Aplicación de Derivadas Nombre: Vianella Carrillo Sección: A Extensión: San Cristóbal C. I: 30.817.612

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Extensión San Cristóbal – Edo. Táchira
APLICACIÓN DE DERIVADAS
5%
Autor: Vianella Carrillo
C. I: 30.817.612
Sección: A
Docente: Jesús Gamez
Extensión: San Cristóbal
San Cristóbal, febrero 2022

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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 3
APLICACIÓN DE DERIVADAS.......................................................................................................... 4
a) Monotonía de una Función:.............................................................................................. 4
b) Curvatura de una Función:................................................................................................ 5
c) Puntos de Inflexión:........................................................................................................... 5
d) Máximos y Mínimos:......................................................................................................... 5
e) Regla de l’Hôpital: ............................................................................................................. 5
f) Otras aplicaciones: ............................................................................................................ 6
CONCLUSIÓN................................................................................................................................. 7
BIBLIOGRAFÍAS.............................................................................................................................. 8

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INTRODUCCIÓN
Para empezar, se conoce que la derivada de una función matemática, es
la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto, es decir,
qué tan rápido se está produciendo una variación; por otro lado, desde la
perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente recta
tangente al punto donde se ubica x, en términos matemáticos, puede expresarse
de la siguiente forma: 𝑓´(𝑥) =
𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
En la formula, x es el punto en que
la variable toma el valor de x, así mismo, h es cualquier número, este luego se
igualará a cero, ya que como dice la formula se debe calcular el límite de la
función cuando h se acerca a cero. En otras palabras, la derivada es una función
matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a
otra, es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra
también se ha incrementado o disminuido. Para añadir, el límite de una función
se define como la tendencia de esta cuando uno de sus parámetros se acerca a
un valor determinado (en este caso h).

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APLICACIÓN DE DERIVADAS
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la
pendiente de la tangente a una curva en un punto, se puede usar la derivada
para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, entre otros.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones, se aplica en
aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el
cambio de una magnitud o situación, así mismo, es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales
como la economía y la sociología; no obstante, algunas funciones no tienen
derivada en todos o en alguno de sus puntos, por ejemplo, una función no tiene
derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad
o un punto anguloso, también, las funciones que son diferenciables (derivables
si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
Las más importantes aplicaciones de las derivadas son:
a) Monotonía de una Función: Es estudiar la monotonía, es decir el
crecimiento o el decrecimiento de una función en un intervalo, los criterios
para establecer la monotonía en una función (o en sus intervalos)
mediante la derivada son los siguientes: cuando una función 𝑓(𝑥) está
definida en un intervalo abierto (a,b) y es derivable en él.
∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
𝑓´(𝑥) ≥ 0 𝑓(𝑥) es creciente en (a,b)
𝑓´(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) es estrictamente
creciente en (a,b)
𝑓´(𝑥) ≤ 0 𝑓(𝑥) es decreciente en (a,b)
𝑓´(𝑥) < 0 𝑓(𝑥) es estrictamente
decreciente en (a,b)
Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el
siguiente procedimiento:
1. Derivar la función, obteniendo 𝑓’(𝑥).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos la
derivada sea 𝑓’(𝑥) = 0.
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de 𝑓’(𝑥).
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.

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b) Curvatura de una Función: La primera derivada nos permite estudiar la
curvatura (concavidad o convexidad) de una función, y la segunda
derivada determina la curvatura.
Si en un intervalo [𝑎, 𝑏] de una función 𝑓(𝑥)
𝑓´(𝑥) es creciente → 𝑓(𝑥) es convexa
𝑓´(𝑥) es constante → 𝑓(𝑥) es lineal
𝑓´(𝑥) es decreciente → 𝑓(𝑥) es cóncava
En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña,
mientras que una función convexa a un valle.
c) Puntos de Inflexión: La derivada permite estudiar existencia de los
puntos de inflexión, un punto de inflexión de una función es el lugar de su
dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia de concavo a
convexo o viceversa, en un punto de inflexión, la tangente atraviesa la
gráfica de la función, si además la primera derivada es nula, 𝑓’(𝑎) = 0,
es un punto de inflexión de tangente horizontal.
Para que una función 𝑓(𝑥) tenga un punto de inflexión en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)) es
condición necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho
punto (𝑓’’(𝑎) = 0). Esta condición es necesaria, pero no suficiente, puede que
sea 𝑓’’(𝑎) = 0 y no haber punto de inflexión en 𝑎, pero, por el contrario, si fuese
𝑓’’(𝑎) ≠ 0, podemos afirmar que no hay un punto de inflexión en 𝑓(𝑎).
Tenemos dos criterios para averiguar si un punto 𝑥 = 𝑎 de una función, en
donde se verifique que 𝑓’’(𝑎) = 0, se trata de un punto de inflexión:
1. Criterio de la segunda derivada.
2. Criterio de la tercera derivada (o sucesivas).
d) Máximos y Mínimos: Los máximos y mínimos de una función pueden
encontrarse mediante la derivada, si la función está definida en un
intervalo (𝑎, 𝑏) y es derivable en él, para que haya un punto extremo local
(máximo o mínimo) 𝑐 del intervalo), la derivada primera en 𝑐 debe ser nula,
𝑓’(𝑐) = 0.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos saber si
ese punto es un extremo local y si este extremo es un máximo o un mínimo?:
Y es que puede ocurrir que 𝑓’(𝑐) = 0 y que en c haya un punto de inflexión
de tangente horizontal, los puntos en que se anula la primera derivada se
denominan puntos críticos.
e) Regla de l’Hôpital: La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos
de límites que den indeterminación, especialmente los casos más
complejos, exponenciales o términos no racionales, se aplica

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directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 𝑜 ∞/∞. Eso no
impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados,
realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores, la
regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente, requiere conocer bien
la técnica de la derivación.
f) Otras aplicaciones: Y otras aplicaciones, como facilitar la representación
gráfica de funciones o hallar aproximadamente los valores de una función
mediante la diferencial.
La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera
tenido esa función al incrementar la variable independiente 𝑥 a otro punto 𝑎 + ℎ
pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la
tangente a dicha curva en 𝑎.

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CONCLUSIÓN
En conclusión, una derivada de una función es la razón de cambio
instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se
modifique el valor de su variable independiente, así mismo, la derivada de una
función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado
para la variable independiente se torna cada vez más pequeño, es por eso, que
se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado. Por otro lado,
la derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con
respecto a otra, eso resulta muy útil en ciencias, en ingeniería y en economía.

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BIBLIOGRAFÍAS
https://aleph.org.mx/que-es-la-derivada-y-cuales-son-sus-
aplicaciones#:~:text=%C2%BFQu%C3%A9%20es%20Aplicaciones%20de%20l
a,%2C%20concavidad%20y%20convexidad%2C%20etc.
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas-monotonia/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones-
derivadas/