El documento describe diferentes ejemplos de problemas matemáticos que pueden usarse para desarrollar el razonamiento matemático en los estudiantes. Explica que el razonamiento matemático debe estar presente en todas las actividades matemáticas de los estudiantes y que es necesario partir de niveles informales en los primeros ciclos y progresar a niveles más elaborados. Los ejemplos incluyen problemas de lógica, comparación, secuencias numéricas y operaciones aritméticas.

2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En el razonamiento matemático es necesario tener en cuenta de una parte, la edad de los estudiantes y su nivel de desarrollo y, de otra, que cada logro alcanzado en un curso, etapa o ciclo, se retoma y amplía en los ciclos siguientes. También, se debe partir de los niveles informales del razonamiento en los ciclos inferiores, hasta llegar a niveles más elaborados del razonamiento, en ciclos superiores.

3. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Además, conviene enfatizar que el razonamiento matemático debe estar presente en todo el trabajo matemático de los estudiantes y por consiguiente, este eje se debe articular con todas sus actividades matemáticas .

9. EJEMPLOS

10. 1. ¿CUÁL ES EL INTRUSO? El docente pide a sus alumnos y alumnas que saquen de su dominó las siguientes cinco fichas y las coloquen sobre sus mesas, como se muestra en la figura. Se debe elegir la ficha que se considera diferente de las otras. El niño y la niña deben justificar su elección.

13. 2. ¿QUÉ SIGUE Y CUÁL ES LA REGLA? Para este problema, los niños y las niñas deben sacar sus palillos y organizarlos como se indica en la figura. El niño y la niña debe observar la secuencia que se presenta, descubrir cuál es el siguiente término de la secuencia y formular una regla de formación.

15. 3. ¿DÓNDE VA ÉSTE? En esta situación se utilizan palillos de diferente longitud. Luego el/la maestro/a forma con ellos una secuencia, dejando un palillo por fuera. El/la niño/a debe ubicar el palillo que le entregan, justificando su decisión. El/la niño/a debe tomar el palillo y colocarlo entre dos palillos de la secuencia, comparándolo con el anterior y el siguiente, hasta decidir cuál es su posición.

16. 3. ¿DÓNDE VA ÉSTE? En este caso, el primer palillo debe ser ubicado entre el segundo y el tercero porque su longitud es mayor que la del segundo y menor que la del tercero. El otro palillo va entre el primero y el segundo. Una vez que los niños y las niñas se han familiarizado con problemas como los anteriores, realizados con material concreto, se pueden proponer problemas similares con fichas de trabajo en las que se representa el material.

17. 4. PIRÁMIDE NUMÉRICA Aquí las niñas y los niños realizan simultáneamente adiciones y sustracciones. En caso de cometer algún error, el mismo problema les sirve de control.

18. 5. CRIPTOGRAMA Hallar el valor numérico de cada uno de los símbolos. Esta situación ilustra una importante estrategia en el enfoque de resolución de problemas, empezando a resolverlo por el final. Aquí, el alumno/a debe hallar primero el valor de la estrella, luego el del círculo, después el rombo, hasta encontrar el valor del cuadrado.

19. 6. ¿CUÁNTOS CUADRADOS HAY? Aquí los alumnos y las alumnas comienzan contando los cuadrados de lado uno, después los de lado dos, y así sucesivamente. Es posible que dejen de contar algunos, pero al ver la solución, se dan cuenta dónde fallaron.

20. 7. ÁREAS Los dos cuadrados son iguales. ¿Cuál área sombreada es menor? Los alumnos y alumnas cuentan los cuadrados en la figura de la izquierda y en la figura de la derecha van completando cuadrados.

21. 8. CAMINOS A cada segmento entre dos puntos se le ha asignado un valor. Halla por lo menos tres caminos desde A hasta B cuyo valor sea 24. Aquí el alumnado va seleccionando segmentos y haciendo sumas, tratando de hacer los ajustes para conseguir 24.

22. 9. NUMEROGRAMA De la columna de las unidades los alumnos y alumnas concluyen que C tiene que ser igual a cero. Luego se dan cuenta que A tiene que ser un dígito mayor o igual que cinco. Y así comienzan a analizar casos, hasta encontrar la solución al problema.

23. 10. TRIÁNGULO MÁGICO Distribuye los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 7 en los 6 círculos de la figura de tal manera que en cada segmento de tres círculos se cumpla: El doble del dígito del centro es igual a la suma de los números de los extremos.

24. 10. TRIÁNGULO MÁGICO Aquí los alumnos y alumnas, por ensayo y error, van ajustando los números hasta encontrar la solución. Durante el desarrollo del problema o al terminar éste se les puede preguntar si el 7 o el 1 pueden ser ubicados en alguno de los círculos del centro de los lados del triángulo.

25. 11. PIRÁMIDE NUMÉRICA NATURAL Si , y si en la primera fila hay cuatro números naturales consecutivos, completa la pirámide.

26. 11. PIRÁMIDE NUMÉRICA NATURAL En esta situación, los alumnos y alumnas deben ensayar con números consecutivos en la primera fila. Al comienzo creerán que se trata de números consecutivos en orden creciente o decreciente, pero luego se darán cuenta de que esta condición no se ha dado. El docente puede aprovechar esta situación para analizar con su alumnado cómo varía la suma de arriba cuando se colocan los números en diferentes posiciones en las casillas de la primera fila.

27. 12. NÚMEROS DE 2 CIFRAS El producto de dos números es un número de dos cifras que es múltiplo de 3 y termina en 4. ¿Cuáles números pueden formar ese producto?

29. 13. SUMAS DE LETRAS Las siguientes tres sumas se cumplen al mismo tiempo. Conocemos los tres resultados, pero no conocemos los sumandos. Letras iguales representan dígitos iguales y letras diferentes, dígitos diferentes. Hallar los sumandos .

30. 13. SUMAS DE LETRAS Este tipo de problemas, le dan al alumnado la oportunidad de realizar un gran despliegue de razonamiento matemático. Por ejemplo, de la suma del centro puede concluir que B es impar. ¿Por qué? Y de la suma de la izquierda se puede concluir que B solamente puede tomar los valores 1, 3 ó 5. ¿Por qué? Luego, pueden hacer una lista sistemática, basada en los valores que puede asumir B y, así, obtener las soluciones del problema.

31. 14. ÁREAS En el rectángulo, C es el centro. ¿Cuál área es mayor, la verde o la blanca?

33. 15. PALÍNDROMOS ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra OSO en el gráfico? Como OSO es una palabra palíndroma, es decir, que se puede leer con el mismo significado de izquierda a derecha que a la inversa, el número de posibilidades aumenta. ¿Cómo? Primero los alumnos/as encuentran muchas formas de leer OSO, pero luego tienen que definir criterios para hallar todas las posibilidades.

34. 16. DIVISIÓN Nacho realizó en su cuaderno la división que se indica. Pero al revisarla encontramos un error. ¿Cuál? Una actividad importante en el desarrollo del razonamiento matemático es aprender de los errores que cometemos. Aquí los alumnos/as deben justificar con claridad dónde está el fallo en el que incurrió Nacho.

35. 17. CÁLCULO MENTAL Calcular mental y rápidamente: A. 2 x 977 x 5 = B. 2.5 x 5 x 4 = C. 4 x 17 x 2.5 = D. 0.5 x 456 x 2 = En estos ejercicios, los alumnos deben justificar las ventajas numéricas y las propiedades que aprovecharon para obtener el resultado.

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