Este documento describe cómo calcular el recorte óptimo de una pieza de cartón rectangular para fabricar una caja sin tapa con el mayor volumen posible. Se proporciona un diagrama y tabla con diferentes recortes y sus volúmenes respectivos. Luego, se deriva la función de volumen y se iguala a cero para encontrar los recortes críticos de 133.03 y 38.97, siendo este último el recorte óptimo para maximizar el volumen de la caja.

1. Aplicación de las
Derivadas
Carolina Zúñiga
Rivera

2. PROBLEMA
Se dispone de una
pieza rectangular de
cartón que mide 324
x192cm, con este
material se fabricará
una caja sin tapa, para
ello se recortaran
cuatro cuadrados uno
en cada esquina y se
doblara la pieza
resultante

3. DIAGRAMA Y ANÁLISIS DEL PROBLEMA
x 324 x
x
192-2x x
324-2x
192
x

4. TABULACIÓN
Recorte Largo Ancho Altura Volumen
x 324-2x 192-2x x (324-2x)(192-2x)(x)
0 324 192 0 0
5 314 182 5 285740
10 304 172 10 522880
15 294 162 15 714420
20 284 152 20 852000
25 274 142 25 972700
30 264 132 30 1045440
35 254 122 35 1084580
40 244 112 40 1093120
45 234 102 45 1074060
50 224 92 50 1030400
55 214 82 55 965140
60 204 72 60 881280
65 194 62 65 781820

5. GRÁFICA
1200000
1100000
1000000
900000
800000
Volumen
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Recorte

6. FUNCIÓN A DERIVAR
(324-2x)(192-2x)(x)
(62208-648x-384x+4x2)(x)
(4x3-1032x2+62208x)
DERIVADA
4x3-1032x2+62208x
12x2-2064x+62208
IGUALAR A CERO
12x2-2064x+62208=0

7. FÓRMULA GENERAL
b2 4ac
x b
2a
2064 2 4 12 62208
x ( 2064)
2 12
4260096 2985984
x 2064
24
1274112
x 2064
24
2064 1128.765698
x
24
x1 133.0319041
x2 38.96809592

8. SOLUCIÓN
Para poder
elaborar una
caja con el
mayor
volumen se
necesita que
los recortes
sean de
38.96809592