El balance de circuito de flotación se puede realizar mediante matrices, convirtiendo los flujos entrantes y salientes en separadores y las uniones en nodos, el cual va facilitar aplicar paquetes computarizados.

1. Ing. Ramiro SIUCE BONIFACIO
UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION
Programa académico de ingeniería Metalúrgica.
BALANCE DE MATERIAS EN CIRCUITOS DE FLOTACION COMPLEJOS
(por-R.Siuce)
Para calcular un balance de materia en un circuito complejo de flotación, se requiere un
método analítico de generación de "n" ecuaciones lineales con "n" incógnitas. Cualquier
flowsheet de planta, puede convertirse a una serie de nodos, donde las corrientes del
proceso se juntan o separan. Los nodos simples tienen o bien una corriente ingresante y
dos salientes (separador), o dos corrientes ingresantes y una saliente (unión). Se ha
demostrado como veremos más adelante, que con solo conocer el peso de una corriente
de referencia (generalmente el alimento), el número mínimo de corrientes que debe
muestrearse, para que se pueda obtener un balance completo del circuito es:
N = 2 (F + S) - 1
Donde: F = número de corrientes de alimentación
S = número de separadores simples
Ejemplo.- Un mineral de cabeza de 5% en Plomo se alimenta a un banco de flotación en
donde se produce un concentrado que analiza 45%Pb. El relave que ensaya 0.7% y que
alimenta a otro banco de celdas, produce un concentrado pobre de 7%Pb. El relave
final ensaya 0.2%Pb. (Ver fig. 1.).
Fig.1.- Flowsheet de nodos simples.
El número de corrientes a muestrearse es:
2 (1 + 2) – 1 = 5,
es decir, todas las corrientes del circuito deben ser muestreadas para obtener su balance.
Los separadores que producen más de dos productos, o uniones que se alimenten con
más de dos corrientes, pueden transformarse en nodos simples conectándolos con
corrientes que físicamente no existan. Por ejemplo, el banco de flotación mostrado en la
fig.2., puede reducirse a la forma de nodos y luego convertirse en nodos simples.

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El número mínimo de corrientes que debería muestrearse en este circuito es:
2( 1 + 3 ) – 1 = 7
Y ya que solo podrían muestrearse 5 corrientes, entonces se requerirían dos pesos
adicionales para complementar al peso de referencia, que es el alimento.
Se puede observar que un nodo que produce cuatro productos, puede transformarse a
tres nodos separadores simples; y en general, si un separador produce n productos,
podría convertirse a n-1 nodos simples.
Este método involucra el uso de una matriz de conexión C, donde cada elemento de la
matriz es:
+1 para la corriente j ingresante al nodo i.
Cij - 1 para la corriente j saliente del nodo i.
0 para la corriente j que no aparezca en el nodo i.
Al final de este resumen, se adjunta un programa (CONMAT) para formar y analizar la
matriz conexión, y los siguientes ejemplos ilustran el uso de este método.
Considerar el flowsheet de la figura 3.
Fig.3.

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Hay 11 corrientes y 4 nodos. La matriz conexión por lo tanto tiene 11 columnas y 4
filas:
Los contenidos de cada columna representan las corrientes individuales, y al sumárseles
deben dar +1, -1 ó 0; cualquier otro resultado indicaría error en los datos de ingreso.
+1 El flujo es un alimento
Es decir: Suma de columna = -1 El flujo es un producto
0 El flujo es una corriente interna
Por lo tanto, la suma de columnas indica que la corriente 1 es un alimento, las corrientes
2, 6, 7, 8, 9, 10, 11 son productos, y las corrientes 3, 4 y 5 son corrientes internas.
Los elementos de cada fila representan los nodos individuales, y si se cuentan la
cantidad de "+1" (np) y luego la de "-1" (nn), entonces np y nn se pueden usar para
estimar el número de nodos simples.
Numero de uniones simples (J) = np - 1
Numero de separadores simples (S) = nn - 1
Los nodos ahora se pueden clasificar de la siguiente manera:
Hay por lo tanto, seis separadores simples, y ninguna unión; y el mínimo número de
corrientes que debe ser muestreado es:
2 ( 1 + 6 ) - 1= 13
Ya que solamente hay 11 flujos disponibles, se requieren dos (flujos de) pesos
adicionales para complementar a la corriente de referencia. y calcular el balance. Es
importante que cuando se necesiten estos pesos adicionales, ningún subconjunto de
medidas de flujo incluya todas las corrientes en un nodo o grupo de nodos. Por ejemplo,
las mediciones del peso de las corrientes 6 y 7, darían la información completa para el
nodo 2 y por lo tanto no se produciría un balance único.
Considerar el circuito de la fig.4, y su circuito reducido a la forma de nodos. Notar que
el molino de bolas ha sido ignorado, porque es un nodo anormal, donde no ocurre

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separación y, por lo tanto, no hay cambio en los ensayes ni flujo; más bien considerar
que si hay cambios en la distribución por tamaños.
Hay 11 corrientes y seis nodos, los cuales pueden representarse por la siguiente matriz
conexión.
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1
0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0
La suma de columnas identifica las corrientes 1 y 4 como alimentos, corrientes 9 y 10
como productos, y las otras corrientes como flujos internos.

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La clasificación de los nodos es:
Nodo np nn J S
1
2
3
4
5
6
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
3 3
De esta manera, el sistema consiste de 3 uniones y 3 separadores simples, y N= 2(2+3)-1
= 9. Por lo tanto, aunque hay once corrientes disponibles, solamente se necesitan
muestrear nueve para obtener el balance. Al escoger las nueve corrientes, se deben elegir
todos los alimentos y productos, y se debe también hacer uso de la matriz conexión para
seleccionar las corrientes remanentes. Si en este ejemplo, la corriente 1 es la corriente de
referencia, entonces las corrientes 2 a 11 son de peso desconocido. Por lo tanto, se
requieren diez ecuaciones lineales independientes para determinar los pesos de cada
corriente, referida a la corriente N° 1. Se puede ejecutar un balance de material en cada
nodo, dando seis ecuaciones; y se puede obtener una ecuación adicional del balance
general de componentes de los alimentos y productos. Por tanto, se requerirían tres
balances de componentes de los nodos del circuito. Es evidente que si las corrientes 3 y
7 no fueran muestreadas, entonces no será posible un balance de componentes en
aquellos nodos que incluyen cualquiera de estas corrientes; es decir, nodos 2, 3, 5 y 6.
Solamente estarían disponibles dos nodos para el balance de componentes, por lo que
habría insuficiencia de ecuaciones independientes. Sin embargo, si no se
muestrearan las corrientes 3 y 5 entonces sería posible un balance de componentes en
los nodos 1, 5 y 6, y si se produciría un conjunto suficiente de ecuaciones. También
es evidente que si se omite solo el muestreo de la corriente 3, entonces se puede
producir diez ecuaciones lineales a partir de los seis nodos separados, y el balance
general de componentes del alimento y producto estaría demás.
Si la data experimental estuviera libre de error, entonces la elección, si existiera, de las
nueve corrientes requeridas no tuviera alguna incidencia, porque cada conjunto completo
conduciría a un balance idéntico. Ya que el error experimental siempre existe, la
selección de las corrientes de flujo requeridas para producir el balance es importante,
porque ciertas corrientes pueden incrementar la sensibilidad al error. Por ejemplo, un
balance en una unión donde solo ocurre una. pequeñísima separación de componentes,
esta propenso a error.
El procedimiento indica también que donde sea posible, se debe efectuar mediciones de
flujo de masa, ya que esto reduce la sensibilidad al error experimental. Cada medida
adicional de flujo de masa, reduce N en uno, condicionado a que como se mencionó
antes, la localización del punto en donde se mida el flujo, no se escoja de manera, tal que
todos los flujos en cualquier nodo sean conocidos. Es decir, los flujos de masa no
deberían producir data, que puedan ser calculados a partir de las mediciones de
componentes disponibles. A este respecto, una concentradora puede reducirse a un nodo
de separación simple, tal que, si se conociese el flujo másico del alimento, la medida del
flujo de concentrado hace viable el cálculo directo del peso de colas.

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Seguidamente se puede definir una matriz de materiales, donde cada elemento en la
matriz es
Mij = CijBj
Donde Bj representa el flujo de sólidos en peso en la corriente j.
Si usamos la matriz conexión del circuito de flotación mostrado como un ejemplo, cada
fila en la matriz genera una ecuación lineal que representa un balance de materiales. Por
ejemplo, la fila. 2 es:
C2j = 0 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 1
y la matriz de materiales M2j en el nodo 2 es:
−B2 −B3 −B11 = 0
También se puede definir una matriz de componentes, donde cada elemento de la matriz
es:
Aij = CijBjaij = Mijaj
aj representa el valor del componente (ensaye, % en fracción de tamaño, radio de
dilución, etc) en la corriente j, el cual da para el nodo 2:
−B2a2 −B3a3 −B11a11 = 0
En cualquier nodo particular, es importante que se use el mismo componente para
estimar cada corriente, y se debe escoger el componente de modo que produzca una
ecuación con mínima sensibilidad a error. El componente puede seleccionarse por
análisis de sensibilidad y con tal que se use el mismo componente en cualquier nodo
particular, se podrán usar otros componentes para balancear otros nodos en el circuito.
Esto significa que en un balance de un circuito complejo, se puede utilizar el contenido
metálico, radios de dilución y análisis de malla, en varias partes del circuito.
Combinando Mij y Aij en una matriz produce
Donde s = número de corrientes, y n = número de nodos.
Si la corriente s es la corriente de referencia (preferiblemente un alimento), y Bs =1
entonces Bj representa la fracción de la corriente de referencia que reporta a la corriente
j.
Ya que Bs = 1, M1s = C1s, y A1s = C1sas
Por consiguiente, en forma matricial, el conjunto de ecuaciones lineales debe resolverse:

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Una ecuación adicional puede incluirse en el conjunto. La planta puede representarse
como un nodo simple, tal que el peso del componente contenido en el alimento es igual
al peso de componente en los productos. Esta ecuación debería usarse en lo posible,
porque usualmente hay una muy buena separación de componentes en este nodo. El
balance de materiales en este nodo no puede sin embargo ser incluido en al conjunto,
porque no es independiente del conjunto de las ecuaciones de balance de materiales en
los nodos internos.
Ejemplo:
El circuito mostrado a continuación, después de su muestreo, dio los siguientes
resultados:
Corriente Ensaye, % metal
1 No muestreada
2 0.51
3 0.12
4 16.1
5 4.2
6 25.0
7 No muestreada
8 2.1
9 1.5
Confirmar, mediante el uso de la matriz conexión, que se ha obtenido suficiente
información para calcular todos los flujos de peso. Y usar la matriz conexión para
calcular los flujos.

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Solución
La matriz conexión es:
La matriz confirma la corriente 9 como un alimento, las corrientes 3 y 6 como productos
y los remanentes como corrientes internas. El número de separadores simples es igual a
tres, de manera que el mínimo número de corrientes a muestrearse es:
2 ( 3 + 1 ) – 1 = 7
Asumiendo la corriente B9 = 1, la matriz de materiales (a partir de la matriz conexión) es:
Ya que las corrientes 1 y 7 no fueron muestreadas, los balances de componentes en los
nodos que contienen estas corrientes no pueden ser ejecutados. La matriz de
componentes (de los nodos 3 y 4) es por lo tanto:
Con el objeto de producir una matriz cuadrada, se requiere una ecuación adicional. Si
todo el circuito se le considera como un nodo simple, entonces un balance de
componente daría.
De este modo las corrientes muestreadas proveen suficiente información y la matriz que
debe resolverse es:

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Esta matriz puede resolverse por el método de Gauss para dar:
B1 = 1.14
B2 = 1.04
B3 = 0.94
B4 = 0.09
B5 = 0.10
B6 = 0.06
B7 = 0.14
B8 = 0.04
El ejemplo ilustra claramente la ventaja de usar la matriz conexión, para obtener el
conjunto necesario de ecuaciones lineales para evaluar el circuito. Las siete corrientes
muestreadas produjeron la información suficiente para la evaluación. Sin embargo, si las
corrientes 2 y 8 no hubieran sido muestreadas, entonces los balances de componentes
sobre los nodos 2, 3, 4 y 5 no hubieran sido posibles, porque no se dispondría de
suficientes ecuaciones lineales.
La matriz conexión es la base para los paquetes computarizados de balance de material
que se han producido últimamente.