Este documento presenta varios ejemplos de problemas de probabilidad total y teorema de Bayes resueltos. El primer ejemplo involucra la probabilidad de que un paciente infantil sea menor de 24 meses en un hospital. El segundo ejemplo calcula la probabilidad de que un paciente de cirugía estética sea masculino. El tercer ejemplo determina la probabilidad de que se haya usado el primer equipo de ultrasonido si se detecta un error.

1. Ejercicios Resueltos Prob. Total y Teorema de Bayes
EJEMPLO 1
En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son
menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la
sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que
forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los
sucesos condicionados.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24
meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo
de probabilidad total. Su probabilidad será:
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de
reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos
condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24
meses será:
EJEMPLO 2
Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan
correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe
además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15%
implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:

2. a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino
b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía
de implantes mamarios.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales
Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas
Suceso H: pacientes de género masculino
a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya
que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:
b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de
la probabilidad será:
EJEMPLO 3
Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada
equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen
probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una
ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer
aparato.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso P: seleccionar el primer aparato
Suceso S: seleccionar el segundo aparato
Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con error

3. Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen erradosea
del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de
bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos
produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

5. Ejercicio4:
Seanlossucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.

7. OBSERVACIÓN. Elapartado b) también puede resolversemediante probabilidades
condicionadas.
Ciertamente, la probabilidad de la segunda estrategia viene dada por
max´ {P(B),P(A/Bc )},
pues el tratamiento A se aplica una vez se sabe que el tratamiento B no ha funcionado.
PeroP(A/B) = P(A),porque A yB son independientes. Luego
Teniendo en cuenta que P(B c ) = 1−P(B) 6= 0 resulta P(A) = P(A/B c ).
Queda asíprobado que A y B c son independientes, como sepretendía. Atendiendo a esta
propiedad, encontramos que la probabilidad de la segunda estrategia es:
max´ {P(B),P(A/Bc )} = max´ {P(B),P(A)} =0.3.

11. Estamos interesados en calcular los coeficientes falso-positivo α y falso-negativo β para los
casos estudiados. A tal fin, sean los sucesos:
T + = {el diagnóstico es positivo},
T − = {el diagnóstico es negativo}. Al ser equiprobable cada caso estudiado, según los datos
inferidos de la tabla encontramos que
Por definición,
α = P(T +/R −) = P(T+ ∩R −) P(R−) , β = P(T−/R +) = P(T− ∩R +) P(R+) .
Ahora bien, el número de casos con biopsia benigna clasificados como positivos es de 7, por lo
que
P(T + ∩R −) = 7 500. De igual manera, P(T− ∩R +) = 19 500.
Consecuentemente, α = 7 500 402 500 =7 402 = 0.017, β = 19 500 98 500 = 19 98 = 0.194
Como conclusión podríamos decir que el cirujano patólogo detecta la enfermedad en
pacientes que no la tienen en un 1.7%, mientras queno detecta la enfermedad en pacientes
que la tienen en un 19.4% delos casos.
OBSERVACIÓN. Para la determinación del coeficiente falso-positivo α podemos razonar
también del siguiente modo. De las 402 biopsias benignas, 7 han sido falsamente clasificadas
como malignas; por tanto, α = 7/402 = 0.017. Similarmente β = 19/98 =0.194, ya que hay 98
biopsias malignas de las cuales 19 han sido clasificadas erróneamentecomo benignas.
Ejercicio 5.6. Un test detecta la presencia de cierto tipo T de bacterias en el agua con
probabilidad 0.9, en caso de haberlas. Si no las hay, detecta la ausencia con probabilidad de
0.8. Sabiendo que la probabilidad de que una muestra de agua contenga bacterias del tipo T es
0.2, calcular la probabilidad de que: a) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test

12. ha dado resultado positivo. b) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado
resultado negativo. c) Haya bacterias y además el test dé positivo.
d) O haya bacterias, o el test dé positivo.
RESOLUCIÓN. Consideramoslos sucesos:
A1 = {la muestra contiene bacterias tipo T},
A2 = {la muestra no contiene bacterias tipo T}.
Nótese que ambos sucesos A1 y A2 forman un sistema completo, es decir, son
complementarios en el espacio muestral del experimento que estamos considerando. Por
hipótesis P(A1) = 0.2, obligando a que P(A2) = P(A c 1 ) = 1−0.2 = 0.8.
Por otra parte, sean los sucesos:
T + = {el test detecta la presencia de bacterias},
T − = {el test no detecta la presencia de bacterias}

13. RESOLUCIÓN. Sean los sucesos:
A1 = {el paciente padece la dolencia},
A2 = {el paciente no padece la dolencia}.
De acuerdo a los datos del problema,

14. P(A1) = 0.001 y, por complementación de sucesos,
P(A2) = 1−0.001 =0.999.
Sean, asimismo, los sucesos:
T + = {el resultado del test es positivo},
T − = {el resultado del test es negativo}.
Conformea los datos que nos proporcionan, sabemos que:
P(T +/A1) = 0.96 y P(T+/A2) = 0.05.
Al igual que en el Ejercicio 5.6, por tratarsede sucesos condicionados complementarios de los
anteriores: P(T −/A1) = 0.04 y P(T −/A2) = 0.95.
a) La probabilidad de que el test detecte correctamente la presencia de la enfermedad viene
dada por P(A1/T+), la cual, en virtud del Teorema de Bayes, puede ser calculada como:
c) El coeficiente falso-positivo
α = P(T +/A2) = 0.05 es un dato del problema, mientras que el coeficiente falso-negativo vale
β = P(T−/A1) = 0.04, como vimos anteriormente.