Este documento presenta conceptos básicos sobre señales y sistemas, incluyendo series de Fourier, la transformada de Fourier, la transformada de Fourier discreta y la transformada rápida de Fourier. Explica cómo una señal continua y periódica puede representarse como una combinación lineal de funciones básicas de Fourier, y cómo la transformada de Fourier relaciona una señal con su espectro de frecuencias. También describe cómo la transformada de Fourier discreta muestra una "muestra" del espectro de frecuencias de una señal discreta,

1. Avance del Tema 2:
Señales y sistemas
Teoria de la Comunicació I
Jorge Hernández Pablo

2. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Recordatorio para el laboratorio
• Las prácticas de laboratorio se realizan con Octave:
▫ Aplicación software para el procesamiento de operaciones
numéricas y representación gráfica
▫ Diseñado para operaciones con vectores y matrices
▫ Funciones y comandos de programación para procesar,
simular o calcular la solución a un problema del mundo real
▫ Versión open source de Matlab
• En la primera práctica se muestra su funcionamiento con
un ejemplo de Transformada de Fourier continua y
discreta
▫ Es sólo un avance y se profundizará a lo largo del tema
Jorge Hernández 2

3. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Series de Fourier
• Una señal continua y períodica puede representarse como una
combinación lineal de funciones básicas de Fourier, que son
exponenciales imaginarias puras.
• Estas funciones son las series de Fourier continuas en el tiempo.
∞ ∞
x(t ) = ∑a e
k = −∞
k
jkω0t
= ∑a e
k = −∞
k
jk ( 2π / T ) t
• Ejemplo: x(t) = sen(t) + 0.2cos(2t) + 0.1sen(5t)
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4. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Transformada de Fourier (FT)
• Una señal x(t) y su Transformada de Fourier X(jω) se relacionan
por: ∞
∫
jω t
x(t ) =
1
2π X ( jω )e dω
−∞
∞
X ( jω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
−∞
• La FT se representa por:
F
x(t ) ↔ X ( jω )
• Por ejemplo : F 1
− at
e u (t ) ↔
a + jω
• No todas las señales tienen una TF (energía infinita T. Laplace)
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5. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Propiedades básicas de la FT:
• Linealidad: F
ax(t ) + by (t ) ↔ aX ( jω ) + bY ( jω )
• Desplazamiento temporal:
F
x(t − t0 ) ↔ e − jωt0 X ( jω )
• Diferenciación e integración:
dx (t ) F t 1
dt
↔ jω X ( j ω ) ∫−∞ x(τ )dτ = jω X ( jω ) + πX (0)δ (ω )
• Convolución en el dominio frecuencial:
F
y (t ) = h(t ) * x(t ) ↔ Y ( jω ) = H ( jω ) X ( jω )
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6. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
FT de una señal discreta
• Por analogía (t≈n, integral ≈ límite del sumatorio cuando
los intervalos tienden a cero):
∞
jω
X (e ) = ∑ x[n]e − jωn
n = −∞
x[n] = 1
2π ∫π
2
X (e jω )e jωn dω
• X(ejω) es periódica con periodo 2π
▫ Porque así lo es ejωn
• Converge si el sumatorio no es infinito:
∑
∞
n = −∞
| x[n] |< ∞
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7. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Propiedades básicas de la FT:
∞
• Impulso: F {δ [n]} = ∑ δ [n]e − jωn = 1
n = −∞
F
• Linealidad: ax1[n] + bx2 [n] ↔ aX 1 (e jω ) + bX 2 (e jω )
• Desplazamiento temporal:
F
x[n − n0 ] ↔ e − jωn0 X (e jω )
• Convolución en el dominio frecuencial:
y[n] = x[n]*h[n] Y(ejω) = X(ejω)H(ejω)
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8. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
• “Muestreo” de la TF de una señal discreta:
x[n] 0 ≤ n ≤ N − 1
x[n] =
0 resto
N −1 2π
−j
DFT {x[n]} = X [k ] = ∑ x[n]e
kn
N
,0 ≤ k ≤ N − 1
n =0
• Observación:
X [k ] = X (e jω ) 2π 0 ≤ k ≤ N −1
ω=
N
• Operación inversa:
N −1 2π
1
∑ X [k ]e
j kn
−1
x[n] = DFT { X [k ]} = N
,0 ≤ n ≤ N − 1
N k =0
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9. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Transformada rápida de Fourier (FFT)
• Es una implementación eficiente de la DFT:
▫ La DFT necesita N2 multiplicaciones complejas, muchas de
ellas redundantes
▫ La FFT es un algoritmo rápido de cálculo basado en
descomponer la secuencia en k subsecuencias y calcular
sobre ellas la DFT
▫ Para N = 2k se necesitan N·logN multiplicaciones, < N2
▫ Si N = 1024:
DFT 1.048.576 operaciones
FFT 10.240 operaciones
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10. Teoria de la Comunicació I 2. Señales y Sistemas
Gracias por vuestra atención
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