Documento que ilustra la forma en que se resuelven problemas financieros con ecuaciones de valor.

1. Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal. [William O. de León Z., Catedrático]
Metodología para la resolución de problemas
En todo campo del saber, y específicamente en las matemáticas financieras, un alto
porcentaje del trabajo consiste en el manejo de problemas. Según Albert Einstein, “un problema
es una situación interesante”; por tanto, su resolución requiere procedimientos y metodologías
adecuadas.
Aquí proponemos el camino sugerido por el ilustre físico, autor de la teoría de la
relatividad, que nos lleva a lograr éxito en la solución de problemas. Los pasos que deben seguirse
son los siguientes:
a) Entender el problema
b) Plantear el problema
c) Resolver el problema
d) Interpretar resultados
a) Entender el problema: se refiere a la etapa crítica en todo problema, pues para ello no se
cuenta ni con reglas ni con modelos que permitan a la persona entender el problema. Si
existen procedimientos que hacen posible un buen acercamiento a él, como, entre otros,
una buena lectura (de ahí la expresión “comprensión de lectura”), concentración en lo que
se lee, no preocuparse en ese momento por el cómo se va a resolver el problema y un
conocimiento de cada uno de los términos que intervienen en el enunciado del problema.
b) Plantear el problema: corresponde al paso que debe darse una vez entendido el enunciado
del problema. Consiste en interrelacionar las proposiciones que conforman el problema en
términos de ecuaciones, desigualdades o cualquier otra expresión matemática que
sustituya a la proposición o proposiciones del enunciado. Si el problema ha sido entendido,
el planteamiento no debe ofrecer mayor dificultad.
c) Resolver el problema: consiste en ejecutar las operaciones matemáticas propias para hallar
el valor de la variable o variables involucradas en el problema y expresadas en su
planteamiento. Aquí desempeña un papel importante el manejo de la tecnología
computacional que permite resolver las operaciones planteadas y dar solución a la
pregunta del problema.
d) Interpretar resultados: todo problema contiene una pregunta que, por lo general, se
presenta con una variable. Una vez resuelto el problema, o hallado el valor o valores de la
variable, debe no solamente informarse sobre este valor numérico sino que también se
debe interpretar financieramente ese valor, indicando lo que significa de acuerdo con el
enunciado del problema.
Se sugiere al estudiante que no intente mecanizar procedimientos para resolver problemas, sino
que plantee diferentes alternativas de resolución justificando en cada caso su decisión de
resolverlo de una u otra manera.
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Son procedimientos matemáticos que permiten calcular el valor de las nuevas obligaciones en renegociaciones de deudas.
Se trata de igualar el valor de las viejas obligaciones con el valor de las nuevas obligaciones. Se acostumbra escribir en la
parte superior de la gráfica de tiempo-valor, los valores de las viejas obligaciones y en la parte inferior, el valor de las nuevas
obligaciones.
1.
Cuando la fecha de valuación o fecha focal corresponde o es posterior al vencimiento de la última
obligación. Entonces tendremos una serie de montos para sumar.
2.
Cuando la fecha focal corresponde o es anterior al vencimiento de la primera obligación. Entonces
tendremos una serie de valores actuales para sumar.
3.
Cuando la fecha focal corresponde a una fecha intermedia entre los vencimientos de las distintas
obligaciones. Entonces tendremos una suma de montos y valores actuales según sean los
vencimientos con relación a la fecha focal.
Principalmente se utilizan en la consolidación de deudas, es decir cuando el deudor considera conveniente que
una serie de obligaciones las puede pagar de una sola vez o en otra cantidad de pagos, diferentes a los pagos
inicialmente acordados. Para ello es importante establecer un nuevo acuerdo con el acreedor y fijar los
términos de la operación. Entre estos términos los más importantes son: la fecha focal y la tasa de interés a
aplicarse en la transacción.
1.
Establecer las fechas de vencimiento de cada una de las obligaciones a sustituir, con sus respectivos
valores al vencimiento.
2. Determinar la fecha de valuación o fecha focal.
3.
Valuar en la fecha focal, cada una de las obligaciones a sustituir, ya sea aplicando montos o valores
actuales, luego sumar todos esos nuevos valores y determinar así el total de las obligaciones a la fecha
focal, consolidando en una sola cifra el total de todas las obligaciones.
4. Si es necesario, el total consolidado en la fecha focal, trasladarlo hacia los nuevos vencimientos.
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 El 26 de agosto 2017 vence un pagaré de Q15,000.00 que se emitió desde el 14 de diciembre del año
2016 y devenga el 18% de interés anual. El 18 de octubre 2017 vencerá una letra de cambio con valor
nominal de Q20,000.00. Y el 29 de diciembre 2017 debe pagarse una factura de Q18,000.00 emitida a
un año plazo, que devenga el 20% de interés anual. Todas estas obligaciones se consolidarán en una
sola, a la cual se le fijó como fecha de pago el 18 de octubre del 2017 y se estableció en la operación el
12% semestral de interés simple exacto.
Primero se determina el valor al vencimiento del pagaré que fue emitido el 14/12/2016 y vence el 26/08/2017,
devengando el 18% de interés anual.
[método ordinario]
)1( niPS 
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
P = Q15,000.00 Q15,000.00
n = 252 días 256/360 = 0.71111
i = 18% anual 18/100 = 0.18
S = ?
El tiempo (n) se calcula auxiliándonos con la tabla porque se aplica método ordinario: t/360
Fracción del año 2016 = 366 – 348 = 18 días + 238 días de la fracción 2017 = 256
S=Q 15,000.00(1+0.71111∗0.18)
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GRÁFICA PRELIMINAR DE
TIEMPO Y VALOR
Pagaré que vence el
26/08/2017
Fecha Focal
Letra de Cambio
Vence 18/10/2017
Factura que vence el
29/12/2017
Q15,000.00 +
intereses
Q20,000.00 Q18,000.00
+ intereses
Procedimiento
Lógico
S=Q 15,000.00(1+0.12799)
S=Q 15,000.00(1.12799)
S=Q 16,919.85

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Ahora nos corresponde determinar el valor al vencimiento de la factura que posee un valor de Q18,000.00
emitida a un año plazo con una tasa del 20% de interés anual.
[método ordinario]
S=P1ni
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
P = Q18,000.00 Q18,000.00
n = 1 año 1 año
i = 20% anual 20/100 = 0.20
S = ?
S=Q 18,000.0011∗0.20
S=Q 18,000.0010.20
S=Q 18,000.001.20
S=Q21,600.00
Como ya se establecieron los valores de las obligaciones hasta la fecha de vencimiento procedemos a
proyectar la siguiente gráfica de tiempo y valor.
Tiempo del Pagaré que vence el 26/08/2017 hasta la fecha focal 18/10/2017
Fecha final: 18/10/2017 = 291
- Fecha inicial: 26/08/2017 = 238
n = 53 días hacia fecha focal
Tiempo de la factura que vence el 29/12/2017
Fecha final: 29/12/2017 = 363
- Fecha inicial: 18/10/2017 = 291
n = 72 días hacia fecha focal
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n = 72 días
n = 53 días
GRÁFICA DE TIEMPO Y
VALOR
Pagaré que vence el
26/08/2017
Fecha Focal
Letra de Cambio
Vence 18/10/2017
Factura que vence el
29/12/2017
Q16,919.85 Q20,000.00 Q21,600.00
¡¡Como he
pensado!!
¿?
¿?

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[Este ejercicio corresponde al caso número tres porque la fecha focal es intermedia entre los
vencimientos de las obligaciones, por tal razón tendremos una suma de montos y valor actual]
Pagaré que vence el 26/08/2017 [Método Exacto]
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
P = Q16,919.85 Q16,919.85
n = 53 días 53/365 = 0.14520
i = 12% semestral 12/100 = 0.12 * 2 = 0.24
S = ?
S=Q 16,919.85(1+0.14520∗0.24)
S=Q 16,919.85(1+0.03484)
S=Q 16,919.85(1.03484)
S=Q 17,509.34
Letra de cambio que vence el 18-10-2017
Se queda igual porque su valor nominal Q20,000.00 y no gana intereses, por lo cual, la cantidad permanece
hasta su vencimiento como VF o S.
Factura que vence el 29-12-2017 [Método Exacto]
Se aplicará el procedimiento para deducir el valor actual porque se pagará antes de su vencimiento.
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
S = Q21,600.00 Q21,600.00
n = 72 días 72/365 = 0.19726
i = 12% semestral 12/100 = 0.12 * 2 = 0.24
VA = ?
VA=
Q 21,600.00
1+0.19726∗0.24
La deuda a pagar según las condiciones renegociadas asciende al total consolidado Q58,133.01
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TOTAL A PAGAR EN LA
FECHA FOCAL
Q17,509.34
Q20,000.00
Q20,623.67
Q58,133.01
S=P1ni
VA=
S
1+ni
VA=
Q 21,600.00
1+0.04734
VA=
Q 21,600.00
1.04734
VA=Q20,623.67

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GRÁFICA FINAL - TIEMPO Y VALOR
Pagaré
Vence 26/08/2017
Letra de cambio
Vence 18/10/2017
Fecha Focal
Factura
Vence 29/12/2017
Q16,919.85 Q20,000.00 Q21,600.00
Q17,509.34
Q20,623.67
n = 53 días
n = 72 días
Q58,133.01Total a pagar en fecha focal ..................

7. GRÁFICA DE TIEMPO Y
VALOR
Letra de cambio
vence dentro de
90 días
Letra de Cambio
Vence dentro de
1 año y 60 días.
Letra de Cambio
Vence dentro de
2 años
Fecha Focal
Q800.00 Q3,300.00 Q5,000.00
Procedimiento
Lógico
n = 630 días
n = 300 días
?
?
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Una persona en pago de una deuda, firmó tres letras de cambio. La primera con valor nominal de Q 800.00 y
vence dentro de 90 días, la segunda con valor nominal de Q3,300.00 vence dentro de 1 año y 60 días; la tercera
letra con valor de Q5,000.00 y vence dentro de 2 años. El deudor acuerda con el acreedor cancelar las tres letras
en la fecha de vencimiento de la última, reconociendo en la operación el 20.25% anual de interés simple. ¿Cuánto
debe pagarse en la fecha focal según el método obligaciones?
Analizamos a qué caso pertenece esta ecuación de valor: Como la fecha de valuación o fecha focal corresponde al
vencimiento de la última obligación, pertenece al caso número 1. Por lo tanto las operaciones que se aplicarán es
el cálculo del monto y al final en la fecha focal tendremos la suma de montos.
Primera Letra que vence dentro de 90 días.
S=P1ni
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
P = Q800.00 Q800.00
n = 630 días 630/360 = 1.75
i = 20.25% anual 20.25/100 = 0.2025
S = ?
S=Q 800.0011.75∗0.2025
S=Q 800.0010.354375
S=Q 800.001.354375
S=Q1,083.5
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8. TOTAL A PAGAR EN FECHA FOCAL:
Letra de cambio vence
dentro de
90 días
Letra de Cambio
Vence dentro de
1 año y 60 días.
Letra de Cambio
Vence dentro de
2 años
Fecha Focal
Q800.00 Q3,300.00 Q5,000.00
n = 630 días
n = 300 días
Q3,856.84
Q1,083.50
Q9,940.34
Procedimiento
lógico
GRÁFICA FINAL DE TIEMPO Y
VALOR
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Segunda Letra que vence dentro de 1 año y 60 días
S=P1ni
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
P = Q3,300.00 Q3,300.00
n = 300 días 300/360 = 0.83333
i = 20.25% anual 20.25/100 = 0.2025
S = ?
S=Q3,300.0010.83333∗0.2025
S=Q3,300.0010.16874
S=Q3,300.001.16874
S=Q 3,856.84
Tercera Letra que vence dentro de 2 años
Esta obligación financiera se deja con la misma cantidad porque su fecha de vencimiento no cambió en el
acuerdo suscrito entre deudor y acreedor, además no se le aplica ninguna tasa de interés adicional.
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9. GRÁFICA DE TIEMPO Y
VALOR
Letra de cambio
vence dentro de
100 días
Letra de Cambio
Vence dentro de
1 año y 3 meses.
Letra de Cambio
Vence dentro de
2 1/4 años
Fecha Focal
Q980.00 Q3,600.00 Q4,750.00
Procedimiento
Lógico
n = 710 días
n = 360 días = 1 año
?
?
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Una persona en pago de una deuda, firmó tres letras de cambio. La primera con valor nominal de Q 980.00 y
vence dentro de 100 días, la segunda con valor nominal de Q3,600.00 vence dentro de 1 año y 3 meses; la tercera
letra con valor de Q4,750.00 y vence dentro de 2 1/4 años. El deudor acuerda con el acreedor la cancelación de
las obligaciones en la fecha de vencimiento de la última, aplicándole el 13.65% semestral de interés simple.
¿Cuánto debe pagarse en la fecha focal?
Analizamos a qué caso pertenece esta ecuación de valor: Como la fecha de valuación o fecha focal corresponde al
vencimiento de la última obligación, pertenece al caso número 1. Por lo tanto las operaciones que se aplicarán es
el cálculo del monto y al final en la fecha focal tendremos la suma de montos.
Primera Letra que vence dentro de 100 días.
S=P1ni
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
P = Q980.00 Q980.00
n = 710 días 710/360 = 1.97222
i = 13.65% semestral 13.65/100 = 0.1365 * 2 = 0.273
S = ?
S=Q 980.0011.97222∗0.273
S=Q 980.0010.53841
S=Q 980.00(1.53841)
S=Q 1,507.64
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10. TOTAL A PAGAR EN FECHA FOCAL:
Letra de cambio vence
dentro de
100 días
Letra de Cambio
Vence dentro de
1 año y 3 meses.
Letra de Cambio
Vence dentro de
2 1/4 años
Fecha Focal
Q980.00 Q3,600.00 Q4,750.00
n = 710 días
n = 360 días = 1 año
Q4,750.00
Q4,582.80
Q1,507.64
Q10,840.44
Procedimiento
lógico
GRÁFICA FINAL DE TIEMPO Y
VALOR
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal. [William O. de León Z., Catedrático]
Segunda Letra que vence dentro de 1 año y 3 meses
S=P1ni
FACTORES ESTANDARIZACIÓN
P = Q3,600.00 Q3,600.00
n = 1 año 1 año
i = 13.65% semestral 13.65/100 = 0.1365 * 2 = 0.273
S = ?
S=Q3,600.0011∗0.273
S=Q3,600.0010.273
S=Q3,600.001.273
S=Q 4,582.80
Tercera Letra que vence dentro de 2 1/4 años
Esta obligación financiera se deja con la misma cantidad porque su fecha de vencimiento no cambió en el acuerdo
entre deudor y acreedor, además no se le aplica ninguna tasa de interés adicional.
BIBLIOGRAFÍA
Apuntes de Matemática Financiera I
Rivera Avila, Jorge Luis
Guatemala, 2003
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