Estadística para Ingenierías32
Si X es una Variable Aleatoria Normal con Media y
Varianza 2, su Función Generadora de Momentos es:
Si X es una Variable Aleatoria Normal Estándar, su
Función Generadora de Momentos es:
Rt;e)t(M 2
t
t
x
22
Rt;e)t(M 2
t
x
2
33. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Gamma
Estadística para Ingenierías33
Decimos que X es una Variable Aleatoria Gamma con
parámetros y , cuando y solo cuando su densidad
es:
y son constantes
positivas.
}0xRx{S
;ex
)(
1
)x(f
x
1
6050403020100
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
X
Densidad
G(10,2)
G(8,3)
34. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Gamma
Estadística para Ingenierías34
Probar que f es una Densidad no es complicado, si
manejamos la definición de Función Gamma, que es:
)!1(dxxe)(
0
1x
1
)(
)(
dyey
)(
dye)y(
)(
1
dx
dy
x
y;1dxex
)(
1
1dxex
)(
1
0
y1
0
y
1
0
x
1
x
1
0
35. Guayaquil, junio de 2015
Variable Aleatoria Gamma
Estadística para Ingenierías35
Media
)x(E
)!1(
)!1(
)!1(
!
)x(E
)(
)1(
dyey
)(
dye)y(
)(
1
)x(E
dx
dy
x
y;dxex
)(
1
dx
)(
ex
x)x(E
0
y
0
y
0
/x
0
/x1
38. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Exponencial
Estadística para Ingenierías38
Decimos que una Variable Aleatoria X tiene una Distribución
Exponencial con parámetro , si es una Gamma con = 1, y
es cualquier constante real positiva.
Media: = E(x) =
Varianza: 2 = 2
Generadora de Momentos:
0x;
e
)x(f
/x
80706050403020100
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
Rt;
t1
1
)t(Mx
Exp(2)
Exp(5)
39. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Exponencial: ejemplo
Estadística para Ingenierías39
Se nos dice por experiencias previas se conoce que el
“tiempo de espera” en la cola frente a la ventanilla
de un banco en Cuenca, un día laborable cualquiera,
puede ser modelado como una Distribución
Exponencial con Media igual a tres minutos.
Determinar su Densidad y Distribución Acumulada de
Probabilidades.
40. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Exponencial: ejemplo
Estadística para Ingenierías40
Desarrollo:
X: tiempo de espera en la cola frente a la ventanilla
de un banco en Cuenca.
= = 3 minutos.
Función de Densidad:
RS;e
3
1
)x(f 3/x
41. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Exponencial: ejemplo
Estadística para Ingenierías41
Desarrollo:
Función de Distribución Acumulada:
XderestoelparaceroySxpara;e1)x(F
1e)x(F
edy
3
e
)xX(P)x(F
3/x
3/x
x
0
3/y
x
0
3/y
42. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Exponencial: ejemplo
Estadística para Ingenierías42
El operario de una estación de bombeo ha observado
que la demanda de agua durante las primeras horas de
la tarde tiene aproximadamente distribución
exponencial con Media 100 pies3/s
Determine:
La probabilidad de que la demanda exceda los
200 pies3/s durante las primeras horas de la tarde para
un día seleccionado al azar.
¿Cuál tendría que ser la capacidad de bombeo de la
estación durante las primeras horas de la tarde a fin de
que la demanda sea mayor a la capacidad de bombeo
con una probabilidad de solamente 0.01?
43. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Exponencial: ejemplo
Estadística para Ingenierías43
Desarrollo:
X: demanda de agua en pies3/s durante las primeras
horas de la tarde
La probabilidad de que la demanda exceda los
200 pies3/s durante las primeras horas de la tarde para
un día seleccionado al azar.
Por lo tanto, la probabilidad de que la demanda exceda
los 200 pies3/s durante las primeras horas de la tarde es
0.1353.
1353.0ee11)200(F1)200x(P 2100/200
44. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Exponencial: ejemplo
Estadística para Ingenierías44
Desarrollo:
¿Cuál tendría que ser la capacidad de bombeo de la
estación durante las primeras horas de la tarde a fin de
que la demanda sea mayor a la capacidad de bombeo
con una probabilidad de solamente 0.01?
s/pies52.460)6052.4(100a
)01.0ln(
100
a
01.0e01.0)ax(P
3
100/a
45. Guayaquil, junio de 2015
Variable Ji-Cuadrado con
n grados de libertad
Estadística para Ingenierías45
Caso particular de la Variable G(,), en donde
= n/2 y = 2, n es entero positivo. Se la denota por
2.
Media: = n
Varianza: 2 = 2n
Generadora de Momentos:
0x;
)2/n(2
ex
)x(f 2/n
2/x12/n
2/n
x )t21()t(M
302520151050
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
X
Densidad
2(6)
2(10)
46. Guayaquil, junio de 2015
Variable Erlang
Estadística para Ingenierías46
Caso particular de la Variable G(,), en donde
= n y , n es entero positivo.
Media: = n
Varianza: 2 = n2
Generadora de Momentos:
0x;
)n(
ex
)x(f n
/x1n
n
x )t1()t(M
47. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Beta
Estadística para Ingenierías47
Decimos que X es una Variable Aleatoria Beta con
parámetros y cuando y solo cuando, su Densidad f
es:
Media Varianza
R,};1x0Rx{S
;)x1(x
)()(
)(
)x(f 11
)1()( 2
2
48. Guayaquil, junio de 2015
Distribución Beta: ejemplo
Estadística para Ingenierías48
La proporción de ítems defectuosos en una línea de
producción sigue una Distribución Beta con
parámetros = 1 y = 5. Determine la Media y
Varianza.
Media:
Varianza:
}1x0Rx{S;)x1(5)x(f 4
6
1
51
1
252
5
)7()6(
5
)1()( 22
2
49. Guayaquil, junio de 2015
Función de Confiabilidad
Estadística para Ingenierías49
Cuando ocurren procesos en los que se registran las
fallas de un sistema, a fin de calcular las
probabilidades que se dan en los extremos (colas) de
la distribución de una Variable Continua X, se define
la Función de Confiabilidad R, de tal manera que su
regla de correspondencia es,
R(x) = 1 – F(x) para xR
50. Guayaquil, junio de 2015
Función de Riesgo
Estadística para Ingenierías50
Se define también la Función de Riesgo h como el
negativo de la derivada con respecto a X, del
logaritmo natural de R. Esta función es denotada por
h por su nombre en inglés, “hazard function”.
0)x(R;
)x(R
)x(f
)x(h
)x(R
)x('R
)]x(R[log
dx
d
)x(h e
51. Guayaquil, junio de 2015
Desigualdad de Markov
Estadística para Ingenierías51
Sea u una función que toma valores no negativos y
que está definida en términos de una Variable
Aleatoria X, cuya Densidad o Distribución de
Probabilidades es f; si E[u(x)] existe, entonces, para
cualquier constante positiva se cumple que:
)]x(u[E
)x(uP
52. Guayaquil, junio de 2015
Desigualdad de Markov: ejemplo
Estadística para Ingenierías52
Si por ejemplo X es el número de estudiantes que
anualmente aprueban un curso de Estadística, y la
media de X es 300, entonces se puede afirmar en
términos de la Desigualdad de Markov, acerca de
P(X 500) lo siguiente:
Tomemos u(x) = x, por lo que:
5
3
)500X(P
500
300
500
)500X(P
)x(E
)X(P
53. Guayaquil, junio de 2015
Teorema de Chebyshev
Estadística para Ingenierías53
Sea X una Variable Aleatoria Continua (o Discreta) con
Densidad f y Varianza finita 2; sea k una constante
positiva; bajo estas condiciones, la probabilidad de
que X difiera de su Media , por un valor mayor o
igual que k veces su Desviación Estándar , es menor
o igual a 1/k2. Esto es:
2
k
1
kXP
54. Guayaquil, junio de 2015
Teorema de Chebyshev: ejemplo
Estadística para Ingenierías54
Sea X una Variable Aleatoria Continua tal que:
Calcule la probabilidad P(X - k) para k = 1 y
además acote esta probabilidad utilizando la
Desigualdad de Chebyshev.
xderesto;0
2x2;
4
1
)x(f
55. Guayaquil, junio de 2015
Teorema de Chebyshev: ejemplo
Estadística para Ingenierías55
Desarrollo:
X es una Variable Aleatoria Uniforme Continua con
parámetros = -2 y = 2, esto es, X U(-2,2).
Calcular P(X - 0 1(1.15)) = P(X 1.15) = 0.425
0
2
22
2
3
4
12
16
12
)22(
12
)( 22
2
15.1
3
4
56. Guayaquil, junio de 2015
Teorema de Chebyshev: ejemplo
Estadística para Ingenierías56
Desarrollo:
Utilizando Chebyshev P(X 1) 1, ya que k = 1
Conclusión
La probabilidad pedida es 0.425 mientras que la
Desigualdad de Chebyshev nos informa que dicha
probabilidad es menor o igual que uno, lo cual es
verdadero, pero, dadas las circunstancias poco
informativo.
57. Guayaquil, junio de 2015
Referencias
Estadística para Ingenierías57
Zurita, G. (2010), “Probabilidad y Estadística:
Fundamentos y Aplicaciones”, Segunda Edición,
Escuela Superior Politécnica del Litoral, Instituto de
Ciencias Matemáticas, Guayaquil-Ecuador.