Aritmetica 5° 4 b

53 54COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5 to Año Secundaria ARITMÉTICA 5 to Año Secundaria
MAGNITUDES PROPORCIONALES:
I. Magnitudes directamente proporcionales
Ejemplo: Son magnitudes directamente
proporcionales.
a) El número y su precio cuando se paga a
razón del número.
Así:
• Si: 1 cuaderno cuesta S/.6; 3 cuadernos
costarán: 3 x S/.6 ) S/.18.
(Esto quiere decir que a más cuadernos
más dinero).
Si: 8 caramelos cuestan S/.2; 4 caramelos
costarán S/.1.
(Esto quiere decir que a menos caramelos
menos dinero).
b) El tiempo y las unidades de trabajo
realizado.
Así:
• Si: una cuadrilla de obreros hacen en 3 días
10 metros de una obra, en 6 días harán 20
metros de dicha obra.
(Esto quiere decir que más días harán más
metros de obra).
c) El tiempo de trabajo y el salario
percibido.
Así:
• Si: un obrero por 5 días de trabajo percibe
S/.80, por 3 días percibirá S/.48.
(Esto quiere decir que a menos días recibirá
menos salario).
Luego; las magnitudes directamente
proporcionales:
• Si aumenta una de ellas; aumenta la otra.
• Si disminuye una de ellas; disminuye la
otra.
II. MAGNITUDEA INVERSAMENTE
PROPORCIONALES:
Ejemplo: Son magnitudes inversamente
proporcionales.
a) El numero de obreros y el tiempo
necesario para hacer una obra.
Así:
Si: 7 obreros hacen una obra en 4 días; 14
obreros harían la misma obra en 2 días.
(Esto quiere decir que el doble número de
obreros necesitará la mitad del tiempo para
hacer la obra).
b) Los días del trabajo y las horas diarias
que se trabajan.
Así:
Si: trabajando 10 horas diarias se necesitan 6
días para hacer una obra, trabajando 5 horas
diarias se terminará la obra en 12 días.
(Esto quiere decir que menos horas de trabajo
se necesitaría más días para hacer la obra).
c) La velocidad de un automóvil y el tiempo
empleado en recorrer una distancia.
Así:
Si un automóvil a una velocidad de 50 Km/h
necesita 8 horas para recorrer una distancia, a
la velocidad de 100 Km/h necesitaría 4 horas
para recorrer la misma distancia.
(Esto quiere decir que mayor velocidad
necesitaría menos tiempo),
Luego, las magnitudes inversamente
proporcionales:
• Si aumenta una de ellas, disminuye la otra.
• Si disminuye una de ellas, aumenta la otra.
IMPORTANTE:
a) Una magnitud puede ser directa o
inversamente proporcional a otras magnitudes.
Así:
• El precio de una pieza de tela es
directamente proporcional a su calidad,
longitud y ancho.
• El área de un rectángulo es directamente
proporcional a su base y altura.
• La velocidad es directamente proporcional
al espacio recorrido e inversamente
proporcional al tiempo.
b) Las magnitudes directamente proporcionales
van de más a más, o de menos a menos (+ a
+; - a -).
c) Las magnitudes inversamente proporcionales
va de más a menos o menos a más (+ a -; - a
+).
REGLA DE TRES
• La Regla de Tres.- Es una operación que
tiene por objeto, dados dos o más pares de
cantidades proporcionales siendo una
desconocida o incógnita, hallar el valor de está
última.
La Regla de Tres puede ser: Simple y
compuesta.
Es simple cuando intervienen dos pares de
cantidades proporcionales.
Es compuesta cuando intervienen tres o más
pares de cantidades proporcionales.
A.Regla de tres simple
En la Regla de Tres simple intervienen tres
cantidades conocidas o datos y una
desconocida o incógnita. Esta regla que puede
ser: Directa o Inversa, según las cantidades
que intervienen sean directa o inversamente
proporcionales.
• Supuesto y Pregunta.
En toda Regla de Tres hay dos filas de
términos o números. El supuesto formado por
los términos conocidos del problema va
generalmente en la parte superior. La
pregunta formada por los términos que
contiene a la incógnita del problema va en la
parte inferior.
Ejemplo: Si: 5 lapiceros cuestan S/.20. ¿Cuánto
costaran 12 lapiceros?
Supuesto: 5 lapiceros S/. 20
Pregunta: 12 lapiceros S/.x
• El supuesto está formado por 5 lapiceros y
S/.20; la pregunta por 12 lapiceros y la
incógnita por S/.x
• Métodos de Resolución:
Todo problema que se plantea por una regla de
tres puede resolver por tres métodos:
I. Método de Reducción a al mitad
II. Método de las proposiciones y
S5AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
Dos magnitudes son diferentes
proporcionalmente cuando al multiplicar
o dividir una de ellas por un número, la
otra resulta multiplicada o dividida por el
mimo número.
Dos magnitudes son inversamente
proporcionales cuando al multiplicar una
de ellas por un número la otra resulta
dividida y al dividir una de ellas la otra
resulta multiplicada por el mismo número.
REGLA DE

III. Método Práctico
I. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD.
• Regla de Tres Simple Directa
Ejemplo 1
Si: 6 sillas cuestan S/.180. ¿Cuánto costaran 10
sillas?
Resolución:
Supuesto: 6 sillas S/.180
Pregunta: 10 sillas x
RAZONANDO:
Si: 6 sillas cuestan S/ 180
1 silla costará: S/.180
6
= S/.30
Luego;
10 Sillas costarán 10 x =
Rpta.
Ejemplo 2
Si: 20 chocolates cuestan S/.80. ¿Cuánto costarán
6 chocolates?
Resolución:
Supuesto: 20 chocolates S/.80
Pregunta: 6 chocolates x
RAZONANDO:
Si: 20 Chocolates cuestan S/.80
1 chocolate costará: S/.80
20
= S/.4
Luego;
6 chocolates costarán: 6 x =
Rpta.
• Regla de Tres Inversa
Ejemplo 1.
Si: 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En
cuántos días terminará la misma obra 12 obreros?
Resolución:
Supuesto: 8 obreros S/.80
Pregunta: 12 obreros x
RAZONANDO:
Si: 8 obreros hacen la obra en 15 días
1 obrero lo hará en: 15 x 8 = 120 días
Luego;
12 obreros harán la obra en:
12
días120
=
Rpta.
Ejemplo 2
Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de
obreros tardan 18 días para terminar una obra,
trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días
terminaría la misma obra?
Resolución:
Supuesto: 10 h/d S/.80
Pregunta: 6 h/d x
RAZONANDO:
Si: trabajando 10 h/d tardan 18 días
Trabajando 1h/d tardarían: 18 x 10 = 180 días
Luego;
Trabajando 6 h/d tardarían:
6
días180
=
Rpta.
II. MÉTODO DE LAS PROPOSICIONES:
• Regla de Tres Simple Directa.
Ejemplo. Si: 25 pollos cuestan S/.112, 50.
¿Cuánto se pagará por 14 pollos?
Resolución:
Supuesto: 25 pollos S/.80
Pregunta: 14 pollos x
RAZONANDO:
Si: 25 pollos cuestan S/.112, 50 por menos
pollos (14) se pagará menos soles. Estas
cantidades proporcionales van de menos a
menos (-a-), es decir son cantidades
directamente proporcionales. Por consiguiente
la Regla de Tres Directa.
Formamos una preposición escribiendo la
razón directa de las primeras cantidades de
(pollos) igual a la razón directa de las
segundas cantidades (soles); Asi:
x
50,112
14
25
=
Despejando “x” se obtiene:
x = 63
25
)250,11(14
=
Rpta.
• Regla de Tres Inversa:
Ejemplo. Si: trabajando 10 horas diarias una
cuadrilla de obreros demoran 18 días para
terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En
cuántos días terminarán la misma obra?
Resolución:
Supuesto: 10 h/d 18 días
Pregunta: 6 h/d x
RAZONANDO:
Trabajando 10 h/d demoran 18 días,
trabajando menos horas diarias (6) lo
terminarán más días. Vemos que estas
cantidades proporcionales van de menos a
más (- a +); sea que son inversamente
proporcionales; consiguiente la Regla de
Tres es Inversa.
Entonces se forma una proporción escribiendo
la razón directa de las primeras cantidades
(h/d) igual a la razón inversa de las segundas
cantidades (días).
Así:
18
x
6
10
=
Despejando “x” se obtiene:
días30
6
18.10
x ==
∴ Rpta.
III.MÉTODO PRÁCTICO
Regla:
1) Se examina si la Regla de Tres es directa o
inversa. Si las cantidades proporcionales van
S/.30 S/.300
0
S/.4 S/.24
10 días
30 días
x= S/.63
x = 30
días

de más a más o de menos a menos, la
Regla es Directa; si van de más a menos o
de menos a más la Regla es Inversa.
2) Si la Regla de Tres es Directa; se multiplican
los datos en aspa y se divide entre el otro dato;
este conciente es el valor de la incógnita.
Si la Regla de Tres es inversa; se multiplican
los datos del supuesto y se divide entre el otro
dato de la pregunta; este conciente es el valor
de la incógnita. (ver cuadro)
Regla de tres simple:
a
c
b
x
Directa
x = b.c
a
Inversa
x = a.b
c
• Regla de Tres Simple Directa:
Ejemplo: Si 3 metros de tela cuesta S/.120.
¿Cuánto se pagará por 5,5 metros de la misma
tela?
Resolución:
Supuesto:
Pregunta:
3 m
5,5m
S/.120
x
más a más
RAZOMANDO:
Si por 3 metros se paga S/.120 por más
metros se pagará más soles (+ a +); la Regla
de tres es directa.
Luego;
220./S
m3
m5,5.120./S
x ==
Rpta.
• Regla de Tres Simple Inversa:
Ejemplo: Si: 21 obreros tardan 10 días para hacer
una obra. ¿Cuántos obreros se necesitarán para
hacer la misma obra en 15 días?
Resolución:
Supuesto:
Pregunta:
3 días
15días
21 obreros
x obreros
más a menos
RAZONANDO:
Si en 10 días hacen la obra 21 obreros; para
hacerlo en más días se necesitarán menos
obreros (+ a -) la Regla de Tres es Inversa.
Luego;
obreros14
días15
días10.obreros21
x ==
Rpta.
PROBLEMOS RESUELTOS
Problema 1: Un automóvil tarda 8 horas en
recorrer un trayecto yendo a 90 Km/h. ¿Cuánto
tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60
Km/h?
Resolución:
l
Yendo a: tarda 8 horas
Yendo a: tarda x horas
La duración del trayecto es inversamente
proporcional a la velocidad, lo que se indica
por l coloca en cima de la columna de las
velocidades.
Por tanto:
horas12
60
8.90
x:dondede;
8
x
60
90
===
∴ Rpta.
Problema 2: Si 12 metros de cable cuestan 42
soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo
cable?
Resolución:
Sí: Cuestan S/.42
Cuestan S/.x
Costo es directamente proporcional al
Número de metros lo que se indica por la
letra encima de la columna metros.
Tanto:
soles56
12
16.42
x:dondede;
x
42
16
12
===
∴ Rpta.
Problemas 3: Una obra puede ser hecha por 20
obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros que añadir
para que la obra se termine en 8 días?
Resolución:
Si x = # de obreros que hay que añadir para la
obra se termine en 8 días.
Tanto:
l
Si: 20 obreros
(20 + x) obreros
Número de obreros es inversamente
proporcional al número de días. (Quiere
decir a obreros menos), lo que indica por la l
encima de la columna días.
Tanto:
8
14.20
x20:dondede;
20
x20
8
14
=+
+
=
20 + x = 35
Rpta.
Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos
que puede alimentar durante 65 días. Los
corderos debe vender si quiere alimentar su
rebaño por 15 días más dando la ración.
Resolución:
Si: x = # de corderos que puede vender
Luego;
l
Si: 640 corderos
(640 - x) corderos
Por los 5,5 metros de la misma tela se
pagará S/220
Para hacer la misma obra en 15 días se
necesitan 14 obreros.
90 Km/h
60 K/h
x = 12 horas
12 m
16 m
x = 56 soles
14 días
8 días
x = 15 obreros
65 días
(65+15) días = 80
días

El número de corderos es inversamente
proporcionalal número de días. (Quiere decir
que menos corderos tendrán alimentos para
más días), lo que se indica por la letra l
encima de la columna días.
Por tanto:
80
65.640
x640:dondede;
640
x640
80
65
=−
−
=
640 – x = 520
Rpta.
Problema 5. Manuel y Sara recorren cierta
distancia y los tiempos que emplean están en la
razón
21
15
. La velocidad de Manuel es de 56
Km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara?
Resolución:
l
Tiempos velocidades
Manuel:
Sara:
El tiempo es inversamente proporcional a la
velocidad. (Quiere decir mayor velocidad menos
tiempo); lo que se indica por la letra l encima de
la columna tiempo.
Por tanto:
40x
21
56.15
x:dondede;
56
x
21
15
===
Rpta.
Problema 6: Dos ruedas cuyos diámetros, son
1,5m y 2,4m están movidas por una correa,
cuando la menor dá 220 resoluciones. ¿Cuántas
revoluciones dá la mayor?
Resolución:
D = 2,4 m
d= 1,5 m
"x" Rev.
220 Rev
1,5 m
2,4 m
220 Rev.
x Rev.
l
Los diámetros son inversamente
proporcionales al número de resoluciones.
(Quiere decir que a menor diámetro la rueda
dará más vueltas o resoluciones). Lo que se
indica por la letra lencima de la columna
metros.
Por tanto:
4,2
220.5,1
x:dondede;
220
x
4,2
15
==
Rpta.
Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir
un cubo compacto de 4 cm de aristas, después de
54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12
cm de arista habrá construido?
Resolución:
La relación que debemos tener presente, es
entre el volumen y el tiempo; puesto que
Nataly construye un cubo; veamos:
4 cm
4 cm
4 cm
Para construir este cubo
de 4 cm de arista demora
6 horas osea:
En 6 horas (4 cm) .....(1)3
Luego;
Sea: “x” el número de horas que demoraría en
construir un cubo de 12 cm de arista.
Ósea:
En x horas (12cm)3
….(2)
De las expresiones (1) y (2); obtenemos:
D
En 6 horas
En x horas
Tiempos Volumen
Los volúmenes son directamente
proporcionales a los tiempos. (Quiere decir
que a más volumen, más tiempo). Lo que se
indica por la letra D encima de la columna
volúmenes.
Por tanto:
3
3
3
cm4
cm12
.6x:dondede;
)cm12(
)cm4(
x
6






==
x = 6. (27)
∴
Entonces: En 54 horas habrá hecho:
3
1
horas162
horas54
=
PRÁCTICA DE CLASE
01.Juan es el triple de rápido que Pedro. Si
juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días.
¿En cuántos días hace el trabajo Juan
trabajando solo?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
02.Se hace disolver 250 gr de azúcar en 5 lts. de
agua. ¿Cuántos litros de agua deben añadirse
a esta mezcla para que en un litro de la nueva
mezcla exista 8 gr de azúcar?
a) 26,24 lts. b) 26,42 lts c) 26,25 lts
d) 26,26 lts e) 25,26 lts
03.Cesitar al comprar una docena de lapiceros
recibe 3 de regalo y al vender una decena, da
2 de regalo. Si en total Cesitar compró 1944
lapiceros. ¿Cuántos docenas de lapiceros
vendió Cesitar?
a) 173 b) 162 c) 202
d) 243 e) 196
04.Un caballo atado a un poste con una cuerda
de 2 m tarda 8 h en comer todo el pasto que
está a su alcance. ¿Cuántas horas requiere este
caballo para consumir todo el pasto que esta a
su alcance, si la cuerda fuese de 3 m?
a) 12 hr b) 14 hr c) 16 hr
d) 18 hr e) 24 hr.
05.Con 5 Kg de arena se pueden formar 8 cubos
de 8 cm de arista. ¿Cuántos cubos de 4 cm de
arista se podrán formar con 10 Kg de arena?
a) 32 b) 64 c) 128
d) 8 e) 26
06.Una compañía industrial posee 3 máquinas de
84% de rendimiento para producir 1600
envases cada 6 días de 8 horas diarias de
trabajo. Si se desea producir 3000 envases en
x= 120 corderos
21
15 56 Km/h
x Km/h
x = 40 Km/h
x = 137,5 Rev
(4cm)3
(12 cm)3
x = 162 horas

4 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántas
máquinas de 90% se requiere?
a) 8 b) 7 c) 4
d) 6 e) 9
07.Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar
una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de
trabajo se les junta cierto número de obreros
de otro grupo, de modo que en 15 días
terminan lo que falta de la obra, ¿Cuántos
obreros eran del segundo grupo?
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
08.Una cuadrilla de 15 obreros pueden hacer una
obra en 25 jornadas de 8 horas diarias,
pasadas 5 jornadas se les pidió que lo
terminarán 5 días antes de lo proyectado, esto
motivó aumentar el número de horas de
trabajo diario y contratar más obreros, ¿Cuál
es el menor número de obreros que se debe
contratar?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
09.Tres brigadas de obreros pueden hacer una
zanja, la primera en 9 días, la segunda en 10
días y la tercera en 12 días. Se emplean a la
vez ¼ de la primera, 1/3 de la segunda y 3/5
de la tercera. ¿En cuánto tiempo se hará la
zanja?
a) 9 días b) 8 días c) 7 días
d) 10 días e) 12 días
10.Un grupo de 24 obreros pueden construir una
zanja de 80m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m
de profundidad en 16 días trabajando 6h/d.
¿En cuántos días 20 obreros trabajando 8h/d
pueden hacer una zanja cuyo ancho sea 0,5 m
más; 0,5 m menos de profundidad y 40 m
más de largo?
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.Un reloj da tantas campanadas como las horas
que marca. Si en dar las 5 hrs tarda 10
segundos. ¿Cuánto tarda en dar las 8hrs?
a) 16 seg b) 15 seg c) 17,5 seg
d) 18 seg e) 14,5 seg
02.Una guarnición tiene víveres para 121 días si
se aumenta 1/3 el número de individuos de la
guarnición. ¿Cuánto debe disminuirse la
ración para que los víveres duren el mismo
tiempo?
a) ¾ b) 1/5 c) ¼
d) 1/3 e) 2/5
03.Se piensa construir una pared con 15 hombres
en 20 días. ¿Cuántos obreros serán
necesarios contratar, si se quiere concluir la
pared 8 días antes?
a) 32 b) 18 c)* 20
d) 25 e) 10
04.Un individuo por hacer 20 artículos cobra S/.
300. ¿Cuánto cobrará por hacer 18 artículos
similares, si cada uno de estos demandan en
su confección los 8/10 del tiempo que le
demandaba hacer los primeros?
a) S/. 216 b) 240 ) 256
d) 260 ) N.A.
05.Dos obreros hacen 350 obras en 7 días.
¿Cuántos obreros del mismo rendimiento que
los obreros anteriores pueden hacer 600 obras
en 4 días?
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 6
06.Se sabe que “x + 6” máquinas pueden hacer
un trabajo en 20 días y que con 3 máquinas
adicionales se puede hacer el mismo trabajo
en 5 días menos. ¿En qué tiempo se podrá
hacer el trabajo con “x” máquinas?
07.Si “a” obreros tienen víveres para “m” días, si
estos víveres deben alcanzar “4m” días.
¿Cuántos hombres deben disminuir?
a) a/9 b) a/7 c) 3a/5
d) 3a/4 e) a/2
08.Un carpintero ha construido una mesa en 16
días. Si hubiera trabajado 4 horas menos
habría empleado 8 días más para hacer la
mesa. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por
día?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
09.80 obreros trabajan 8 h/d construyendo 480
m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días
requieren 120 obreros, trabajando 10 h/d para
hacer 960m2 de la misma obra?
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
10.1600 hombres tienen víveres para 10 días a
razón de 3 raciones diarias cada hombre.
¿Cuántos días durarán los víveres, si cada
hombre toma 2 raciones diarias?
a) 12 b) 13 c) 20
d) 15 e) 8
11.¿Cuántos obreros se necesitan para hacer 200
rollos de alambre en 4 días, trabajando 12
horas por día, si sabemos que en otra
oportunidad 14 obreros pudieron hacer 100
rollos de la misma calidad en 8 días,
trabajando 6 horas por día?
a) 56 b) 28 c) 42
d) 14 e) 26
12.Trabajando 10 h/d durante 15 días, 5 obreros
consumen 50 kg de arroz. ¿Cuántos kg serían
necesarios para mantener trabajando 9 h/d
durante 85 días, 3 obreros más?
a) 158 b) 408 c) 145
d) 135 e) 402
13.Ocho obreros trabajando 10 h/d durante 5
días, pueden arar un terreno cuadrado de 400
m de lado. ¿Cuántos obreros de doble
rendimiento será necesario para que en 6 días
de 8 h/d pueden arar otro terreno de 480 m de
lado?
a) 2 b) 7 c) 6
d) 3 e) 4
14.80 0breros pueden hacer una obra en 20 días
trabajando 2 h/d. ¿Cuántos obreros
doblemente hábiles pueden hacer una obra 4
veces más dificultosa que la anterior en 40
días?
a) 60 b) 50 c) 100
d) 40 e) 80
15.Un grupo de 20 obreros ha hecho 2/5 de una
obra en 24 días. Si se retiran 4 obreros.
¿Cuánto tiempo emplearán los restantes para
hacer lo que le falta de la obra?
16.Veinte obreros han hecho 1/3 de un trabajo en
12 días. En ese momento abandonan el
trabajo 8 obreros. ¿Cuantos días se empleó en
hacer la obra?
a) 28 b) 52 c) 40
d) 64 e) 30
17.Un reservorio de 8 m de radio y 12 m de
altura abastece a 75 personas durante 20 días.
¿Cuál debe ser el radio de un reservorio de 6
m de altura que debe abastecer a 50 personas
durante 2 meses?
a) 16 m b) 15 c) 14
d) 12 e) 10
18.Si una cuadrilla de 20 hombres pueden hacer
un trabajo en 15 días. Otra formada por 10
hombres hace el mismo trabajo en 30 días.
¿Cuántos hombres más se necesitarán para

realizar el trabajo en las 3/5 partes del tiempo
empleado por 30 hombres?
a) 30 b) 20 c) 15
d) 25 e) N.a.
19.Si 36 peones, en 15 días de 8 h/d pueden
sembrar rosas en un terreno cuadrado de
240m de lado. En cuántos días, 24 peones
trabajando 10 h/d podrán sembrar en un
terreno cuadrado de 180 m de lado cuya
dureza a la cava es los 4/3 del anterior.
a) 13.5 días b) 12 días c) 12,5 días
d) 13 días e) N.a.
20.Ocho obreros pueden preparar una cancha de
bulbito de 12 m de ancho y 25 m de largo en
5 días trabajando 10 h/d. Si 4 de los obreros
aumentaran su rendimiento en 25% en qué
tiempo podrán hacer otra cancha de bulbito
de 18 m de ancho y 24 m de largo, trabajando
2 h/D menos cada día?
21.Dos cuadrillas de obreros pueden hacer una
misma obra por separado. La 1ra. De 18
hombres lo pueden hacer en 20 días
trabajando 8 h/d ; la 2da. De 15 hombres lo
pueden hacer en 18 días trabajando 10 h/d. Si
el contratista forma un grupo mixto: 8
hombres de la 1ra. Con 15 de la 2da. Para que
trabajen 10 h/d. ¿En cuántos días terminarán
dicha obra?
22.Se pensó terminar una obra en 45 días
empleando 30 obreros laborando 8 h/d. Luego
de 24 días de trabajo se pidió terminar la obra
12 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos
obreros más se necesitarán si se aumentó en
2 hrs la jornada de trabajo?
a) 26 b) 24 c) 22
d) 20 e) 18
TAREA DOMICILIARIA
01.Ocho carpinteros cuya habilidad es como 5
son capaces de hacer 10 mesas y 18 sillas en
24 días. ¿Cuántos carpinteros cuya habilidad
es como 7 son capaces de hacer 12 mesas y
20 sillas en 16 días, si se sabe que el hacer 1
mesa es lo mismo que hacer 3 sillas?
a) 10 b) 12 c) 9
d) 8 e) N.a.
02.Una cuadrilla de 60 hombres se
comprometieron en hacer una obra en “n”
días. Luego de hacer la mitad de la obra 20
obreros aumentan su eficiencia en 25%
terminando la obra 3 días antes de lo previsto.
Hallar “n”
a) 70 b) 73 c) 75
d) 78 e) N.a.
03.Sabiendo que 20 hombres pueden hacer una
pista de 80 km en 12 días. Después de cierto
tiempo de trabajo se decide aumentar la
longitud en 40 km para lo cual se contratan
10 obreros más acabando la obra a los 15 días
de empezada. ¿A los cuántos días se aumentó
el personal?
a) 3 b) 5 c) 6
d) 9 e) 10
04.Se tienen 16 máquinas cuyo rendimiento es
del 90% y produce 4800 artículos en 6 días
trabajando 10 h/d. S i se desea producir 1200
artículos en 8 días trabajando 9 h/d. ¿Cuántas
máquinas cuyo rendimiento es del 60%, se
requieren?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
05.Quince albañiles de 75% de rendimiento
pueden levantar un edificio en 30 días
trabajando 10 h/d. Después de 6 días de
trabajo se retiran 5 albañiles y los que quedan
trabajan con un rendimiento de 90% y 12
horas diarias. ¿Entregarán la obra a tiempo o
con retraso?
a) 1 día antes b) 2 días antes
c) 1 día después d) 2 días después
e) a tiempo.
06.Una cuadrilla de 18 obreros de un mismo
rendimiento se compromete a hacer una obra
en 30 días, pero cuando hacen las 2/5 partes
de la obra, 10 de ellos abandonan. ¿Qué
rendimiento con respecto a los primeros
deben tener los 8 nuevos que se contraten
para terminar la obra en el plazo pedido?
a) 20’% más b) 40% más c) 48% más
d) 25% más e) 30% más
07.Un grupo de 20 obreros se comprometen
hacer una zanja de 12 m de largo. 9 m de
ancho y 4 m de profundidad en 18 días, si al
término del octavo día se le pide que la
profundidad de la zanja sea de 6 m. ¿Con
cuántos obreros tendrán que reforzarse para
hacer lo que falta de la obra ampliada en el
tiempo fijado?
a) 14 b) 16 c) 18
d) 20 e) N.a.
08.Para realizar una obra en 60 días se contrató
una cuadrilla de 48 obreros. Luego de 15 días
de labor se les pidió terminar la obra 9 días
antes del plazo ya establecido para lo cual se
contrató “n” obreros que son 20% más
eficientes que los primeros y que van a
reemplazar a 12 obreros.
a) 18 b) 15 c) 20
d) 21 e) 12
09.Un grupo de obreros se comprometen hacer
una obra en 12 días. Después de hacer ¼ de la
obra se les pide que terminen la obra en 3
días antes del plazo estipulado. ¿Con cuántos
obreros se deben reforzar para terminar la
obra en el nuevo plazo?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.a.
10.Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden
hacer 90 mesas ó 150 sillas. Hallar x sabiendo
que 20 de estos carpinteros en 15 días han
hacho 120 mesas y x sillas.
a) 48 b) 45 c) 50
d) 56 e) 54
11.Un grupo de obreros hacen una obra en 15
días trabajando 10 h/d al 4to día deciden
terminar la obra en 3 días antes de lo
establecido por lo que aumenta en 1 hr el
trabajo diario y el número de obreros en 5.
¿Cuántos obreros trabajaron inicialmente?
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 35
12.Un pozo de 6 m de diámetro y 9 m de
profundidad fue hecha por 18 hombres en 20
días. Si se quiere aumentar en 1 m de radio
del pozo y el trabajo será hecho por 14
hombres. ¿Qué tiempo demandaría?
13.Un constructor contrata 2 cuadrillas de
obreros para hacer 12 casas. La 1ra cuadrilla
consta de 10 hombres que trabajan 9 h/d y la
segunda cuadrilla de 7 obreros que trabajan 6
h/d. Las 2 cuadrillas juntas terminan las casas
en 17 días. ¿Cuántos días necesitan 11
obreros trabajando 8,5 h/d para levantar 7
casas?
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16

53 54
15% del (12% de C) + 4% del (12% de C)
se suman
= 19% del (12% de C)
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5 to Año Secundaria ARITMÉTICA 5 to Año Secundaria
• La expresión “Por ciento” viene de la frase
latina “Percentum”, y de ella deriva la palabra
porcentaje.
• Se denomina porcentaje o tanto por ciento, al
número de unidades que se toma de cada 100.
• si decimos “el 70 por ciento de las respuestas
de una prueba son concretas”. Queremos
significar que de 100 preguntas, 70 son
correctas. Se podrá usar 70/100 en vez de la
frase “70 por ciento”.
• La frase “por ciento” se usa cuando una razón
está expresada con un denominador 100.
100
1
x70
100
70
cientopor70 ==
• En vez de la expresión “por ciento” se usa el
símbolo %. Este símbolo es una abreviatura de
1/100.
%70
100
1
x70
100
70
==
%25
100
1
x25
100
25
==
Ejemplos
1<> 1x 100 % <> 100%
2<> 2x 100 % <> 200%
4<> 4x 100 % <> 400%
%50%100x
2
1
2
1
><><
%75%100x
4
3
4
4
><><
%40%100x
5
2
5
2
><><
Ejemplo 1.
a) 20% A + 40% A = 60% A
b) 50% A – 28 % A = 22% A
c) 26% B – 14 % B + 5% B = 17 % B
Ejemplo 2:
a)
b) Una cantidad
más su 30% = 130% de la cantidad
c) Mi edad más
el 23% de ella
Problemas fundamentales sobre porcentaje
Los problemas fundamentales de tanto por ciento
pueden reducirse a la siguiente expresión:
Se:
P% = Nos indica el número de centésimos a
tomar.
N = Representa la cantidad de la cual hay que
tomarlas.
R = Es el resultado de la operación.
A continuación mencionamos algunos puntos
que se nos presenta al resolver problemas de
tanto por ciento.
Primer caso:
cuando en: P% de N = R
Se conocen: P% y N
Se desconoce: R
Ejemplo 1: Hallar el 40% de 900
Resolución:
40% de 900 = R
40 x 900 = R
100
Aplicando obtenemos:
40 x 9 = R ∴
Ejemplo 2: Hallar el 0,002% de 36 000
Resolución:
0,002% x 36 00 = R
0,002 x 36 000 = R
100
Aplicando obtenemos:
0,002% x 360 = R
2 x 360 = R
1000
R
100
36x2
∴
Ejemplo 3: Hallar el 10% del 25% de 400000
Resolución:
10% del 25% de 400 000 = R
PORCENTAJ
Nota: Todo número puede ser
expresado como un porcentaje,
multiplicado dicho número x 100%
Nota: Se puede sumar o restar porcentajes
de una misma cantidad.
P% x N= R
R = 360
R = 0, 72

10 x 25 400 000 = R
100 100
Simplificando obtenemos:
10 x 25 x 40 = 40 = R ∴
EJERCICIO DE APLICACIÓN
01.Hallar el 0,05% de 4200
a) 0,12 b) 0,021 c) 21 x 10-1
d) 2, 01 e) N.a.
02.Hallar el 27% de 6 000.
a) 1 640 b) 1 620 c) 162
d) 16,2 e) N.a
03.Hallar el
5
3
% de 3 x 10
a) 1,8 b) 1 800 c) 180
d) 0,18 e) N.a
04.Hallar el %
3
2
de (la mitad de 100, aumentado
en 50)
a) 1,5 b) 15 c) 150
d) 75 e) 25
05.Hallar el 0,03% del 0,2% de 24 x 106
a) 144 b) 14,4 c) 1440
d) 104 e) N.a.
06.El 20% del 30% del 0,001 de 60 x 104
es:
a) 0,36 b) 3 600 c) 3,6
d) 36 e) N.a.
07.Si: Nataly recibe de propina el 28% de 60 de
soles; y vanessa recibe de propina el 32% de
50 soles. ¿Quién recibe más dinero?
a) Nataly b) Vanessa c) Iguales
d) No se sabe e) Ninguna anterior
08.Entre tú y yo tenemos 600 manzanas, si tú me
dieras el 15% de las tuyas yo tendría 430
manzanas. ¿Cuántas manzanas tengo?
a) 200 b) 400 c) 450
d) 350 e) N.a
09.Sí:
A = 20% del 5% de 36 x 103
B = 0,03% del 0,2% de 107
Hallar; el 50% del 32% del A% de B.
a) 34,56 b) 345,6
c) 3456 x 10-3
d) 4356 x 10-2
e) Ninguna.
10.Si:
A =
8
5
del 0,04% de 120 000
B = 0, 06% de los
5
4
% de 2 x 107
Hallar el 0,025% del 40% de (A + B)
a) 126 x10-3
b) 12,3
c) 1260 x 10-5
d) 126
e) Ninguna
Segundo caso:
Se conocen: P% y R
Se desconoce: N
Ejemplo 1: ¿25% de que número es 60?
Resolución:
Sea “N” el número buscado, entonces:
25% de N = 60
25 x N = 60
100
Despejando “N” obtenemos:
4x60
25
100x60
N ==
∴
Ejemplo 2: ¿0,06% de qué número es 24?
Resolución:
Sea “N” el número buscado, entonces:
0,06% de N = 24
0,06 x N = 24 ⇒ 0,06% de N = 2400
100
6 x N = 2400
100
100x400N
6
100x2400=
∴
Ejemplo 3: si tuviera 20% de la edad que tengo
tendría 48 años. ¿Qué edad tengo en la
actualidad?
Resolución:
Sea: mi edad actual = e<> 100% e
Recordemos que la totalidad de una cantidad
es siempre el 100% de ella misma. Del
enunciado, obtenemos:
e + 20% e = 48 años
100% e + 20% e = 48 años
120% e = 48 años
⇓
120 e = 48 años
100
años
12
10x48
e =
(Edad actual)
Ejemplo 4: Si vendiera mi libro de razonamiento
en un 30% menos, costaba175 soles. ¿Cuál es el
precio real del libro?
Sea:
El precio real del libro = P <> 100% P del
enunciado, obtenemos:
P – 30% P = 17,5 soles
100% P - 20% P = 17,5 soles
70% P = 17,5 soles
⇓
70 P = 17,5 soles
100
P = 175 soles
7
∴
EJERCICIOS DE APLICCIÓN
01.¿36% de qué numero es 144?
a) 40 b) 400 c) 360
d) 1 440 e) N.a
02.¿0,45% de qué número es 9?
a) 200 b) 2 000 c) 20
d) 2 x 104
e) N.a
03.¿El 30% de 2/3 % de qué número es 16?
R = 10 000
Nota: Las palabras “de”, “del”,o “de
los” matemáticamente significan
multiplicación y la palabra “es”
significativa igualdad.
N = 240
N = 40 000
e = 40 años
P = 25 soles

a) 0,08 b) 0,0018 c) 8 x 103
d) 800 e) N.a
04.
12
9
del%
9
4
% de qué número es 5 x 10-5
a) 15 b) 1500 c) 1,5
d) 15 x 103
e¨) 0,15
05.¿El 20% de número es el 40% del 5% de 600?
a) 600 b) 6 c) 60
d) 6 x 103
e) N.a
06.El 15% del 40% de los 5/8 de un número es
equivalente al 25% del 0,02% de 2250. El
número. El número es:
a) 3 b) 30 c) 300
d) 3000 e) N.a
07.¿Cuál es el mayor?
a) Un número cuyo 60% es 240
b) Un número cuyo 80% es 64
c) Un número cuyo 5% del 40% es 80
d) Un número cuyo 0,03% es 15
e) Un número cuyo 0,05% del 6% es 0,003
a) a b) b c) d
d) d e) e
08.Si Olga tuviera el 35% menos de la edad que
tiene, tendría 13 años. ¿Cuántos años tendrá
dentro de 8 años?
a) 20 b) 25 c) 28
d) 26 e) N.a
09.Una señora va al mercado, donde al comprar
un cierto número d naranjas le regalan un 5%
de las que compró, obteniendo así 420
naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?
a) 200 b) 300 c) 400
d) 360 e) N.a
10.Manuel reparte su forma de la siguiente
manera; a Nataly le da fortuna, a vanessa el
20% y a cesar los 112 soles restantes. ¿A
quien le tocó más dinero?
a) Nataly b) Vanessa c) César
d) Manuel e) N.a
Tercer caso:
Se conocen: N y R
Se desconoce: P%
Ejercicio 1: ¿Qué porcentaje de 120 es 48?
Resolución:
Sea: “P%” el porcentaje buscado
P% de 120 = 48
P x 120 = 48 ⇒ P = 48 x 10 = 4 x 10
100 12
∴
Ejercicio 2: ¿Qué porcentaje de 320 es 64?
Resolución:
Sea: P% el porcentaje buscado
P% de 320 = 64
P x 320 = 64 ⇒ P = 64 x 10 = 2 x 10
100 32
∴
Ejercicio 3: ¿Qué porcentaje de 0,025 es 0,005?
Resolución:
P% de 0,025 = 0,005
P x 0,025 = 0,005
100
⇓ ⇓
P x 25 = 5
100 1000 1000
P = 5 x 100 = 100 = 20 ⇒
25 5
∴
Ejemplo 4: ¿Qué % de 40 es 8?
Resolución:
P% de 40 = 8
P x 40 = 8 ⇒ P = 8 x 10 = 2x10=20
100 4
∴
Ejercicios: Calcular que % es 40 de 160
Resolución:
p% de 160 es 40
P x 160 = 40
100
P = 40 x 10 = 10 x 10 = 25
16 4
∴
Ejercicio 6: Si al vender uno de mis libros en
Soles gano 8 soles ¿Cuál es el tanto por ciento de
las ganancias?
Resolución:
Sabemos que:
Ganancia = Precio Venta - Precio Costo
8 = 28 - Pc
Donde:
Pc = 20 (Precio de costo del libro)
Ahora, diremos lo siguiente: El precio de
costo representa el 100%
Luego;
Si: 20 100%
8 x
∴
Ejemplo 7: Una casa comercial vende un
televisor en 120 dólares perdiendo en la venta 5
dólares. ¿Qué tanto por ciento perdió?
P = 40
Este resultado significa que es el 40%, el
signo de % se sobre entiende.
P = 20%
P = 20%
Nota: Este tipo de problema también sabe
pedirse como incógnita, en lugar de la
palabra: que porcentaje so nos pide que %
veamos algunos ejemplos:
P = 20%
P = 25%
Ganancia = 40%
Nota: No olvidemos que toda ganancia o
pérdida se calcula con respecto al precio
de costo (a no ser que se nos indique otra
cosa).

Resolución:
Sabemos que:
Pérdida = Precio Costo - Precio Venta
5 = Pc - 120
Donde:
∴
Luego;
Si: 125 dólares 100%
5 dólares x
Por regla de tres:
25
%100
dólares125
%100xdólares5
x ==
⇒ ∴
Ejercicio 8: ¿Qué % del 15% del 8% de 600 es el
20% de 0,5% de 1 440?
Resolución
P% del 15% del 8% de 600 = 20% de 0,5% de 1 440
P 15 8 20 0,5
100 100 100 100 100
x 600 =x x xx 1440
48 x 15 x P = 20 x 5 x 1 440
10
P = 20 x 5 x 144 20 x 1 3
48 x 15 1 x 3
=
∴
Ejercicio 9: ¿60 qué % es del 50% del 20% de
4000?
Resolución:
P% del 50% del 20% de 4000 es 60
P 50 20 x 4000 = 60
100 100 100
P x 400 = 60 ⇒ P = 60 = 15
100 4
∴
Ejercicio 10: En la figura mostrada: qué
porcentaje del área sombreada es el área no
sombreada. (BC // AD)
bB C
A D
4b
Resolución:
b
B C
A D
4b
m n
S4 S5
S3S2S1
q q r
Como se observará “h” es altura para todos los
triángulos mostrados.
Calculo del Área Sombreada:
A. Somb. = S1 + S2 + S3
A. Somb =
2
hxr
2
hxq
2
hxp
++
A. Somb. =
2
h
(p + q +r).
∴
Calculo del Área No Sombreada:
A. no Sombreada = S4 + S5
A. no Sombreada =
2
hxn
2
hm
+
A. no sombreada =
2
h
x (m + n)
∴
Luego diremos:
Si: Área Somb. 100%
Área no Somb. x
Por regla de tres:
.SombArea
%100x.SomnoÁrea
x =
∴ Rpta.
Otra Forma: Para hallar el tanto por ciento
en forma directa se procede de la siguiente
manera:
Incógnita: Qué porcentaje del área
sombreada es el área no sombreada.
PRACTICA DE CLASE
01.Operativo Básico
a) Si en un aula de 80 alumnos, 55 son
mujeres. Hallar el porcentaje de hombres.
b) Si en un salón de clases, el 25% son
mujeres y hay 48 hombres. Hallar el
número de mujeres y el total de la clase.
c) ¿Qué porcentaje de 600 es 450?
d) ¿120 es el 20% menos de qué número?
02.Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la
nueva cantidad se le disminuye también su
20%, se puede afirmar con respecto a la
cantidad inicial que:
a) Aumenta 10% b) Disminuye 10%
c) No varía d) Disminuye 4%
e) Disminuye 8%
03.Si el 120% de A es igual al 80% de B, el 25%
menos de B es igual al 60% más de C. ¿Qué
porcentaje de A es el 64% de C?
a) 45% b) 60% c) 20%
d) 40% e) 50%
04.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un
número es el 30 % del 20% de los 2/5 del
mismo número?
a) 2% b) 4% c) 6%
d) 8% e) 10%
05.Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%
¿En qué porcentaje aumenta su área?
a) 20% b) 30% c) 36%
d) 44% e) 48%
06.En una oferta un comerciante disminuye el
precio de un artículo en 25%, motivo por cual
la demanda aumenta en 60%. ¿En qué
porcentaje varía la recaudación?
a) Aumenta en 10%
b) Disminuye en 20%
c) Aumenta en 20%
d) Disminuye en 10%
e) N.a
07.Dos artículos “A” y “B” se vendían cada uno
de ellos en 1200 soles; ganando en el primero
Pc = 125 dólares
x = 4 Pérdida = 4%
P = 20%
P = 15%
A.Somb =
2
h
(4b) = 2bh
Área no Somb. =
2
h
x (b) =
2
bh
x =
%25
bh2
%100x
2
bh
=
x = 25%

el 20% de su costo y perdiendo en el segundo
el 20% de su costo. ¿En dicho negocio se
ganó o se perdió y cuánto?
a) Se perdió 100 soles.
b) Se ganó 400 soles
c) Se ganó 200 soles.
d) Se perdió 400 soles.
e) No se gana ni se pierde.
08.¿A cómo vendo lo que me costó “a” soles
para ganar el “b%” del precio de venta?
a) b/a b) a
b
100
100 −
c) 2b –a
d) b
a
−100
100
e) a
b
+100
100
09.En un supermercado para determinar el precio
de lista de los artículos, se multiplica los
costo por un cierto factor K, de tal manera,
que pueden descontar 20% más 20% y aún
ganar el 80% del costo. Hallar el factor “k”.
a) 54/32 b) 45/16 c) 9/4
d) 9/32 e) 16/45
10.¿En cuánto por ciento es M mayor que N?.
a)
%
100 




 − NM
b)
%
)(100





 −
N
NM
c)
%
)(
)(100






−
+
NM
NM
d)






+
%
MN
M
e)
%
100






N
EJERCIOS PROPUESTOS Nº 02
01.Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por
45 de 1500.
a) 90 b) 60 c) 80
d) 120 e) 150
02.En una reunión social, el 75% de los hombres
es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué
porcentaje del total de personas son mujeres?
a) 37,5% b) 62,5% c) 56,5%
d) 43,5% e) 43,5%
03.Si la base de un triángulo se triplica y su
altura se duplica. ¿En que porcentaje aumenta
su área?
a) 200% b) 300% c) 400%
d) 500% e) 600%
04.Si el largo y el ancho de un rectángulo
aumentan en 20% y 25% respectivamente, su
área aumenta 2400m2. Hallar su área inicial
a) 3600m2 b) 4800 c) 3200
d) 4500 e) 7200
05.En unas elecciones el 48 % de lo que votaron
por A es, igual al 72 % de los que votaron
por B ¿Qué porcentaje del total votaron por
B?
a) 68% b) 56% c) 50%
d) 40% e) 60%
06.En un corral se observó, que del total: el 40%
son patos, el 35% conejos y el resto pavos. Si
el número de patos se triplica y se duplican la
de los otros dos. ¿Qué porcentaje del nuevo
total son pavos?
a) 20,83% b) 40,6% c) 29,16%
d) 50% e) N.a
07.En una caja de herramientas el 36% son
pernos, el 44% son clavos y el resto son
bisagras. Si se duplica el número de bisagras.
¿Qué porcentaje del nuevo total son pernos?
a) 18% b) 24% c) 27%
d) 30% e) 32%
08.Calcular el 20% del 30% del 80% del 50 por
80 de 6000.
a) 150 b) 180 c) 200
d) 240 e) N.a
09.En la academia el 40% son mujeres, el 30%
de mujeres y el 70% de hombres van de
paseo, luego el porcentaje de alumnos que no
va al paseo es
a) 46% b) 54% c) 42%
d) 58% e) 48%
10.Calcular el descuento único que reemplace a
los tres descuentos sucesivos de 15%, 20% y
25%
a) 51% b) 50% c) 49%
d) 48% e) 47%
11.¿El 25% de 280 es el 40% más de qué
número?
a) 35 b) 70 c) 50
d) 60 e) 80
12.En una reunión los hombres exceden en 50%
a las mujeres, si las mujeres aumentan 5%.
¿En que porcentaje deben aumentar los
hombres para que el total de personas
aumente 20%?
a) 20% b) 30% c) 50%
d) 40% e) 45%
13.El ingreso total de una pareja de esposos
asciende a s/3375 al mes. El gasta el 70% de
su sueldo y ella el 62,5% del suyos,
ahorrando ambos la misma cantidad ¿Cuál
es la diferencia de sueldos?
a) S/.375 b) S/.365 c) S/.355
d) S/.345 e) S/.335
14.Por equivocación, a un empleado se le
descontó el 20% de su sueldo ¿Qué tanto
por ciento se le debe aumentar para
devolverlo a su sueldo original, más una
bonificación del 8 %?
a) 24% b) 35% c) 32%
d) 17% e) 36%
15.Si el perímetro de una región circular
aumenta en 20% .¿En qué porcentaje
aumenta su área?.
a) 30% b) 32% c) 48%
d) 44% e) 20%
16.La suma de tres números A, B y C es 1870. A
es el 30% de B y el B y C disminuyen en un
80% y 50% respectivamente se hacen iguales.
Calcular el mayor de los números.
a) 120 b) 1100 c) 2100
d) 2200 e) 2000
17.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un
número es el 30% del 20% de los 2/5 del
mismo número?
a) 2% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 15%
18.Una botella de vino cuesta S/. 8,40 pero la
botella sola cuesta S/. 6,00 menos que el vino.
¿En qué porcentaje es mayor el costo del vino
con respecto al costo de la botella?
a) 500% b) 400% c) 600%
d) 320% e) 300%
19.Si el 40% de los que votan a favor de una
moción es el 60% de los que votan en contra.
¿Qué parte de los votantes aprueban la
moción?
a) 4/5 b) 3/5 c) 2/3
d) ½ e) 1/10
20.Al precio de costo de un objeto se le recarga
el 25%. ¿Cuál es el mayor porcentaje de

rebaja que se puede hacer sobre el precio de
venta, para no perder?
a) 16% b) 20% c) 80%
d) 12% e) 25%
21.Para fijar el precio de venta de un TV se
incrementó su costo en 60%, pero al
momento de venderlo se hizo un descuento
del 20%, observándose que si se hubiera
hecho sobre el incremento estaría ganando
$100 de más. ¿En cuánto se vendió el TV?
A) $ 640 b) $ 720 c) $ 460
d) $ 320 e) $ 620
22.Un articulo se ha vendido en S/ 1200 ganando
el 20% del costo más 15% del precio de
venta. Hallar el precio de costo de dicho
artículo.
a) S/.780 b) S/.850 c) S/.860
d) S/.830 e) S/.910
TAREA DOMICILIARIA
01. Una máquina industrial que costó $ 75000 se
deprecia cada año 10% de su valor; pero, por
el mantenimiento que se le da se revalúa
anualmente 20%. Al cabo de 1 año, la
máquina costará:
a) $ 81000 b) $ 86000 C) $ 84650
d) $ 82640 e) $ 87480
02.Una máquina agrícola que costó $25000 se
deprecia cada año 8%, pero por el
mantenimiento que se le da se revalúa
anualmente 15%.Al cabo d 1 año, la máquina
costará:
a) $.22950 b) $.26450 c) $.23550
d) $.27000 e) $.25850
03.Si el lado de un cuadrado aumenta en 10%, el
área varía en 63 m2. Hallar el área original
del cuadrado
a) 300M2 b) 270 c) 240
d) 210 e) 180
04.Si el largo de un rectángulo aumenta en 25%
¿En qué porcentaje debe disminuir su ancho
para que el área no varíe?
a) 16% b) 18% c) 20%
d) 24% e) 22%
05.Si 20 lt de agua contiene 30% de sal.
¿Cuántos litros de agua se deben evaporar
para que la nueva solución contenga 75% de
sal?
a) 8 lt b) 12 c) 6
d) 10 e) 9
06.A una fiesta asisten hombres y mujeres, el
25% son hombres y el resto mujeres. Sise
retiran el 40% de los hombres y el 50% de las
mujeres. ¿Qué porcentaje de mujeres que
quedan son la de hombres que quedan?
a) 40% b) 80% c) 50%
d) 30% e) 53%
07.Un boxeador decide retirarse cuando tenga un
90% de triunfos en su carrera. Si a
peleado100 veces, obteniendo 85 triunfos.
¿Cuál es el número mínimo de peleas
adicionales necesarias para que el boxeador
se pueda retirar?
a) 30 b) 40 c) 50
d) 60 e) 70
08.La suma de tres números A,B y C ES 1870.
A es el 30% de B y C disminuyen en un 80%
y 50% respectivamente se hacen iguales.
Calcular el mayor de los números.
a) 1200 b) 1100 c) 2100
d) 2200 e) 2000
09.En una universidad particular ; el
departamento de Servicio Social, decide
rebajar las pensiones de enseñanza a los
estudiantes de menores recursos económicos
en un 20% y aumentar un 30% al resto. Si el
monto total de las pensiones queda
disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué
porcentaje de la pensión total representa la
pensión pagada por los estudiantes de
menores recursos económicos?
a) 50% b) 82% c) 79%
d) 80% e) 85%
10.Al inicio de 1985 una población tiene 10000
habitantes, el consumo de agua por persona y
por hora es de 10 litros. La población crece a
un ritmo de 20% anual. Determinar el lado de
la base cuadrada de un reservorio de 3/84m
de altura capaz de satisfacer la demanda
diaria de la población al inicio de 1989.
a) 7 b) 8 c) 25
d) 35 e) 36
En las transacciones comerciales o bancarias,
cuando una persona presta una suma de dinero,
recibe por éste préstamo, un beneficio, una
cantidad que se conoce con el nombre de interés
y se designa por: “I”.
La cantidad de dinero en préstamo se llama
capital y se designa por “C”.
El periodo por el cual se presta el capital se
denomina tiempo y se designa por: “T”.
El interés o ganancia que produce 100 soles en un
cierto tiempo se llama tanto por ciento, o
rédito y se designa por: “r”.
La centésima parte del tanto por ciento, ósea
r/100, es el interés que produce 1 sol en dicho
intervalo de tiempo se llama tanto por uno y se
designa por “i”.
La suma del capital más el interés se llama
Monto y se designa por “M”.
CLASES DE INTERES:
1. Interés Simple.- Cuando los intereses se
retiran perteneciendo el capital constante en
cada unidad de tiempo.
2. Interés compuesto.- Cuando los intereses
no se retiran, los intereses se van acumulando
al capital primitivo formando nuevos
capitales, se dice entonces que los intereses se
capitalizan.
TASADE INTERES ANUAL
La tasa de interés anual viene expresado para
diferentes períodos de tiempo y esto debe ser
expresada en forma anual.
Ejemplo:
REGLA DE

15% semestral <> 15.2 = 30% anual
6% mensual <> 6.12 = 72% anual
10% trimestral <> 10.4 = 40% anual
48% bianual <>
2
48
= 24% anual
FORMULAS AL r% ANUAL DE INTERÉS
SIMPLE:
“t” en años
“t” en meses
“t” en días
Para las equivalencias usar:
• Mes comercial <> 30 días
• Año comercial <> 360 días
FORMULA DE INTERÉS COMPUESTO
Donde si: tasa = r%, Entonces:
i = r/100
Ejemplo:
• Si r% = 35%, entonces: i = 0,35
• Si r% = 20%, entonces: i = 0,20
• Si r% = 42%, entonces: i = 0,42
Nota: Para despejar el tiempo aplicar
logaritmos.
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Si los 5/8 de un capital se imponen al 30% y
el resto al 20%, se produciría anualmente
S/.1900 más que si las mismas partes se
hubieran impuesto con las tasas en orden
invertido. ¿Cuál es el 12% del 5 por mil de
dicho capital?
a) S/.42,2 b) S/.36,7 c) S/.73,2
d) S/.45,6 e) S/.26,7
Solución:
Sea C el capital
1ra imposición anual:
C1 =
8
5
C C2 =
8
3
C
y1 = 30% y2 = 20%
⇒ I1 + I2 =
80
21
C
2da Imposición Anual:
C1 =
8
5
C C2 =
8
3
C
y1 = 20% y2 = 30%
⇒ I1 + I2 =
80
19
C
Por dato:
80
21
C -
80
19
C = 1900
⇒ C = S/.76000
Luego, hallamos el 12% del 5 por mil de capital.
⇒ 6,4576000.
1000
5
.
100
12
=
∴
02.Un capital impuesto al 0,20% diario, produce
en 10 meses S/.870 más, que el mismo capital
impuesto al 0,20% mensual durante el mismo
tiempo. Hallar el capital.
a) S/.1300 b) S/.1400 c) S/.1500
d) S/.1600 e) S/.1700
Solución:
1ra imposición:
C
y = 0,20% diario <> 0,2 x 360 =72
t = 10 meses
⇒ I2 = 0,6 C
2da Imposición:
C
y = 0,20% mensual <> 0,2 x 12 = 2,4
t = 10 mes
⇒ I2 = 0,02 C
Luego, por tanto:
0,6 C – 0,02 C = 870
⇒ C = 1500
∴
03.Se impone un capital a cierta tasa y en 8
meses produce un interés que es el 40% del
monto. ¿Durante cuánto tiempo debe
prestarse dicho dinero para que a la misma
tasa de interés genere una renta igual al 80%
del monto?
a) 4 años b) 2 años c) 3 años
d) 3.5 años e) 3 años y 8 meses
Solución:
• En 8 meses
I8m = 40% 
8IC
m8M
+
⇒ 60% 
m1I8
m8I
= 40% C
⇒ I1m =
12
1
C
• En t meses
Itm = 80% 
tmIC
tmM
+
⇒ 20% 
m1It
tmI
= 80% C
⇒ t .
12
1
C = 4C
⇒ t = 48 m <> 4 años
∴
04.Se prestó un capital por 3 años y el monto fue
S/.51000. Si se hubiera prestado por 5 años,
se recibiría en total S/.75000. ¿Cuál fue la
tasa semestral?
a) 20% b) 80% c) 40%
d) 50% e) 16%
Solución:
Del enunciado
M3 años = C + 
año1I3
años3I
= 51000… 1
M5 años = C + 
año1I5
años5I
= 75000… 2
De 1 y 2
C = 15000
I =
100
r.t.C
I =
1200
r.t.C
I =
36000
r.t.C
M = C+ I
M = c. (1+i) t
Resulta 45,6
El capital es de S/.1500
En 4 años, su interés será el
80% del monto

I1 año = 12000
Sea, tasa semestral X% <> 2X% anual
Peso: I1 año = 12000
12000
100
x2.1.15000
=
⇒ X = 40
∴
05.Una persona dispone de “N” soles que lo ha
dividido en 3 partes, tal que imponiéndolas al
18%, 36% y 45% respectivamente le genera
el mismo interés bimestral. Calcular N, si la
mayor diferencia entre dos de los capitales es
S/.1200.
a) S/.4200 b) S/.4100 c) S/.4000
d) S/.3900 e) S/.3800
Solución:
Sean las partes C1, C2 y C3 en las que se ha
dividido N.
Como generan el mismo interés, se tiene:
C1 . 18 = C2 . 36 = C3 . 45 = K
⇒ 2 C1 = 4 . C2 = 5 . C3 = K
Es decir: C1 =
5
K
C;
4
K
C;
2
K
32 ==
La mayor diferencia = 1200
1200
5
K
2
K
=−
⇒ K = 4000
Hallando los capitales:
C1 = 2000 ; C2 = 1000 ; C3 = 800ç
∴
06.Los 2/5 de un capital se han prestado al 1,5%
bimestral durante 5 meses; los 3/8 del capital
se han prestado al 0,25% trimestral durante
medio año y el resto del capital se ha prestado
a una tasa de interés, tal que en un año y
medio ha generado un interés que es igual a la
suma de los otros 2 intereses, obtenidos.
Determinar dicha tasa de interés.
a) 5% b) 6% c) 7%
d) 10% e) 8%
Solución:
Sea C, el capital total.
C = 3 C2
8
r = 0,25% trimestral <> 1% anual2
t = 6 meses2
II
C = 9 C3
40
r = r3
t = 18 meses3
III
C = 2 C1
5
r = 1,5% bimestral <> 9% anual1
t = 5 meses1
I
Pero: I3 = I1 + I2
1200
6.1.C
8
3
1200
5.9.C
5
2
1200
r18.C
40
9
+=
⇒ r = 5
∴
07.Un capital de $ 40000 estuvo impuesto
durante un cierto número de años, meses y
días. Por los años se cobró el 5% anual, por
los meses el 4% y por los días el 3%. Calcular
la utilidad producida por dicho capital
sabiendo que, si se hubiera tenido impuesto
durante todo el tiempo al 5%, habría
producido $ 3840 más que si se hubiera
colocado todo el tiempo al 3%.
a) $ 9260 b) $ 9620 c) $ 9600
d) $ 10000 e) $ 9500
Solución:
Si se hubiera impuesto durante todo el
tiempo:
Al (5%) – Al (3%) = 3840
Hallamos el tiempo en años:
40000 . t . (5% - 3%) = 3840
t = 4,8 años <>










días18
meses9
años4
Ahora, calculamos los intereses por año,
meses y días:
• Por años (5%)
I1 = 800./S
100
54..4000
=
• Por meses (4%)
I2 = 1200./S
1200
49..4000
=
• Por días (3%)
I3 = 60./S
36000
318..4000
=
Luego, la utilidad total será:
8000 + 1200 + 60 = S/.9260
∴
Tasa: 40% semestral
El valor de N = S/.3800
Se impone al 5 %
anual
Se ganará S/.9260

PRACTICA DE CLASE
01.Si los 5/8 de un capital se imponen al 30% y
el resto al 20%, se produciría anualmente S/
1900 más que si las mismas partes se
hubieran impuesto con las tasas en orden
invertido. ¿Cuál es el 12% del 5 por mil de
dicho capital?
a) S/ 43,2 b) S/ 36,7 C) S/ 73,2
d) S/ 45,6 e) S/ 26,7
02.Un capital impuesto al 0,20% diario, produce
en 10 meses S/ 870 más, que el mismo capital
impuesto al 0,20% mensual durante el mismo
tiempo. Hallar el capital.
a) S/ 1300 b) S/ 1400 c) S/ 1500
d) S/ 1600 e) S/ 1700
03.Se impone un capital a cierta tasa y en 8
meses produce un interés que es el 40% del
monto. ¿Durante cuánto tiempo debe
prestarse dicho dinero para que a la misma
tasa de interés genere una renta igual al 80%
del monto?
a) 4 años b) 2 años c) 3 años
d) 3,5 años e) 3 años y 8 meses
04.Se prestó un capital por 3 años y el monto fue
S/ 51000. Si se hubiera prestado por 5 años,
se recibiría en total S/ 75000. ¿Cuál fue la
tasa semestral?
a) 20% b) 80% c) 40%
d) 50% e) 16%
05.Una persona dispone de “N“ soles que lo ha
dividido en 3 partes, tal que imponiéndolas al
18%, 36% y 45% respectivamente le genera
el mismo interés bimestral. Calcular N, si la
mayor diferencia entre dos de los capitales es
S/ 1200.
a) S/ 4200 b) S/ 4100 c) S/ 4000
d) S/ 3900 e) S/ 3800
01.Dos capitales impuestos a interés simple: uno
al 24% y el otro al 20%, están en la relación
de 5 a 7. El segundo capital produce un
interés anual de S/ 2420 más que el otro.
Calcular el menor capital.
a) S/ 12670 b) S/ 90500 c) S/ 12270
d) S/ 45800 e)*S/ 60500
02.Un capital es impuesto al 20% anual y al final
del primer año retira los intereses y una parte
del capital igual a los intereses; al final del
segundo año se retiran los intereses y una
parte del capital igual a los intereses y así
sucesivamente. Si al final del tercer año se
nota que el capital ha disminuido en S/
12200. ¿Cuál es el capital inicial?
a) S/ 20000 b) S/ 22000 c) S/ 23000
d) S/ 25000 e) S/ 28000
03.Una persona ha impuesto S/ 10000 a interés
simple, si hubiera estado 30 días más, el
interés habría aumentado en S/ 50 y si el tanto
por ciento hubiera disminuido en 0,8%, los
intereses habrían disminuido en S/ 150.
Hallar el tiempo que duró la imposición.
a) 600d b) 615d c) 645d
d) 675d e) 685d
04.Un señor divide su capital en 3 partes iguales
y los impone al 1% mensual, 5% trimestral y
4% semestral respectivamente, logrando una
renta anual de S/ 10000. ¿Cuál era su capital?
a) S/ 29000 b) S/ 75000 c) S/ 62000
d) S/ 32000 e) S/ 45000
05.Los 2/3 de un capital se imponen al 6% anual,
los 3/4 del resto al 1,5% bimestral y el resto
al 1% mensual. Si al cabo de 2 años 1 mes, se
recibe en total S/ 8287,5. ¿Cuál era el capital
original?
a) S/ 7200 b) S/ 4500 c) S/ 4800
d) S/ 5000 e) S/ 5100
06.En una entidad bancaria, los intereses se
calculan del siguiente modo: por el millar se
da el 30% bianual y por el restante el 4,5%
semestral. ¿Qué utilidad habrá generado S/
20800 en el lapso de un año?
A) S/ 1932 b) S/ 1742 c) S/ 1652
d) S/ 1562 e) S/ 1872
07.Un usurero vive de los intereses que produce
su capital impuesto al 5%. Al final de cada
año retira los intereses para cubrir sus gastos;
pero, al final del octavo año además de los
intereses retira $ 200 de su capital. Al hacer
sus cuentas al finalizar el noveno año obtiene
como gasto total $ 8650. ¿Cuál fue su capital?
a) $ 16000 b)*$ 18800 c) $ 24000
d) $ 26200 e) $ 32010
08.Una cierta suma de dinero ha sido colocado al
40% durante 2 años y 5 meses, produciendo
un cierto interés. Durante cuánto tiempo sería
necesario colocarlo al
%
2
1
37
para que
reporte el mismo interés.
a) 2años 4meses b) 4años
c) 7 años 8meses d) 5 años
e) 2 años 6 meses y 28 días
09.Se tienen 2 capitales, donde el segundo es el
doble que el primero; el primero produce un
monto de S/ 22500 en 12 años 6 meses y el
segundo un monto de S/ 40000 en 10 años,
los 2 a la misma tasa de interés. Entonces, la
tasa de interés es :
a) 12% b) 20% c) 10%
d) 15% e) 18%
10.Tres capitales impuestos separadamente al
12,5% semestral, 4% bimestral y 5%
trimestral respectivamente, generan la misma
renta. Hallar la suma de los 3 capitales, si el
menor de los montos producidos en un año es
S/ 3000.
a) S/ 7800 b) S/ 7900 c) S/ 8000
d) S/ 8100 e) S/ 8200
TAREA DOMICILIARIA
01.La octava parte de un capital se depositó al
35%, los 3/7 del resto al 40% y el saldo a
cierta tasa que permitió obtener una utilidad
anual de 45% sobre dicho capital. ¿A qué tasa
se colocó el saldo?
a) 52,75% b) 51,75% c) 50,75%
d) 50,25 e)*51,25%
02.Calcular el interés producido por un capital de
S/ N al cabo de cierto tiempo impuesto al
30%. Si se sabe que impuesto al 95% produce
S/ 44590 más que impuesto al 80% durante al
mismo tiempo.
a) S/ 19650 b) S/ 19660 c) S/ 19670
d)*S/ 19680 e) S/ 19690
03.Dos capitales están en la relación de 5 a 8, el
primer capital se colocó al 25 por 75 durante
8 meses y al segundo al 20 por 60 durante 20
meses, obteniéndose de esta manera un monto
total de S/ 83500. ¿A cuánto ascendía el
capital total?
a) S/ 58200 b) S/ 58300 c) S/ 58400
d) S/ 58500 e) S/ 58600
04.A una persona se le dice: Sí impone la quinta
parte de su dinero al 8% durante 4 meses; la
mitad del resto al 5% durante 2 años y lo que
queda al 2% durante 2 años, capitalizable
cada año, obtendría un interés total de S/
11500. Pero, dicha persona impuso todo su
capital a interés simple al 5% durante 4 años.
¿Cuánto ganó o perdió por no aceptar la
propuesta inicial?
a) Ganó S/ 26000 b) Perdió S/ 2600
c) Ganó S/ 14000 d) Perdió S/ 1400

e) Perdió S/ 520
05.Una persona tiene S/ 16000 que lo presta al
8% trimestral y otra tiene S/ 20000 que
presta al 8% cuatrimestral. ¿Dentro de cuánto
tiempo los montos serán iguales?
a) 10,5 años b) 11,5 años c) 12,5 años
d) 18,5 años e) 20 años
06.Una persona vende su auto, y el dinero lo
presta por un año y 9 meses al 1,25%
trimestral. Los intereses producidos lo reparte
entre sus 3 hijas, a una de ellas le dio los 3/7;
a la otra 4/11 y a la otra $ 64. ¿En cuánto
vendió el auto?
a) $ 3265 b) $ 3815 c) $ 3015
d) $ 3020 e) $ 3520
07.Martín tenía impuesto un capital al 8% y no
siendo suficiente los intereses para cubrir sus
gastos, impuso su capital en una industria que
le da el 10%. De esta manera ha podido
aumentar sus gastos diarios en 2,5 soles ¿Cuál
es su capital?
a) S/ 39000 b) S/ 45000 c) S/ 49500
d) S/ 55200 e) S/ 68000
08.Ana coloca parte de su dinero en una empresa
al 30% y otra parte en una fábrica al 20%.
Luego de calcular los intereses, invirtiendo
las tasas, obtiene intereses iguales. Se desea
saber que capital ha colocado en la fábrica,
sabiendo que produce $ 500 menos que el
colocado a la empresa en un año.
a) $ 2000 b) $ 3200 c) $ 4200
d) $ 5400 e) $ 6450
09.Se colocan 3 capitales a interés simple
durante 5 años y se convierten
respectivamente en: S/ 15840, S/ 14520 y S/
12480. Hallar el mayor capital, sabiendo que
suman S/ 37500.
a) S/ 12300 b) S/ 14100 c) S/ 15200
d) S/ 13600 e) S/ 13200
10.Después de prestar un capital por 3 años, se
obtiene un monto igual al triple del capital
prestado. Al prestar S/ 3000, a la misma tasa
de interés por un año y 3 meses. ¿Cuál será el
interés a recibir?
a) S/ 3000 b) S/ 2850 c) S/ 2750
d) S/ 2500 e) S/ 2250
11.La relación de los montos generados por 2
capitales es de 2 a 3; siendo su relación de
tiempos de 1 a 3 respectivamente. Si el
primero se colocó al 9% y el segundo al
0,25% mensual. ¿En qué relación se
encuentran, la suma y diferencia de cuadrados
de dichos capitales?
a) 2:3 b) 9:4 c) 4:9
d) 5:3 e)13:5
12.Hallar un capital, tal que al imponer sus 5/11
al 6% y el resto al 5%, retira anualmente $ 80
menos que si los 5/11 los colocara al 5% y el
resto al 6%.
a) $ 80000 b) $ 88000 c) $ 90000
d) $ 98000 e) $ 99000
13.Se imponen 2 capitales al 5%, durante 10
años; si la diferencia de ellos es $ 4000 y la
suma de los intereses es $ 14000. Hallar el
mayor de los capitales.
a) $ 13000 b) $ 21000 c) $ 17500
d) $ 16000 e) $ 25050
14.Una persona impuso la cuarta parte de su
capital al 4% durante 5 años y el resto al 5%
durante 6 años. La suma de los intereses
producidos es igual a la ganancia que hubiera
producido un capital de S/ 6446 al 6%
durante 4 años. ¿Cuál es el capital impuesto
por esa persona?
a) S/ 1036,6 b) S/ 1406,2 c) S/ 5625,6
d) S/ 1040,5 e) S/ 2812,8
Es una operación, que consiste en calcular el
descuento por ser cobrado antes de su
vencimiento.
Elementos:
D : Descuento
Vn: Valor nominal
Va: Valor actual (Va = Vn – D)
f.g: fecha de giro
f.d: fecha de descuento
f.v: Fecha de vencimiento
t: tiempo (t = f.d f.v)
r: tasa de descuento
Clases de Descuento:
Existen dos clases de descuento, según el capital
que se asume. Si tomamos como referencia el
valor nominal se denominará Descuento
Comercial y si tomamos como referencia el valor
Actual se denominará Descuento Racional.
1. Descuento Comercial (Dc)
Es el interés que generaría el valor nominal
bajo una tasa de descuento durante el tiempo
de vencimiento. Tambien se le llama
Descuento Externo o Descuento Abusivo.
El descuento comercial, está dado por:
“t” en años
“t” en meses
“t” en días
2. Descuento Racional (Dr)
Es el interés que generaría el valor Actual
bajo una tasa durante el tiempo de
vencimiento. Tambien se le llama Descuento
Interno o Descuento Matemático. Es el
descuento que se hace sobre el Vn del
documento.
El descuento racional está dado por:
“t” en años
“t” en meses
“t” en días
Nota:
a) El descuento Comercial (Dc), siempre es
mayor que el Descuento racional (Dr).
b) Si se conocieran el descuento comercial (Dc)
y el descuento racional (Dr), el valor nominal
del documento está dado por:
Letras Equivalentes
Se dicen que dos letras L1 y L2 son equivalentes,
cuando sus valores actuales son iguales, es decir:
Va1 = Va2
Vn1 – D1 = Vn2 – D2
Vencimiento Común
Si se tienen las letras: L1; L2: L3;…..: Ln ; de
valores Vn1; Vn2; Vn3; …..; Vnn y sus respectivos
tiempos de vencimiento: t1; t2; t3;…tn ;
entonces, estás letras pueden ser reemplazadas
Dc=
100
r.t.Vn
Dc=
1200
r.t.Vn
Dc=
36000
r.t.Vn
Dc=
r.t100
r.t.Vn
+
Dc=
r.t1200
r.t.Vn
+
Dc=
r.t36000
r.t.Vn
+
Dc > Dr
Vn =
DrDc
Dr.Dc
−
REGLA DE

por una única letra que vencerá dentro de un
tiempo dado por:
n21
nn2211
Vn.......VVn
t.Vn....tt.Vnt.Vn
+++
++
PROBLEMAS RESUELTOS
01.El valor nominal de una letra es S/.4900,
descontando racionalmente se obtiene por ella
S/4375. ¿Cuánto se obtendría si el descuento
fuese comercial al mismo porcentaje?
a) S/. 4220 b) S/.4300 c) S/.4324
d) S/.4312 e) S/.4336
Solución:
Datos:
Vn = S/.4900; Dr = 4900 – 4375 = S/.525
Pero: Vn =
DrDc
Dr.Dc
−
• Hallamos el Dc:
4900 =
525Dc
525.Dc
−
⇒ Dc = S/.588
Luego, el valor actual comercial:
4900 – 588 = S/.4312
∴
02.Un comerciante debe 3 letras a un mismo
acreedor:
• La primera de S/.21000 que vence el 18 de
Julio.
• La segunda de S/.35000 que vence el 7 de
Agosto.
• La tercera de S/.1400 que vence el 16 de
setiembre.
si quiere cancelar su deuda con un solo
pago de S/.70000. ¿En qué fecha debe
hacerlo?
a) 7 de agosto b) 9 de agosto
c) 12 de agosto d) 15 de agosto
e) 16 de agosto
Solución:
Haciendo una línea de tiempo:
S/.21000 S/.35000 S/.14000
18 Julio 7 agosto 16 de setiembre
20 días 40 días
Hallamos el vencimiento común y tomando
referencia el 18 de Julio:
t =
º140003500021000
60.14000.20.35000
++
+
= 22
Es decir el pago único se realizará en 22 días.
⇒ 18 de Julio + 22 días = 9 de Agosto
∴
03.¿Cuál es la fecha de vencimiento de una letra,
si los descuentos que sufren el 20 de mayo y
el 21 de Junio son entre si como 15 es a 7?
a) 30 Junio b) 13 Agosto c) 30 Julio
d) 12 Agosto e) 19 Julio
Solución:
20 Mayo 21 Junio f.v. = ??
32 días (t - 32)
t dias
Por dato:
7
15
D
D
Jun21
May20
=
⇒
7
15
32t
t
=
−
t = 60 días
La fecha de vencimiento:
20 Mayo + 60 Días = 19 Julio
∴
04.Hallar el precio al contado de un artefacto,
por el cual se firman 2 letras: una de $ 200 a
4 meses y otra de $ 240 a 5 meses, siendo la
tasa de descuento de 24%.
a) $ 400 b) $ 410 c) $ 420
d) $ 415 e) $ 404
Solución:
Para hallar el precio al contado, calculamos
los valores actuales de cada letra:
r = 24%
4 m
r = 24%
V = $ 200n1
V = $ 240n2
5 m
184$
1200
24.4
-1200Va1 =





=
216$
1200
24.5
-1240Va2 =





=
⇒ Va1 + Va2 = $ 400
∴
05.El 5 de Abril de firmó una letra por S/.2250
con fecha de vencimiento el 4 de Julio, si se
le descontó dicha letra el 17 de Mayo del
mismo año. ¿Cuánto recibió por dicha letra,
considerando una tasa de descuento del 11%
semestral?
a) S/. 2120 b) S/.2184 c) S/.2234
d) S/.3000 e) S/.3500
Solución:
Fecha de giro = 5 Abril
Fecha de vencimiento = 4 Juli
48 días
Fecha de descuento = 17 May
Vn= S/.2250
r = 11% semestral <> 22% anual
Hallamos el valor actual:
2184./S
36000
22.48
12250Va =





−=
Se recibirá S/.4312
Se efectuará el pago único el 9 de
Agosto.
El descuento vence el 19 de Julio
El valor del artefacto al
contado es $ 400
Se recibirá por dicha letra S/.2184

∴
06.Una persona debe a otra una letra de S/.12000
pagadera a los 6 meses, conviene en pagar su
deuda mediante 2 pagos iguales, que vence a
los 2 y 8 meses respectivamente. ¿Cuál es el
valor nominal se estos pagos, si se aplicara un
descuento comercial de 40% anual?
a) S/.5460 b) S/.4860 c) S/.5740
d) S/.5470 e) S/.5760
Solución:
Inicialmente:
6 m
V = 12000n1
Vn
2 m
Vn
8 mForma:
Nueva
r = 40%
Hallar los valores actuales:





 +
=





1200
40.840.2
-2V
1200
40.6
-112000 n
9600 = Vn .
3
5
⇒ Vn = S/.5760
∴
PRACTICA DE CLASE
01.El valor nominal de una letra es S/ 4900,
descontado racionalmente se obtiene por ella
S/ 4375. ¿Cuánto se obtendría si el descuento
fuese comercial al mismo porcentaje?
a) S/ 4220 b) S/ 4300 c) S/ 4324
d) S/ 4312 e) S/ 4336
02.Un comerciante debe 3 letras a un mismo
acreedor:
• La primera de S/ 21000 que vence el 18 de
Julio.
• La segunda de S/ 35000 que vence el 7 de
Agosto.
• La tercera de S/ 14000 que vence el 16 de
Setiembre.
• Si quiere cancelar su deuda con un solo
pago
de S/ 70000. ¿En qué fecha debe hacerlo?
a) 7 de agosto b) 9 de agosto
c) 12 de agosto d) 15 de agosto
e) 16 de agosto.
03.¿Cuál es la fecha de vencimiento de una letra,
si los descuentos que sufren el 20 de mayo y
el 21de Junio son entre si como 15 es a 7?
a) 30 Junio b) 13 Agosto c) 30 Julio
d) 12 Agosto e) 19 Julio
04.Hallar el precio al contado de un artefacto,
por el cual se firman 2 letras: una de $ 200 a
4 meses y otra de $ 240 a 5 meses, siendo la
tasa de descuento de 24% .
a) $ 400 b) $ 410 c) $ 420
d) $ 415 e) $ 404
05.El 5 de Abril se firmó una letra por S/ 2250
con fecha de vencimiento el 4 de Julio, si se
le descontó dicha letra el 17 de Mayo del
mismo año. ¿Cuánto se recibió por dicha
letra, considerando una tasa de descuento del
11% semestral?
a) S/ 2120 b) S/ 2184 c) S/ 2234
d) S/ 3000 e) S/ 3500
01.Dos letras, una de S/ 1980 pagadera a los 60
días y otra de S/ 1800 pagadera a los 84 días
son descontados al mismo porcentaje. ¿Cuál
fue la tasa de descuento considerando que se
recibió S/ 185,40 más por la primera que por
la segunda?
a) 6,5% b) 3% c) 6%
d) 4,5% e) 5%
02.¿Cuál es la tasa de descuento anual a la que
ha sido descontado un efecto de comercio,
sabiendo que al ser negociado 4 meses antes
de su vencimiento se recibe el 84% de su
valor nominal?
a) 50% b) 30% c) 60%
d) 48% e) 30%
03.El banquero descuenta dos letras: 30 y 50 días
respectivamente, ambas al 5%. Si los valores
nominales están en la relación de 4 a 3. Hallar
el valor actual de la segunda letra, si la suma
de los descuentos es S/ 13,50.
a) S/ 1000 b) S/ 1072,5 c) S/ 1740
d) S/ 1800 e) S/ 1200
04.Dentro de que tiempo, se podrá pagar con S/
2500, colocados al 6% cuatrimensual, una
letra de cambio que vence dentro de 2 años,
descontable comercialmente al 15%. El valor
nominal del documento es S/ 3000.
a) 2años
b) 16 meses
c) 18 meses 25 días
d) 10 meses 20 días
e) 8 meses 15 días
05.En que fecha ha sido aceptada una letra de S/
2340 al 18% y pagadera a los 45 días; si se
sabe que al venderla el 16 de Mayo se recibe
por ella S/ 2313,09.
a) 20 Abril b) 22 Abril c) 24Abri
d) 26 Abril e) NA
06.Para cancelar una deuda de S/ 5350 se firman
25 letras mensuales, descontables al 10%.
Hallar el valor nominal de cada letra.
a) S/ 60 b) S/ 120 c) S/ 240
d) S/ 300 e) S/ 360
07.Una letra que vence dentro de 3 meses tiene
un valor actual de S/ 60000. Si se descontara
dentro de 30 días, el descuento sería S/ 900
mayor que si se descontara dentro de 45 días.
Hallar el valor nominal de dicha letra.
a) S/ 60000 b) S/ 62500 d) S/ 63000
d) S/ 65400 e) NA
08.Una persona vende un artefacto cuyo precio
al contado es S/ 2040; dando como pago al
contado S/ 1500 y firmando 6 letras de S/ 300
cada una pagadero en 6 meses a partir del día
de la venta. ¿Cuál es la tasa de descuento?
a) 10% b) 50% c) 20%
d) 30% e)*40%
09.Si una letra de S/ 3600 se hubiera negociado 7
días después, su valor actual hubiera sido S/
84 mayor. ¿Cuánto se recibió por ella, si se
negoció 15 días antes de su vencimiento?
a) S/ 3420 b) S/ 3180 c) S/ 7340
d) S/ 3220 e) S/ 3350
10.Un comerciante debía 3 letras a un mismo
acreedor. La primera de $280 que vence el 30
de Mayo; la segunda de $420 y la tercera de
$350 que vence el 22 de Junio. Si finalmente
cancela la deuda en un sólo pago de $1050 el
Cada letra debe ser de S/.5760

día 6 de Junio. ¿En qué fecha vencía la
segunda letra?
a) 28 Mayo b) 30 Mayo c) 2 Junio
d) 4 Junio e) 6 Junio
TAREA DOMICILIARIA
01.¿Cuánto menos se hubiera recibido por una
letra de S/ 42000 si se hubiera descontado
comercialmente, si al descontar
racionalmente se obtiene S/ 40000?.
a) S/ 250 b) S/ 200 c) S/ 120
d) S/ 100 e) S/ 150
02.El valor nominal de una letra es los 4/5 del
valor de la otra. Se han descontado
comercialmente ambas al 4%, la primera por
un mes y 10 días, la segunda por 3 meses. El
descuento de ésta fue de S/ 20,50. ¿Cuál fue
el descuento de la otra?
a) S/ 10,18 b) S/ 8,30 c) S/ 4,10
d) S/ 3,14 e) S/ 8,38
03.¿Cuál es el valor actual de una letra de
cambio de S/ 7200, pagadera el 12 de
Setiembre y fue descontada el 20 de Junio del
mismo año al 12%. El banco cobró el 1% de
comisión y 2,5% por cambio de plazo.
a) S/ 6682,40 b) S/ 6746,40 c) S/ 6400
d) S/ 6500 e) S/ 6600
04.Calcular el valor nominal de una letra, que
descontada por 4 meses al 5%, da una
diferencia de S/ 2 entre el descuento
comercial y el descuento racional.
a) S/ 7320 b) S/ 3230 c) S/ 7050
d) S/ 4025 e) S/ 7280
05.Un deudor tiene que pagar al Banco tres
letras: La primera por S/ 8000 pagadera
dentro de 30 días, la segunda de S/ 20000
pagadera en 60 días y la tercera de S/ 40000
con un plazo de 90 días. Dentro de cuánto
tiempo debe ser pagada una letra única, cuyo
valor nominal sea la suma de los valores
nominales de las tres letras, suponiendo que
la tasa de interés es constante.
06.¿Cuál será el descuento comercial y el valor
efectivo de un pagaré de S/ 7200 que vence el
15 de Noviembre y se negocia al 5% el 17 de
Agosto del mismo año?
a) S/ 90 y S/ 6300 b) S/ 85 y S/ 7114
c) S/ 95 y S/ 7105 d) S/ 91 y S/ 7109
e) S/ 99 y S/ 7110
07.Dos letras son descontadas, la primera por
140 días al 50% anual; la segunda por 150
días al 60% anual; el descuento de la primera
es al de la segunda como 7 es a 5, y la
diferencia de los valores nominales
respectivos es $ 560. Dichas letras se desean
reemplazar por otra a pagar en 200 días al
40%. Determinar el valor nominal de ésta
letra reemplazante.
a) $ 1890 b) $ 1920 c) $ 1940
d) $ 1980 e) $ 1680
08.Un comerciante tiene tres letras por cancelar,
la primera por S/ 8000 dentro de 40 días, la
segunda por S/ 7000 y la tercera por S/ 5000
dentro de 3 meses 10 días. Se decide cambiar
las letras por una sola cuyo valor nominal sea
S/ 20000 y firmada para cancelar dentro de 75
días. ¿Dentro de cuánto tiempo vencía la
segunda letra?
09.El descuento comercial y el descuento
racional de una letra de cambio están en la
relación de 4 a 3. ¿Qué porcentaje del valor
nominal es el descuento racional?
a) 10% b) 15% c) 20%
d) 25% e) 30%
10.Por un artefacto, cuyo precio al contado es S/
1880, se ha dado una cuota inicial de S/ 200 y
se han firmado letras de igual valor nominal
que vencen mensualmente. Hallar al cabo de
que tiempo se terminará de cancelar el
artefacto, si el valor de cada letra es S/ 1200 y
se ha fijado una tasa del 10%.
a) 1 año b) 2 años, 2 meses
c) 1 año, 3 meses d) 1 año, 5 meses
e) 2 años
11.El menor valor actual de una letra es S/ 5940
y su menor descuento es el 10% de su valor
actual. Si la letra vence en 8 meses y se
descuenta al 15%. Calcular su mayor valor
actual.
a) S/ 5900 b) S/ 6006 c) S/ 5994
d) S/ 6000 e) S/ 6500
12.Hoy se firma una letra de cambio por una
deuda, considerando un interés simple del
30%, con vencimiento en 8 meses. ¿Qué tasa
de descuento se debe aplicar a dicho efecto de
comercio para que al descontarla
comercialmente dentro de 2 meses no exista
pérdida de dinero?
a) 25% b) 36% c) 48%
d) 30% e) 35%
13.Una persona compra un artículo, cuyo precio
al contado es S/ 6000, pagando S/ 2562 al
contado y por el resto firmando letras
mensuales de S/ 450 cada una. ¿Cuántas
letras se firmó considerando un descuento
comercial del 6% semestral?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
14.Si una letra se descontase el día de hoy, se
pagaría el 80% de su valor nominal, pero si se
hubiera pagado hace 4 meses 20 días, el valor
anterior hubiera disminuido en un 10%. ¿Qué
tiempo falta para el vencimiento de la letra?
a) 6 meses, 20 días b) 8 meses, 10 días c)
9 meses, 10 días d) 11 meses, 20 días
e) 1 año
15.Calcular el valor nominal de una letra, que
descontada por un año al 12%, da una
diferencia de S/ 36 entre el descuento abusivo
y el descuento matemático.
a) S/ 2000 b) S/ 2300 c) S/ 2800
d) S/3200 e) S/4200
Antes de pasar a estudiar el reparto proporcional,
hablemos primero sobre magnitudes
proporcionales.
I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES.
“Dos magnitudes se llaman directamente
proporcionales cuando el cociente de sus
valores correspondientes es una cantidad
constante”
Ejemplo1: En el movimiento uniforme, el
espacio y el tiempo son magnitudes
directamente proporcionales porque el
cociente de sus valores correspondientes es
para cada movimiento, una constante llamada
velocidad.
REPARTO

Magni-
tudes
Valores Correspondientes
Espacio
e1=20
km
e2=40
km
e3=60
km
e4=80
km
Tiempo t1=2h t2=4h t3=6h t4=8h
Luego:
4
4
3
3
2
2
1
1
t
e
t
e
t
e
t
e
=== =Constante = Velocidad
∴
(t)Tiempo
(e)Espacio
=Velocidad (V)
Ejemplo 2: La circunferencia y el diámetro
son magnitudes directamente proporcionales,
porque el cociente de sus valores
correspondientes es la constante ( )
2 (5) = 102 (4) = 8
Magnitudes
Circunferencia
2 (5) = 10π π
c
1
= 2 r=π
2 (3) = 6π π
2
= 2 r=
2 (4) = 8π π
c π
2
c
3
= 2 r=π
3
X 4/3 X 5/4
Diámetro d = 2r =1 1 c = 2r =2 2 d = 2r =3 3
2 (3) = 6
X 4/3 X 5/4
Luego:
3
3
2
2
1
1
d
C
d
C
d
C
== = Constante = π
∴
(D)nciacircunfereladeDiámetro
(C)nciacircunfereladeLongitud
= π
II. MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES.
“Dos magnitudes se llaman inversamente
proporcionales, cuando el producto de sus
valores correspondientes es una constante”
Ejemplo 1: En el movimiento uniforme la
velocidad y el tiempo son magnitudes
inversamente proporcionales porque el
producto de sus valores correspondientes es,
para cada movimiento, una constante llamada
espacio.
Magni-
tudes
Veloci-
dad
V1=30
km/h
V2=60
km/h
V3=80
km/h
V4=40
km/h
Tiempo t1=8h t2=4h t3=3h t4=6h
Luego:
V1.T1=V2.t2=V3.t3=V4.t4=constante = Espacio
∴ Velocidad (V) . Tiempo (t) = Espacio(e)
(En este ejemplo (1), se cumple que: a mayor
velocidad menor será el tiempo empleado.)
NOTA IMPORTANTE:
Las definiciones anteriores son las que se
deben aceptar bajo un punto de vista
estrictamente matemático. Es corriente decir
que dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando van de más a más y
son inversamente proporcionales cuando
van de más a menos. Estos son criterios que
se deben desechar, porque hay magnitudes
que van de más a más o van de más a
menos y sin embargo no son directa o
inversamente proporcionales.
Ejemplo:
La Mayor radio es evidente que tiene mayor
área en el círculo sin embargo el radio y el
circulo no son magnitudes, directamente
proporcionales, como vamos a demostrar.
Magnitudes Valores Correspondiente
Círculo π.r2
=π(3)2
=9π πr2
=π(4)2
=16π
Radios r = 3 r = 4
Estas dos magnitudes fueran directamente
proporcionales. El cociente de sus valores
correspondientes debería ser constante, lo que
no es cierto, porque:
4
)4(
3
)3(
22
22
ππ
ππ
=
=
r
r
r
r
= 3 π
= 4 π
(No son iguales)
Propiedad Importante en las Magnitudes
directamente Proporcionales
4321
4321
4
4
3
3
2
2
1
1
bbbb
aaaa
b
a
b
a
b
a
b
a
+++
+++
==== =K (Constante)
Clasificación:
)(constante2
6432
12864
6
12
4
8
3
6
2
4
=
+++
+++
====
Reparto Proporcional:
El reparto proporcional es una regla que tiene
por objeto repartir una cantidad en partes,
directa o inversamente proporcional a dos o
más números dados
Solución:
s:Número o suma que se debe repartir
c:Factores de proporcionalidad (puede ser dos
o más)
z:Partes o sumandos respectivamente
proporcionales a; a, b y c
S = x + y + z
Problema General:
Repartir el número (N) en tres partes que sean
directamente proporcionales a tres números
dados a, b y c.
Resolución:
Llamemos x, y, z a las partes buscadas, como
estas partes deben ser directamente
proporcionales a los números a, b y c el
cociente debe ser constante, de acuerdo con la
definición de magnitudes directamente
proporcionales:
c
z
b
y
a
x
== = Constante
Por propiedad:
c
z
b
y
a
x
cba
zyx
===
++
++
...(I)
Sabemos que: x + y + z = N ...(II)
Hacemos que: a + b + c = S ...(III)
Reemplazamos (II) y (III) en (I):
c
z
b
y
a
x
S
N
=== ;Donde:
S
Nc
z
S
Nb
y
S
Na
x
..
.
.
=
=
=






usarpara
Fórmulas
Aplicación:
Dividir el número 1 000 en 3 partes que sean
directamente proporcionales a los números
2,3 y 5
Resolución:
Llamemos x, y, z a las partes buscadas como
estas partes deben ser directamente
proporcionales a los números 2,3 y 5, el
cociente debe ser constante de acuerdo a la

definición de magnitudes directamente
proporcionales .
532
zyx
== = Constante
Por propiedad:
532532
zyxzyx
===
++
++
; pero; x +y +z = 1000
532
zyx
10
0001
===
Donde: 100 =
2
x
 x = 200
100 =
3
y
 y = 300
100 =
5
z
 z = 500
∴ Las tres partes buscadas son: 200, 300 y
500 Rpta.
Método Práctico:
Dividir el número 1 000 en tres partes
directamente proporcionales a los números
2,3 y 5.
Resolución:
Sean las 3 partes perdidas





5K
...(I)3K
2K
Luego:
2K + 3K + 5K = 1 000
10K = 1 000  K = 100
Reemplazamos el valor de K=100; en (I),
obteniendo:
2K = 2 (100) = 200
3K = 3 (100) = 300 Rpta.
5K = 5 (500) = 500
Nota:
Si los números a, b y c son heterogéneos
habrá que hacer los previamente
homogéneos. Tales el caso en que los
números a, b y c sean quebrados
heterogéneos. En este caso se dá un común
denominador y se toman solamente los
numeradores.
Ejemplo:
Repartir 858 en partes directamente
proporcionales a los números:
5
4
6
5
:
4
3
y
Resolución:
Damos común denominador a los quebrados:
60
48
;
60
50
;
60
45
5
4
;
6
5
;
4
3
=
Tomando sólo los numeradores, obtenemos:
485045
zyx
== = Constante
Por propiedad:
485045485045
zyxzyx
===
++
++
;pero:
x + y + z =858
Donde:
485045143
858 zyx
===
I)
45143
858 x
=  x=
143
45.858
 x =
270
II)
50143
858 y
=  y=
143
50.858
 y =
300
III)
48143
858 z
=  z=
143
48.858
 z =
288
∴ Las partes pedidas son: 270, 300 y 288
Rpta.
Método Práctico:









K
5
4
...(I)K
6
5
K
4
3
858
858
5
4
6
5
4
3
=+ kk
Damos común denominador en le primer
miembro:
60
48K50K45K ++
=858
= 858.60  K =6.60  ∴ K = 360
Reemplazando el valor de K =360, en (I);
tenemos:
4
3
4
3
=K (360) = 270
6
5
6
5
=K (360) = 300 Rpta.
5
4
5
4
=K (360) = 288
Reparto Proporcional Inverso:
Tema General:
En un número (N) en 3 pares que sean
directamente proporcionales a 3 números
dados a, b y c.
Solución:
Tenemos x, y, z las partes buscadas como las
partes deben ser inversamente proporcionales
a los números a, b y c, el producto que debe
ser constante de acuerdo con la definición de
magnitudes inversamente proporcionales.
x.a = y.b = z.c = constante
Igualdades pueden escribirse así:
c
z
b
y
a
x
/1/1/1
== = Constante
Igualdades nos indican que las partes x, son
directamente proporcionales a las de los
números a, b, c. se tiene que las siguiente
resolución general.
“Para dividir el número (N) en partes
inversamente proporcionales a otros números
dados a, b y c se divide el número “N”en
partes; directamente proporcionales a las
inversas de los números a, b y c, es decir a:
1/a; 1/b y 1/c”
Aplicación:
Repartir 360 en 3 partes que sean
inversamente proporcionales a los números
3,4 y 6.
Resolución:
Tomamos la inversa de los números 3, 4 y 6,
obteniendo: 1/3; ¼ y 1/6.

Luego, damos común denominador a los
quebrados:
12
2
;
12
3
;
12
4
6
1
;
4
1
;
3
1
=
Tomando sólo los numeradores, obtenemos
que:
234
zyx
== = Constante
Por Propiedad:
234234
zyxzyx
===
++
++
; pero
x+y+z=360
2
z
3
y
4
x
9
360
===
Donde:
I)
49
360 x
=  40=
4
x
 x = 160
II)
39
360 y
=  40=
3
y
 y = 120
III)
29
360 z
=  40=
2
z
 z = 80
Rpta.
Método Práctico:
360
K
6
K
3
K
4
... (I)
Donde:
643
KKK
++ =360; Damos común
denominador en le primer miembro:
12
234 KKK ++
=360  9K = 360.12
K=40.12 ∴K=480
Reemplazamos el valor de K=480, en (I),
obteniendo:
3
480
3
=
K
=160
4
480
4
=
K
=120 Rpta.
6
480
6
=
K
= 80
Ejemplo:
Repartir 735 en partes inversamente
proporcionales a:
5
3
;
5
1
y 3.
Resolución:
Se toman los inversos de los factores de
proporcionalidad; osea:
La inversa de:
5
1
5
1
es =5
La inversa de:
3
5
5
3
es
La inversa de: 3 es
3
1
Damos común denominador a:
3
1
,
3
5
,
3
15
3
1
,
3
5
=5,
Se hace el reparto proporcional directo entre
los numeradores:
= Constante
515
zyx
==
1
Por Propiedad:
151521
15151515
zyxzyx
===
++
++
735 zyx
===
; pero: x+y+z = 735
Donde:
i)
1521
735 x
=  35=
15
x
 X = 525
ii)
521
735 y
=  35=
5
y
 Y = 175
iii)
121
735 z
=  35=
1
z
 Z = 35
Método Práctico:
735
K
3
1
3
3
5
... (I)
K / = 5K
K /
5K
3
=
K / 3 =
Donde:
5K +
33
5 KK
+ = 735; Damos común
denominador en el primer miembro :
735
3
515
=
++ KKK
21K = 735.3  K = 35.3
∴ K = 105
Desplazamos el valor de K=105, en (I),
sabiendo:
5K = 5(105) = 525
3
)105(5
3
5
=
K
=175 Rpta.
3
105
3
=
K
=35
Casos Combinados de Reparto
Proporcional
Ejemplo (1): Repartir 276 en 3 partes
directamente proporcional a 2,4 y 5 e
inversamente proporcional a 12, 18 y 20.
Solución:
Factores directos son: 2, 4 y 5
Hallamos la inversa a 12, 18 y 20 
20
1
;
18
1
;
12
1
Común denominador a:
180
9
;
180
10
;
180
15
20
1
;
18
1
;
12
1
=
sólo los numeradores y los multiplicamos por
los factores directos 2,4 y 5 puesto que ambos
ya son directos, obteniendo:
5
9
2
15
4
10
;; ;

⇓
×××
45
95;
40
104;
30
152 
⇓ ⇓
985
(Sacamos quinta a casa término o sea
dividimos entre 5, obteniendo)
el reparto sería:

986
zyx
== = Constante
Por Propiedad:
98623
986986
zyxzyx
===
++
++
276 zyx
===
; pero: x+y+z = 276
Donde:
I)
623
276 x
=  12 =
6
x
 x = 12
II)
823
276 y
=  12 =
8
y
 y =96
III)
923
276 z
=  12 =
9
z
 z = 108
Rpta.
Ejemplo 2: Repartir el número 1 560 en tres
partes de modo que la primera sea a la tercera
como 7 es a 3 y que la primera sea a la
segunda como 5 es a 4.
Resolución:
Sean:
...(I)5601zyx
parteTerceraz
parteSegunday
partePrimerax
=++





=
=
=
Del enunciado; obtenemos:
i)
3
7
=
z
x
Como “x” se repite tratamos
que sean homogéneos osea que tomen el
mis o valor para eso multiplicamos “x 5”
a los dos términos de (i) y “x 7” a los dos
términos de (ii) y “x 7”a los dos términos
de (ii), obteniendo:
ii)
4
5
=
y
x
)(
28
35
7.4
7.5
15
35
5.3
5.7
II
y
x
y
x
z
x
z
x









=⇒=
=⇒=
Y=28K
X=35K
Z=15K
X=35K
ii)
i)
Reemplazamos los valores de x, y, z en (I):
35K + 28K +15K = 1 560
78K = 1 560  ∴ K = 20
Reemplazamos el valor de K=20; en (II);
obteniendo:
x = 35K  x = 35(20)  x = 700
y = 28K  y = 28(20)  y = 560
z = 15K  z = 15(20) z = 300
Rpta.
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Repartir 288 en partes directamente
proporcionales a 3 y 5.
Resolución:
Sean las dos partes pedidas: x é y
288
y = 5K
x = 3K
... (I)
Luego:
3K + 5K = 288
8K = 288  K = 36
Reemplazamos el valor de “K” en (I)
x = 3K  x = 3(36)  x = 108
y = 5K  y = 5(36)  y = 180
Rpta. Las partes pedidas son: 108 y 180
02.¿Cuál es la medida de cada ángulo de un
cuadrilátero, si sus ángulos son directamente
proporcionales a: 1,4,5 y 8 respectivamente?
Resolución:
Sabemos que, en todo cuadrilátero la suma de
sus 4 ángulos internos es igual a 360º,
veamos:
1K + 4K + 5K + 8K = 360º
18K = 360º  K = 20º
Luego los ángulos pedidos son:
A = 5K  A = 100º
B = 4K  B = 80º
C = 1K  C = 20º
D = 8K  D = 160º
A
B
C
D
4K
5K 1K
8K
Rpta. La medida de cada ángulo de dicho
cuadrilátero son: 100º, 80º, 20º y
160º.
03.Vanessa repartió cierta cantidad de dinero
entre 3 niños en partes proporcionales a los
números 4,5 y 7 si el tercero recibió 42
dólares más que el primero. ¿Qué cantidad de
dinero repartió ?
Resolución:
Sea:
C = Cantidad de dinero a repartirse
C =
(I)...16KC
7K5K4KC
7Kz
5Ky
4Kx
=∴
++=










=
=
=
Del enunciado:
El tercero
recibió  sdólare42
más que
el primero
Obtenemos:
Z – x = 42
⇓ ⇓
7K – 4K = 42  3K = 42
∴ K = 14
Reemplazando el valor de K=14, en (I)
C=16(4)  ∴ C = 224
Rpta. La cantidad de dinero que repartió
Vanessa fue de 224 dólares.

PRACTICA DE CLASE
01.Hallar la mayor parte que resulta de repartir
1740 en forma proporcional a los números
422; 282; 562.
a) 1456 b) 1546 c) 1564
d) 1465 e) 960
02.Repartir S/. 15500 IP a los números:
3
24 ;
3
81 y
3
375 . ¿Cuántos soles recibe el
mayor?
a) 7500 b) 5000 c) 4500
d) 3600 e) NA
03.Al repartir una cantidad en forma DP a 36; 60
y 45 e IP a 16; 24 y 60. Se observó, que la
diferencia entre la mayor y menor de las
partes es S/ 5600. La suma de cifras de la
cantidad repartida es:
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
04.Se reparte el número 145800 en partes
proporcionales a todos los números pares,
desde 10 a 98. ¿Cuánto le toca al que es
proporcional a 72?
a) 1111 b) 214 c) 4320
d) 1580 e) NA
05.Repartir 1750 en forma IP a los números 3;
15; 35; 63;.........;2499. Dar como respuesta,
la tercera parte obtenida.
a) 102 b) 104 c) 106
d) 108 e) 110
06.Se reparte una cantidad proporcionalmente a
los números 1; 2; 3 y 4; pero, luego se decide
hacerlo proporcionalmente a 2; 3; 4 y 6
motivo por el cual una de las partes,
disminuye en S/ 180. Hallar la parte del
cuarto número.
a) S/ 2400 b) S/ 3080 c) S/ 3800
d) S/ 2160 e) S/ 2040
07.Tres socios A, B y C forman una empresa,
aportando B el doble de A y C 25% más que
B. Después de algunos meses, todos
incrementan su capital en un 20% y cuando se
reparten las utilidades, el que menos ganó
obtuvo S/ 20000 de utilidad. La utilidad total
es:
a) 100mil b) 105mil c) 110mil
d) 115mil e) 120mil
08.Tres socios han ganado en un negocio $
24000. El primero contribuyó con $ 25000, el
segundo con $ 40000 durante 6 meses y el
tercero con $ 20000 durante 8 meses. El
primero tuvo una ganancia de $ 6000.
Calcular el tiempo que tuvo impuesto su
capital el primero.
a) 4m; 10d b) 5m; 10d c) 4m; 20d
d) 5m; 20d e) NA
09.Tres personas se asociaron para establecer un
negocio; la primera puso mercaderías y la
segunda S/ 10000. Obtuvieron una ganancia
de S/ 20000, de los cuales, la primera recibió
S/ 8000 y la tercera S/ 7000. Calcular el
importe de las mercaderías.
a) S/ 14000 b) S/ 16000 c) S/ 18000
d) S/ 12000 e) S/ 20000
10.Cuatro socios reúnen S/ 200000; de los
cuales, el primero pone S/ 40000; el segundo
los 3/4 de lo que puso el primero, el tercero
los 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto
lo restante. Explotan una industria durante 4
años. Si hay que repartir una ganancia de S/
150000, calcular cuánto le tocó al cuarto
socio.
a) S/ 40000 b) S/ 30000 c) S/ 50000
d) S/ 60000 e) S/ 56000
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05
01.Dividir 2480 en partes que sean DP a los
números 2n; 2n-1 y 2n+1 e IP a los números
3n-1; 3n+1 y 3n. Dar la menor de las partes.
a) 80 b) 120 c) 40
d) 960 e) 1440
02.Repartir 42 entre A; B y C de modo que la
parte de A sea el doble de B y la de C, la
suma de las partes de A y B. Entonces, el
producto de las partes de A, B y C es:
a) 2058 b) 1050 c) 1110
d) 2110 e) N.a
03.Ricardo tiene 3 sobrinos de 15; 17 y 19 años
respectivamente y se les deja S/ 24000 con la
condición de que se dividan esta suma DP a
las edades que tendrán dentro de 3 años. Una
de las partes será:
a) S/ 6400 b) S/ 5600 c) S/ 8800
d) S/ 9600 e) S/ 10400
04.Repartir S/ 3936 entre tres personas, de modo
que la parte de la primera sea a la segunda
como 7 es a 6 y que la parte de la segunda sea
a la tercera como 4 es a 5. La parte intermedia
es:
a) 1344 b) 1152 c) 1536
d) 1056 e) 1440
05.José reparte semanalmente una propina de S/.
248 entre sus tres hijos en forma IP a sus
edades que son: 15; 18 y 20 años
respectivamente. Lo que recibe el menor
excede a la del mayor en:
a) S/ 18 b) S/ 30 c) S/ 27
d) S/ 21 e) S/ 24
06.Repartir S/ 2712 entre tres personas de modo
que, la parte de la primera sea a la de la
segunda como 8 es a 5 y que la parte de la
segunda a la tercera como 6 es a 7. La
diferencia entre la mayor y menor de las
partes es:
a) S/ 384 b) S/ 408 c) S/ 480
d) S/ 432 e) S/ 456
07.Repartir el número 1134 en tres partes, cuyos
cuadrados sean DP a 8, 50 y 98. Dar la menor
parte.
a) 160 b) 161 c) 162
d) 163 e) N.a
08.Al dividir 2352 en partes D.P. a las raíces
cuadradas de 75; 12 y 27 e IP a las raíces
cuadradas de 27; 12 y 75 respectivamente, la
mayor parte es:
a) 1600 b) 1000 c) 1500
d) 1800 e) 1200
09.Se ha repartido cierta cantidad entre tres
personas, en partes proporcionales a los
números 3, 4 y 5. Sabiendo que la tercera
persona ha recibido 600 dólares más que la
primera. ¿Qué cantidad se distribuyó?
a) 3600 b) 3200 c) 4000
d) 7200 e) 6400
10.Joaquín antes de morir deja a su hermana $
8400 y una cláusula en su testamento. “Si mi
hermana tiene una hija, dejo, para ésta los 2/3
y 1/3 para la madre; pero, si tiene un hijo, a
éste le tocará 1/3 y 2/3 para la madre”.
Sucede, que la hermana de Joaquín tiene un
hijo y una hija. ¿Cuánto le tocará a la hija?
a) 1200 b) 2400 c) 3600
d) 4800 e) N.a
11.A, B y C poseen juntos un terreno, siendo sus
partes proporcionales a 4; 2,5 y 1,5. ”A”
vende la mitad de su parte a “C” y éste vende
100m2 a “B”; por lo que las partes de ”B” y
”C” resultan iguales. Hallar el área
correspondiente inicialmente a A.
a) 160m2 b) 400m2 c) 240m2
d) 220m2 e) 420m2
12.Se desea repartir una herencia entre tres
hermanos, dos de ellos de 18 y 32 años.

Discuten si hacerlo directa o inversamente
proporcional a sus edades; le piden al tercero
que opine y él responde: ”Me da igual”.
Determinar la herencia, si al tercero le tocó S/
12000
a) S/ 39000 b) S/ 38000 c) S/ 37000
d) S/ 36000 e) S/ 35000
13.Diariamente se reparten S/ 330 entre 2
obreros A y B en forma DP a su rendimiento.
Un día A recibe S/ 176 y B el resto; al otro
día, A disminuye su eficiencia en un 25% y B
la aumenta en un 20%. Hallar la diferencia
entre las cantidades que recibirán A y B en
este nuevo reparto.
a) S/ 54 b) S/ 55 c) S/ 56
d) S/ 57 e) S/ 58
14.Una cantidad de $ X se reparte entre 2
personas, de la siguiente forma: 2/5 del dinero
en forma IP a 4 y 3; el resto de lo que queda
IP a 4 y 5. Si la diferencia de lo que cada uno
tuvo al final es de $ 80. Hallar X.
a) $ 8700 b) $ 8600 c)$*8400
d) $ 8500 e) $ 8900
15.Dos socios aportan S/ 1500 y S/ 3500 en una
empresa. A los 6 meses se retira el primero; la
empresa se liquidó al terminar el año y el
primero ganó S/ 510. Hallar la ganancia del
segundo.
a) S/ 2360 b) S/ 2370 c) S/ 2380
d) S/ 2390 e) S/ 2400
16.Dos personas A y B obtienen S/ 3700 de
utilidad total en cierto negocio. ”A”
contribuyó con S/ 900 durante 5 meses y ”B”
con cierto capital durante 7 meses. Si ”B”
ganó los 7/5 de lo que impuso. Determinar
dicho capital.
a) S/ 1000 b) S/ 1500 c) S/ 2000 d) S/
2500 e) S/ 2250
17.Tres socios intervienen en un negocio
aportando capitales de S/ 2000, S/ 3000 y S/
7000 durante 2; 3 y 5 años respectivamente.
Si el negocio quebró dejando una pérdida de
S/ 48000. Halle la perdida del primer socio.
a) S/ 4000 b) S/ 40000 c) S/ 3500 d)
S/ 35000 e) S/ 9000
TAREA DOMICILIARIA
01.Un tío antes de morir repartió su fortuna entre
sus tres sobrinos en partes que son entre si
como 7; 6 y 5. Por un segundo testamento,
cambia su disposición y el reparto lo hacen
proporcionalmente a los números 4; 3 y 2 de
tal manera que uno de los sobrinos recibe $
72000 más. Calcular el valor de la herencia.
a) $1269000 b) $1629000 c) $1962000
d) $1642000 e)*$1296000
02.Diariamente se reparte 2002 pesos entre 2
obreros A y B en forma DP en sus
rendimientos. El lunes A recibió 462 pesos
más que B. Al día siguiente disminuyó su
rendimiento en 25% y B aumentó el suyo en
20%. Calcular ¿Cuánto recibió A el martes?
a) 1001 b) 1092 c) 910
d) 1274 e) 2002
03.En una carrera de 2000 m participan tres
ciclistas A; B y C, cuyas velocidades son:
15m/s ; 18m/s y 20m/s. Después de 80
segundos de iniciada la carrera, se suspende y
se decide repartir el premio
proporcionalmente a sus velocidades e IP a
las distancias que les faltaba recorrer para
terminar la carrera. Si C recibió S/ 420 más
que B. ¿Cuánto recibió A?
a) S/ 441 b) S/ 328 c) S/ 420
d) S/ 120 e) S/ 342
04.Las edades de 7 hermanos son números
consecutivos. Si se reparte una suma de
dinero en forma proporcional a sus edades, el
menor recibe la mitad del mayor y el tercero
recibe S/ 8000. ¿Cuál es la cantidad
repartida?
a) S/ 50000 b) S/ 42000 c) S/ 56000
d) S/ 50400 e) S/ 70000
05.Se reparte una determinada cantidad de
dinero entre 4 personas. Lo que le toca al
primero es a lo del segundo como 2 es a 3; lo
del segundo es a lo del tercero como 4 es a 5
y lo del tercero es a lo del último como 6 es a
7. Si el último recibió S/. 5600, la cantidad
repartida es:
a) S/ 19000 b) S/ 19400 c) S/ 19600 d)
S/ 16800 e) S/ 20000
06.Se reparte ”N” en forma proporcional a 2, ”a”
y ”b”, observándose que la parte de “a” es
720 y es la media aritmética de las otras dos
partes. Hallar ”N”.
a) 3120 b) 2840 c) 2160
d) 1620 e) 2130
07.Tres amigos compraron un billete de lotería
de S/ 10. El primero contribuyó con S/ 3,4 ;
el segundo con S/ 5,1 y el tercero con el
resto. El billete salió premiado con S/ 50000
y dieron al lotero los 3/25 del premio.
¿Cuánto correspondió al primero de los
amigos?
a) S/ 19460 b) S/ 18520 c) S/ 14960
d) S/ 15280 e) S/ 22500
08.Un padre decide repartir una herencia en
forma DP a las edades de sus hijos: 6; 8 y 10
años. Pero, decide postergar el reparto hasta
que el menor tenga la edad actual del mayor,
por lo cual uno de los hijos recibe S/ 3200
más de lo que iba a recibir. ¿Cuánto recibió el
mayor?
a) S/ 38400 b) S/ 48000 c) S/ 102400
d) S/ 32000 e)*S/ 44800
09.Tres obreros se reparten una gratificación en
partes proporcionales a sus jornales, que son:
S/ 2400; S/ 3000 y S/ 4200. No pareciéndoles
justo el reparto, después de efectuado,
acuerdan que fueran por partes iguales y para
ello, entrega el tercero S/ 10000 al segundo y
éste una cierta cantidad al primero. ¿Cuál fue
esa cantidad que el segundo entregó al
primero?
a) S/ 8000 b) S/ 8120 c) S/ 8110
d) S/ 9000 e) S/ 9800
10.José decide repartir una suma de dinero entre
sus tres sobrinos, proporcionales a sus edades
de éstos, sabiendo que sus edades son
números pares consecutivos. Si lo que le toca
al mayor, es 5 veces de lo que le toca al
menor, y ambas partes suman S/ 800.
Determinar la suma que se repartió.
a) S/ 2000 b) S/ 1000 c) S/ 1500 d)
S/ 2500 e) S/ 1200
11.Se reparte un número en forma DP a todos los
divisores de 100; si la mayor de las partes es
2800. ¿Cuál es el número repartido?
a) 6076 b) 6067 c) 7066
d) 7660 e) 7606
12.Se reparte S/ 14400 entre 3 personas A, B y
C, proporcionalmente a sus edades. Se sabe,
que la edad de A es el doble que la de B y que
a C le corresponde S/ 4200. Hallar la edad de
A, sabiendo que la suma de las 3 edades es
72.
a) 31 b) 32 c) 33
d) 34 e) 35

SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04 05
01. C E C A
02. C B D D A
03. C D B C
04. A B D A
05. E A C E
06. D A A C D
07. D B D C
08. A E E E
09. A C A A
10. D B A D
11. B B
12. B C
13. C B
14. E B C
15. C A C
16. C A C
17. A B A
18. B B
19. A A
20. D B
21.
22. A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
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