Este documento describe cómo un investigador está probando la acción de un fármaco sobre una bacteria mediante una función matemática. Se analiza el número de bacterias en función del tiempo para determinar cuándo el fármaco es más efectivo, empieza a notarse su efecto y empieza a perder su efecto. Se concluye que el fármaco es más efectivo a las 8,5 horas, empieza a notarse su efecto a partir de las 5 horas y empieza a perder su efecto a partir de las 12 horas.

1. Ejemplo de aplicación de derivadas
Un investigador está probando la acción de un fármaco sobre una bacteria. Ha
averiguado que el número de bacterias, , varía con el tiempo, en horas,
una vez suministrado el fármaco, según la función:
a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el medicamento? ¿Y
al cabo de 10 horas?
bacterias había cuando se empieza el tratamiento
bacterias había al cabo de 10 horas.
b) En ese momento, ¿El número de bacterias está creciendo o disminuyendo?
, luego, en el momento inicial, el
número de bacterias está creciendo a un ritmo de 3600 bacterias/hora. Sin
embargo, a las 10 horas el número de bacterias está
disminuyendo a un ritmo de 600 bacterias/hora.
c) ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima?
¡Cuidado! no nos están preguntando cuándo tiene un máximo la función, es
decir, no nos preguntan cuándo el número de bacterias es máximo sino cuándo
el medicamento hace que el número de bacterias esté decreciendo con mayor
rapidez. Para ello tenemos que averiguar cuándo la función derivada tiene un
mínimo.
Este mínimo se encontrará entre los puntos que anulen la derivada de la
función derivada, es decir, entre los puntos que anulen la derivada segunda:
que se anula para horas y en ese momento
, es decir, a las 8 horas y media de administrar el
medicamento, el número de bacterias está decreciendo a un ritmo de -735
bacterias/hora, que es cuando más eficaz está siendo.
d) ¿En qué momento empieza a notarse el efecto del fármaco?
Empezará a notarse cuando el número de bacterias empiece a disminuir, es
decir, cuando la función pase de creciente a decreciente, y en ese
momento tendrá un máximo.

2. Estudiamos el signo de en los intervalos
(0,5) (5,12) (12,+∞)
+ - +
crece decrece crece
A partir de las 5 horas de iniciarse el tratamiento empezará a verse el efecto
del medicamento y a disminuir el número de bacterias.
e) ¿En qué momento empieza a perder su efecto el medicamento?
A partir de las 12 horas de haberse iniciado el tratamiento, el número de
bacterias empieza otra vez a crecer, por lo que podemos concluir que el
fármaco empieza a perder su efecto.
f) Representa gráficamente este proceso.
Fíjate que a las 8 horas y media, que es cuando el decrecimiento era más
rápido, es cuando la función cambia su comportamiento: antes de ese
momento estaba decreciendo cada vez más rápido y después de ese instante
la función sigue decreciendo pero ya cada vez más lento hasta que deja de
decrecer. Ese punto es un punto de inflexión.
Fuente:http://e-
ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//2000/2005/html/5_problemas_de_aplicacin
_de_la_derivada.html