Cálculo financiero-Interés simple

ASIGNATURA:
CÁLCULO FINANCIERO
PROFESOR: Mgt. Atilio Vargas Elguera
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD
DEL CUSCO
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CONTABLES
ECONÓMICAS Y TURISMO
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD

Cantidades directamente proporcionales y cantidades Inversamente
proporcionales.
Se dice que dos cantidades son directamente proporcionales si al
aumentar una de ellas la otra aumenta proporcionalmente y si una
disminuye, la otra disminuye proporcionalmente.
Como ejemplo: El número de obreros es directamente proporcional al
trabajo realizado. En efecto, si dos obreros por ejemplo, ejecutan 6
metros de una pared en una hora, cuatro obreros evidentemente en el
mismo tiempo ejecutarán 12 metros de la misma obra.
Son cantidades inversamente proporcionales aquellas que, si aumenta
una, la otra disminuye proporcionalmente y viceversa, tal como la
velocidad con el tiempo aplicado en recorrer una distancia dada; a mayor
velocidad, menor tiempo empleada; por ejemplo, si se dobla la velocidad
el tiempo se reducirá a la mitad.

b) Recuérdese que se Iee: S/ 2,400 es a S/ 830; como S/ 3,400 es a X.
Las cantidades son directamente proporcionales porque a mayor capital,
mayor interés. Apliquemos la propiedad básica:
2,400 X = 830 x 3,400

INTERES SIMPLE
Matemática financiera - Generalidades - Interés simple y compuesto,
Interés simple - Formulas para diferentes unidades de tiempo:
años, meses días - Monto total - Valor actual.
Generalidades
Muy relacionada con la contabilidad se encuentra la aplicación aritmética
y algebraica denominada Matemáticas Financieras que abarca los
siguientes temas : Intereses , anualidades y depreciaciones.
El Interés que gana un capital puedo ser simple o compuesto , según que
el interés generado al fin de un período se incorpore o no al capital.
Bajo el nombre genérico de anualidades se conoce a las imposiciones
periódicas , aunque estas sean en plazos diferentes a un año, que se
hacen para formar un capital o para amortizar una deuda.

Si un capital de S/. 5000 al 8% anual, impuesto durante 4 años. ¿Calculemos el
monto total al final de los 4 años?
a) A interés simple:
El primer año se gana de interés :
S/. 5,000 x 0.08 = 400
El segundo año: S/. 5,000 x 0.08 = 400
El tercer año y cuarto año se ganaran también S/. 400 cada año, en consecuencia el
monto total, después de los 4 años es:
S/: 5000 + (4 x 400) = 6,600
b). A interés compuesto:
El primer año se gana de interés:
S/. 5,000 x 0.08 = 400
El segundo año, el capital impuesto es: S/. 5000 iniciales, mas S/. 400 de interés,
es decir S/. 5400 que ganan interés de:
S/. 5,400 x 0.08 = 432
El tercer año, el capital impuesto es: S/. 5400 + 432 = 5,832
El interés ganado es: S/. 5,832 X 0.08 = 466.56

El cuarto año el capital impuesto es: S/. 5,832 + 466.56 = 6,298.56
El interés generado es: S/. 6,298.56 x 0.08 = 503.88
Luego el monto al fin del cuarto año es:
S/.
6,298.56 +503.88 = 6,802.44
Nótese que al interés compuesto , el monto total es S/. 202.44 mayor que al interés
simple.
Interés simple
Se denomina así , al interés que no se suma al capital inicial, permaneciendo éste
constante. Los cálculos relacionados con el interés simple no ofrecen mayor
dificultad.
- Nomenclatura
Para las fórmulas usaremos la siguiente notación:
C = Capital prestado o impuesto
r = Tanto por uno anual, es decir, el interés que gana S/. 1 .00
i = Tanto por ciento anual, es decir, el interés que gana S/. 100.00
n = Número de años
I = Interés ganado.

Ejercicios y problemas:
- Calcular el interés simple y el monto de 10,000 :
a. En 9 meses al 8% d. En 3 años y 4 meses al 7%
b. En 2 y medio años al 10% e. En 8 años, 5 meses y 10
días al 10.5%
c. En 220 días al 12% f. En 3 años y 3 meses al
9.25%
- ¿ En qué tiempo se duplica un capital impuesto al 8% de
interés simple?
- Hacer la comparación del interés simple generado por un capital
considerando :
el año comercial de 360 días y el real de 365 días.
- ¿A qué tasa de interés simple:
a. El capital de S/. 4,000 ganará S/. 220 en un año ?
b. El capital de S/. 21,600 genera S/. 720 en 5 meses ?

INTERES SIMPLE (Continuación)
Descuento simple o comercial— Pagos parciales—Pagos haches en
intervalos irregulares y en intervalos regulares.
Descuento simple o bancario
Es muy común en las operaciones comerciales o bancarias que por
diversos motivos se haga un descuento sobre precio de venta o sobre
cualquier otro tipo de valor establecido o acordado. Una de las razones
mas comunes para un descuento es el pago por adelantado, Tomemos
como expresión inicial:
Si empleamos la nomenclatura siguiente:
V = Venta o cantidad total
A = Pago por adelantado a valor actual
D = Descuento simple o bancario
Obtenemos la expresión:
(VII-1)
Venta = Pago por Adelantado + Descuento
V = A + D

Pagos parciales
Muchas veces una adquisición o una deuda se paga mediante pagos
parciales. Hay que tener presente que en este caso, consideraremos
que tanto la deuda inicial coma los pagos parciales, generan un interés
simple.
El caso en que generan interés; compuesta se denomina anualidades y
será tratado en capítulos posteriores.
Estudiaremos dos casos:
- Los pagos son hechos en intervalos irregulares.
- Los pagos son hechos en intervalos regulares con o sin cuota o
pagamento inicial.
Método del interés total o comercial
En este método la cantidad total que debe pagarse es la suma inicial mas
su interés por todo el periodo. Los pagos parciales se consideran que
generan también interés desde el momento que se hacen hasta el fin del
periodo. El saldo por liquidar al fin del periodo es la diferencia entre
ambos totales.

Sea por ejemplo, una deuda de S/. 18,400 que genero interés de tasa
8% anual, pagadera en 18 meses. A los 4 meses se reciben S/. 4,500;
en el noveno mes S/. 7,600; en el décimo S/. 300: en el décimo segundo
S/. 6,500 ¿ Qué Saldo hay que pagar al final de los 18 meses ?
Deuda original : S/ 18,400 + Interés por los 18 meses 2,208 = S/. 20,608
1er. Paga
S/ 4,500
interés por ( 18-4 ) = 14 meses S/ 420
2do. Pago
S/ 7,600
Interés por ( 18-9) = 9 meses S/ 456
3er. Pago
330
Interés por 8 meses S/ 16
4to. Pago
S/ 6,500
interés por 6 meses S/ 260
_____________
S/ 20,082

Método del interés a rebatir
En este método los pagos parciales se aplican para el interés que ha
generado el saldo insoluto o no pagado durante al periodo entre pago y
pago; y el descuento del pago se destina a amortizar la deuda.
Si un pago parcial no alcanza a cubrir los intereses, no se lleva en cuenta
y se suma al próximo pago sin considerar los intereses que haya
generado.
Resolver el caso que se da a continuación por el método del Interés al
rebatir.
Uno deuda de S/ 18,400 se debe cancelar en 18 meses y genero interés
del 8%. En el cuarto mes recibe S/. 4,500; en el noveno S/. 7,600; en el
décimo tercero S/ 100 y en el décimo sexto S/. 7,200. Qué saldo hay
que pagar el último día?

Deuda inicio S/, 18,400.00
Interés por 4 meses 490.67
Total al 4to mes 18,890.07
Primer pago 4,500.00
14,390.67
Interés por 5 meses 479.69
14,870.36
Segundo pago 7,600.00
7,270.36
339.28
7,609.64
Tercer pago
7,200 + 100 7,300.00
Saldo al vencimiento 309.64
interés que genera S/. 7,270.36 en 4 meses es de S/. 193.88 y como el
pago parcial de 100 es menor que esto cantidad no se computa por
el momento.

FORMULA.- La formula del porcentaje es : P = B T
En donde:
PORCENTAJE.- Cuyo símbolo es P, es igual al producto de la base por
la tasa. El porcentaje puede ser la comisión, los descuentos bancarios, el
interés que reduce cierta cantidad de dinero, el aumento en kilos del
material usado en una fabrica, la porción aplicable de una partida de
gastos de cierto departamento, etc.
BASE.- Cuyo símbolo es B, es el numero de cantidad representando por
CIEN POR CIENTO, la base puede ser por ejemplo las ventas totales, los
gastos totales, el valor nominal de un documento, la cantidad total, etc.
TASA.- Cuyo símbolo es T, es el numero de centésimos o el tanto por
ciento, por ejemplo: 7% y 18%, cuyo términos se pueden escribir como
numero decimal: 0.07 y 0.18.
CASOS.- En la solución de los problemas de porcentajes, se presentan
tres casos:

1 - Se toma como base cien y se le suma o resta el primer porcentaje,
según sea de aumento o de disminución.
2- Se calcula el segundo porcentaje sobre el resultado anterior y se le
suma o resta, según el caso.
3 - Si hay un tercer porcentaje, se le calcula sobre el resultado anterior ,
procediendo del mismo modo.
4 - Después del ultimo porcentaje, se resta cien del ultimo resultado y se
obtendrá el tanto por ciento equivalente.
Si el ultimo resultado es menor de cien, el tanto equivalente será negativo
o de disminución, Si el ultimo resultado es mayor de cien, el tanto
equivalente será de aumento.
NOTA.- Cualquiera que se a el orden en que se calculen los porcentajes
sucesivos, no altera el resultado final aunque si los resultados parciales.
APLICACIONES.- Si del importe de una factura se rebaja por distintos
conceptos, el 10 %, el 20 %, y el 5 % en forma sucesiva. ¿A cuanto por
ciento equivaldría la rebaja total?.

SOLUCION
Base 100
-10% 10.00 100.00 -
90.00 68.40
20% 18.00 31.60
72.00
-5% 3.60
68.40
RESPUESTA. La rebaja total equivale al 31.60%.
2. El año 2009 el costo de vida subió en forma sucesiva, por diferentes
conceptos el 12%, 25% y el 18%. ¿A que tanto por ciento equivale el
aumento del costo de vida?
SOLUCION
Base 100.00
+12% 12.00 165.20
112.00 100.00
+25% 28.00 65.20
140.00
+ 18% 25.20 RESPUESTA.- El aumento total equivale al 65.20%
165.20

PROBLEMAS.- El importe total de una factura es de 6,845 soles y de ella
se rebaja por distintos conceptos, en forma sucesiva el 6 % , 9% y el 4%.
¿A cuanto por ciento equivale la rebaja total?. ¿A cuanto asciende dicha
rebaja? ¿Cuánto se paga por la factura?
SUMA DE PORCENTAJES
Si se da la suma de una cantidad mas un porcentaje de la misma, se
tiene como incógnita el porcentaje aumentando o la cantidad base.
CALCULO DE LA BASE.- Designando por S a la suma, B a la base y por
P al porcentaje, se tiene la ecuación siguiente: S = B + P (1)
Pero sabemos que porcentaje es: P = BT
Reemplazando este valor en la formula (1): S = B + BT
Sacando factor común B, se tiene: S = B (1 + T ) (2)

APLICACIONES.- En cuanto debe venderse una plancha eléctrica
que cuesta 340 soles, si se desea ganar el 20% sobre el precio de
costo?
SOLUCION
B = C = 340 S = B (1 + T) (2)
T = 0.20 V = C (1 + T)
V = ? V = 340 (1 + 0.20)
V = 340 (1.2)
V = 408
PROBLEMAS.-
- Compre una casa en 7, 895 soles y deseo vender ganando el
37.5%. ¿Cuál será el precio de venta?
- Vendo una cinta de tela ganando 15 centavos en cada metro, esta
ganancia es el 30 % del costo . ¿Cuánto cuesta el metro de cinta?

REGLA DE INTERESES
La regla de interés es una operación por medio de la cual se halla la
ganancia que produce una suma de dinero prestado a un tanto por
ciento dado y durante un tiempo determinado.
INTERES SIMPLE
Sabemos que el interés es el rédito que hay que pagar por el uso del
dinero tomado en préstamo. El redito que se conviene pagar por una
suma determinada depende la cuantía de la suma prestada, de la
duración de la deuda y de la tasa, tanto por ciento o tipo de interés.
Por consiguiente, al calcular el interés hay que tener en cuenta tres
factores:
1. El capital o principal
2. El tiempo
3. La tasa
NOTACION.-En el estudio del interés simple, emplearemos los
siguientes símbolos:

VENTAJAS DEL AÑO COMERCIAL.-
Aunque racionalmente debería emplearse el año de 365 días o de
366 días cuando el año es bisiesto, puesto que el computo de días se
hace según el calendario, conviene el empleo del año de 360 días o
AÑO COMERCIAL, porque facilita el calculo en muchísimos casos.
NOTA.- Para resolver los problemas de interés simple:
Si la tasa del problema es mensual, bimestral, trimestral, quincenal,
cuatrimestral, semanal, diario, etc, se convierte en TASA ANUAL.
La formula se aplica de acuerdo al tiempo que se dará en el
problema.
APLICACIONES.- Hallar el interés que produce un capital de 5,600
soles, al 1/8 % quincenal, en dos años y seis meses.
SOLUCION
I = ?
C = 5,600
i = 1/8 % quincenal = 1/8 x 24= 3% anual = 0.03
n = 2n. 6 m = 30 meses = 30/12

PROBLEMAS.-
- Hallar el interés que produce un capital de 1,860 soles del 9 de
abril al 10 de noviembre del mismo año, al 1.375% trimestral.
- Hallar el interés que produce un capital de 796.28 soles, en 3
años y 6 meses, ½ % mensual.
- ¿Cuál es el capital que produce un interés de 1,454.52 soles,
al 2.875 % semestral, en 3 años, 5 meses, y 17 días?
- En cuanto tiempo un capital de 625 soles, produce un interés
de 262.50 soles, al 2% cuatrimestral?
- Hallar el interés que produce un capital de 4,820.50 soles, al
7/12% bimestral en 1 año y tres meses?

DESCUENTO BANCARIO
Es la operación por la cual se adelanta el pago de una suma de
dinero, haciéndolo antes de la fecha estipulada, mediante una
bonificación, llamada descuento.
Como los bancos son generalmente los que negocian con esta clase
de documentos, recibiendo en cambio del valor de los mismos una
suma por los días que faltan para hacerse efectivos, la operación se
llama “DESCUENTO BANCARIO”.
ELEMENTOS.- En la operación del Descuento Bancario intervienen
los siguientes elementos:
VALOR NOMINAL (Vn).- Es la cantidad escrita en una obligación, es
el capital futuro.
VALOR ACTUAL, REAL O EFECTIVO. Cuyo símbolo es “Va”, es la
suma de dinero que efectivamente se recibe antes del vencimiento.
DESCUENTO._ Cuyo símbolo es “D”, es la suma que se resta del valor
nominal de un documento.

Aplicando la otra formula
Sabemos que: Va =Vn – D (1)
Pero sabemos que descuento es: D = Vn i n
Reemplazando este valor en la formula anterior, se tiene:
Va = Vn - Vn i n
Sacando factor común valor nominal en el segundo miembro de la
igualdad, se tiene:
Va = Vn (1 – i n )
APLICACIONES.- Una letra de 12,648 soles que se cumple el 3 de
Agosto ha sido descontada el día de hoy (14 de Jun) con el 12%
anual. ¿Cuánto se recibe por la letra?

AMORTIZACION DE DOCUMENTOS
Los problemas de amortización de documentos de comercio, se
resuelven con la formula del valor nominal con gastos, haciéndose
previamente una liquidación y después de calcular el valor nominal se
hace otra liquidación, que es la que sirve como comprobación.
APLICACIONES.- El 15 de marzo vence una letra de 25,000 soles.
El 20 del mismo mes se amortiza esta letra con 8,000 soles y se
renueva el saldo a 90 días . ¿Por cuánto debe renovarse incluyendo
como descuento, intereses penales por los días transcurridos al 12 %
anual, intereses adelantados al 10 % anual, tres por mil de gastos, ¼
% de comisión y 1.20 soles de portes?
SOLUCION
Importe Letra 25,000.00
Intereses penales : 5 días al 12 % anual 41.67
Portes 1.20
Total 25,042.87

9X + 17 ( 5,970 – X )= 63,600
9X + 17 ( 5,970 – X ) = 63,600
9X + 101,490 – 17X = 63,600
9X – 17X = 63,600 - 101,490
- 8X = - 37,890.00
X = 4,736.25
Entonces el valor de la segunda letra será:
5970 – 4,736.25 = 1,233.75

ECUACION DE PAGOS
Es la operación que consiste en reemplazar la suma o el saldo de
varios capitales por uno solo, siendo el resultado el vencimiento del
nuevo capital o el capital a un vencimiento dado, en ambos casos los
intereses deben ser iguales.
CLASIFICACION.- Dentro del estudio de la ecuación de pagos, se
consideran:
1. El vencimiento común de pagos o vencimiento medio
2. El vencimiento del saldo
3. El vencimiento común de capitales
4. El vencimiento común de obligaciones
5. El vencimiento común del saldo
6. La tasa media de interés

VENCIMIENTO COMÚN DE PAGOS O VENCIMIENTO MEDIO
Es la operación que consiste en calcular una fecha única cuando son
varios los pagos que tienen que efectuarse y en distintas fechas; de
manera que, los intereses que pudieran motivar los pagos diferidos
sean compensados por los que pudieran producirse en favor de los
pagos adelantados.
ELEMENTOS.- Los elementos que intervienen en el vencimiento
común de pagos son:
1. EL VENCIMIENTO.- Que es la fecha en que fenece una obligación.
2. EL CAPITAL.- Que es el valor nominal o importe de la obligación.
3. LA EPOCA.- Que es la fecha que se elige para efectuar los
cálculos correspondientes.
4. El TIEMPO.- Que son los días que transcurren entre la época y el
vencimiento.
5. LOS NUMERALES.- Que son el producto del capital por los días.

REGLA.-Para calcular el vencimiento medio:
1. Se elige la época
2. Se hace el computo de los días que median entre la época y la
fecha de liquidación de cada vencimiento.
3. Se calcula los numerales
4. Se suman separadamente los capitales y los numerales
5. Se halla el día del vencimiento, dividiendo la suma de los
numerales entre la suma de los capitales.
6. Para hallar la fecha del vencimiento común se suma o se resta de
la época el numero de días, según que el resultado sea positivo o
negativo.
NOTA.- Los días y los numerales son negativos, cuando son
anteriores a la fecha de la época.
CASOS.- En el calculo del vencimiento común se presentan cinco
casos, que son:

PRIMER CASO.- Cuando la época es anterior al primer vencimiento.
SEGUNDO CASO.- Cuando la época es el primer vencimiento.
TERCER CASO.- Cuando la época es el ultimo vencimiento.
CUARTO CASO.- Cuando la época es una fecha cualquiera
comprendida entre el primer y ultimo vencimiento.
QUINTO CASO.- Cuando la época es posterior al ultimo vencimiento.
PRIMER CASO .- CUANDO LA ÉPOCA ES ANTERIOR AL PRIMER
VENCIMIENTO.
APLICACIONES.- Calcular el vencimiento común de las siguientes
obligaciones, tomando como la época el 1° de mayo:
8,000 soles que vence el 14 de Mayo
15,000 soles que vence el 30 de Mayo
18,000 soles que vence el 20 de Junio
10,000 soles que vence el 2 de Julio

FECHA DEL VENCIMIENTO COMUN.- 10 de Junio ..(Se obtiene
restando a la época que es el 2 de Julio los 22 días negativos y el
resultado es el 10 de Junio).
CUARTO CASO.- CUANDO LA ÉPOCA ES UNA FECHA
CUALQUIERA COMPRENDIDA ENTRE EL PRIMER Y ULTIMO
VENCIMIENTO.
REGLA.- Para la solución de estos problemas, una vez elegida la
época entre el primer y ultimo vencimiento del problema, se efectúan
los cálculos considerando como POSITIVOS los resultados que
transcurren desde la época en adelante y NEGATIVOS los que
transcurren desde las fechas anteriores a la época; luego se suman
los resultados positivos y se restan de ellos los resultados negativos y
este resultado se divide entre la suma de los capitales. El cociente
será igual a los días que se sumen o se resten de la época, para
determinar la fecha del vencimiento común.

FECHA DEL VENCIMIENTO COMUN.- 10 de Junio ..(Se obtiene
restando a la época que es el 15 de junio, los 5 días negativos y el
resultado es el 10 de Junio).
QUINTO CASO.- CUANDO LA EPOCA ES POSTERIOR AL
ULTIMO VENCIMIENTO.- En este caso el numero de días se resta
de la época.
APLICACIONES.- Trabajamos con el mismo ejemplo.
EPOCA 10 DE JULIO
VENCIMIENTOS CAPITALES DIAS NUMERALES
14de Mayo 8,000 -57 - 456,000
30 de Mayo 15,000 -41 -615,000
20 de Junio 18,000 -20 -360,000
2 de Julio 10,000 - 8 - 80,000
51,000 -1’511,000

VENCIMIENTO COMUN DEL SALDO
Es la operación que consiste en calcular la fecha en que debe
cancelarse el saldo de una deuda, sin que los intereses perjudiquen al
deudor ni al acreedor.
REGLA.- Para calcular el vencimiento común del saldo:
1.- Se elige la época
2.- Se calculan los días
3.- Se calculan los numerales
4.- Se halla el saldo de los capitales
5.- Se halla el saldo de los numerales sumando algebraicamente
6.- Se divide algebraicamente el saldo de los numerales entre el saldo
de los capitales y se obtiene el número de días.
7.- Si los días son positivos se suma a la época
8.- Si los días son negativos se resta de la época

CASOS.- En el cálculo del vencimiento común del saldo se presentan
cuatro casos:
PRIMER CASO.- Cuando la época es anterior a la primera
amortización.
SEGUNDO CASO.- Cuando la época es cualquiera de las
amortizaciones.
TERCER CASO.- Cuando la época es una fecha cualquiera
comprendida entre la primera y la ultima amortización.
CUARTO CASO.- Cuando la época es posterior a la ultima
amortización.
PRIMER CASO .- CUANDO LA ÉPOCA ES ANTERIOR A LA
PRIMERA AMORTIZACION.
APLICACION.- A cuenta de una letra que vence el 20 de Marzo por
60,000 soles, se endosan tres letras: la primera por 15,000 soles que
vence el 10 de Marzo; la segunda por 20,000 soles que vence el 30

Marzo y la tercera por 15,000 soles que vence el 5 de Abril. ¿Cuando
debe cancelarse el saldo sin intereses si se toma como epoca el 1° de
Marzo?
SOLUCION
EPOCA : Primero de Marzo
20 de Marzo 60,000 19 1’140,000
------------------------------------------------------------------------------------------
10 de Marzo 15,000 9 135,000
30 de Marzo 20,000 29 580,000
5 de Abril 15,000 35 525,000
50,000 1´240,000
10,000 - 100,000

Nota: Restamos los 19 días a partir de la epoca que es el 10 de
Marzo, o sea:
Marzo 10
Febrero 9 = 28 días que tiene febrero menos 9 días, resulta el 19
de febrero.
RESPUESTA.- El saldo que es 10,000 soles, debe cancelarse sin
intereses el 19 de febrero.
Resolvemos el mismo ejemplo anterior y elegimos como época la
segunda amortización.

SOLUCION
EPOCA: 30 DE MARZO
20 de marzo 60,000 -10 -600,000
_____________________________________________________________________________
10 de marzo 15,000 -20 -300,000
30 de marzo 20,000 -- --
5 de abril 15,000 6 90,000
___________ ___________
50,000 - 210,000
___________ ___________
10,000 - 390,000
NOTA: Menos 390,000 resulta de la siguiente sustracción algebraica de -600,000
restar -210,000 = - 390,000 (se cambia el signo del sustraendo)
𝐍 =
−𝟑𝟗𝟎,𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎,𝟎𝟎𝟎
= -39

Marzo 30 días
Febrero 9 = 28 - 9 = 19 de febrero
RESPUESTA.- El saldo que es de 10,000 soles, debe cancelarse sin
intereses el 19 de febrero.
Resolvemos el mismo ejemplo anterior y elegimos como epoca la
tercera amortización.
SOLUCION
EPOCA : 5 de abril

TERCER CASO- CUANDO LA EPOCA ES UNA FECHA
CUALQUIERA COMPRENDIDA ENTRE LA PRIMERA Y LA
ULTIMA AMORTIZACION.
APLICACIÓN.- Resolvemos el mismo ejemplo anterior y elegimos
como época una fecha cualquiera, por ejemplo el 12 de marzo.
SOLUCION
EPOCA : 12 de Marzo
20 de Marzo 60,000 8 480,000
-------------------------------------------------------------------------------------
10 de Marzo 15,000 -2 - 30,000
30 de Marzo 20,000 18 360,000
5 de Abril 15,000 24 360,000
50,000 690,000
10,000 - 210,000

SOLUCION
EPOCA : 18 de abril
20 de Marzo 60,000 - 29 - 1’740,000
----------------------------------------------------------------------------------------
10 de Marzo 15,000 - 39 - 585,000
30 de Marzo 20,000 - 19 - 380.000
5 de Abril 15,000 -13 -195,000
50,000 - 1’160,000
10,000 - 580,000
NOTA: Menos 580,000 resulta de la siguiente sustracción algebraica:
de – 1’740,000 restar – 1’160,000 = - 580,000(se cambia el signo del
sustraendo)

Mas la tasa por la suma de los numerales, todo ello dividido entre la
suma de 36,000 con el producto de la tasa con el tanto por ciento.
NOTA.- En la comprobación para hallar los intereses de la suma de
capitales: se multiplica la suma de los numerales por la tasa y el
producto se divide entre 36,000.
CASOS.- Se presentan dos casos:
PRIMER CASO.- Cuando el vencimiento es anterior a la liquidación.
SEGUNDO CASO.- cuando el vencimiento es posterior a la
liquidación.
PRIMER CASO - CUANDO EL VENCIMIENTO ES ANTERIOR A LA
LIQUIDACIÓN.
APLICACIÓN.- Reemplazar los siguientes capitales por uno solo al
30 de Agosto, efectuando la liquidación de intereses el 30 de Octubre
al 15 %.

SEGUNDO CASO - CUANDO EL VENCIMIENTO ES POSTERIOR A
LA LIQUIDACIÓN.- En este caso el numero de días será negativo,
por lo tanto el segundo termino del divisor en la formula general
también será negativo.
APLICACIÓN.- calcular el capital que reemplaza a los dados en el
ejemplo anterior, con vencimiento al 19 de diciembre del mismo año,
liquidan de los intereses al 30 de octubre y al 15%.
SOLUCION
20 de Julio 3,000 102 306,000
15 de Agosto 6,000 76 456,000
10 de setiembre 5,000 50 250,000
14,000 1’012,000

APLICACIONES.- Reemplazar las siguientes obligaciones, liquidando
al 31 de agosto, a la tasa de descuento bancario del 10 % anual, con
una nueva obligación de 90 días:
5, 000 soles que vence el 20 de setiembre
12,000 soles que vence el 30 de setiembre
9,000 soles que vence el 10 de octubre
16,000 soles que vence el 9 de noviembre
SOLUCION
20 de Setiembre 5,000 20 100,000
30 de Setiembre 12,000 30 360,000
10 de Octubre 9,000 40 360,000
9 de Noviembre 16,000 70 1’120, 000
42,000 1’940,000

CAPITALIZACION A INTERES SIMPLE
Es la operación que consiste en abonar periódicamente cierta
cantidad de dinero, con el objeto de acumular un capital o de cancelar
una deuda.
Según la naturaleza de las operaciones, estas se llaman “cuotas”,
“armadas” o “primas” ; y según el periódo de tiempo en que se
abonan toman el nombre de : “mensualidades” , “anualidades”, etc.
Las operaciones de capitalización pueden ser:
1.- A INTERES SIMPLE.- Cuando los intereses se liquidan al termino
de la operación.
2. A INTERES COMPUESTO.- Cuando los intereses se liquidan
periódicamente y entran a formar el nuevo capital para devengar
nuevos intereses.

CLASIFICACION DE LAS CUOTAS.- Las cuotas se clasifican en:
1.- CUOTAS DE CAPITALIZACION.- Son los abonos que se hacen
con el objeto de formar un capital.
2.- CUOTAS DE AMORTIZACION.- Son los Abonos que se hacen
con el objeto de cancelar una deuda.
3.- CUOTAS ADELANTADAS.- Son las que se abonan al principio de
cada periodo.
4.- CUOTAS VENCIDAS.- Son las que se abonan al final de cada
periodo.
5.- CUOTAS CIERTAS.-Son aquellas en que el número de cuotas es
determinado.
6.- CUOTAS INCIERTAS.-Son aquellas en que el número de cuotas
no se puede determinar.
7.- CUOTAS CONSTANTES.- Son aquellas en que los pagos son por
un mismo importe.
8.- CUOTAS VARIABLES.- Son aquellas en que los pagos son por
diferentes importes.

Como en la capitalización a Intereses Simple, el factor de la tasa de
interés (n + 1) será para las cuotas adelantadas; y, el factor de la tasa de
intereses (n – 1) será para las cuotas vencidas.
NOTACIÓN.- Es la misma que hemos empleado en la capitalización a
intereses simple, o sea:
C = Capital a amortizar
a = importante de cada cuota
n = Número de cuotas
j = Tasa anual de interés
m = Número de periodos de capitalización

PARA EL DEBE:
1.- Se halla el capital a amortizarse
2.- Se halla el interés de dicho capital al % dado.
3.- Se suman los resultados anteriores
PARA EL HABER:
1.- Se halla el importe de las cuotas.
2.- Se halla el interés que produce la primera cuota con el factor de la tasa
de interés ( n + 1 ) para las cuotas adelantadas; con el factor de la tasa de
interés ( n – 1 ) para las cuotas vencidas y solo con el número de cuotas “n”
para las cuotas abonadas a mitad de cada período.
Con el interés de la primera cuota y el interés de la última cuota que es cero
se forma una progresión aritmética, cuya suma el igual a la suma del primer
y ultimo términos multiplicado por el número de cuotas y todo ellos dividido
entre dos.
3.- El resultado anterior se suma al importe de las cuotas.
4.- Estas ultima suma debe ser igual a la suma del DEBE.

COMPROBACIÓN
DEBE:
Capital a amortizarse 13,928.57
Intereses : 25 meses al 8 % anual 2,321.43
___________
Suma total 16,250.00
HABER:
Importante de las 25 cuotas de 600 soles 15,000.00
Suma de intereses de las 25 cuotas al 8% anual 1,250.00
__________
Suma total 16,250.00
RESPUESTA.- Se amortizará con cuotas abonadas a mitad de cada
período que es de 13,928.57 soles.
NOTA.- El resultado de las cuotas abonadas a mitad de cada
período que es de 13,928.57 viene a ser el promedio aritmético entre
los resultados de las cuotas adelantadas y vencidas, siendo dicho
promedio de 42.86 soles.

NOTA.- La comprobación de los problemas de amortización a Interés
simple en donde se calcula el número de períodos, es igual al
proceso cuando se calcula el capital a amortizarse.
RESPUESTA.- Se necesitarán 25 cuotas.
CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS DE AMORTIZACION
CON CUOTAS VENCIDAS.- Cuantas cuotas de amortización
mensuales vencidas de 600 soles cada una, se necesitarán para
formar un capital de13,885.71 soles, con intereses al 8 % anual,
siendo 15,000 soles el capital acumulado?
SOLUCION

n = 25
RESPUESTA .- Se necesitaran 25 cuotas.
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AMORTIZACIÓN A DESCUENTO BANCARIO
Es la operación que consiste en cancelar periódicamente una deuda
por medio de cuotas vencidas, ciertas y constantes; representadas
por obligaciones que pueden ser: letras, pagares, etc.
NOTACION.- En el estudio de la amortización a descuento bancario,
se emplea la notación y símbolos siguientes:
D= Suma de descuentos
C= Capital a amortizarse
a= Importe de cada cuota u obligación
n= número de cuotas u obligaciones
A = An= Valor nominal de las cuotas u obligaciones
j = tasa anual de descuento
m = número de períodos

VENTAS A PLAZOS
Son ventas que se realizan con o sin inicial y el saldo se paga con
documentos comerciales escalonados, cargándose en ellos un
tanto por ciento por concepto de gastos.
En la práctica estas operaciones no son más que el cálculo del
Valor Nominal en la Amortización a Descuento Bancario.
(A = an)

COMPROBACIÓN
En la comprobación se aplica el mismo procedimiento que en el caso
anterior.
RESPUESTA.- La tasa de amortización en la venta a plazos es del 18%
anual .

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