Capítulo 9 - Libro Lett Uang. Ejercicio Propuesto P 9.5

1. Establezca las ecuaciones para la pendiente y la deflexión en la viga de la figura P9.5. Calcule
la magnitud de la pendiente en cada apoyo. Exprese la solución en términos de EI.
M M/2
A B
Primero debemos calcular las reacciones:
M M/2
Ay By

2. ∑Fy = 0 Ay = By ∑Ma = 0 M + M/2 = L*By
By =
3𝑀
2𝐿
Ay =
3𝑀
2𝐿
Para obtener las ecuaciones de la pendiente y la deflexión, debemos de
conocer la ecuación del Momento en función de ¨x¨.
Cortes:
0 <= X <= L
M M(x)
o
Ay X V(x)

3. V(x) =
−3𝑀
2𝐿
∑Mo = 0 M (x) = M -
3𝑀𝑋
2𝐿
Conocido ya la ecuación del Momento, utilizamos la ecuación diferencial para hallar las ecuaciones de
la elástica y pendiente.
𝐸𝐼 ∗
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = 𝑀 𝑥
En la primera integración obtenemos la ecuación de la pendiente:
1era Integración:
𝐸𝐼 ∗
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = 𝑀 −
3𝑀𝑋
2𝐿
𝐸𝐼 ∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑀𝑋 −
3𝑀𝑋2
4𝐿
+ 𝐶1
En la segunda integración obtenemos la ecuación de la curva elástica:
2da Integración:

4. 𝐸𝐼 ∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑀𝑋 −
3𝑀𝑋2
4𝐿
+ 𝐶1
𝐸𝐼 ∗ 𝑌 =
𝑀𝑋2
2
−
3𝑀𝑋3
12𝐿
+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2
Donde C1 y C2 son las contantes que debemos hallar, para ello evaluamos la última Ecuación a los
siguientes criterios:
X = 0 Y = 0 , C2 = 0
X = L Y = 0, C1 =
−𝑀𝐿
4
Por lo tanto las ecuaciones de la elástica y pendiente quedan:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑀𝑋 −
3𝑀𝑋2
4𝐿
−
𝑀𝐿
4
𝐸𝐼
… Ecuación Pendiente

5. 𝑌 =
𝑀𝑋2
2
−
𝑀𝑋3
4𝐿
−
𝑀𝐿𝑋
4
𝐸𝐼
Nos piden la pendiente en los apoyos ¨A¨ y ¨B¨, entonces de la ecuación de la
pendiente hacemos:
X = 0 Øa =
−𝑀𝐿
4𝐸𝐼
rad
X = L Øb = 0 rad … Vemos que el apoyo ¨B¨ se comporta
como un empotrado.
… Ecuación Elástica

6. Comprobación con el Programa FTOOL:
Dando valores a las variables:
L = 4mts M = 25 KN.m E(módulo de elasticidad) = 200GPa
consideramos una sección rectangular:
I(inercia) =
𝑏∗ℎ3
12
I = 2.6042 ∗ 10−3 𝑚4
Øa =
−𝟐𝟓∗𝟏𝟎𝟎𝟎∗𝟒
𝟒∗𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎 𝟗∗𝟐.𝟔𝟎𝟒𝟐∗𝟏𝟎−𝟑 Øa = −4.8 ∗ 10−5 𝑟𝑎𝑑
Consideramos para X = L/2 = 2mts, obtenemos su deflexión:
𝒀 =
𝟐𝟓∗𝟏𝟎 𝟑∗𝟒
𝟐
−
𝟐𝟓∗𝟏𝟎 𝟑∗𝟖
𝟏𝟔
−
𝟐𝟓∗𝟏𝟎 𝟑∗𝟒∗𝟐
𝟒
𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎 𝟗∗𝟐.𝟔𝟎𝟒𝟐∗𝟏𝟎−𝟑 𝑌𝑋=2 = −0.024𝑚𝑚
b=0.25
h=0.50

8. Diagrama de Fuerzas Axiales

9. Diagrama de Esfuerzos Cortantes

10. Diagrama de Esfuerzos Cortantes

11. Diagrama de Esfuerzos Cortantes