Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica de predicados de primer orden, incluyendo términos, fórmulas atómicas, conectores lógicos, cuantificadores y reglas para poner las fórmulas en forma normal. Explica cómo se pueden representar y derivar inferencias sobre enunciados en este sistema formal.

1. Cálculo de Predicados
Diego Gonzalez
C.I. 16.714.513
Estructuras Discretas
SAIA – UFT
Noviembre, 2015

2. Representación e inferencia en la lógica de predicados
Idea:
La lógica como sistema de representación del
conocimiento y de obtención de
consecuencias (control)
Cálculo de predicados de primer orden
Fórmulas
Fórmulas atómicas
Conectores

3. autor(quijote, cervantes)
escritor(cervantes)
Predicado: Un predicado es un símbolo cuyo valor
se encuentra en el dominio lógico (verdadero o
falso) y representa alguna cualidad semántica, en
un cierto contexto, acerca de las relaciones entre
objetos o entidades
Fórmulas atómicas
Términos
autor(quijote, Quién)
autor(quijote, mejor(novelista, españa))

4. Constante:
Representa un término con un valor semántico determ
Fórmulas atómica :: Predicado | Predicado(Términos)
Términos :: Término | Término, Términos
Término :: Variable | Constante | Functor
Functor :: NombreFunctor(Términos)
Variable:
Representa un término cuyo valor no está determinado
inicialmente y su dominio de definición debe coincidir con
el de los términos constantes
Functor:
Es un símbolo que posee valor en el dominio de las
variables y constantes, pero que no es ni una variable ni
una constante.
Normas léxicas:
Las variables siempre empiezan por mayúscula
las constantes por minúscula

5. Conectores
Permiten construir fórmulas complejas a partir de
fórmulas o expresiones atómicas
Negación :  (~)
Disyunción :  (OR)
Conjunción :  (AND)
Implicación :  ()
Equivalencia : 

6. Negación: Genera una fórmula que posee valores lógicos
complementarios a los de la fórmula sobre la que se
aplica. Estrictamente no es un conector, pues no conecta
dos fórmulas sino que transforma una.
 autor(hamlet, cervantes)
Disyunción: Genera una fórmula cuyo valor lógico es el
“OR” de los valores de las dos fórmulas que conecta.
estado(bombilla, encendida)  estado(bombilla, apagada)
Conjunción: Genera una fórmula cuyo valor lógico es el
“AND” de los valores de las dos fórmulas que conecta.
color(coche, rojo)  color(camisa, azul)

7. Implicación: Genera una fórmula compuesta no-simétrica
que es cierta siempre, salvo cuando el antecedente es
cierto y el consecuente falso.
p  q es equivalente a p  q
p q p  q p p  q
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 1 0 1
está(cielo, azul)   lloverá(hoy)
 está(cielo, azul)   lloverá(hoy)

8. Equivalencia o doble implicación: Genera una fórmula que
es cierta sólo si las dos componentes poseen idéntico
valor.
p  q es equivalente a (p  q)  (q  p)
p q p  q q  p (p  q)  (q  p)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1
llueve(hoy)  está(cielo, nublado)

9. Equivalencias
Complemento: p   p  1
Doble negación:  (  p )  p
Conmutativa: p  q  q  p
p  q  q  p
Distributiva: p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Asociativa: p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
Leyes de De Morgan:  (p  q)   p   q
 (p  q)   p   q
Ley del contrapositivo: p  q   q   p

10. Cuantificadores Establecen el ámbito de
existencia de las variables
Cuantificador Universal ():
Cuando acompaña a una variable X establece que la
fórmula es siempre válida para cada valor posible
de la variable X. La variable X se dice entonces
cuantificada universalmente.
“Todo cuerpo con masa cae”
(X) ( [cuerpo(X)  posee(masa, X)]  cae(X) )

11. Cuantificadores Establecen el ámbito de
existencia de las variables
Cuantificador Existencial ():
Establece que como mínimo existe un valor de la
variable cuantificada que hace cierta la fórmula. La
variable se dice cuantificada existencialmente.
“Alguién descubrió la penicilina”
( X) ( descubrió( X, penicilina )

12. Reglas de precedencia entre operadores

, 
 , 
, 
menor precedencia
Forma Normal de una fórmula
Una fórmula se dice que está en forma normal
si todos los cuantificadores han sido
desplazados al principio de la fórmula.

13. Forma normal de una fórmula
Una fórmula se dice que está en forma normal si todos los
cuantificadores han sido desplazados al principio de la
fórmula.
Algunas equivalencias útiles para alcanzar una forma
normal
 [ ( X) p(X) ]  (X) [ p(X) ]
 [ (X) p(X) ]  ( X) [ p(X) ]
( X) [ p(X)  q(X) ]  [ (X) p(X) ]  [ (X) q(X) ]
( X) [ p(X)  q(X) ]  [ ( X) p(X) ]  [ ( X) q(X) ]

14. Lógica de orden cero:
Los predicados carecen de términos y el cálculo de
predicados se reduce al cálculo de proposiciones o
proposicional.
Lógica de orden uno:
Los predicados poseen términos que pueden ser
constantes, variables o functores.
Lógica de orden superior:
Los predicados lógicos pueden ser en sí mismos
variables.

15. Ejercicios. Expresar como fbf en lógica de predicados los
siguientes hechos
A. Marco era un hombre.
B. Marco era pompeyano (de Pompeya).
C. Todos los pompeyanos eran romanos.
D. César era un dirigente.
E. Todos los romanos o bien eran leales a César o bien le
odiaban.
F. Todo el mundo es fiel a alguien.
G. La gente sólo trata de asesinar a aquellos dirigentes a
los que no son leales.
H. Marco intentó asesinar a César.
I. Algún romano odia a César.

16. A. hombre(marco)
B. pompeyano(marco)
C. (X)(pompeyano(X)  romano(X))
D. dirigente(césar)
E. (X)(romano(X)  leal(X,césar)  odia(X,césar))
F. (X)(hombre(X)  (Y) leal(X,Y)
G. (X)(Y) (hombre(X)  dirigente(Y)
 intenta_asesinar(X,Y)   leal(X,Y))
H. intenta_asesinar(marco, césar)
I. (X) (romano(X)  odia(X, césar))