Explicación sobre los temas más importantes que debes saber sobre la función cuadrática, para estudiantes de secundaria de Costa Rica

1. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Criterio de la función:
f x  ax2  bx  c
El vértice de la función: El punto máximo o mínimo alcanzado por la función.
Existen varias formas para determinar el vértice:
1- Hallando el punto medio entre los ceros de la función (o raíces: x1 y x2 ), y luego
evaluando ese valor en la función, para obtener la coordenada “y”.
Raíces de la ecuación:
ax2  bx  c  0
Además habrá tantas raíces reales como sea el valor del discrimínate, veamos:
 < 0  habrá CERO “0” raíces, no cortará nunca el eje “ x ”.
 = 0  habrá solo UNA raíz real, y será donde toque al eje “ x ” (tangente)
 > 0  Habrá DOS raíces reales y serán dos los puntos de intersección con
el eje “ x ”.
Gráficamente tendríamos lo siguiente:
 <0
 =0
 >0
2- O bien, utilizando la siguiente fórmula:
b 
V 
,

 2a 4a 
ó
Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.
Page 1

2. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
  b 4ac  b 2 
V 
 2a , 4a 



Donde el discriminante “  ” será igual a:
b 2  4ac
Eje de simetría: Es la recta vertical que interseca (corta) a la parábola en el punto del vértice:
b
.
2a
Es simétrico con respecto a los puntos de la función cuadrática que contienen el mismo valor
real de la variable dependiente.
La concavidad: La parábola correspondiente a la función cuadrática
f x  ax2  bx  c
será:
1- Cóncava hacia arriba si el coeficiente “ a ” es POSITIVO, y por lo tanto el vértice es un
punto MÍNIMO.
2- Cóncava hacia abajo si el coeficiente “ a ” es NEGATIVO, y por lo tanto el vértice es un
punto MÁXIMO.
Intersección con el eje “
y ”: Cuándo la variable independiente de la función se anula (o sea “ x ”
es cero), la parábola interseca al eje de las ordenadas en:
f 0  c
El par de coordenadas será entonces:
0, c . Esta será la intersección con el eje “ y ”.
Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.
Page 2

3. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
Veamos algunos casos especiales con la función cuadrática:
Caso 1:
f x  ax2  bx  c
con
 >0

a, b, c
son reales y
a0
interseca o corta al eje “ x ” en dos puntos diferentes (dos raíces
reales)
x1 ,0
x2 ,0
y
Si a  0
La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.
Si a  0
La parábola es cóncava hacia abajo.
El vértice es un punto MÍNIMO
El vértice es un punto MÁXIMO
  b 4ac  b 2 
V 
 2a , 4a 



Intersección con el eje “
y”
0, c  0, y
Eje de simetría
Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.
Page 3

4. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
x
b
2a
Caso 2:
f x  ax2  bx  c
con
 =0

a, b, c
son reales y
a0
interseca o corta al eje “ x ” en un solo punto (una raíz real)
x
1, 2
,0
Si a  0
La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.
Si a  0
La parábola es cóncava hacia abajo.
El vértice es un punto MÍNIMO
El vértice es un punto MÁXIMO
  b 4ac  b 2 
V 
 2a , 4a 



V  x,0
Intersección con el eje “
y”
0, c  0, y
Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.
Page 4

5. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
Eje de simetría
x
b
2a
x es la única raíz
Caso 3:
f x  ax2  bx  c
con
 <0

a, b, c
son reales y
a0
No interseca o corta al eje “ x ” en ningún punto (no hay raíz real)
Si a  0
La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.
Si a  0
La parábola es cóncava hacia abajo.
El vértice es un punto MÍNIMO
El vértice es un punto MÁXIMO
  b 4ac  b 2 
V 
 2a , 4a 



V  x,0
Intersección con el eje “
Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.
y”
Page 5

6. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
0, c  0, y
Eje de simetría
x
b
2a
Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.
Page 6