Este documento presenta los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma general ax2 + bx + c, y tres métodos para resolverlas: factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Luego, proporciona ejemplos para ilustrar cada método y ejercicios prácticos relacionados con ecuaciones cuadráticas y exponentes.

1. Bloque 4
Ecuaciones Cuadráticas –
Factorización
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c,
donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las
ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en
un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a=1 b=2 c=-8
(x ) (x )=0 [x ·x = x2]

2. ( x + ) (x - ) = 0
(x + 4) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x+4=0 x–2=0
x+4=0 x–2=0
x=0–4 x=0+2
x = -4 x=2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y
siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factor izar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que
despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0
4 4 4 4

3. x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8 [Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1 =8+1
x2 + 2x + 1 = 9
( ) ( ) =9 Hay que factor izar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
x+1= ±3

4. x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x=2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de
la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

5. Hay que separar uno positivo y otro negativo
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6 x = -2 - 6
2 2
x=4 x = -8
2 2
x=2 x=-4
PRACTICA 1
Resolver por factorización o por formula general.
Nota: por formula general salen todos
a.
b.
c.
d.
e.
f. 7x 2 + 2 1x − 28 = 0
g. 6x 2 −5 x + 1 = 0

6. Exponentes y radicales
Exponentes
Exponente de una potencia
El expo nent e de una po t enc ia
indi ca el núm er o de ve ce s que
m ult iplic a m o s la ba se por sí
m ism a .
5 · 5 · 5 · 5 = 54
El expo nent e d e la po t enc ia es
4.
L a ba se de la p o t enc ia es 5.
Exponentes negativos
L a po t enc ia de un núm er o c o n
ex po nent e ne ga t ivo es igua l al
inver so del núm er o eleva do a
ex po nent e po si t ivo .

7. Po t enc ia s fr a c c io na r ia s de exp o nent e nega t iv o
Una po t enc ia fr a c c io na r ia de
ex po nent e neg a t ivo es igua l a la
inver sa de la fr a c c ió n elev a da a
ex po nent e po si t ivo .
Exponentes fraccionarios
Una po t enc ia de expo n en t e
fr a c c io na r io se puede t r a nsfo r m a r
en una r a íz c uy o :

8. Í ndic e es el de no m ina do r .
Ra dic a ndo es la ba se eleva d a
a l num er a do r .
Po t enc ia s de e xpo nent e fr a c c io na r io y nega t ivo
PRACTICA 2
Escribe en forma de exponente:
a)
b)
c)
d)
e)
Escribe en forma radical:
a)
b)

9. c)
d)
e)
Radicales
Simplificar
Un radical se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario.
En nuestro ejemplo, se puede expresar como .
Por tanto se puede simplificar igual que una fracción; o sea se divide el
índice (12 que se coloca como denominador) y el exponente (9 que se coloca
como numerador) por un mismo número. (9 y 12 son divisibles por 3, y
quedan como 3 y 4)
Ahora podemos hacer el camino inverso y una potencia con exponente
fraccionario como podemos expresarla como un radical .
También se puede simplificar directamente (cuando es posible), dividiendo
el índice y el exponente por un mismo número (12 ÷ 3 = 4 y 9 ÷ 3 = 3).
Otros casos y más ejemplos:
Simplificar
Simplificamos directamente dividiendo, en este caso, índice y exponente
entre 4.
Simplificar
Expresamos el radical como una potencia con exponente fraccionario y
simplificamos la fracción.
Simplificar

10. Factor izamos la base (64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26), luego dividimos el
índice (9) y el exponente (6) por 3 y desarrollamos el cuadrado de la base (4).
Simplificar
PRACTICA 3
Simplificar los radicales:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)