1) El documento describe funciones trigonométricas inversas y sus derivadas. Estas funciones se definen restringiendo los dominios de las funciones trigonométricas para que sean uno a uno.
2) Se proporcionan fórmulas para derivar funciones trigonométricas inversas usando propiedades de funciones inversas y derivación implícita.
3) También se describen integrales que involucran funciones trigonométricas inversas y conducen a estas funciones al integrar.
Este documento presenta ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye problemas para determinar el dominio de funciones, calcular límites a partir de gráficas, y evaluar límites algebraicamente. Se resuelven ejercicios paso a paso como ejemplos y se piden al estudiante que calcule límites similares. El documento proporciona una introducción completa a los conceptos fundamentales de límites de funciones y continuidad a través de una variedad de ejemplos y problemas.
Este documento presenta conceptos sobre derivadas. Introduce el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica que una función es derivable si es continua y sus derivadas laterales son iguales. Además, incluye reglas para calcular derivadas como la derivada de sumas, productos y funciones compuestas, así como derivadas de funciones elementales como exponenciales, logarítmicas y potencias.
1) El documento presenta información sobre integrales, incluyendo integrales definidas, el teorema fundamental del cálculo y la descomposición de fracciones parciales. 2) Se definen y explican conceptos como antiderivadas, integrales indefinidas y definidas. 3) También incluye ejemplos de cómo calcular diferentes tipos de integrales.
Este documento presenta un resumen de diferentes métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, propiedades de la integral indefinida, integración por cambio de variable, integración por partes, integración trigonométrica por sustitución, integración de fracciones parciales y fórmulas de reducción. También presenta el segundo teorema fundamental del cálculo. El documento está dirigido a estudiantes de matemáticas y tiene como objetivo proporcionar una guía sobre cómo calcular diferentes tipos
Este documento introduce los conceptos de predicados, conjuntos de verdad, cuantificadores y razonamientos lógicos. Define predicados como expresiones que al reemplazar una variable por elementos de un conjunto referencial se convierten en proposiciones verdaderas o falsas. Explica cómo formar predicados compuestos usando operadores lógicos y cómo los cuantificadores universal y existencial convierten predicados en proposiciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estas nociones lógicas.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
Este documento trata sobre las funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce la función exponencial y sus propiedades gráficas, así como ejemplos y ejercicios de su representación. Luego define la función logarítmica, analiza sus propiedades y gráficas, y presenta ejemplos y ejercicios sobre esta función. Finalmente, explica las propiedades de los logaritmos y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y provee ejemplos para ilustrar cómo calcular límites. Define formalmente el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica cómo analizar formas indeterminadas y aplicar identidades para evaluar límites. Finalmente, analiza la continuidad de funciones en su dominio.
Este documento presenta ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye problemas para determinar el dominio de funciones, calcular límites a partir de gráficas, y evaluar límites algebraicamente. Se resuelven ejercicios paso a paso como ejemplos y se piden al estudiante que calcule límites similares. El documento proporciona una introducción completa a los conceptos fundamentales de límites de funciones y continuidad a través de una variedad de ejemplos y problemas.
Este documento presenta conceptos sobre derivadas. Introduce el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica que una función es derivable si es continua y sus derivadas laterales son iguales. Además, incluye reglas para calcular derivadas como la derivada de sumas, productos y funciones compuestas, así como derivadas de funciones elementales como exponenciales, logarítmicas y potencias.
1) El documento presenta información sobre integrales, incluyendo integrales definidas, el teorema fundamental del cálculo y la descomposición de fracciones parciales. 2) Se definen y explican conceptos como antiderivadas, integrales indefinidas y definidas. 3) También incluye ejemplos de cómo calcular diferentes tipos de integrales.
Este documento presenta un resumen de diferentes métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, propiedades de la integral indefinida, integración por cambio de variable, integración por partes, integración trigonométrica por sustitución, integración de fracciones parciales y fórmulas de reducción. También presenta el segundo teorema fundamental del cálculo. El documento está dirigido a estudiantes de matemáticas y tiene como objetivo proporcionar una guía sobre cómo calcular diferentes tipos
Este documento introduce los conceptos de predicados, conjuntos de verdad, cuantificadores y razonamientos lógicos. Define predicados como expresiones que al reemplazar una variable por elementos de un conjunto referencial se convierten en proposiciones verdaderas o falsas. Explica cómo formar predicados compuestos usando operadores lógicos y cómo los cuantificadores universal y existencial convierten predicados en proposiciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estas nociones lógicas.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
Este documento trata sobre las funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce la función exponencial y sus propiedades gráficas, así como ejemplos y ejercicios de su representación. Luego define la función logarítmica, analiza sus propiedades y gráficas, y presenta ejemplos y ejercicios sobre esta función. Finalmente, explica las propiedades de los logaritmos y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y provee ejemplos para ilustrar cómo calcular límites. Define formalmente el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica cómo analizar formas indeterminadas y aplicar identidades para evaluar límites. Finalmente, analiza la continuidad de funciones en su dominio.
El método de Gauss permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema en uno escalonado. Se realizan operaciones como sumas, restas y multiplicaciones de ecuaciones para eliminar las incógnitas de las ecuaciones superiores. De esta forma, se puede despejar la última incógnita de la última ecuación y sustituir su valor en las ecuaciones superiores para despejar las demás incógnitas de forma ordenada.
Ejercicios resueltos de derivadas página webbellidomates
El documento contiene 9 ejercicios resueltos de derivadas de funciones. En el primer ejercicio se derivan tres funciones. En el segundo, se hallan las derivadas de tres funciones dadas. En el tercero, se demuestra que la derivada de una constante es cero. Los ejercicios restantes involucran derivar funciones utilizando logaritmos, hallar pendientes de curvas, y derivar y simplificar varias funciones.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 1 sobre la integral indefinida. Introduce la definición de antiderivada o integral indefinida y explica cómo encontrar antiderivadas algebraicamente mediante fórmulas estándares, propiedades y diferentes técnicas como la integración directa y la integración por sustitución o cambio de variable. El objetivo es enseñar a calcular antiderivadas de funciones algebraicamente.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta una introducción a las integrales definidas e integrales impropias en el campo de cálculo. Explica los tipos de integrales definidas, incluidas las integrales alrededor de una circunferencia y a lo largo del eje real. También introduce los lemas de Jordan y cómo se pueden usar para calcular integrales alrededor de polos y singularidades. Por último, define las integrales impropias y discute casos en los que convergen o divergen.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
(1) El documento presenta cuatro problemas relacionados con encontrar los extremos absolutos de funciones en conjuntos definidos. (2) En cada problema, primero se representa el conjunto, luego se identifican los puntos candidatos a ser extremos, y finalmente se evalúa la función en dichos puntos para determinar los máximos y mínimos. (3) Los métodos utilizados incluyen derivadas parciales, multiplicadores de Lagrange y sustitución de variables.
El documento presenta la resolución de 4 problemas relacionados con encontrar los extremos de funciones en conjuntos dados. En el primer problema, se buscan los extremos absolutos de la función f(x,y)=xy^2 en el conjunto A. Los extremos son (-5/3, ±√11/3) con valor -55/27 y (2√3/3, ±2√6/3) con valor 48√3/27. En el segundo problema, los extremos absolutos de la función f(x,y)=(x-2)^2+y^2 en el conjunto A son (-56/9, ±5/3
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define qué significa que una variable tiende a un número y presenta las notaciones para expresar límites. Explica cómo calcular límites en diferentes casos como cuando la función está definida o no en el punto, o cuando los límites laterales coinciden o no. También cubre cálculos de límites para funciones polinómicas, racionales e irracionales.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites y continuidad. Incluye la representación de funciones, factorización de polinomios, cálculo de límites, dominios de funciones compuestas y funciones definidas a trozos. Resuelve ejercicios como encontrar expresiones matemáticas, funciones que representan beneficios, composición de funciones elementales y cálculo de límites.
Este documento contiene 7 preguntas de matemáticas sobre ecuaciones, sistemas de ecuaciones, funciones y dominios. La primera pregunta pide resolver una ecuación, la segunda un sistema no lineal, la tercera utiliza el método de Gauss para resolver un sistema lineal, y la cuarta resuelve dos ecuaciones. La quinta efectúa operaciones con conjuntos, la sexta halla la composición de funciones y evalúa otra, y la séptima encuentra el dominio de una función.
Este documento trata sobre circunferencias. Define la circunferencia como el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto central es constante. Explica cómo encontrar la ecuación canónica de una circunferencia dada su centro y radio. Resuelve problemas que involucran circunferencias, como determinar las cantidades máximas producidas bajo ciertas restricciones.
Este documento contiene una guía de ejercicios de cálculo para estudiantes de ingeniería. Incluye ejercicios sobre funciones, dominio, rango, funciones pares e impares y funciones especiales. Fue elaborado por el Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta y colaboradores para el curso básico de cálculo de la Universidad Mayor de San Andrés.
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave del capítulo 3 sobre funciones de varias variables. Introduce las funciones vectoriales, escalares y curvas, y describe el dominio, conjunto de niveles y límites de funciones de varias variables. Explica conceptos como bola abierta y punto interior para generalizar la definición de límite a funciones de varias variables. El objetivo es conceptualizar funciones vectoriales, escalares y curvas, y establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos relacionados con el cálculo de límites, derivadas parciales y ecuaciones diferenciales parciales de funciones de varias variables. Los ejercicios incluyen calcular límites, derivadas parciales primeras y segundas de funciones, encontrar puntos críticos, y verificar que funciones satisfacen ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Laplace y la ecuación del calor.
Este documento presenta una introducción a las funciones trascendentales como el logaritmo natural, funciones exponenciales, funciones trigonométricas inversas y funciones hiperbólicas. Incluye definiciones de estas funciones, sus derivadas, y ejemplos sobre cómo calcular derivadas de funciones compuestas y funciones inversas.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular primitivas o integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, composición de funciones, integración por partes, cambios de variable, y métodos para integrar funciones trigonométricas, hiperbólicas e irracionales. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada método.
El método de Gauss permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema en uno escalonado. Se realizan operaciones como sumas, restas y multiplicaciones de ecuaciones para eliminar las incógnitas de las ecuaciones superiores. De esta forma, se puede despejar la última incógnita de la última ecuación y sustituir su valor en las ecuaciones superiores para despejar las demás incógnitas de forma ordenada.
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El documento contiene 9 ejercicios resueltos de derivadas de funciones. En el primer ejercicio se derivan tres funciones. En el segundo, se hallan las derivadas de tres funciones dadas. En el tercero, se demuestra que la derivada de una constante es cero. Los ejercicios restantes involucran derivar funciones utilizando logaritmos, hallar pendientes de curvas, y derivar y simplificar varias funciones.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 1 sobre la integral indefinida. Introduce la definición de antiderivada o integral indefinida y explica cómo encontrar antiderivadas algebraicamente mediante fórmulas estándares, propiedades y diferentes técnicas como la integración directa y la integración por sustitución o cambio de variable. El objetivo es enseñar a calcular antiderivadas de funciones algebraicamente.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta una introducción a las integrales definidas e integrales impropias en el campo de cálculo. Explica los tipos de integrales definidas, incluidas las integrales alrededor de una circunferencia y a lo largo del eje real. También introduce los lemas de Jordan y cómo se pueden usar para calcular integrales alrededor de polos y singularidades. Por último, define las integrales impropias y discute casos en los que convergen o divergen.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
(1) El documento presenta cuatro problemas relacionados con encontrar los extremos absolutos de funciones en conjuntos definidos. (2) En cada problema, primero se representa el conjunto, luego se identifican los puntos candidatos a ser extremos, y finalmente se evalúa la función en dichos puntos para determinar los máximos y mínimos. (3) Los métodos utilizados incluyen derivadas parciales, multiplicadores de Lagrange y sustitución de variables.
El documento presenta la resolución de 4 problemas relacionados con encontrar los extremos de funciones en conjuntos dados. En el primer problema, se buscan los extremos absolutos de la función f(x,y)=xy^2 en el conjunto A. Los extremos son (-5/3, ±√11/3) con valor -55/27 y (2√3/3, ±2√6/3) con valor 48√3/27. En el segundo problema, los extremos absolutos de la función f(x,y)=(x-2)^2+y^2 en el conjunto A son (-56/9, ±5/3
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define qué significa que una variable tiende a un número y presenta las notaciones para expresar límites. Explica cómo calcular límites en diferentes casos como cuando la función está definida o no en el punto, o cuando los límites laterales coinciden o no. También cubre cálculos de límites para funciones polinómicas, racionales e irracionales.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites y continuidad. Incluye la representación de funciones, factorización de polinomios, cálculo de límites, dominios de funciones compuestas y funciones definidas a trozos. Resuelve ejercicios como encontrar expresiones matemáticas, funciones que representan beneficios, composición de funciones elementales y cálculo de límites.
Este documento contiene 7 preguntas de matemáticas sobre ecuaciones, sistemas de ecuaciones, funciones y dominios. La primera pregunta pide resolver una ecuación, la segunda un sistema no lineal, la tercera utiliza el método de Gauss para resolver un sistema lineal, y la cuarta resuelve dos ecuaciones. La quinta efectúa operaciones con conjuntos, la sexta halla la composición de funciones y evalúa otra, y la séptima encuentra el dominio de una función.
Este documento trata sobre circunferencias. Define la circunferencia como el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto central es constante. Explica cómo encontrar la ecuación canónica de una circunferencia dada su centro y radio. Resuelve problemas que involucran circunferencias, como determinar las cantidades máximas producidas bajo ciertas restricciones.
Este documento contiene una guía de ejercicios de cálculo para estudiantes de ingeniería. Incluye ejercicios sobre funciones, dominio, rango, funciones pares e impares y funciones especiales. Fue elaborado por el Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta y colaboradores para el curso básico de cálculo de la Universidad Mayor de San Andrés.
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave del capítulo 3 sobre funciones de varias variables. Introduce las funciones vectoriales, escalares y curvas, y describe el dominio, conjunto de niveles y límites de funciones de varias variables. Explica conceptos como bola abierta y punto interior para generalizar la definición de límite a funciones de varias variables. El objetivo es conceptualizar funciones vectoriales, escalares y curvas, y establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos relacionados con el cálculo de límites, derivadas parciales y ecuaciones diferenciales parciales de funciones de varias variables. Los ejercicios incluyen calcular límites, derivadas parciales primeras y segundas de funciones, encontrar puntos críticos, y verificar que funciones satisfacen ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Laplace y la ecuación del calor.
Este documento presenta una introducción a las funciones trascendentales como el logaritmo natural, funciones exponenciales, funciones trigonométricas inversas y funciones hiperbólicas. Incluye definiciones de estas funciones, sus derivadas, y ejemplos sobre cómo calcular derivadas de funciones compuestas y funciones inversas.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular primitivas o integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, composición de funciones, integración por partes, cambios de variable, y métodos para integrar funciones trigonométricas, hiperbólicas e irracionales. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular primitivas o integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, composición de funciones, integración por partes, cambios de variable, y métodos para integrar funciones trigonométricas, hiperbólicas e irracionales. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular primitivas o integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, composición de funciones, integración por partes, cambios de variable, y métodos para integrar funciones trigonométricas, hiperbólicas e irracionales. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular primitivas o integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, composición de funciones, integración por partes, cambios de variable, y métodos para integrar funciones trigonométricas, hiperbólicas e irracionales. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada método.
1. La integración por partes es un método para integrar funciones que involucran el producto de dos funciones, al aplicar la regla del producto de la derivada pero en sentido inverso.
2. El procedimiento implica separar la función integranda en dos partes, una igual a u y la otra junto con dx igual a dv, luego usar la fórmula de integración por partes.
3. Los ejemplos muestran cómo aplicar el método para diferentes funciones integrandas, reduciendo en cada paso la complejidad hasta lograr integrar.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral indefinida. Explica que la integral indefinida es el proceso inverso de la derivada y permite encontrar una función a partir de su tasa de cambio. También enumera algunas propiedades clave de la integral indefinida como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que los números pueden salir y entrar de la integral. Por último, proporciona una tabla con las integrales indefinidas más comunes.
Este documento presenta los conceptos y métodos de integración indefinida y definida. Incluye ejemplos resueltos de diferentes métodos de integración como integración inmediata, sustitución o cambio de variables e integración por partes. También incluye aplicaciones como cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas.
Este documento trata sobre el concepto de antiderivada o primitiva. Explica que una función F es la antiderivada de f si la derivada de F es igual a f. Presenta reglas básicas para calcular antiderivadas de funciones algebraicas. También introduce el método de sustitución, donde si u es una función de x, la integral de una función de u se puede expresar como una integral sobre u en lugar de x.
Este documento trata sobre el concepto de antiderivada o primitiva. Explica que una función F es la antiderivada de una función f si la derivada de F es igual a f. Presenta reglas básicas para calcular antiderivadas de funciones algebraicas. También introduce el método de sustitución para calcular antiderivadas de funciones compuestas mediante el cambio de variable u=g(x), donde g es la función interior. El documento contiene ejemplos y ejercicios resueltos sobre estas técnicas de integración indefinida
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre funciones reales de variable real. Incluye cálculos de dominios de definición de funciones, operaciones con funciones como suma, producto, cociente y composición, y caracterización de gráficas de funciones en términos de monotonicidad y convexidad.
1) El documento proporciona sugerencias para demostrar identidades trigonométricas. 2) Se presentan ejemplos de demostraciones de identidades trigonométricas como cos x + sen x = 1. 3) Se incluyen ejercicios propuestos para que el estudiante practique demostraciones de identidades trigonométricas.
Este documento presenta reglas para calcular derivadas de funciones elementales y compuestas. Introduce la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones compuestas de la forma F(x)=f(g(x)) como f'(g(x))g'(x). Proporciona ejemplos como derivar funciones racionales, logarítmicas y exponenciales usando estas reglas.
Este documento explica el concepto de antiderivada o integral indefinida. Una antiderivada de una función f es cualquier función F cuya derivada sea f. El símbolo ∫ denota la operación de antiderivación. El documento también presenta varios teoremas relacionados con el cálculo de antiderivadas de funciones como polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmos.
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas. Introduce el círculo trigonométrico y define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante en términos geométricos. Explica las propiedades fundamentales de estas funciones como su período, paridad, identidades trigonométricas y variación. Finalmente, describe cómo reducir cualquier ángulo a uno agudo positivo entre 0 y π/4.
Este documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de pre-cálculo, incluyendo: 1) leyes de exponentes y radicales, 2) productos notables, 3) teorema del binomio, 4) factores notables, 5) leyes de logaritmos, 6) soluciones exactas de ecuaciones algebraicas, 7) relaciones y funciones trigonométricas, 8) funciones hiperbólicas, 9) derivadas, y 10) integrales. Resume los principales elementos matemáticos necesarios para el cálculo.
Este documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de pre-cálculo, incluyendo: 1) leyes de exponentes y radicales, 2) productos notables, 3) teorema del binomio, 4) factores notables, 5) leyes de logaritmos, 6) soluciones exactas de ecuaciones algebraicas, 7) funciones trigonométricas y sus relaciones, 8) funciones hiperbólicas y 9) derivadas e integrales elementales.
Este documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de pre-cálculo, incluyendo: 1) leyes de exponentes y radicales, 2) productos notables, 3) teorema del binomio, 4) factores notables, 5) leyes de logaritmos, 6) soluciones exactas de ecuaciones algebraicas, 7) relaciones y funciones trigonométricas, 8) funciones hiperbólicas, 9) derivadas, y 10) integrales. Resume los principales temas, herramientas y fórmulas necesarias para el estudio
1) El documento presenta el método de integración por partes y su aplicación para integrar funciones cuya integración directa no es posible. 2) La integración por partes se basa en la regla del producto para la derivada y permite convertir el integrando original en uno más fácil de integrar. 3) Se presentan varios ejemplos detallados de cómo aplicar este método para calcular diferentes integrales.
Similar a 4.FUNCIONES INVERSAS E IPERBÓLICAS.pdf (20)
La antiderivada o primitiva de una función es la función cuya derivada es la función original. Se utiliza la notación F(x) para representar la antiderivada de f(x), y se calcula mediante reglas como la suma, producto, cociente y composición de funciones. La antiderivada proporciona información sobre cómo varía una cantidad a medida que varía otra relacionada.
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva usando aproximaciones de rectángulos. Al dividir el intervalo en más subintervalos y dibujar más rectángulos, se obtiene una mejor aproximación del área real. El límite de esta suma, cuando el número de rectángulos tiende a infinito, es igual al área bajo la curva definida por la integral definida.
Este documento trata sobre las formas indeterminadas en cálculo. Explica los conceptos básicos como límites, derivadas e integrales indefinidas y su aplicación en problemas matemáticos.
CLASE-INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES.pdfJorgeRojas278373
Este documento describe cómo integrar funciones racionales utilizando fracciones parciales. Explica el proceso de dividir la función racional en fracciones parciales más simples, integrar cada fracción parcialmente y sumar los resultados para obtener la integral de la función racional original. El documento contiene 5 páginas con ejemplos detallados que ilustran este método de integración por fracciones parciales.
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos, y el método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje de revolución
1) El documento describe funciones trigonométricas inversas y sus derivadas. Estas funciones se definen restringiendo los dominios de las funciones trigonométricas para que sean uno a uno.
2) También presenta fórmulas para derivar funciones trigonométricas inversas usando propiedades de funciones inversas y derivación implícita.
3) Finalmente, explica que algunas integrales conducen a funciones trigonométricas inversas cuando se resuelven.
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva usando aproximaciones de rectángulos. Primero se divide el intervalo en subintervalos y se dibujan rectángulos inscritos y circunscritos. Luego, al tomar más subintervalos, las sumas de las áreas de los rectángulos se aproximan al área real bajo la curva. Finalmente, el documento introduce la definición matemática precisa del cálculo del área bajo una curva como un límite de suma.
Este documento presenta información sobre formas indeterminadas en matemáticas. Cubre seis páginas de contenido sobre este tema, incluyendo definiciones y ejemplos para explicar formas indeterminadas.
El documento habla sobre la integración por sustituciones y la función compuesta. Explica cómo integrar funciones sustituyendo variables y evaluando funciones compuestas de varias variables.
CLASE-INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES.pdfJorgeRojas278373
Este documento presenta un método para integrar funciones racionales dividiendo la fracción en partes parciales más simples de integrar. Explica cómo descomponer la fracción racional en una suma o resta de fracciones parciales más simples, integrar cada fracción parcial, y sumar o restar los resultados para obtener la integral de la función racional original.
La antiderivada o primitiva de una función es la función cuya derivada es la función original. Se utiliza la notación F(x) para representar la antiderivada de f(x), y se calcula mediante reglas como la suma, producto, cociente y composición de funciones. La antiderivada proporciona información sobre cómo varía una cantidad a medida que varía otra relacionada.
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, mientras que el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos. 3) El método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje
El documento promueve el sitio web www.elsolucionario.net, el cual ofrece libros universitarios y solucionarios de ejercicios de estos libros de forma gratuita. Los solucionarios contienen todas las respuestas y explicaciones claras de los ejercicios de los libros. Se invita a los lectores a visitar el sitio para descargar este contenido gratis.
Este documento es la séptima edición del libro "Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera" escrito por Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. El libro ha sido traducido al español y revisado técnicamente. Incluye capítulos sobre ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, series de potencias, transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales y soluciones numéricas.
Bienvenido al mundo real de la teoría organizacional. La suerte cambiante de Xerox
muestra la teoría organizacional en acción. Los directivos de Xerox estaban muy involucrados en la teoría organizacional cada día de su vida laboral; pero muchos nunca se
dieron cuenta de ello. Los gerentes de la empresa no entendían muy bien la manera en que
la organización se relacionaba con el entorno o cómo debía funcionar internamente. Los
conceptos de la teoría organizacional han ayudado a que Anne Mulcahy y Úrsula analicen
y diagnostiquen lo que sucede, así como los cambios necesarios para que la empresa siga
siendo competitiva. La teoría organizacional proporciona las herramientas para explicar
el declive de Xerox, entender la transformación realizada por Mulcahy y reconocer algunos pasos que Burns pudo tomar para mantener a Xerox competitiva.
Numerosas organizaciones han enfrentado problemas similares. Los directivos de
American Airlines, por ejemplo, que una vez fue la aerolínea más grande de Estados
Unidos, han estado luchando durante los últimos diez años para encontrar la fórmula
adecuada para mantener a la empresa una vez más orgullosa y competitiva. La compañía
matriz de American, AMR Corporation, acumuló $11.6 mil millones en pérdidas de 2001
a 2011 y no ha tenido un año rentable desde 2007.2
O considere los errores organizacionales dramáticos ilustrados por la crisis de 2008 en el sector de la industria hipotecaria
y de las finanzas en los Estados Unidos. Bear Stearns desapareció y Lehman Brothers se
declaró en quiebra. American International Group (AIG) buscó un rescate del gobierno
estadounidense. Otro icono, Merrill Lynch, fue salvado por formar parte de Bank of
America, que ya le había arrebatado al prestamista hipotecario Countrywide Financial
Corporation.3
La crisis de 2008 en el sector financiero de Estados Unidos representó un
cambio y una incertidumbre en una escala sin precedentes, y hasta cierto grado, afectó a
los gerentes en todo tipo de organizaciones e industrias del mundo en los años venideros.
Evolución de la mercadotecnia y selección del producto en la empresa KFC
4.FUNCIONES INVERSAS E IPERBÓLICAS.pdf
1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Funciones trigonométricas inversas
Recuerda que para que una función tenga inversa debe ser uno a uno. Como las seis funciones
trigonométricas son periódicas y, por tanto, no son uno a uno ninguna de ellas tiene inversa.
Sin embargo, se pueden restringir los dominios de estas funciones de modo que tengan
inversa.
GRÁFICA DEFINICIÓN
El dominio de la función
seno se restringe a:
−
2
,
2
y = sen-1
x x = sen y
El dominio de la función
coseno se restringida a:
,
0
y = cos-1
x x = cox y
2. El dominio de la función
tangente se restringida a:
2
2
−
x
y = tan-1
x x = tan y
El dominio de la función
cotangente se restringida
a: (0, )
y = cot-1
x x = cot y
El dominio de la función
secante se restringida a:
,
2
2
,
0
y = sec-1
x x = sec y
El dominio de la función
cosecante se restringida a:
−
2
,
0
0
,
2
y = csc-1
x x = cscy
3. Derivada de las funciones trigonométricas inversas
Estas fórmulas de derivación, se obtiene fácilmente usando propiedades de funciones
inversas y derivación implícita.
➢ Deducir la fórmula de derivación del seno inverso
Sea x
sen
y 1
−
=
2
1
1
1
´
cos
1
´
1
´
cos
)
(
x
y
y
y
ente
implicitam
derivando
yy
x
seny
propiedad
x
sen
sen
seny
−
=
=
=
=
= −
Teorema Derivada de funciones trigonométricas inversas.
Sea u una función diferenciable de x, entonces:
/
1
2
1
d u
sen u
dx u
−
=
−
/
1
2
cos
1
d u
u
dx u
−
= −
−
/
1
2
tan
1
d u
u
dx u
−
=
+
/
1
2
cot
1
d u
u
dx u
−
= −
+
/
1
2
sec
1
d u
u
dx u u
−
=
−
/
1
2
csc
1
d u
u
dx u u
−
= −
−
y
1
x
2
1 x
−
4. ➢ Deducir la fórmula de derivación de la secante inversa
Sea x
y 1
sec−
=
1
1
´
tan
sec
1
´
1
´
tan
sec
sec
)
sec(sec
sec
2
1
−
=
=
=
=
= −
x
x
y
y
y
y
ente
implicitam
derivando
y
y
y
x
y
propiedad
x
y
Siguiendo un procedimiento similar, es posible obtener las fórmulas de derivación de las
funciones trigonométricas inversas.
Ejemplo 1
Derivar y = sen-1
3x
( )
2
2
9
1
3
´
3
9
1
1
´
x
y
x
y
−
=
−
=
Ejemplo 2
Derivar y = cot-1
3x2
( )
4
4
9
1
6
6
9
1
1
x
x
y
x
x
y
+
−
=
+
−
=
Ejemplo 3
Derivar y = cot-1
x
x
−
+
1
1
1
1
2
−
x
x
y
5. ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
)
1
(
2
2
1
2
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
+
−
=
+
−
=
−
+
+
+
+
−
−
−
=
−
+
+
−
−
+
+
−
−
=
−
−
+
−
−
−
+
+
−
=
Ejemplo 4
Derivar y = x · arcsec x2
( ) ( )
2
4
2
4
2
sec
1
2
sec
2
1
1
x
arc
x
y
x
arc
x
x
x
x
y
+
−
=
+
−
=
Ejemplo 5
Derivar y = x · arccsc
x
1
( )
x
arc
x
x
y
x
arc
x
x
x
y
x
arc
x
x
x
x
x
y
x
arc
x
x
x
x
y
1
csc
1
1
csc
1
1
1
csc
1
1
1
1
)
(
1
csc
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
+
−
=
+
−
−
−
=
+
−
−
−
=
+
−
−
−
=
6. Ejemplo 6
Derivar y =
x
x
sen
1
1
cos−
−
( )
( )
( )
( )2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
cos
1
cos
cos
cos
1
1
cos
1
1
1
1
cos
x
x
x
sen
x
y
x
x
sen
x
x
y
x
x
x
sen
x
x
y
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
+
−
=
−
−
−
−
=
7. PRÁCTICA Nº9
Derive cada una de las siguientes funciones trigonométricas inversas.
1. f(x) = sen-1
2x R: y´=
2
4
1
2
x
−
2. f(x) = x2
cos –1
x
2
R: y´=
x
x
x
x 2
cos
2
4
2 1
2
−
+
−
3. f(x) = cos-1
(2-x) R: y´=
3
4
1
2
−
− x
x
4. f(x) = tan-1
3x2
R: y´= 4
9
1
6
x
x
+
5. f(x) = cot-1
4x3
R: y´= 6
2
16
1
12
x
x
+
−
6. f(x) = cot-1
x
x
−
+
2
2
R: y´=
4
2
2
+
−
x
7. f(x) = 2 sec-1
x2 R: y´=
1
4
4
−
x
x
8. f(x) = csc-1
2x3 R: y´=
1
4
3
6
−
−
x
x
9. f(x) = 2
1
1
1
csc x
x
x −
+
−
R: y´= csc-1
x
1
10. f(x) = 3x cot-1
2x R: y´= 2
4
1
6
x
x
+
−
+3cot-1
2x
8. Integrales que conducen a las funciones trigonométricas inversas.
Ejemplos 1
Integre
+
=
+ 2
2
2
6
36 x
dx
x
dx
C
x
+
= −
6
tan
6
1 1
Ejemplo 2
Integre
−
=
− 2
2
2
)
5
(
5 x
dx
x
dx
C
x
sen +
= −
5
5
1
Teorema: Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas.
Sea u una función derivable de x, y sea a > 0.
C
a
u
sen
u
a
du
+
=
−
−
1
2
2
C
a
u
a
u
a
du
+
=
+
−
1
2
2
tan
1
C
a
u
a
a
u
u
du
+
=
−
−
1
2
2
sec
1
dx
du
x
u
a
=
=
= 6
dx
du
x
u
a
=
=
= 5
9. Ejemplo 3
Integre
−
=
− 2
2
2
8
64 x
x
dx
x
x
dx
C
x
u
u
du
a
u
u
du
+
=
−
=
−
=
−
8
sec
8
1
8
1
2
2
2
2
Ejemplo 4
Integre
−
=
− 2
2
2
)
2
(
3
2
1
4
9 x
dx
x
dx
C
x
sen
u
a
du
+
=
−
=
−
3
2
2
1
2
1
1
2
2
Ejemplo 5
Integre
( ) ( )
+
=
+ 2
3
2
2
6
2
5
5 x
dx
x
x
dx
x
( )
C
x
C
x
C
x
u
a
du
u
a
du
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
−
−
−
5
tan
15
5
5
tan
5
5
5
3
1
5
tan
5
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
3
1
2
2
2
2
dx
du
x
u
a
=
=
= 8
dx
du
dx
du
x
u
a
=
=
=
=
2
2
2
3
dx
x
du
dx
x
du
x
u
a
2
2
3
3
3
5
=
=
=
=
10. Ejemplo 6
Integre dx
e
e
e
dx
e
x
x
x
x
+
=
+ 2
2
2
2
4
2
)
(
1
1
C
e
u
du
x
+
=
+
=
−
2
1
2
2
tan
2
1
1
2
1
Ejemplo 7
Integre
( )
d
sen
d
sen
+
=
+
−
2
2
2
2
2
1
cos
2
1
cos
2
( ) ( )
=
+
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
=
+
=
−
−
−
−
−
−
−
2
2
4
2
4
2
1
tan
2
1
tan
2
2
tan
2
2
tan
2
)
(
tan
2
tan
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
sen
sen
sen
u
u
a
du
cos
1
=
=
=
du
sen
u
a
dx
e
du
dx
e
du
e
u
a
x
x
x
2
2
2
2
2
.
1
=
=
=
=
11. Ejemplo 8
Integre
( )
+
=
+ 2
2
3
ln
0
2
1
1 x
x
x
x
e
dx
e
e
dx
e
12
4
3
tan
tan
tan
0
1
3
ln
1
3
ln
0
1
2
2
=
−
=
−
=
=
+
=
−
−
−
e
e
e
u
a
du
x
Las fórmulas de integración trigonométrica inversa, puede disfrazarse de muchas maneras.
Mostraremos algunas formas típicas en que estas integrales pueden ocultarse e ilustraremos
algunas técnicas para reconocerlas.
Ejemplo 9 Reescribiendo el integrando como una suma de dos cocientes.
Integre dx
x
dx
x
x
dx
x
x
−
+
−
=
−
+
2
2
2
4
2
4
4
2
C
x
sen
x
C
x
sen
u
dx
x
du
u
+
+
−
−
=
+
+
−
=
−
+
−
=
−
−
−
2
2
4
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
dx
e
du
e
u
a
x
x
=
=
= 1
xdx
du
xdx
du
x
u
=
−
−
=
−
=
2
2
4 2
12. Ejemplo 10 Cuando el integrando es una función racional impropia
Integre
+
+
−
=
+
−
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
4
2
12
3
4
2
3
2
2
3
C
x
x
x
dx
x
du
u
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
+
−
+
−
=
+
−
−
=
+
−
+
−
=
−
2
tan
4
ln
6
2
3
2
1
2
1
6
2
3
4
2
4
12
3
1
2
2
2
2
2
2
2
Ejemplos 11 Cuando hay funciones cuadráticas en el denominador
Integre
+
+
−
=
+
− 3
4
4
7
4 2
2
x
x
dx
x
x
dx
( )
C
x
x
dx
+
−
=
+
−
=
−
3
2
tan
3
1
3
)
2
(
1
2
2
Ejemplo 12
Integre dx
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
−
+
=
+
+
−
13
6
9
6
2
13
6
3
2
2
2
C
x
x
x
dx
x
u
du
dx
x
x
u
du
dx
x
x
dx
x
x
x
+
+
−
+
+
=
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+
−
+
+
+
=
−
2
3
tan
2
9
13
6
ln
2
)
3
(
1
9
4
9
6
1
9
13
6
9
13
6
6
2
1
2
2
2
2
2
2
xdx
du
xdx
du
x
u
=
=
+
=
2
2
4
2
13. Ejemplo 13
Integre
+
+
−
+
−
=
−
+ 27
6
3
3
6
27 2
2
x
x
dx
x
x
x
xdx
( )
C
x
sen
x
x
x
dx
u
x
x
dx
u
du
x
x
dx
x
x
dx
x
+
−
+
−
+
−
=
−
−
+
−
=
+
−
−
+
−
=
+
+
−
+
+
+
−
−
=
−
6
3
3
6
27
)
3
(
6
3
2
1
2
1
)
9
6
(
36
3
2
1
27
6
3
27
6
)
3
(
1
2
2
2
2
/
1
2
2
1
2
2
dx
x
du
dx
x
du
dx
x
du
x
x
u
)
3
(
2
)
3
(
2
)
6
2
(
27
6
2
−
=
−
−
−
=
+
−
=
+
+
−
=
14. PRÁCTICA Nº10
Hallar la integral.
1. =
+
2
36 x
dx
R: c
x
+
−
6
tan
6
1 1
2. =
−
64
2
x
x
dx
R: c
x
+
−
8
sec
8
1 1
3. =
−
2
4
9 x
dx
R: c
x
sen +
−
3
2
2
1 1
4. =
+
6
2
9
25 x
dx
x
R: c
x
+
−
5
3
tan
45
1 3
1
5. =
−
x
x
e
dx
e
2
1
R: c
e
sen x
+
−1
6. =
+
x
x
e
dx
e
4
2
1
R: c
e x
+
− 2
1
tan
2
1
7. =
−
4
49 x
xdx
R: c
x
sen +
−
7
2
1 2
1
8. +
4
0
2
16
x
dx
= R:
16
9. −
2
2
0
4
1 x
xdx
= R:
12
10. −
2
3
2
2
1
x
x
dx
= R:
6
11. =
+
8
2
2
cos
2
x
sen
xdx
R: c
x
sen
+
−
2
2
2
tan
8
2 1
12. =
−
x
xdx
2
2
tan
4
1
sec
R: c
x
sen +
−
)
tan
2
(
2
1 1
13. =
+
−
1
2
)
2
(
2
2
4
x
dx
x
x
R: c
x
x
x
+
+
− −
2
tan
2
2
3
1
3
15. 14. =
+
x
sen
xdx
sen
4
9
8
4
R: c
x
sen
+
−
3
4
tan
12
1 2
1
15. −
+
− 3
4
2
x
x
dx
R: c
x
sen +
−
−
)
2
(
1
16. =
−
4
1 y
ydy
R: +
− 2
1
2
1
y
sen c
17. =
+
−
5
2
2
y
y
dy
R: c
y
+
−
−
2
1
tan
2
1 1
18.
( ) =
−
−
2
2
1
1 x
dx
x
sen
R: ( ) +
− 3
1
3
1
x
sen c
19. =
−
64
9 2
x
x
dx
R: c
x
+
−
8
3
sec
8
1 1
20. +
−
2
1
2
2
2
8
x
x
dx
R:2π
21.
− −
−
0
1
2
2
3
6
t
t
dt
R:π
22. +
−
4
2
2
10
6
2
x
x
dx
R:π
23.
( )
+
+ x
x
x
dx
2
1 2 R: c
x +
+
−
)
1
(
sec 1
24. dx
x
x
x
x
+
+
−
1
3
4
3
2
2
3
R: c
x
x
x +
+
− −1
2
tan
4
4
2
3
25. −
+ 2
8
20 x
x
dx
R: c
x
sen +
−
−
6
4
1
16. Funciones hiperbólicas
En matemáticas y ciencias, es frecuente encontrar ciertas combinaciones de las funciones ex
y e-x
, a las que se le denominan funciones hiperbólicas. Así, las funciones hiperbólicas son
un tipo especial de funciones exponenciales.
Estas funciones se definen como:
GRÁFICA DEFINICIÓN
2
x
x
e
e
senhx
−
−
=
2
cosh
x
x
e
e
x
−
+
=
x
x
x
x
e
e
e
e
x
senhx
x −
−
+
−
=
=
cosh
tanh
17. x
x
x
x
e
e
e
e
senhx
x
x −
−
−
+
=
=
cosh
coth
x
x
e
e
x
hx −
+
=
=
2
cosh
1
sec
x
x
e
e
senhx
hx −
−
=
=
2
1
csc
Derivadas de las funciones hiperbólicas
Dado que las funciones hiperbólicas se pueden expresar en términos de ex
y e-x
entonces, es
fácil obtener las fórmulas de sus derivadas, usando los teoremas ya conocidos.
Dx senhx = Dx
− −
2
x
x
e
e
= ( )
1
2
1
−
− −x
x
e
e
=
x
x
e
e −
+
2
1
18. x
e
e x
x
cosh
2
=
+
=
−
En forma similar se puede obtener cada una de las siguientes fórmulas.
La identidad fundamental de las funciones hiperbólicas es cosh2
x - senh2
x= 1, la misma se
puede verificar a partir de la definición de funciones hiperbólicas.
1
4
4
4
2
2
4
2
4
2
cosh
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
−
+
−
+
+
=
+
−
−
+
+
=
−
−
−
−
− x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
e
e
x
senh
x
De forma similar es posible verificar las siguientes identidades.
Teorema: Derivada de las funciones hiperbólicas.
Sea u una función derivable de x, entonces:
(cosh ) ´
d
senhu u u
dx
= 2
cot (csch ) ´
d
hu u u
dx
= −
cos ( h ) ´
d
hu sen u u
dx
=
sec (sech tanh ) ´
d
hu u u u
dx
= −
2
tan (sech ) ´
d
hu u u
dx
=
csc (csch coth ) ´
d
hu u u u
dx
= −
Identidades Funciones hiperbólicas
2 2
2 2
cosh 1
1 tanh
2 2 cosh
x senh x
x senh x
senh x senhx x
− =
− =
=
2 2
2
2
cosh 2 cosh
cosh 2 1
cosh
2
cosh 2 1
h
2
x x senh x
x
x
x
sen x
= +
+
=
−
=
19. Ejemplo 1
Derive )
3
(
)
( 2
−
= x
senh
x
F
)
3
cosh(
2
)
´(
)
2
)(
3
cosh(
)
´(
2
2
−
=
−
=
x
x
x
F
x
x
x
F
Ejemplo 2
Derive )
ln(cosh
)
( x
x
F =
( )
x
x
F
x
senhx
x
F
senhx
x
x
F
tanh
)
´(
cosh
)
´(
cosh
1
)
´(
=
=
=
Ejemplo 3
Derive )
1
3
(
cosh
)
( 2
−
= x
x
F
)
2
6
(
3
)
´(
)
3
)(
1
3
(
)
1
3
cosh(
2
)
´(
−
=
−
−
=
x
senh
x
F
ángulo
doble
del
identidad
aplicando
x
senh
x
x
F
Ejemplo 4
Derive x
xsenhx
x
F cosh
)
( −
=
x
x
x
F
senhx
senhx
x
x
x
F
senhx
senhx
x
x
x
F
cosh
)
´(
cosh
)
´(
)
cosh
(
)
´(
=
−
+
=
−
+
=
20. Ejemplo 5
Derive )
ln(tanh
2
1
)
( x
x
F =
( )
x
senhx
x
F
senhx
x
x
F
x
h
x
x
F
cosh
2
1
)
´(
cosh
1
cosh
2
1
)
´(
sec
tanh
1
2
1
)
´(
2
2
=
=
=
x
h
x
F
x
senh
x
F
2
csc
)
´(
2
1
)
´(
=
=
Ejemplo 6
Derive t
h
t
y tan
2
=
( ) ( )
+
=
t
t
h
t
t
h
t
y
2
1
sec
tan
2
1
2
' 2
( )
+
=
t
t
h
t
t
t
h
y
2
1
sec
2
tan
2
' 2
t
h
t
t
h
y 2
sec
tan
´ +
=
Ejemplo7
Derivar ( )
x
h
sen
y 2
ln
=
( )
( )
2
2
cos
2
1
' x
h
x
h
sen
y =
( )
2
2
2
cos
'
x
h
sen
x
h
y =
x
h
y 2
cot
2
' =
21. Ejemplo 8
Derivar x
h
e
y x
sec
3
=
( ) ( )
x
h
x
h
e
x
h
e
y x
x
tan
sec
sec
3
' 3
3
−
+
=
x
h
e
x
h
e
y x
x
tan
sec
sec
3
' 3
3
−
=
( )
x
h
x
h
e
y x
tan
3
sec
' 3
−
=
22. PRÁCTICA Nº11
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones.
1. x
senhx
y cosh
2
4 −
= R: senhx
x
y 2
cosh
4
´ −
=
2. x
x
y cosh
= R:
xsenhx
x
x
x
y x
ln
cosh
´ 1
cosh
+
= −
3.
x
x
y 2
tanh
1
cosh
3
+
+
= R: 2
2
2
2
)
tanh
1
(
)
cosh
3
(
tanh
sec
2
)
tanh
1
(
´
x
x
x
x
h
x
senhx
y
+
+
−
+
=
4. 4
cosh2
2
+
−
= x
x
senh
y R: 0
´=
y
5. x
x
senh
y 2
2
cosh
+
= R: x
senh
y 2
2
´=
6.
x
senhx
y
cosh
1
1
+
+
= R: 2
)
cosh
1
(
1
cosh
´
x
senhx
x
y
+
+
−
=
7. x
x
y tanh
= R: x
h
x
x
y 2
sec
tanh
´ +
=
8.
x
x
x
senhx
y
cosh
+
= R:
x
xsenhx
x
x
senhx
x
x
y 2
2
cosh
cosh
cosh
´
−
+
−
=
9. x
x
senxsenhx
y cosh
cos
+
= R: x
senhx
y cos
2
´=
10. x
senhx
x
senx
y cosh
cos +
= R: x
x
y 2
cos
2
cosh
´ +
=
11. x
x
senhx
x
y cosh
3
2
−
= R: )
cosh
(
3
)
cosh
2
(
´ x
xsenhx
x
x
senhx
x
y +
−
+
=
12. senhx
x
x
y )
1
2
3
( 2
+
−
= R: )
1
2
3
(
cosh
)
2
6
(
´ 2
+
−
+
−
= x
x
x
x
senhx
y
13. senhx
e
x
e
y x
x −
+
= cosh
2
R:
)
(cosh
)
cosh
2
(
1
´ 3
senhx
x
x
senhx
e
e
y x
x
−
+
+
=
14. x
x
senh
y x
x 3
2
cosh
3
2 +
= R: )
3
cosh
3
(ln
cosh
3
)
2
2
(ln
2
´ 2
2
senhx
x
x
x
senh
x
senh
y x
x
+
+
+
=
15. )
(ln
cosh
)
(ln 2
2
x
x
senh
y +
=
R:
x
x
senh
y
)
ln
2
(
2
´=
23. Integrales de las funciones hiperbólicas
Ejemplos 1
Integre du
u
dx
x
senh
x
= 2
2
2
1
·
2
·
2
cosh
C
x
senh
C
u
C
u
+
=
+
=
+
=
6
2
6
1
3
2
1
3
3
3
Ejemplo 2
Integre dx
x
h
xdx )
sec
1
(
tanh 2
2
−
=
C
x
x
xdx
h
dx
+
−
=
−
=
tanh
sec 2
Ejemplo 3
Integre
−
=
− du
sehu
dx
x
senh
2
1
)
2
1
(
C
x +
−
−
= )
2
1
cosh(
2
1
dx
x
du
dx
x
du
x
senh
u
2
cosh
2
2
cosh
2
2
=
=
=
dx
du
dx
du
x
u
=
−
−
=
−
=
2
2
2
1
Teorema: Integrales de las funciones hiperbólicas
Sea u, una función diferenciable de x.
2
cosh
cosh
sech tanh
senhudu u C
udu senhu C
udu u C
= +
= +
= +
2
csch coth
sech tanh sech
csch coth csch
udu u C
u udu u C
u udu u C
= − +
= − +
= − +
24. Ejemplo 4
Integre du
u
dx
x
senh
x
=
−
− 2
2
)
1
(
)
1
(
cosh
C
x
c
u
+
−
=
+
=
3
)
1
(
cosh
3
3
3
Ejemplo 5
Integre dx
x
senhx
dx
x
senh
senhx
=
+ 2
2
cosh
1
C
hx
C
x
C
u
C
u
du
u
u
du
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
=
=
−
−
sec
cosh
1
1
1
1
2
2
dx
x
senh
du
x
u
)
1
(
)
1
cosh(
−
=
−
=
dx
senhx
du
x
u
=
= cosh
25. PRÁCTICA N°12
Hallar la integral
1. =
dx
x
senh3 R: c
x +
3
cosh
3
1
2. =
+
dx
x
h )
3
1
(
csc 2
R: c
x +
+
− )
3
1
coth(
3
1
3. =
dx
x
x
h 2
tanh
2
sec R: c
x
h +
− 2
sec
2
1
4. =
− dx
x
senh )
2
1
( R: c
x +
−
− )
2
1
cosh(
2
1
5. =
dx
x
x
cosh R: c
x
senh +
2
6. =
−
−
dx
x
senh
x )
1
(
)
1
(
cosh2
R: c
x +
− )
1
(
cosh
3
1 3
7. =
−
dx
x
h )
1
2
(
sec 2
R: c
x +
− )
1
2
tanh(
2
1
8. =
dx
x
h
x
2
csc
2
2
R: c
x
+
−
2
coth
2
9. =
dx
x
x
h tanh
sec 3
R: c
x
h +
− 3
sec
3
1
10. =
dx
x
x
x
h
2
1
coth
1
csc R: c
x
h +
1
csc
11. =
dx
x
x
senh cosh
4
R: c
x
senh +
5
5
1
12. =
dx
senhx
x
x 2
2
2
cosh R: c
x +
2
3
cosh
6
1
13. =
dx
x
h
x 3
2
2
csc R: c
x +
− 3
coth
3
1
14. =
dx
x
h2
csc R: coth x
15. =
dx
x
tanh R: c
x +
)
ln(cosh
26. Funciones hiperbólicas inversas
Las funciones hiperbólicas inversas también pueden expresarse en términos de logaritmos
naturales. Esto no debe causar sorpresa porque las funciones hiperbólicas se definieron en
términos de la función exponencial natural, que es la inversa de la función logaritmo natural.
GRÁFICA DEFINICIÓN
y = senh-1x x= senhy
( )
1 2
ln 1
senh x x x
−
= + +
y = cosh-1x x= coshy
( )
1 2
cos ln 1
h x x x
−
= + −
y = tanh-1x x= tanhy
1 1 1
tanh ln
2 1
x
x
x
− +
=
−
27. y = coth-1x x= cothy
1 1 1
coth ln
2 1
x
x
x
− +
=
−
y = sech-1x x= sechy
2
1 1 1
sech ln
x
x
x
−
+ −
=
y = csch-1x x= cschy
2
1 1 1
csch ln
x
x
x x
−
+
= +
28. Derivada de las funciones hiperbólicas inversas
Ejemplo 1
Derive ( )
1
3
coth
)
( 1
+
= −
x
x
f
( )
( )
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
2
3
1
)
´(
2
3
3
3
)
´(
1
6
9
1
3
)
´(
3
)
1
3
(
1
1
)
´(
2
2
2
2
+
−
=
+
−
=
−
−
−
=
+
−
=
Ejemplo 2
Derive 2
1
2
)
( x
senh
x
x
f −
=
+
+
=
+
+
=
−
−
2
1
4
2
2
1
4
2
1
2
)
´(
2
)
2
(
1
1
)
(
)
´(
x
senh
x
x
x
x
f
x
xsenh
x
x
x
x
f
Teorema: Derivada de funciones hiperbólicas inversas
Sea u una función derivable de x.
1
2
1
´
1
d
senh u u
dx u
−
=
+
1
2
1
coth ´
1
d
u u
dx u
−
=
−
1
u
1
2
1
cosh ´
1
d
u u
dx u
−
=
−
1
u 1
2
1
sech ´
1
d
u u
dx u u
−
= −
−
1
0
u
1
2
1
tanh ´
1
d
u u
dx u
−
=
−
1
u 1
2
1
csch ´
1
d
u u
dx u u
−
= −
+
0
u
29. Ejemplo 3
Derive 1
2
cosh
)
( 1
+
= −
x
x
f
1
3
4
1
)
´(
1
1
)
1
(
4
1
)
´(
1
1
1
)
1
(
4
1
)
´(
+
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
Ejemplo 4
Derive x
h
x
x
x
f 1
2
sec
1
ln
)
( −
−
+
=
( )
2
1
2
1
2
2
1
sec
)
´(
2
1
2
sec
1
1
1
1
)
´(
x
x
h
x
x
f
x
x
x
h
x
x
x
x
x
f
−
−
=
−
−
+
−
−
−
+
=
−
−
30. PRÁCTICA Nº 13
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones.
)
(
)
(
.
1 2
1
x
senh
x
f −
= R:
1
2
´
4
+
=
x
x
y
)
3
2
(
tanh
)
(
.
2 1
+
= −
x
x
f R:
)
2
3
(
2
1
´ 2
+
+
−
=
x
x
y
)
3
(
cosh
)
(
.
3 1
x
x
x
f −
= R: x
x
x
y 3
cosh
1
9
3
´ 1
2
−
+
−
=
)
ln(cosh
)
(
.
4 1
x
x
f −
= R:
x
x
y
1
2
cosh
1
1
´
−
−
=
)
(tan
)
(
.
5 1
x
senh
x
f −
= R: x
y sec
´=
= −
2
tanh
)
(
.
6
2
1 x
x
x
f R:
2
tan
4
4
´
2
1
4
2
x
x
x
y −
+
−
=
3
2
1
)
(coth
)
(
.
7 x
x
f −
= R: 4
2
2
1
1
)
(coth
6
´
x
x
x
y
−
=
−
1 2
8. ( ) ( )
x
f x senh e
−
= R:
1
2
´
4
2
+
=
x
x
e
e
y
)
(ln
cosh
)
(
.
9 1
x
x
f −
= R:
1
ln
1
´
2
−
=
x
x
y
2
1
1
)
(
.
10 x
x
xsenh
x
f +
−
= −
R: x
senh
y 1
´ −
=
x
x
x
x
f 1
2
tanh
1
ln
)
(
.
11 −
+
−
= R: x
y 1
tanh
´ −
=
x
senh
x
f 1
)
(
.
12 −
= R:
)
1
(
2
1
´
x
x
y
+
=
.
coth
)
1
(
)
(
.
13 1
x
x
x
f −
−
= R: x
x
y 1
coth
2
1
´ −
−
−
=
31. Integrales producen funciones hiperbólicas inversas
Teorema: Integrales de las funciones hiperbólicas inversas
Sea u una función derivable de x.
C
a
u
senh
du
a
u
+
=
+
−
1
2
2
1
C
a
u
a
du
a
u
+
−
=
−
−
1
2
2
coth
1
1
C
a
u
du
a
u
+
=
−
−
1
2
2
cosh
1
C
a
u
h
a
du
u
a
u
+
−
=
−
−
1
2
2
sec
1
1
C
a
u
a
du
u
a
+
=
−
−
1
2
2
tanh
1
1
C
a
u
h
a
du
u
a
u
+
−
=
+
−
1
2
2
csc
1
1
Teorema: Integrales de las funciones hiperbólicas inversas, en términos
de la función ln
Sea u una función derivable de x.
C
a
u
u
du
a
u
+
+
=
)
ln(
1 2
2
2
2
C
u
a
u
a
a
du
u
a
+
−
+
=
−
ln
2
1
1
2
2
C
a
u
a
u
a
du
a
u
+
+
−
=
−
ln
2
1
1
2
2
C
u
u
a
a
a
du
u
a
u
+
+
−
=
2
2
2
2
ln
1
1
32. Ejemplos 1
Integre
−
=
− 2
2
2
2
3
3
1
9
4 u
u
du
x
x
dx
c
x
x
u
u
du
+
−
+
−
=
−
=
3
9
4
2
ln
2
1
2
2
2
2
Ejemplos 2
Integre
( )
−
=
− 2
2
2
5
2
1
4
5 u
du
x
dx
c
x
x
c
x
x
+
−
+
=
+
−
+
=
2
5
2
5
ln
5
4
1
2
5
2
5
ln
5
2
1
2
1
Ejemplos 3
Integre
+
=
+ 2
1
2
1 u
du
x
x
dx
c
x
x +
+
+
= )
1
ln(
2
a =2
u =3x
dx
du
=
3
a = 5
u =2x
dx
du
=
2
dx
x
du
dx
x
du
x
u
a
1
2
2
1
1
=
=
=
=
33. Ejemplos 4
Integre
+
+
−
−
=
+
−
− 1
1
2
)
1
(
2
2
)
1
( 2
2
x
x
x
dx
x
x
x
dx
c
x
x
x
u
u
du
x
x
dx
+
−
+
−
+
−
=
+
=
+
−
−
=
1
2
2
1
ln
1
1
)
1
(
)
1
(
2
2
2
dx
du
x
u
a
=
−
=
=
1
1
34. PRÁCTICA Nº14
Hallar la integral.
1. =
+
2
4 x
dx R: c
x
x +
+
+ )
4
ln( 2
2. =
−
2
25 x
dx
R: c
x
x
+
−
+
5
5
ln
10
1
3. =
−
1
4
x
xdx
R: c
x
x +
−
+ )
1
ln(
2
1 4
2
4. =
+
9
25 2
x
dx
R: c
x
x +
+
+ )
9
25
5
ln(
5
1 2
5. =
−
2
1 x
dx
R: c
x
x
+
−
+
1
1
ln
2
1
6. =
+
2
16 x
dx R: c
x
x +
+
+ )
16
ln( 2
7. =
+
−
17
2
2
x
x
dx R: c
x
x
x +
+
−
+
− )
17
2
)
1
(
ln 2
8. =
+
x
e
dx
2
1 R: c
e
e
x
x
+
+
+
−
2
1
1
ln
9. =
+
x
x
dx
1
R: c
x
x +
+
+ )
1
ln(
2
10. =
+
−
−
2
2
)
1
( 2
x
x
x
dx
R:
( )
c
x
x
+
−
+
−
+
−
1
1
1
1
ln
2
11. =
−
2
9
4 x
dx
R: c
x
x
+
−
+
3
2
3
2
ln
12
1
12. =
−
−
2
2
4
1 x
x
dx
R:
( )
( )
c
x
x
+
+
+
+
+
3
1
2
3
1
2
ln
6
2
1
13. =
−
−
dx
x
x 2
4
1
R: c
x
x
+
− 4
ln
4
1