El documento presenta dos métodos para resolver integrales mediante sustitución: el método de sustitución o cambio de variable, y la integración por partes. Aplica estos métodos para calcular integrales específicas involucrando funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente. También introduce el cambio general para transformar integrales de funciones trigonométricas en integrales racionales.

1. Mariam Martínez
“Ejercicios”

2.  En algunos casos de integración no es posible resolver en forma directa
por ello acudimos al método de sustitución o mejor conocido como
cambio de variable
 1) ∫ x cotg (x²-1)dx
 u= x²-1 du=2x dx du/2 =xdx
 ½∫2x cotg (x²-1)dx= ½∫cotg.u.du dx
 ½ ln|sen.u|+ c.
 ∫ x cotg (x²-1) dx ]= ½ ln|sen.u|+ c.
 2)∫ x sen (1-x²) dx
 u= 1-x² du= -2xdx
 -½ ∫x sen(1-x²)dx = -cos(1-x²) +c
 -½ ∫-2x sen (1-x²) dx
 -½∫ d.u sen u dx
 -½∫ sen u du dx = -½-cos(1-x²) + c
 ∫ x sen (1-x²) dx = -½-cos(1-x²) + c

3.  La formula utilizada en la integración por partes es:
 Uv-∫vdu
 1) ∫x sec² 3x dx
 u= x dv= sec² 3x dx
 du=dx v= ∫sec²3x dx RESOLVER
 ∫sec²3xdx
 W = 3x dw=3dx dw/3=dx
 1/3tgw 1/3tg3x V = 1/3 tg3x
 ∫x sec² 3x dx = x 1/3 tg 3x - ∫ 1/3 tg 3xdx= 1/3∫tg3x dx
 1/3∫tg3x dx
 P = 3x dp= 3dx dp/3 = dx
 1/9∫tgpdp = 1/9 ln|secp|= 1/9 ln |sec3x|
 ∫xsec²3xdx = x/3 tg3x – 1/9 ln |sec3x|+c

4.  2) ∫xcosxdx
 u = x du= dx
 dv=Cosxdx V= senx
 ∫xcosxdx = xsenx - ∫ senxdx
 ∫x cosxdx = xsenx +cosx+c

5. se trata ahora de convertir integrales dadas
en directas mediante una sustitución
trigonométrica.
 1)∫dx/(4-x²)³ dada la expresion 4-x²,
la forma es :a²-x²
 X= 2seno dx= 2 cosodo
 Seno = x/a
 Figura x 2
 √2²-x²

6.  ∫dx/(4-x²)³ =∫dx/2²-x²
 =∫2cosodo/2²-2²sen²o) ³
 = ∫ 2cosodo/√[2²(1-sen²o)]³
 = ∫2 cosodo/√(2²cos²o)³
 = ∫2cosodo/(2coso) ³
 = ∫2cosodo/2³cos³o
 =1/2² ∫do/cos²o
 =1/4 ∫ sec²odo según la figura
 1/4 ∫sec²odo
 =1/4 tgo+c
 Tg = x/√4-x²= ¼ tgo+c
 ∫dx/(4-x²)³ = ¼ x/√4-x² +c

7.  2)∫25-x²/x . Dx
 = ∫5²-x²/x .dx
 La forma es a²-x²
 Sea x= 5 seno dx= 5cosodo √5²-x² =5 coso
 seno = x/5
 resuelvo
 ∫ √5²-x²/x dx = ∫5 coso 5 cosodo/5 seno
 = ∫ cos²odo/seno
 =5 ∫(1-sen²o)do/seno
 =5 ∫seno do = 5∫coseco-5 ∫seno do
 5ln|coseco – cotg|+5 coso+c

8. De la figura
 x 5
 √5²-x²
 Coseco = 5/x cotgo = √25-x²
 5ln |5/x- √25-x²/x|+5 √25 -x²/5 +c
 5ln |5- √25-x²/x|+ √25 -x² +c

9.  Se trata de integrales en la que aparecen las
funciones trigonométricas: sen x, cos x,
tan x. Estas funciones pueden aparecer
dentro de una expresión racional P/Q, para
este caso hay una cambio siempre válido, es
el llamado cambio general que las
transforma en integrales racionales.

10.  1)∫cos²xdx
 -cos² = 1+ cos 2x/2
 ∫ cos²= 1/h senhx+c
 = ∫cos²xdx =½x + ¼ sen2x + c
 2) ∫ senx³4xdx
 ∫ Senx³4xdx = ∫ sen4xsen² 4xdx
 = sen² 4x = 1-cos² 4x = ∫ sen4xsen²4xdx
 ∫ sen 4x(1-cos² 4x)dx = ∫ sen 4xdx
 -∫sen4x(cos4x)²dx
 Sea: u=cos4x du= -4sen4xdx
 ∫ sen4xdx +¼ ∫ u² du =-¼ cos4x +1u³/4.3 +c
 = - cos4x/4 + cos³ 4x/12 + c
 ∫ senx³4xdx = - cos4x/4+cos³4x/12 + c

11.  El cociente de dos polinomios se denomina función
racional. La derivación de una función racional conduce a
una nueva función racional que puede obtenerse por la
regla de la derivada de un cociente
 ∫1) dx/x²-9
 x²-9= (x+3) (x-3) se tiene
 1/x²-9 = A/x+3 + B/x-3 donde
 1/x²-9 = A/x+3 + B/x-3
 1= (A+B)x + (-3A + 3B) LUEGO
 A+B=0 3A+3B =0 6B=1
 3A+B=1 -3A+3B=1 B=-1/6
 A + B= 0 A = -B A= 1/6
 X=3 1=6B B =1/6 X=-3 1=-6A A =-1/6

12.  2) ∫3X+1/X²+4X+3
 FACTORIZACIÓN X²+4X+3=(X+3)(X+1)
 3X+1/X²+4X+3 = A/(X+3)+B/(X+1)
 3X+1/X²+4X+3 = A (X+1)+B(X+3)/(X+3) (X+1)
 3X+1/X²+4X+3 = 4X+A+BX+3B/(X+3) (X+1)
 3X+1=AX+BX+A+3B
 3X+1=(A+B)X+A+3B
 A+B=3
 A+3B=1

13.  A+B=3(-1)
 A+3B =1
 -A-B =-3
 A+3B=1
 2B=-2 B=-2/2
 ∫3X+1/X²+4X+3 dx = ∫[A/(X+3)+B/(X+1)]dx
 ∫4/(x+3) + -1/(x+1) dx
 4 ∫dx/(x+3) - ∫dx/(x+1)
 4ln |x+3|-ln|x+1|+c
B=-1