1. Los pitagóricos creían que los números eran el principio de todas las cosas y que el universo estaba ordenado matemáticamente. 2. Consideraban que la armonía, el orden y la proporción eran conceptos bellos que constituían propiedades objetivas. 3. La música tenía un papel importante en su filosofía, creían que purificaba el alma a través de la armonía de los sonidos.

1. Historia de las ideas sobre el arte
y la belleza en Occidente
Desde la Antigüedad hasta la época
contemporánea

2. A. Antigüedad

3. A.1. Pitágoras ( 582 a.C. – 507 a. C. Aprox.)

4. Las principales ideas de Pitágoras y los pitagóricos
sobre el mundo, el universo, el arte y la belleza
Pitágoras y los pitagóricos son un movimiento filosófico peculiar, a medio camino
entre la secta religiosa y la escuela filosófica, con una influencia posterior enorme.
Pitágoras (580-524 a C), que nació en Samos, fue un filósofo y el líder de un grupo
religioso (los Pitagóricos) los cuales tenían como precepto importante la creencia
en la trasmigración de las almas. Consideraban que el alma es una parte inmaterial,
unida al cuerpo, esta alma es la parte más importante del ser humano y es capaz
de vivir fuera del cuerpo. Es inmortal y se encuentra prisionera del cuerpo. Así
Pitágoras y sus seguidores tienen una visión dual del ser humano, dividiéndolo en
cuerpo (materia) y alma (inmaterial). Esta idea influirá notablemente sobre el
pensamiento de Platón.
El alma es lo más alto, y es prisionera del cuerpo, el alma va tomando distintos
cuerpos de todas las cosas que hay en el cosmos. La forma más alta y propia de
alma son los astros, (de aquí relacionamos la doctrina de Pitágoras con el
parentesco del alma con la sustancia de los astros). Si el alma es eterna es por ser
semejante a los astros y tener en ellos su verdadera morada

5. Los pitagóricos tenían una concepción del cosmos que estaba en relación con los
números. Anaximandro había hecho derivar lo limitado de lo ilimitado. Pitágoras
combinó esta noción con la del límite, que da forma a lo ilimitado. La proporción y
la armonía de los sones musicales son expresables aritméticamente. Transfiriendo
estas observaciones al mundo general, los pitagóricos hablaban de una “armonía
cósmica” en la que todas las cosas son números ya que los números son cosas.
Pitágoras y los pitagóricos fueron influenciados por el Orfismo. El Orfismo fue una
corriente religiosa que apareció en Grecia entre los siglos VII o VI a. de C.,
inspirada en los escritos atribuidos a Orfeo, que algunas fuentes consideran hindú.
El Orfismo trataba de explicar el origen del hombre y la causa de sus sufrimientos,
los cuales eran atribuidos a su doble naturaleza, dionisíaca y titánica. Sus adeptos
creían en la reencarnación y en la inmortalidad del alma.
La reencarnación era considerada un mal que se podía evitar por medio del
ascetismo para conseguir la liberación de lo dionisiaco del influjo de lo titánico.
Esta fuente de pensamiento influyó en Pitágoras, en Empédocles y en Platón,
además de penetrar y perpetuarse en las más variadas áreas del arte y el
pensamiento.

6. La transición del Orfeo mítico al Orfismo como doctrina tiene las características
del paso del mito al logos, porque tuvo una gran importancia en la formación de
una nueva forma de ver al hombre y al mundo, que superaba ampliamente la
mentalidad antigua helénica, siendo la creencia en la inmortalidad del alma uno
de sus principales aportes.
Orfeo era un músico, al cual se le atribuye el invento de la lira y de la cítara. Orfeo
descendió al Hades (el infierno) en busca de su esposa Eurídice, muerta por la
picadura de una serpiente al huir de la persecución de Aristeo. Orfeo, cuya música
tenía el poder de influir sobre las plantas, las piedras y los hombres, consiguió que
los dioses aceptaran devolverle a su esposa pero con una condición: que partiese
él primero sin volver su cabeza hasta haber traspasado las puertas del infierno. La
duda lo obligó a no cumplir con el compromiso y volvió a perder a Eurídice.
La leyenda cuenta que murió en manos de las mujeres que pretendían su amor,
humilladas por la fidelidad que guardaba a su esposa.
La versión que deriva del Orfismo dice que Orfeo fue fulminado por Zeus por haber
revelado a un grupo de iniciados lo que había visto en el Hades.

7. En su obra “Historia de la belleza”, Umberto Eco escribe:
“Pitágoras (que probablemente durante sus viajes entró en contacto con las
reflexiones matemáticas de los egipcios) es el primero en sostener que el número
es el principio de todas las cosas. Los pitagóricos sienten una especie de terror
sagrado ante el infinito y todo aquello que no puede reducirse a un limite, y por
eso buscan en el número una regla capaz de limitar la realidad, de proporcionarle
orden e inteligibilidad. Con Pitágoras nace una visión estético-matemática del
universo: las cosas se extienden porque están ordenadas, y están ordenadas
porque en ellas se cumplen las leyes matemáticas, que son a la vez condición de
existencia y belleza.
“Los pitagóricos son los primeros en estudiar las relaciones matemáticas, regulan
los sonidos musicales, las proporciones en que se basan los intervalos, la relación
entre la longitud de una cuerda y la altura de un sonido. La idea de armonía
musical se asocia estrechamente a cualquier regla para la producción de lo bello.
“Pitágoras había calmado y devuelto la conciencia a un adolescente ebrio
haciéndole escuchar una melodía de modo hipo frigio en ritmo espondaico (ya
que el modo frigio le estaba sobrexcitando). Los pitagóricos, que clamaban con
el sueño las preocupaciones cotidianas, se dormían al son de determinadas
cantilenas; una vez despiertos, se liberaban del sopor del sueño con otras
Modulaciones”.

8. Resumen de las ideas estéticas de los pitagóricos
1. La armonía, el orden y la buena proporción eran considerados no sólo como
conceptos valiosos, bellos y útiles, sino que también estaban condicionados
objetivamente, es decir que constituían una propiedad objetiva de las cosas.
2. La regularidad de las cosas, su uniformidad, su orden se encuentran a la base
de la armonía que reina en el universo.
3. La armonía no era para los pitagóricos una cualidad de una cosa particular,
sino de la adecuada distribución de varias cosas y varios elementos.
4. La armonía es un sistema cuantitativo, un sistema matemático que depende
del número, de la medida y de la proporción. Esta tesis constituía la doctrina
propiamente pitagórica derivada de su filosofía matemática, que se basaba en
sus descubrimientos acústicos. Ella fue el fundamento de su concepción
cosmológica, que creó los cimientos de la futura estética griega y se convirtió
en su elemento básico. Influyó no sólo sobre el desarrollo de la estética, sino
también sobre el desarrollo del arte griego, en particular sobre su música y
también, indirectamente, sobre sus artes plásticas.
5. La estética pitagórica de la armonía, el orden y la proporción constituye la
expresión de una confianza básica en la belleza y buena conformación del
universo (kosmos).

9. Pitágoras y la música

10. Carácter excepcional de la música
La música nos purifica. La teoría pitagórica sobre la purificación mediante la
música era todo un conjunto de tesis:
1. La música era una manifestación del alma, de su carácter, de su ethos.
2. Es una manifestación “natural” y única en su género.
3. La música es buena o mala, independientemente del carácter que exprese.
4. Gracias a los vínculos entre el alma y la música resulta posible que pueda
producirse un perfeccionamiento o una corrupción del alma por la música.
5. El objetivo de la música no consiste, ni mucho menos, en proporcionar
placer sino en formar el carácter. Según Ateneo, “el propósito de la música no
consiste en proporcionar placer, sino en servir a la virtud”.
6. Mediante la buena música se consigue la “purificación” del alma y su
liberación de los lazos culturales.
7. Por eso, la música es algo excepcional, único, distinto de las otras artes.

11. Lectura y comentario de algunos textos sobre
Pitágoras y los pitagóricos
- Los llamados pitagóricos, los primeros en ocuparse de las matemáticas,
las hicieron avanzar y, nutridos con ellas, creyeron que sus principios eran
los principios de todos los seres puesto que las demás cosas parecían
asemejarse en toda su naturaleza a los números, y los números eran lo
primero de toda naturaleza, supusieron que los elementos de los números
eran los elementos de todos los seres y que todo el cielo era armonía y
número.
“Pitagóricos” - (Aristóteles, Metafísica A 5, 958b 23).
- Al moverse los astros nace una armonía, puesto que sus ruidos son
armónicos… y, suponiendo que también las velocidades tienen por las
distancias las relaciones de los acordes musicales, dicen que es
armonioso el sonido de los astros que se mueven en círculo.
“Pitagóricos” - (Aristóteles, De coelo B 9. 290b 12).

12. Y por eso Platón, y aún antes los pitagóricos, llamó música a la filosofía, y
dicen que el universo está constituido armónicamente, creyendo que toda
forma musical es obra de los dioses. Y así también, las Musas son diosas,
Apolo, conductor de las musas y toda la poesía hímnica.
“Pitagóricos” - (Estrabón, X 3, 10).
También los pitagóricos , a los que sigue a menudo Platón, dicen que la música
es perfecta armonía de contrarios , unidad de muchas cosas y consenso de
elementos que disienten; pues no sólo ponen orden en los ritmos y el canto, sino,
en una palabra, en todo el sistema, pues su fin es unir y armonizar. Y dios es el
armonizador de lo que disuena, y ésta es la mayor obra de dios, hacer amigo lo
enemigo según la música y la medicina. En la música, dicen, está la concordia
de las cosas e incluso el gobierno del universo; pues ella es en el mundo armonía,
en la ciudad buena legislación, y en las casas moderación; da, en efecto,
consistencia y une la multiplicidad. La eficacia y utilidad de esta ciencia, dicen,
se manifiesta en cuatro cosas humanas: el alma, el cuerpo, la casa, la ciudad,
pues estas cuatro cosas necesitan armonía y orden.
“Matemática I” - Teón de Esmirna, (Hiller, p. 12).

13. - El orden y la simetría son cosas hermosas y útiles, pero el desorden y la
asimetría, feas e inútiles.
“Pitagóricos” - (Estobeo Fcl. IV I, 40 H; frg. D 4, Diles).
- Ningún arte se constituye sin proporción; y la proporción reside en el número.
Así pues, todo arte se constituye por medio del número… de modo que hay
una cierta proporción en la plástica e igualmente también en la pintura, por
medio de la cual se consigue la semejanza y la identidad. En general, todo
arte es un sistema de percepciones, y el sistema es número. Por tanto, es
razonable decir que “todo se parece al número”, es decir, a la razón capaz de
juzgar y afín a los números que componen todas las cosas.
“Pitagóricos” - (Sexto Empírico, Adv. mathem. VII 106).
- Una armonía invisible es superior a una visible.
“Heráclito” - (Hipólito, Refut. IX g; frg. B 54 Diels).

14. Phi

15. Una intuición genial de Pitágoras :
La Divina Proporción

16. El Número de Oro y la Divina proporción
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado,
para las quienes lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino.
¿Por qué?. Ello tiene relación con Pitágoras y la Escuela Pitagórica.
Trataban de explicar la vida mediante números, de ahí que el principio básico de
los pitagóricos fuera: “Todo es número”. Se comunicaban mediante un símbolo
secreto: la estrella de 5 puntas, que se obtiene trazando las diagonales de un
pentágono regular.

17. Estudiando la estrella de cinco puntas, descubrieron que, si se divide en
cualquier pentágono regular el valor de la diagonal entre el valor del lado, el
número que se obtiene es siempre el mismo, 1,61803… Habían encontrado el
número de oro, al que se ha llamado “Phi” (ø ), en honor al escultor Fidias, que
tanto lo utilizó.
Pero algo les desconcertó: hasta entonces, todos los números conocidos
podían expresarse como un cociente entre dos números naturales, en cambio
ese número no. Era inexplicable para ellos, atentaba contra su propia
concepción del mundo, así que incluso decidieron ocultarle a la sociedad que
habían descubierto un nuevo tipo de números, los números irracionales.

18. La proporción Áurea o Divina
Decimos que dos números se encuentran en proporción áurea cuando al dividirlos
obtenemos Phi, el Número de Oro. Para numerosos artistas representa la máxima
expresión de la Belleza, la proporción perfecta, de ahí que esté en innumerables
edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días.
El Rectángulo de Oro es aquel rectángulo tal que si dividimos el lado mayor entre
el menor obtenemos 1,618...,es decir, el número de oro.
Es un rectángulo especialmente bello y armonioso, por eso numerosos pintores lo
utilizan a la hora de componer sus cuadros, los arquitectos eligen las dimensiones
de sus edificios de la misma forma, y los escultores moldean sus figuras humanas
dentro de rectángulos de oro. Parece ser que el ojo humano percibe más belleza
en ese rectángulo que en ningún otro. Será así porque quizás nosotros mismos
estamos construidos en proporciones áureas.
Un rectángulo de oro tiene una característica muy interesante: si se recorta de él
un cuadrado, el rectángulo que queda sigue siendo un rectángulo de oro. Podemos
realizar ese proceso tantas veces como queramos con los sucesivos rectángulos
de oro que vamos obteniendo, de forma que podemos trazar una espiral
apoyándonos en los sucesivos cuadrados que se van formando.

19. Una de las operaciones más sencillas que existen para afrontar el tema de la
proporción áurea consiste en dividir un segmento de línea de la forma asimétrica
más simple:
Dado el segmento AB, se sitúa sobre BF, perpendicular a AB, un segmento
BD = AB/2, y se une A con D. Con un compás, tomando como centro D, se
obtiene DE = DB. Después tomando como centro A, se traza el arco de círculo EC,
siendo C el punto buscado. La longitud AB se ha dividido en dos partes iguales
de forma que la mayor es a la menor como la suma de las dos es a la mayor.

20. Hay otra manera sencilla de encontrar esta proporción utilizando regla y compás,
y que no parte de la totalidad del segmento sino del segmento mayor:
Dado el segmento AC, construir el cuadrado ACDE, buscar el punto medio h del
lado AC, unir h con D. Con h como centro, trazar desde D, el arco de círculo que
haga intersección con la prolongación de AC, con lo que se obtiene el punto B.
Tenemos que: AC/CB = AB/AC a/b = a + b/a

21. La Espiral de Oro

22. Podemos, a partir de la división sucesiva del Rectángulo de Oro en razón áurea
llegar a construir una espiral. Ésta se obtiene mediante el trazado sucesivo de
los semicírculos que tienen su centro en un vértice del cuadrado y cuyo radio es
igual al lado del cuadrado. Es la Espiral de Oro.

23. No es raro encontrar la presencia de la Espiral de Oro en la naturaleza

24. En los nautilos partidos por mitad aparece la sección áurea
o
Espiral de Oro.

25. La Secuencia de Fibonacci
La secuencia de Fibonacci es una resurgencia de la teoría matemática de los
pitagóricos en la Edad Media: es una secuencia infinita de número que comienza
por 1, 1, 2, 3, 5,8,13..., en la que cada uno de ellos es la suma de los dos
anteriores.
Así: 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 13=8+5 .
Para cualquier valor mayor que 3 contenido en la secuencia, la proporción entre
cualesquiera dos números consecutivos es 1,618, o Sección Áurea.
Leonardo Fibonacci nació en Pisa. Italia, en 1170. Creció y fue educado en Bugia,
norte de África (hoy llamada Bejaia, en Argelia), desde donde regresó a Pisa
alrededor del año 1200. Fue sin duda influido y posiblemente enseñado por
matemáticos árabes durante este su periodo más formativo.
Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través
de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más
destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 27 años de
edad, Así en 1202 publica al Liber abaci (Libro del ábaco) del que ha llegado
hasta nosotros una edición revisada de 1228, dedicada a un famoso astrólogo de
la época.

26. En el Libro del ábaco, Fibonacci describe el cero, el sistema posicional, la
descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad, y muestra las
ventajas del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad
comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de
moneda, y otras numerosas aplicaciones. El libro fue recibido con entusiasmo
en la Europa ilustrada y tuvo un impacto profundo en todo el pensamiento
matemático europeo.
Fibonacci murió en 1250.
Leonardo de Pisa Fibonacci

27. El número áureo en el ser humano
La Anatomía de los humanos se basa en una relación áurea ( Φ ) estadística y
aproximada. Podemos comprobar que se cumple la divina proporción en:
- La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
- La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a
los dedos.
- La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
- La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera
falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera.
- La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
- La relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar.
- Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los
bronquios por el de la tráquea o el de la aorta con sus dos ramas terminales
(ilíacas primitivas), siempre se obtiene Φ, el número de oro.

28. Arte y Matemáticas
Las construcciones más famosas en las que se ha utilizado la proporción de oro
son dos: el Partenón y la Gran Pirámide de Keops.
Los griegos descubrieron el número de oro, así que no es de extrañar que el
monumento más representativo de la cultura clásica esté diseñado de acuerdo
con proporciones áureas.
El Partenón

29. La fachada del partenón es un perfecto rectángulo de oro, pero además, hay
otra serie de medidas en el edificio que también poseen proporciones áureas.
En la fachada podemos encontrar los siguientes rectángulos áureos:
ABCD, AEGH, AEBF, y sus simétricos y, además, la zona de las molduras
también está compuesta por rectángulos áureos.

30. La Gran Pirámide de Keops es una de las más importantes obras arquitectónicas
de la humanidad, siendo considerada una de las “siete maravillas” del mundo
antiguo. Fue construida alrededor de año 2550 a.C., hace casi 5000 años.
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos
áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en
el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.

31. Esta constante matemática, la Divina Proporción, no sólo se encuentra presente
en la pirámide de Keops y en el Partenón, sino también en la mayor parte de
aquellas cosas que ante nuestros ojos nos parecen bellas, particularmente en
las obras de arte.
Antiguedad
Venus de Milo ( 130 a. C. )

32. Edad Media
Catedral de Notre Dame en Paris
( 1163 - 1345 )

33. Renacimiento
Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione
del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales
han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli
propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de
su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del
hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.
El hombre de Vitruvio

34. Leonardo da Vinci: Mona Lisa ( 1505 )

35. Leonardo da Vinci: Anunciación ( 1475 )

36. Sandro Boticelli : El nacimiento de Venus ( 1482 - 1484 )

37. Época Barroca ( Siglo XVII )
José de Ribera: El martirio de San Felipe ( 1639 )

38. Época Barroca ( Siglo XVII )
Diego Velázquez: Las Meninas ( 1656 )

39. Las Meninas

40. Siglo XIX
George Pierre Seurat: La parada del circo ( 1887 )

41. La parada del circo

42. Siglo XX
Marcel Duchamp : Mariée ( 1912 )
Der: Trazado según la sección áurea del Grand Verre

43. Siglo XX
Piet Mondrian : Composición ( 1921 )

44. Siglo XX
Salvador Dalí : Leda Atómica ( 1949 )

45. Leda Atómica

46. Arquitectura
Le Corbusier diseñó sus edificios modulándolos a partir de la serie Fibonacci

47. Fotografía
Foto de Cartier Bresson

48. Fotografía

49. Fotografía

50. Ilustración
Cornelis Escher

51. Escultura
Rinus Roelofs

52. Escultura
Rinus Roelofs

53. En resumen
Con Pitágoras y los pitagóricos nace una interpretación “estética” del mundo
fundada en la convicción de que en el universo reina un orden. Es porque
en él rige un ordenamiento racional que el todo se sostiene sin que el caos lo
disgregue. Lo que más apropiadamente refleja ese orden es el número. Todo
está matemáticamente articulado y configurado.
Si en el universo es bello en sí mismo y podemos conocer los principios que
rigen ese orden a través de las ciencias matemáticas y geométricas, entonces
estamos en condiciones de introducir en las obras humanas esos mismos
principios. Si lo hacemos, lograremos rodearnos de armonía, equilibrio, ritmo,
buena proporción, adecuada distribución y regularidad, es decir que en nuestras
creaciones reproduciremos la objetiva belleza que reina en el cosmos.
Se instaura así una primera manera de entender la belleza y producirla. Ese
enfoque de la belleza influirá decisivamente en la Grecia antigua expresándose,
sobre todo en el siglo V a. C. en la arquitectura, la escultura y la pintura.
Llamamos “estilo clásico” a aquel que contempla los principios instaurados por
los pitagóricos y sus sucesores. El estilo clásico griego fue luego adoptado por
los romanos, por ello se habla del “clasicismo greco-romano”.

54. El estilo clásico es dominante en Occidente. Incluso aquellos estilos que se
apartan de los principios clásicos, como por ejemplo el manierismo y lo barroco,
permanecen hasta cierto punto negativamente vinculados con las normas
establecidas por el clasicismo.
Un importante fenómeno cultural europeo, el Renacimiento, que tuvo lugar en los
siglos XIV, XV y XVI significó un rebrote de los principios estéticos imperantes en
la antigüedad clásica. En el siglo XVIII, después del manierismo y el barroco, se
producirá el retorno de esos principios a través del estilo Neoclásico.
¿Siguen vigentes los principios que se encuentran a la base del estilo clásico?
En el fondo sí, puesto que lo que está en los fundamentos de “lo clásico” son las
matemáticas: la medida, la regularidad, la ritmicidad, la razón lógica.
Hoy, lo que domina son las “artes tecnológicas”, la fotografía, el cine, la televisión,
el video y lo “multimedial”, que hoy encuentra su manifestación más evolucionada
en los videojuegos.
Nadie ignora que sin los avances científicos y tecnológicos, que descansan por
entero en el calculo matemático, estas practicas artísticas no serían posibles.

55. Fin de Pitágoras y los Pitagóricos
Próxima presentación: Sócrates y los Sofistas