El documento presenta varios ejercicios relacionados con el uso del teorema de Bayes en contextos médicos y de diagnóstico. Se proponen ejercicios sobre calcular probabilidades condicionadas utilizando diagramas de árbol y el teorema de Bayes, como la probabilidad de que una madre que muere en el parto sea latina dado ciertas probabilidades sobre mortalidad en el parto para madres latinas y no latinas. También se propone un ejercicio sobre calcular la probabilidad de que una mujer tenga cáncer de cuello uterino dado un resultado

1. TEOREMA DE BAYES
Mg. Dany Infantes Paredes

2. TEOREMA DE BAYES
El objeto de esta sección es el teorema
formulado por el reverendo Thomas Bayes
(1761). Está relacionado con la probabilidad
condicionada. El teorema de Bayes se utiliza
para hallar P[A|B] cuando la información de
que se dispone no es directamente compatible
con la que se requería en la Definición 3.3.1.
Es decir, se utiliza para hallar P[A | B] cuando
P[A y B] y P[B] no se conocen de inmediato.
Los problemas de Bayes pueden resolverse
con la ayuda de un diagrama de árbol.
Ilustraremos la idea antes de formular
formalmente el teorema.

3. TEOREMA DE BAYES
𝑃 𝐴𝑗 𝐵 =
𝑃 𝐵 𝐴𝑗 𝑃[𝐴𝑗]
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐵 𝐴𝐼 𝑃[𝐴𝑖]

4. EL DIAGNÓSTICO CLÍNICO
Existen diferentes formas de proporcionar el
diagnóstico de una enfermedad, los médicos
antiguamente se basaban de forma única en los
datos proporcionados por el paciente y en las
observaciones realizadas por ellos en el momento de
la consulta, denominándose a este procedimiento
diagnóstico por comparación; posteriormente a
principios del siglo XX se favoreciendo un mejor
diagnóstico con el surgimiento de los laboratorios
de análisis clínicos. Actualmente se usa el llamado
diagnóstico por evidencias o medicina basada en
evidencias donde se toman en cuenta los signos, los
síntomas y diferentes pruebas de diagnóstico.

5. EL DIAGNÓSTICO CLÍNICO
La finalidad del laboratorio clínico es proporcionar resultados confiables de las
pruebas realizadas para contribuir al diagnóstico médico, confirmando o rechazando la
hipótesis diagnóstica; por lo cual es importante interpretar correctamente las pruebas
diagnósticas. El resultado de una prueba permite clasificar al individuo como sano o
enfermo, permitiendo con esto orientar el tratamiento, aportar información sobre el
pronóstico y contribuir en la aplicación de medidas preventivas. Para cada una de las
pruebas de diagnóstico existe un intervalo de valores de referencia previamente
calculados.

6. HIPÓTESIS CLÍNICO
• Si los valores encontrados en la prueba de
diagnóstico para un paciente en particular
caen dentro del intervalo de referencia el
médico concluye que el paciente está sano.
• Si caen fuera de este intervalo el médico
concluye que al menos para ese análisis el
paciente no está dentro del valor normal y en
algunos casos con ese solo resultado el médico
podría decir que el paciente tiene o padece
determinada enfermedad.

7. HIPÓTESIS CLÍNICO Y TEOREMA DE BAYES
El mejor ejemplo del uso del teorema de Bayes en el diagnóstico clínico
es evaluando la sensibilidad y especificidad de una prueba de
laboratorio, comparándola con la llamada “Prueba de oro”; que es
considerada como el procedimiento definitivo para establecer si se tiene
la característica de interés o no. La sensibilidad de una prueba
responde las siguientes preguntas: ¿Cuántos resultados positivos se
obtendrán en los individuos enfermos? ¿Cuántos casos del total de
casos en una población estudiada pueden identificarse por el resultado
de la prueba? La especificidad de una prueba responde las siguientes
preguntas: ¿Cuántos resultados negativos se obtendrán de personas
sin la enfermedad? ¿Cuántos individuos sanos se confirmaran por el
resultado de la prueba?
ENFOQUE
BAYESIANO

8. CASO N°1
Se ha desarrollado un procedimiento para detectar un tipo
particular de artritis en individuos de alrededor de cincuenta
años de edad. A partir de una investigación realizada a nivel
nacional, se sabe que, aproximadamente, el 10 % de los
individuos de esta edad sufre esta forma de artritis. Se aplica el
procedimiento propuesto a individuos con enfermedad artrítica
confirmada, y su resultado es correcto en el 85 % de los casos.
Cuando el procedimiento se pone a prueba con individuos de La
misma Edad que, se sabe, están libres de la enfermedad, se
Obtiene un coeficiente de falsos positivos del 4%.

9. 0.1:SUFREN DE ARTRITIS
POBLACION DE
INDIVIDUOS QUE
SUFREN LA
ENFREMEDAD
0.9:NO SUFREN DE
ARTRITIS
D
D’
ENFERMEDAD
ARTRITICA
CONFIRMADA
0.85
0.15
V+
F+
F-
V-
0.04
0.96
P(D y V+)=(0.1*0.85)=0.085
P(D y F+)=(0.1*0.15)=0.015
P(D` y F-)=(0.9*0.04)=0.036
P(D` y V-)=(0.9*0.96)=0.864

10. CASO N°1
Para que este test sea utilizado como detector de la artritis es necesario
que sea un fuerte indicador de que la enfermedad está presente. Sea D el
suceso que denote la presencia de la enfermedad y F + el suceso que alude
al resultado positivo para el test. Pretendemos hallar P[D | F+] y que sea
alta. Puesto que esta probabilidad es condicionada, lo primero que se nos
ocurriría hacer sería aplicar EL TEOREMA DE BAYES. Sin embargo, no
tenemos P[D y F+], la probabilidad de que exista la enfermedad y el test dé
positivo, ni tampoco P[F+], la probabilidad de resultado positivo para el
test. Así que EL TEOREMA DE BAYES no puede emplearse directamente;
se necesita otro método para calcular la probabilidad deseada.
P[D] = 0.10 P[T+ | D] = 0.85 P[T+ | D'] = 0.04
P[D'] = 0.90 P[T- | D] = 0.15 P[T- | D’] = 0.96

11. • Dado que conocemos P[D] y P[D'], empezamos el árbol enumerando estos
sucesos junto con sus probabilidades correspondientes. Si la
enfermedad está presente, podemos asignar
P(D)=0.1 P(F+/D)=0.15 P(V-/D`)=0.96
P(D`)=0.9 P(V+/D)=0.85 P(F-/D`)=0.04
𝑃 𝐷 𝑉 + =
𝑃 𝑉 + 𝐷 𝑃[𝐷]
𝑃 𝑉 + 𝐷 𝑃 𝐷 + 𝑃 𝐹 −/𝐷` 𝑃(𝐷`)
𝑃 𝐷 𝑉 + =
0.85 ∗ 0.1
0.85 ∗ 0.1 + 0.04 ∗ 0.9
= 0.70
El 70% equivale a que el
diagnostico ya habiéndose
conocido el resultado
positivo se determino que
el paciente realmente
tenia la enfermedad de la
artritis.

12. EJERCICIOS PROPUESTOS
• Las estadísticas indican que en Estados Unidos la probabilidad de que una madre muera
durante el parto es 0.00022. Si no es latina, la probabilidad de muerte es 0.00017, mientras
que si lo es, esta probabilidad aumenta a 0.00064. Supongamos que el 10 % de los partos
corresponde a mujeres latinas.
• a) Dibujar un diagrama de árbol describiendo las probabilidades dadas, y hallar las
probabilidades correspondientes a las trayectorias en cada uno de los cuatro casos. (Sea D el
suceso que denota que la madre muere y L madre que sea latina.)
• b) Utilizar el árbol del apartado a para calcular la probabilidad de que una madre que muere
en el parto sea latina.
• c) Haciendo uso del teorema de Bayes, hallar la probabilidad de que una madre que muere en
el parto sea latina, y comparar el resultado con el obtenido en el apartado b.

13. EJERCICIOS PROPUESTOS
Un test diseñado para diagnosticar el cáncer de cuello
uterino tiene un coeficiente de falsos negativos y falsos
positivos de 0.05, cada uno. De una cierta población de
mujeres, el 4 % está afectado por este tipo de cáncer. ¿Cuál
es la probabilidad de que una mujer de la población elegida
aleatoriamente tenga cáncer de cuello uterino, dado que su
resultado con el test es positivo?

14. EJERCICIOS PROPUESTOS
Un paciente de cáncer está siendo tratado con una combinación de tres
fármacos. Se observa que, cuando se utilizan simultáneamente, a
menudo dos de los tres fármacos se inhibirán de forma que, de hecho,
sólo uno será activo frente al tumor. Suponga que cuando esto ocurra, la
probabilidad de que el fármaco A actúe solo es la misma que la del
fármaco B y la del C, es decir . La efectividad de cada fármaco, con
respecto a producir una remisión del tumor, es diferente. El fármaco A se
ha mostrado efectivo en un 50 % de los casos; el fármaco B, en un 75 %,
y el fármaco C, en un 60 % . La enfermedad remite en el paciente. ¿Cuál
es la probabilidad de que el responsable de ello sea el fármaco B?