Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica el concepto de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos. Luego introduce la integral de Riemann para funciones acotadas mediante funciones escalonadas por defecto y exceso. Finalmente presenta el Teorema Fundamental del Cálculo que relaciona la integral definida con la derivada de su primitiva.
Este documento explica el concepto de integral definida y su cálculo. Introduce la noción de integral de Riemann como el límite de sumas de áreas de rectángulos en particiones cada vez más finas de un intervalo. Explica cómo usar la regla de Barrow para calcular integrales definidas mediante el cálculo de primitivas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones como calcular el área bajo una curva.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida y su cálculo. Explica cómo Riemann definió la integral de una función a través de funciones escalonadas, y cómo esto condujo al desarrollo del cálculo de áreas bajo curvas. También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow, que permiten calcular integrales definidas encontrando primitivas. Por último, muestra algunas aplicaciones como el cálculo de áreas entre dos curvas.
Este documento explica conceptos clave sobre el cálculo de integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos.
2) La definición general de integral definida para funciones acotadas usando particiones.
3) El teorema fundamental del cálculo que relaciona la derivación e integración.
Este documento presenta apuntes sobre el tema de cálculo integral. Explica conceptos como notación sumatoria, sumas de Riemann, definición de integral definida, teorema de existencia, propiedades de la integral definida, función primitiva, teorema fundamental del cálculo, cálculo de integrales e integral impropia. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
Equipo1 teorema existencia y def. integral defin.casilala2
El documento define la integral definida y cómo se usa para calcular el área bajo una curva. También presenta el teorema de existencia de integrales definidas, que establece que para funciones continuas existe al menos un punto promedio en el intervalo. Finalmente, resume las reglas de Barrow, los trapecios y Simpson para evaluar integrales definidas.
El documento resume el teorema fundamental del cálculo. Establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la integral de la derivada de una función continua es igual a la función. También introduce conceptos como funciones primitivas, sumas de Riemann e integración como cálculo de áreas.
La notación sigma representa sumas de varios sumandos e incluso sumas infinitas. La expresión se lee "suma de Xi, donde i toma valores desde 1 hasta n". Las propiedades de las sumatorias incluyen que la suma del producto de una constante por una variable es igual a esa constante multiplicada por la suma de la variable. De manera similar, la integral definida representa el área bajo una curva y sigue propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales.
29 Pp Ejercicios Resueltos De Integrales(1)jctotre
Este documento presenta la noción de integral definida y su significado como el área bajo una curva. Explica cómo Riemann definió la integral de una función escalonada como la suma de las áreas de los rectángulos debajo de la función, y cómo esto puede generalizarse a funciones continuas usando particiones más finas que hacen coincidir el área inferior y superior. También introduce el teorema fundamental del cálculo, que vincula la derivada de una primitiva con la función original.
Este documento explica el concepto de integral definida y su cálculo. Introduce la noción de integral de Riemann como el límite de sumas de áreas de rectángulos en particiones cada vez más finas de un intervalo. Explica cómo usar la regla de Barrow para calcular integrales definidas mediante el cálculo de primitivas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones como calcular el área bajo una curva.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida y su cálculo. Explica cómo Riemann definió la integral de una función a través de funciones escalonadas, y cómo esto condujo al desarrollo del cálculo de áreas bajo curvas. También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow, que permiten calcular integrales definidas encontrando primitivas. Por último, muestra algunas aplicaciones como el cálculo de áreas entre dos curvas.
Este documento explica conceptos clave sobre el cálculo de integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos.
2) La definición general de integral definida para funciones acotadas usando particiones.
3) El teorema fundamental del cálculo que relaciona la derivación e integración.
Este documento presenta apuntes sobre el tema de cálculo integral. Explica conceptos como notación sumatoria, sumas de Riemann, definición de integral definida, teorema de existencia, propiedades de la integral definida, función primitiva, teorema fundamental del cálculo, cálculo de integrales e integral impropia. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
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El documento define la integral definida y cómo se usa para calcular el área bajo una curva. También presenta el teorema de existencia de integrales definidas, que establece que para funciones continuas existe al menos un punto promedio en el intervalo. Finalmente, resume las reglas de Barrow, los trapecios y Simpson para evaluar integrales definidas.
El documento resume el teorema fundamental del cálculo. Establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la integral de la derivada de una función continua es igual a la función. También introduce conceptos como funciones primitivas, sumas de Riemann e integración como cálculo de áreas.
La notación sigma representa sumas de varios sumandos e incluso sumas infinitas. La expresión se lee "suma de Xi, donde i toma valores desde 1 hasta n". Las propiedades de las sumatorias incluyen que la suma del producto de una constante por una variable es igual a esa constante multiplicada por la suma de la variable. De manera similar, la integral definida representa el área bajo una curva y sigue propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales.
29 Pp Ejercicios Resueltos De Integrales(1)jctotre
Este documento presenta la noción de integral definida y su significado como el área bajo una curva. Explica cómo Riemann definió la integral de una función escalonada como la suma de las áreas de los rectángulos debajo de la función, y cómo esto puede generalizarse a funciones continuas usando particiones más finas que hacen coincidir el área inferior y superior. También introduce el teorema fundamental del cálculo, que vincula la derivada de una primitiva con la función original.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
El documento presenta una introducción a los conceptos de integral definida y integral de Riemann. Explica que la integral definida de una función escalonada es la suma de las áreas de los rectángulos determinados por la función en cada intervalo de una partición dada. Luego, define la integral de Riemann de una función cualquiera como el límite de las sumas de las áreas de funciones escalonadas por defecto y por exceso, y establece que toda función continua es integrable. Finalmente, enuncia el teorema fundamental del cálculo y la regla de Bar
Este documento trata sobre el concepto de integral definida en matemáticas. Explica que una integral es la suma de infinitos sumandos infinitesimales y que se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes. Además, presenta algunos objetivos del cálculo integral como calcular áreas de regiones, integrales definidas e integrales múltiples. Finalmente, introduce conceptos como la integral de Riemann y el teorema fundamental del cálculo.
1) El documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las sumas de Riemann superior e inferior, las integrales de Riemann superior e inferior, y las condiciones para que una función sea Riemann-integrable. 2) También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual relaciona el cálculo integral y diferencial. 3) Finalmente, introduce la Regla de Barrow para evaluar la integral definida de una función a partir de una primitiva.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
El documento habla sobre la integral definida, que determina el área limitada por curvas y rectas entre dos puntos. Explica que la integral definida denota el área bajo la curva de una función entre dos límites y presenta algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que al cambiar los límites, la integral cambia de signo. También cubre métodos para calcular integrales como la regla de Barrow y el cambio de variable.
El documento resume los conceptos fundamentales del teorema fundamental del cálculo. En particular, 1) explica que la derivación e integración de una función son operaciones inversas, 2) introduce la notación sigma para representar sumas, y 3) define la suma de Riemann como un método para aproximar el área bajo la gráfica de una curva mediante subdivisiones.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
El documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann. Explica que las sumas de Riemann permiten calcular el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de los rectángulos formados. También define formalmente las sumas de Riemann y explica que al aumentar el número de subintervalos, las sumas superior e inferior convergen al valor real del área.
El documento resume las propiedades y conceptos fundamentales de las sumatorias, integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado, y que las integrales definidas calculan el área bajo una curva dividiéndola en rectángulos infinitesimales. También resume 10 propiedades clave de las integrales definidas y explica el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
El documento explica el Teorema del Valor Medio de Cálculo. Este teorema establece que si una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto de un intervalo [A, B], entonces existe al menos un punto C en dicho intervalo donde la tangente es paralela a la recta que une los puntos A y B. La demostración usa el Teorema de Rolle para probar que existe un punto c donde la derivada de la función es igual a la pendiente de la recta secante entre los puntos A y B. Como ejemplo, se aplica el teorema
Este documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann y la integración. Introduce la definición del área de una región plana limitada por una función continua mediante el límite de sumas. Luego define las sumas de Riemann como una generalización de este concepto que permite calcular magnitudes como longitudes, valores medios y volúmenes. Finalmente, presenta las propiedades básicas de las funciones integrables y los teoremas fundamentales del cálculo integral.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
1) El documento describe conceptos clave del cálculo integral como la integral definida, las sumas y las integrales superiores e inferiores de Darboux y Riemann, y las funciones Riemann-integrables. 2) Explica que la integral de Riemann de una función en un intervalo es el valor común de las integrales superior e inferior. 3) El Teorema Fundamental del Cálculo relaciona el cálculo integral y diferencial al vincular las primitivas de una función con su integral definida.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo integral como la notación sigma, las propiedades de las integrales definidas, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo. Explica cómo la integral definida representa el área bajo una curva y cómo mediante sumatorias de rectángulos esta área puede aproximarse de manera más precisa. También presenta demostraciones geométricas e intuitivas de los teoremas fundamentales.
Este documento resume los Teoremas Fundamentales del Cálculo, incluyendo el Teorema del Valor Intermedio, el Teorema del Valor Medio para Integrales, el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. También explica métodos como el cambio de variable, sustitución trigonométrica, sustitución recíproca e integración por partes para evaluar integrales definidas.
El documento presenta conceptos clave sobre extremos de funciones en un intervalo, incluyendo definiciones de máximos y mínimos absolutos y relativos, y teoremas como el valor extremo, Rolle y el valor medio. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar puntos críticos, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y asintotas. Finalmente, ofrece estrategias para resolver problemas de optimización.
El documento explica cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante las sumas inferior y superior. La suma inferior usa la altura máxima en cada subintervalo y subestimará el área, mientras que la suma superior usa la altura mínima y la sobreestimará. Ambas sumas convergen al área real cuando los subintervalos son más pequeños, lo que lleva al concepto de integral definida.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
Este documento trata sobre transformaciones lineales y sus propiedades. Explica que una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. También describe la diagonalización de matrices, que implica expresar una matriz como el producto de una matriz diagonal y su inversa. Finalmente, introduce conceptos como combinación lineal e independencia lineal de vectores.
1. El documento describe conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo definiciones de proposición, operaciones con proposiciones como la negación, conjunción, disyunción y condicional, y tablas de verdad.
2. Se explica que una proposición es un enunciado que puede ser evaluado como verdadero o falso, y que las proposiciones pueden estar compuestas de proposiciones simples unidas por conectores lógicos.
3. Los diferentes conectores lógicos como la negación
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
El documento presenta una introducción a los conceptos de integral definida y integral de Riemann. Explica que la integral definida de una función escalonada es la suma de las áreas de los rectángulos determinados por la función en cada intervalo de una partición dada. Luego, define la integral de Riemann de una función cualquiera como el límite de las sumas de las áreas de funciones escalonadas por defecto y por exceso, y establece que toda función continua es integrable. Finalmente, enuncia el teorema fundamental del cálculo y la regla de Bar
Este documento trata sobre el concepto de integral definida en matemáticas. Explica que una integral es la suma de infinitos sumandos infinitesimales y que se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes. Además, presenta algunos objetivos del cálculo integral como calcular áreas de regiones, integrales definidas e integrales múltiples. Finalmente, introduce conceptos como la integral de Riemann y el teorema fundamental del cálculo.
1) El documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las sumas de Riemann superior e inferior, las integrales de Riemann superior e inferior, y las condiciones para que una función sea Riemann-integrable. 2) También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual relaciona el cálculo integral y diferencial. 3) Finalmente, introduce la Regla de Barrow para evaluar la integral definida de una función a partir de una primitiva.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
El documento habla sobre la integral definida, que determina el área limitada por curvas y rectas entre dos puntos. Explica que la integral definida denota el área bajo la curva de una función entre dos límites y presenta algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que al cambiar los límites, la integral cambia de signo. También cubre métodos para calcular integrales como la regla de Barrow y el cambio de variable.
El documento resume los conceptos fundamentales del teorema fundamental del cálculo. En particular, 1) explica que la derivación e integración de una función son operaciones inversas, 2) introduce la notación sigma para representar sumas, y 3) define la suma de Riemann como un método para aproximar el área bajo la gráfica de una curva mediante subdivisiones.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
El documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann. Explica que las sumas de Riemann permiten calcular el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de los rectángulos formados. También define formalmente las sumas de Riemann y explica que al aumentar el número de subintervalos, las sumas superior e inferior convergen al valor real del área.
El documento resume las propiedades y conceptos fundamentales de las sumatorias, integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado, y que las integrales definidas calculan el área bajo una curva dividiéndola en rectángulos infinitesimales. También resume 10 propiedades clave de las integrales definidas y explica el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
El documento explica el Teorema del Valor Medio de Cálculo. Este teorema establece que si una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto de un intervalo [A, B], entonces existe al menos un punto C en dicho intervalo donde la tangente es paralela a la recta que une los puntos A y B. La demostración usa el Teorema de Rolle para probar que existe un punto c donde la derivada de la función es igual a la pendiente de la recta secante entre los puntos A y B. Como ejemplo, se aplica el teorema
Este documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann y la integración. Introduce la definición del área de una región plana limitada por una función continua mediante el límite de sumas. Luego define las sumas de Riemann como una generalización de este concepto que permite calcular magnitudes como longitudes, valores medios y volúmenes. Finalmente, presenta las propiedades básicas de las funciones integrables y los teoremas fundamentales del cálculo integral.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
1) El documento describe conceptos clave del cálculo integral como la integral definida, las sumas y las integrales superiores e inferiores de Darboux y Riemann, y las funciones Riemann-integrables. 2) Explica que la integral de Riemann de una función en un intervalo es el valor común de las integrales superior e inferior. 3) El Teorema Fundamental del Cálculo relaciona el cálculo integral y diferencial al vincular las primitivas de una función con su integral definida.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo integral como la notación sigma, las propiedades de las integrales definidas, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo. Explica cómo la integral definida representa el área bajo una curva y cómo mediante sumatorias de rectángulos esta área puede aproximarse de manera más precisa. También presenta demostraciones geométricas e intuitivas de los teoremas fundamentales.
Este documento resume los Teoremas Fundamentales del Cálculo, incluyendo el Teorema del Valor Intermedio, el Teorema del Valor Medio para Integrales, el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. También explica métodos como el cambio de variable, sustitución trigonométrica, sustitución recíproca e integración por partes para evaluar integrales definidas.
El documento presenta conceptos clave sobre extremos de funciones en un intervalo, incluyendo definiciones de máximos y mínimos absolutos y relativos, y teoremas como el valor extremo, Rolle y el valor medio. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar puntos críticos, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y asintotas. Finalmente, ofrece estrategias para resolver problemas de optimización.
El documento explica cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante las sumas inferior y superior. La suma inferior usa la altura máxima en cada subintervalo y subestimará el área, mientras que la suma superior usa la altura mínima y la sobreestimará. Ambas sumas convergen al área real cuando los subintervalos son más pequeños, lo que lleva al concepto de integral definida.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
Este documento trata sobre transformaciones lineales y sus propiedades. Explica que una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. También describe la diagonalización de matrices, que implica expresar una matriz como el producto de una matriz diagonal y su inversa. Finalmente, introduce conceptos como combinación lineal e independencia lineal de vectores.
1. El documento describe conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo definiciones de proposición, operaciones con proposiciones como la negación, conjunción, disyunción y condicional, y tablas de verdad.
2. Se explica que una proposición es un enunciado que puede ser evaluado como verdadero o falso, y que las proposiciones pueden estar compuestas de proposiciones simples unidas por conectores lógicos.
3. Los diferentes conectores lógicos como la negación
El documento explica la integral definida, que representa el área delimitada entre la gráfica de una función y los ejes. Se define mediante una fórmula y se describen propiedades como la linealidad y el cambio de signo al permutar los límites. También introduce el teorema fundamental del cálculo y la relación entre integrales y derivadas.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica que los matemáticos griegos intentaron calcular el área bajo curvas, y que Arquímedes desarrolló el método de agotamiento. Luego introduce la notación sigma para sumatorias y presenta propiedades y fórmulas útiles para calcular sumas. Finalmente, explica cómo usar sumatorias para aproximar el área bajo una curva.
Este documento describe el concepto matemático de la integral definida y el método de Riemann para aproximar el área bajo una curva. Explica cómo dividir el intervalo en subintervalos y calcular el área de rectángulos inscritos y circunscritos para obtener límites superior e inferior del área real. Al aumentar el número de subintervalos, las aproximaciones convergen al valor exacto del área dado por la integral definida. También presenta la notación de Leibniz para las integrales definidas y el teorema de evaluación de integr
El documento describe el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método convierte el sistema original en otro equivalente más simple a través de operaciones de renglón, de modo que la solución pueda leerse directamente. Luego ilustra el método con un ejemplo de resolución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 variables.
Este documento introduce el concepto de integral definida como una herramienta para calcular el área debajo de una curva entre dos valores. Explica que la integral definida surge del método de exhausción griego y representa el límite de la suma de áreas de rectángulos cuando su número tiende a infinito. Además, presenta definiciones clave como función integral y teoremas como el fundamental del cálculo y la regla de Barrow, y muestra ejemplos de cálculo de áreas usando la integral definida.
Este documento resume el tema de la integral definida y sus aplicaciones para calcular áreas y volúmenes. La integral definida se utiliza para calcular el área bajo una curva entre dos puntos, y tiene propiedades como la linealidad y que depende del intervalo pero no de la variable de integración. El documento explica cómo calcular áreas entre curvas, así como volúmenes de cuerpos de revolución utilizando la integral definida.
Este documento define la integral definida y explica su cálculo. En resumen:
1) La integral definida de una función continua f(x) en un intervalo [a,b] es el límite de la suma de las áreas de rectángulos que aproximan el área bajo la curva de f(x).
2) Si f(x) es positiva, la integral será positiva; si es negativa, la integral será negativa.
3) Las propiedades de las integrales definidas incluyen que la integral de una constante por una función es igual a esa constante por
Este documento presenta los conceptos clave de la teoría de interpolación numérica. Explica que la interpolación permite determinar valores y derivadas de funciones que no tienen soluciones analíticas. Describe los métodos de interpolación de Lagrange, Newton y diferencias finitas, y provee un ejemplo numérico para cada uno. El objetivo es que los estudiantes aprendan estas técnicas numéricas y cómo aplicarlas usando herramientas de cálculo automático.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación gaussiana, el método de Gauss-Jordan, el método de Gauss-Seidel y la factorización de Cholesky. Explica que la eliminación gaussiana y el método de Gauss-Jordan convierten el sistema en una matriz triangular superior o inferior resolviéndolo, mientras que el método de Gauss-Seidel lo resuelve de forma iterativa aproximando la solución.
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo su sintaxis y semántica. La sintaxis define el lenguaje formal de la lógica proposicional mediante variables proposicionales, conectivos lógicos y reglas de formación de fórmulas. La semántica asigna valores de verdad a las fórmulas mediante tablas de verdad. El documento también presenta ejercicios sobre la formación, equivalencia y satisfacibilidad de fórmulas proposicionales.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del cálculo integral, incluyendo la definición de integral definida, particiones de intervalos, sumas inferiores y superiores, y el teorema fundamental del cálculo integral. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular el área bajo una curva, incluso si la función asume valores positivos y negativos, mediante la suma de áreas por encima y debajo del eje x.
O documento discute integrais definidas e como elas podem ser usadas para calcular a variação de uma grandeza entre limites específicos. Ele fornece a definição matemática de integral definida e apresenta um exemplo numérico para ilustrar como calcular a quantidade pela qual uma população crescerá em um período de tempo usando uma integral definida. O documento também lista uma série de exercícios para serem resolvidos usando integrais definidas.
Este documento describe conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, funciones proposicionales, operaciones lógicas como negación, conjunción, disyunción e implicación, y clasificación de proposiciones en tautologías, contradicciones y contingencias. También introduce cuantificadores universales y existenciales para generar proposiciones generales a partir de funciones proposicionales.
Este documento proporciona una descripción general de la interfaz de usuario de Adobe Photoshop CS5. Explica las principales partes que componen el espacio de trabajo, incluida la barra de menús, la barra de herramientas, el inspector de propiedades, las vistas del documento, la ventana del documento y los paneles. Proporciona detalles sobre las funciones y herramientas disponibles en cada una de estas secciones para editar documentos en Photoshop.
Los transformadores de medida incluyen transformadores de intensidad y tensión, los cuales reducen los niveles de corriente y voltaje a valores seguros y medibles. Se clasifican según su construcción y aplicación, como transformadores de intensidad de soporte o bushing, y transformadores de tensión de un polo o para servicio exterior. Los más importantes son los transformadores de medida para instalar instrumentos, contadores y relés protectores en circuitos de alta tensión o intensidad, aislando estos circuitos de medida para permitir una mayor normalización.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra lineal para ser resueltos y enviados antes del 25 de marzo de 2015. Incluye instrucciones sobre cómo enviar las respuestas en formato de imagen o presentación en slideshare, y advierte que trabajos copiados no serán calificados. Los ejercicios incluyen determinar si un vector es combinación lineal de otros, calcular vectores y comprobar si son paralelos u ortogonales, y verificar si conjuntos son subespacios vectoriales o conjuntos de vectores son linealmente independientes
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero se implementa el algoritmo en un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas como ejemplo. Luego, se explica que la factorización LU de la matriz de coeficientes A es igual al producto de la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U obtenidas tras aplicar el método de Gauss.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y el método de Gauss-Seidel. Explica cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos.
Este documento describe conceptos clave relacionados con las integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral escalonada y sus propiedades.
2) La definición de integral de Riemann para funciones acotadas.
3) El significado de la integral definida como el área bajo la curva de una función.
Este documento proporciona una introducción a la integral definida y al cálculo de áreas bajo curvas. Explica cómo dividir un intervalo en subintervalos para aproximar el área total, y cómo el número de subdivisiones afecta la precisión de la aproximación. También define la integral de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona la derivación e integración.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre cálculo integral. Explica que las integrales se desarrollaron originalmente para calcular áreas bajo curvas. Define la integral definida como un límite de suma que representa un número, y la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función. También establece el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual vincula la derivada de una función área con la función original. Finalmente, aplica estas ideas para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta tangente.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
El documento explica conceptos fundamentales de cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas limitadas por funciones, la interpretación geométrica de la integral como cálculo de área, y técnicas para calcular volúmenes y longitudes generados por la revolución de funciones.
El documento trata sobre las integrales definidas. Explica que una integral definida representa el área delimitada entre la gráfica de una función, el eje x y las líneas verticales x=a y x=b. Define los elementos de una integral definida como la función a integrar f(x), los límites a y b, y la variable de integración dx. Además, menciona que una integral definida representa el límite de la suma de Riemann de una función.
El documento introduce el concepto de integral definida como el área delimitada entre la gráfica de una función y los ejes. Explica que la integral representa la suma de áreas de regiones delimitadas al dividir el intervalo en partes más pequeñas. También presenta algunas propiedades como que la integral definida es el límite de la suma de áreas al disminuir el tamaño de las partes, y provee ejemplos para ilustrar el concepto.
1) El documento explica el concepto de sumatoria y sus propiedades, así como la integral de Riemann y sus conceptos fundamentales como partición, suma inferior y suma superior. 2) Describe las propiedades de las funciones integrales y los teoremas fundamentales del cálculo integral. 3) Explica conceptos como integral indefinida, funciones primitivas y métodos para calcular integrales como descomposición y cambio de variable.
El documento explica el concepto de integral definida, cómo se calcula como el límite de una suma de rectángulos de base infinitesimal bajo la curva de una función continua entre dos límites. Presenta las definiciones formales de integral definida y sus propiedades clave, así como ejemplos de cálculo. También traza brevemente el origen histórico de la notación para la integral definida introducida por Leibniz.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, las propiedades de la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y su relación con la derivación e integración, y ejemplos de cálculo de integrales definidas utilizando diferentes métodos como la regla de Barrow. También presenta aplicaciones como el cálculo de áreas, volúmenes de objetos generados por rotación, y el área entre dos funciones.
El documento habla sobre la integral definida, que determina el área limitada por curvas y rectas entre dos puntos. Define la integral definida como el área entre la función f(x), el eje x, y las rectas verticales x=a y x=b. Explica algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales, y que al cambiar los límites, la integral cambia de signo. También cubre métodos como la regla de Barrow y el cambio de variable.
Este documento describe las aplicaciones de la integral definida en el cálculo de áreas. Explica que la integral definida puede usarse para calcular el área de figuras delimitadas por curvas, mediante la suma de áreas de polígonos aproximados. Proporciona ejemplos de cómo calcular el área bajo curvas paramétricas y entre dos funciones, así como ejercicios resueltos de áreas de figuras específicas.
Este documento describe las aplicaciones de la integral definida, incluyendo el cálculo de áreas delimitadas por curvas. Explica que la integral definida puede usarse para determinar el área bajo una curva entre dos puntos, ya sea mediante la suma de áreas de rectángulos o aproximando la función con funciones escalonadas. También muestra ejemplos de cómo calcular el área de figuras más complejas limitadas por dos funciones o curvas.
El documento resume los conceptos fundamentales del teorema fundamental del cálculo, incluyendo: (1) la definición del teorema como la afirmación de que la derivación e integración son operaciones inversas, (2) una discusión sobre cómo el teorema unificó el cálculo diferencial y el cálculo de áreas, y (3) detalles sobre cómo el teorema permite calcular integrales definidas mediante el uso de funciones primitivas.
El documento explica el concepto de integral definida como una suma de Riemann. Se define la integral definida como el límite de la suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y sus bases son infinitesimales. Se proveen ejemplos numéricos del cálculo de áreas aproximadas bajo curvas usando sumas de Riemann y se explica que la integral definida representa la mejor aproximación al área real.
1) La integral definida representa el área delimitada entre la gráfica de una función, los ejes y los límites del intervalo de integración.
2) El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que derivar una función integral devuelve la función original.
3) Las integrales definidas se pueden utilizar para calcular áreas planas y volúmenes de cuerpos de revolución.
1) La notación Sigma se utiliza para abreviar sumatorias y aproximar el área bajo la curva de una función.
2) El área bajo la curva de una función continua f en un intervalo [a,b] se puede calcular mediante una integral definida.
3) El teorema fundamental del cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la derivada de la integral de una función es igual a la función.
NOTACIÓN SIGMA: Los números cuya suma se indica en una notación sigma, pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
SUMAS SUPERIORES E INFERIORES: Es un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.
LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES: Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES: Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.
SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLE: Esta técnica es la regla de la cadena de las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.
El documento describe cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante la suma inferior y superior de Riemann. La suma inferior aproxima el área usando rectángulos con altura igual al valor mínimo de la función, mientras que la suma superior usa el valor máximo. Ambas sumas convergen al área real cuando los intervalos son más pequeños.
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica el procedimiento paso a paso utilizando un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas como ejemplo. Luego, define las matrices L y U que resultan de la factorización LU del sistema, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior.
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método involucra la eliminación progresiva de variables hasta obtener una ecuación con una incógnita, la cual es resuelta y sustituida en las otras ecuaciones para encontrar los valores de las demás variables. También se describen la factorización de Cholesky y el método de Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones.
La factorización de Cholesky es un método para resolver sistemas de ecuaciones matriciales. Se parte de una matriz de coeficientes A que debe ser simétrica y definida positiva. La matriz A se puede descomponer en la forma A = L*LT, donde L es una matriz triangular inferior. Una vez descompuesta de esta forma, el sistema original A x = b se puede resolver en dos pasos resolviendo sistemas triangulares.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de ecuaciones dependientes. La factorización de Cholesky permite descomponer una matriz simétrica y positiva definida en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. La factorización QR descompone una matriz en el producto de una matriz ortogonal y una triangular superior.
Este documento resume los conceptos básicos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Define una ecuación lineal como una ecuación polinómica de grado uno con una o más incógnitas. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, el cual convierte el sistema en una forma escalonada. También cubre sistemas homogéneos, equivalentes y con parámetros.
Este documento presenta una introducción a la economía. Define la economía como la ciencia social que estudia las relaciones sociales relacionadas con la producción, intercambio, distribución y consumo. Su objetivo principal es estudiar la distribución correcta de los recursos escasos para satisfacer las necesidades humanas ilimitadas. La economía emplea métodos deductivos e inductivos para comprender los fenómenos económicos.
El documento describe los paradigmas tecnoeconómicos y las oleadas de desarrollo a lo largo de la historia. Explica que ha habido cinco paradigmas desde la revolución industrial, cada uno con una gran crisis que marca el cambio a una nueva era de prosperidad. También habla sobre el boom victoriano en Inglaterra en el siglo XIX y la actual revolución informática.
El documento describe 5 paradigmas tecnológicos y económicos históricos y las oleadas de desarrollo asociadas con cada uno. Estos incluyen la Revolución Industrial, el Boom Victoriano, la Belle Époque, el Boom Keynesiano, y la Revolución Informática. Cada paradigma representa un momento importante de cambio tecnológico y desarrollo socioeconómico, y cada oleada de desarrollo consiste en un período de instalación y despliegue de aproximadamente 3 décadas cada
El documento describe el positivismo como una corriente filosófica y científica que surgió en el siglo XIX y se caracteriza por enfocarse exclusivamente en los hechos observables y verificables, prescindiendo de cualquier postulado metafísico no comprobable. El positivismo fue definido por primera vez por Auguste Comte y sostiene que solo la experiencia y la inducción son métodos válidos para la ciencia.
La Universidad Fermín Toro ofrece un curso de introducción a la economía impartido por la profesora Andra Figueroa, quien posee la cédula de identidad número 19.106.384.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida. Explica que la integral representa el área bajo una curva y que se puede calcular dividiendo el intervalo en subintervalos para construir rectángulos de base Δx y altura f(x). También introduce las sumas inferior y superior como límites del área y la definición formal de integral definida como el límite de dichas sumas cuando la partición tiende a cero.
El documento resume los conceptos básicos de la integral definida y algunos de sus teoremas fundamentales. Explica que la integral definida representa el área bajo una curva y que puede calcularse como la suma de pequeñas áreas. También resume el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la integral de una función es igual a la evaluación de su primitiva entre los límites, y que la derivada de una primitiva es la función original. Por último, explica que resolver integrales numéricamente implica aproximarlas como sumas, mientras que resolverlas
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral: determina antiderivadas, interpreta la integral como el área bajo una curva, y define la integral definida como un límite de sumas. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano usando la integral definida y el segundo teorema fundamental del cálculo.
- La integral es la operación inversa a la derivada. Existen dos tipos principales: la integral definida, que calcula el área bajo una curva, y la integral indefinida, que encuentra funciones primitivas.
- El Teorema Fundamental del Cálculo establece la relación entre la integral definida y la indefinida. Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz fueron precursores importantes en el desarrollo de la teoría de la integral.
- Las integrales se usan para calcular áreas, volúmenes de objetos rot
Este documento trata sobre el cálculo integral definido y sus propiedades. Explica cómo calcular áreas bajo curvas mediante sumas de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo. Luego, presenta propiedades como la linealidad, aditividad respecto al intervalo de integración y comparación. Finalmente, propone ejercicios para aplicar estos conceptos.
1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
MATEMATICA II
FRANKLIN SUAREZ
C.I. 20666090
LA INTEGRAL DEFINIDA
En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una
función, descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas,
es decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas.
Sin embargo no quedan claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los
objetivos de este tema, para lo cual se dará la interpretación que Riemann,
matemático alemán, dio a conocer en el siglo XIX.
El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo,
etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es
un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren
exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura
tiene área y cómo se calcula.
Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función
muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes
cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la
función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.
Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura
también la unidad, por tanto su área es 1/2.
Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede
aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos
menos sencillos.
Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual
longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos
como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos
rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las
áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.
Calculando estas áreas se obtiene:
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2. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por
exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.
Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece
lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a
disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud
1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.
Área por defecto:
Área por exceso:
Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:
Además,
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número
infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con
el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.
LA INTEGRAL DEFINIDA
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3. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
Partición de un intervalo [a, b]
Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos
en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es
[a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de
los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando
dichos extremos. En la figura, la partición de
[a, b] es:
Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,
a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b
Ejemplo de partición
Función escalonada
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en
R, f:[a,b] R;f es una función escalonada cuando existe una partición del
intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada
uno de los intervalos de la partición.
Ejemplos de funciones escalonadas
1. La función f: [-3, 4] R definida por:
La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la
función es constante.
Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de
particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición
asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de
la partición.
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4. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte
La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número
entero que es menor o igual que el número del que se parte.
Así,
E [3,105] = 3
E [5] = 5
E [-3,001] = -4
E [-1,5401] = -2
E [7,32] = 7
E [-1,52] = -2
De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en
el interior de cada intervalo que compone la partición, no considerando el
valor que toma en los extremos.
INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADA
Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn
= b} una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el
intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de
la función f en [a, b] al número
m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)
Este número se simboliza por:
A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior
expresión se lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».
Propiedades de la integral definida de una función escalonada
La integral definida de una función escalonada no depende de la partición
elegida.
Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función
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5. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
Si los límites de integración, en una integral definida de una función
escalonada, coinciden, entonces
Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el
valor de la integral cambia de signo:
Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas
Resolución:
Se toma la partición asociada P = {-3, -1, 2, 4}
Resolución:
Se toma, por ejemplo, la partición P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Por definición,
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6. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
INTEGRAL DE RIEMANN
Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un
intervalo
[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un
número M > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome
valores entre -M y M.
Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar
que para el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones
escalonadas g(x) cumpliendo g(x) f(x) para cualquier x [a, b] y otras
funciones escalonadas h(x) tales que f(x) h(x) si x [a, b]. De todo ello
resultaba que:
En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones
escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por
exceso, es decir, g(x) f(x) h(x) cuando x [a, b]. En estas condiciones,
si existe un único número I que cumpla
para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) f(x) h(x) si
x [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.
y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.
Significado de la integral definida de una función
Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable
(existe su
por la
gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.
Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la
función quedaría por debajo del eje de abscisas.
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En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto,
sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que
el área
de la región que determina una función negativa es:
Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está
definida la integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los
rectángulos que determina con el eje de abscisas, si la función escalonada
es positiva y la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el
eje de abscisas con signo menos, si la función escalonada es negativa.
Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte
por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios
sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el
eje de abscisas en el intervalo [a, b].
En la figura adjunta, se ve claramente que:
La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es
imposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por
exceso de otra función dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho
más útiles de cara a decidir si una función acotada es integrable o no. Uno
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8. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se omite
por escapar de los objetivos de este libro.
Teorema
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.
Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces
f(x) es
Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen
x, cos x, de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función
continua.
Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la
integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene
sentido y existe
A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:
Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no
confundirla con la variable x de la función f.
En estas condiciones, si t0 [a, b] es un punto en el que la función f es
continua, la función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es
G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un punto coincide con
el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f es
continua, la función G es una primitiva de la función f.
El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un
método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo.
Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva
y que se conoce como Regla de Barrow.
Regla de Barrow
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Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función
definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para
cualquier x (a, b), entonces
Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del
teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para
resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar
una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración
superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.
Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de
integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una
función.
Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no
depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una
primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones
siguientes tienen el mismo significado:
Ejercicio: cálculo de áreas
Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las
rectas
x = 1 y x = 2.
Resolución:
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Dos propiedades fundamentales de la integral definida
Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo
válidas en el cálculo de integrales definidas:
1. Si K es un número real cualquiera,
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse
Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) g(x),
entonces
representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.
En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones
que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en
cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:
Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir,
primeramente, estos pasos:
Se trazan las curvas.
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Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.
Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos
anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los
límites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la
zona encerrada entre las dos curvas es B + C.
Para calcular su área se procede así:
Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y
sumar el área de C.
(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo
del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:
Ejercicio: cálculo de áreas
Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y
g(x) = x.
Resolución:
1. Trazado de las curvas:
2. Puntos de corte de las dos curvas:
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3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se
llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo que
determinan la recta
y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere calcular,
es evidente que
S = A - B
El área también se podría haber calculado así:
Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 y
g(x) = x2 - 2x.
Resolución:
1. Trazado de las curvas:
Máximos y mínimos de f(x):
Máximos de mínimos de g(x):
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2. Puntos de corte de f(x) y g(x):
Puntos (0, 0) y (4,8)
3. Se ha de calcular el área de la zona rayada.
Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es:
Calcular el área del círculo de radio r .
Resolución:
Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro (0,
0) y radio r:
Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema, se
calculará el área del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante. El
área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación del
cuarto de circumferencia en el primer cuadrante es y = pues la
ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se deduce
que el área del círculo es:
Para resolver esta integral se hace el cambio de variable
x = r sen t dx = r · cos t
Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue:
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Volúmenes de sólidos
Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese una
recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido.
Se supone, por último, que el sólido está completamente contenido entre
dos puntos de la recta que distan, respectivamente, a y b unidades de
longitud del punto O.
Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano
perpendicular a la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la
parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de la sección que
produce el plano en el sólido. En estas condiciones, es claro que V(a) = 0 y
V(b) = V.
Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h) - V(x) es el
volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su
volumen es A(x) · h.
Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es continua,
puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está infinitamente
próximo a x y, por consiguiente, A(x + h) es prácticamente igual a A(x). Es
por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y A(x + h) se consideró
que ambas eran iguales.
Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) · h
Dividiendo entre h,
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En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y
por el teorema fundamental del cálculo,
Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que se
pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce un
plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es perpendicular a
una recta elegida que atraviese el sólido.
Ejercicio: cálculo de volúmenes
Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.
Resolución:
Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que
coincide con el eje del cilindro, y como punto de referencia O el centro de
una de las bases.
Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier
punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r . Por tanto,
A(x) = r 2.
Volúmenes de cuerpos de revolución
Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a,
b], al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas,
genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución.
Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la
sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es:
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Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:
Ejercicio: cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución
Calcular el volumen de una esfera de radio r.
Resolución:
Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de
cordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una
semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la
semiesfera.
La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2:
y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2
El volumen de la esfera es entonces:
Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r.
Resolución:
Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un triángulo de vértices (0,
0),
(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y
(h, r ), se genera un cono de altura h y radio de la base r .
La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es
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El volumen del cono es entonces:
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