Trabajos virtuales-sistemas hiperestáticos

Trabajos Virtuales y
Sist. Hiperestáticos
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

Trabajos Virtuales y Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 3
ENUNCIADO 3
APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES A LOS SISTEMAS DEFORMABLES ELÁSTICAMENTE 3
SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: MÉTODO DE LAS FUERZAS 9
INTRODUCCIÓN 9
DETERMINACIÓN DEL GRADO DE HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA (GE) 9
DETERMINACIÓN DEL SISTEMA FUNDAMENTAL 10
DETERMINACIÓN DE SOLICITACIONES EN EL SISTEMA FUNDAMENTAL 11
PLANTEO DE LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES 12
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES 14
CÁLCULO DE SOLICITACIONES 14
EFECTO DE LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA 14
EFECTO DE ASENTAMIENTO O DESPLAZAMIENTO DE APOYOS 15
SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES 25
INTRODUCCIÓN 25
ANEXO A: BARRA ARTICULADA-ARTICULADA CON ACCIONES EN LOS NUDOS. 40
ANEXO B: ECUACIONES DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON FUERZA AXIAL 44
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 46

Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

Principio de los Trabajos Virtuales
Enunciado
Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de puntos se halle en equilibrio que sea nulo el
trabajo de las fuerzas y/o pares aplicados durante un desplazamiento virtual de dicho sistema.
Llamaremos desplazamiento virtual a todo desplazamiento muy pequeño compatible con los vínculos
debiendo ser estos reversibles (si se admite un desplazamiento “a” también debe permitirse un
desplazamiento “-a” opuesto al anterior).
Aplicación del principio de los trabajos virtuales a los sistemas
deformables elásticamente
Cuando nos referimos a sistemas elásticos, llamaremos desplazamiento virtual de los mismos a cualquier
deformación elástica muy pequeña compatible con sus vínculos externos e internos.
Las deformaciones elásticas para una barra, en general son:
Sea por ejemplo, el caso de una barra de eje curvo de gran radio de curvatura sometida a la acción de las
fuerzas P1 y P2. Se quiere calcular la componente vertical s del desplazamiento del baricentro de la
sección “S”. Supongamos que sólo sea deformable el elemento genérico “i”, lo que significa que sólo
admitirá giros relativos de derecha respecto de izquierda o viceversa.

La elástica vertical de dicha deformación tendría la siguiente forma:
El punto “S” del eje de la pieza experimentará un desplazamiento vertical ds. Supongamos descargado el
sistema y carguémoslo con una fuerza vertical v = +1 en “S” a la que llamaremos esfuerzo auxiliar
correspondiente a la magnitud s. El sistema así cargado no se altera si ponemos en evidencia el
momento flexor en la sección “i”.
Miv es equivalente al momento respecto de “i” de todas las fuerzas que quedan a la izquierda de “i”. Al
introducir la articulación en “i” el sistema primitivo se ha transformado en uno con un grado de libertad, el
cual todavía podrá experimentar en consecuencia movimientos virtuales.
Si como desplazamiento virtual se toma el que corresponde al sistema cargado con las fuerzas P1 y P2
cuando es deformable el elemento “i”, se puede escribir:
    0 PiivPs dMdv 
Si fuera deformable otro elemento, la expresión sería similar de modo que para considerar la totalidad de
los elementos que constituyen la pieza será necesario sumar todas las influencias:
        00   PvPsPvPs dMvdMdv 
por lo que resulta:
    1;   vdM PvPs  (1)
donde Mv es el momento flexor motivado por el esfuerzo auxiliar “v” a lo largo del eje longitudinal del
sistema y d son los giros relativos de las secciones de la derecha respecto de la izquierda.
Sustituyendo d por su valor (en este caso, el d correspondiente a flexión), se obtendrá:

 
JE
dsM
d
JE
ds
MM P
PvPs




   ;
La expresión (1) es válida para otras causas, además de las cargas, por lo que si consideramos
variaciones de temperatura, por ejemplo, será:
      dstt
h
ddstt
h
M isisvPs  



 ;
1. Ejemplo:
Calculemos, por ejemplo el desplazamiento vertical del extremo “B” de una ménsula horizontal de longitud
“L”, módulo de elasticidad “E” y momento de inercia “J”, cargada con un afuerza q uniformemente
distribuída:
Para ello previamente trazamos los diagramas de momentos debidos a la causa (fuerza distribuida) Mp y
al esfuerzo auxiliar Mv, ellos son:
xM
x
pM vp  ;
2
2
luego será:
 
JE
Lp
dx
JE
xp
JE
dx
x
xp
LL
PB









  822
4
0
3
0
2

Si en lugar de desplazamientos del baricentro de la sección extrema hubiésemos querido hallar el giro de
la misma, el esfuerzo auxiliar en este caso sería un par +1 aplicado en “B”, resultaría:
 
JE
Lp
dx
JE
xp
JE
dx
MM
LL
vpPB







  62
3
0
2
0

La preparación de tablas para los casos corrientes para resolver integrales que multiplican distintos
diagramas de características resulta sumamente sencillo, y debe tenerse en cuanta que los diagramas de

momentos pueden descomponerse, dada la propiedad distributiva de la integración en la forma que
resulte más conveniente para el cálculo.
Problemas de aplicación
Ejercicio Nº I: Calcular aplicando el teorema de los Trabajos Virtuales:
La rotación absoluta de los extremos A y B.
a) La rotación relativa de los extremos A y B.
b) El corrimiento vertical en el punto C.
c) Compara resultados con los obtenidos en el
ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7.
Datos: Perfil “doble T” (DIN 1025); l = 7,4 m; P = 4,5 t;
q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; adm = 800
Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2
Resolución:
a) Rotación absoluta de los extremos A y B:
La rotación absoluta de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión:
     






L
vq
L
vp
L
vqpqPA dxMM
JE
dxMM
JEJE
dx
MMM
000
,
11

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par unitario aplicado sucesivamente en ambos extremos
(“A” y “B”). Por simetría el giro absoluto en el extremo “A” será igual al giro absoluto en el extremo “B”
por lo tanto:
Resolviendo las integrales por tablas, tendremos:






















 
2
0
16
11
1
4
1
4
111
LP
JE
LLP
JE
dxMM
JE
L
vp
y



















 
3
2
0
24
11
1
83
111
Lq
JE
L
Lq
JE
dxMM
JE
L
vq
por lo que, reemplazando será:
332
10898,5
3
2
16
1 








 LqLP
JE
BA 
b) Rotación relativa de los extremos A y B:
La rotación relativa de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión:
     






L
vq
L
vp
L
vqpqPA dxMM
JE
dxMM
JEJE
dx
MMM
000
,
11

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par de pares unitarios aplicados en ambos extremos (“A”
y “B”) por lo tanto:

















 



 
2
0
8
11
1
42
111
LP
JE
L
LP
JE
dxMM
JE
L
vp
y






















 



 
3
2
0
12
11
1
83
211
Lq
JE
L
Lq
JE
dxMM
JE
L
vq
332
10796,11
3
2
8
1 








 LqLP
JE
BAAB 
A este valor podríamos haber llegado con el siguiente
razonamiento:
3
10796,1122
;




BABAAB
BABAAB
BABA



c) El corrimiento vertical en el punto C:
El corrimiento vertical en el punto “C” lo calculamos
con la siguiente expresión:
     






L
vq
L
vP
L
vqPqPC dxMM
JE
dxMM
JEJE
dx
MMM
000
,
11

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso una fuerza unitaria aplicada en el centro de la luz (punto “C”)
por lo tanto:












































3
0
0
0
2
2
00
48
111
2443
11
2443
111
111
LP
JE
dxMM
JE
LLLP
JE
LLLP
JE
dxMM
JE
dxMM
JE
dxMM
JE
dxMM
JE
L
vp
L
vp
L
vp
L
vp
L
vp
y











































4
0
22
0
0
2
2
00
384
111
24812
51
24812
511
111
Lq
JE
dxMM
JE
LLLq
JE
LLLq
JE
dxMM
JE
dxMM
JE
dxMM
JE
dxMM
JE
L
vq
L
vq
L
vq
L
vq
L
vq
m
LqLP
JE
C 013945,0
38448
1 43





 





d) Cuadro comparativo de resultados con en el ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7:
 (cm)  A= B
Por integración: 1,3940 5.890x10-3
Por Trabajos virtuales: 1.3945 5.898x10-3
Sistemas Hiperestáticos: MÉTODO DE LAS FUERZAS
Introducción
Su aplicación es general; pero solamente lo estudiaremos en estructuras planas formadas por barras. Se
considera además, que para éstas es válida la ley de Hooke, esto es, existe proporcionalidad entre las
tensiones y las deformaciones.
Determinación del Grado de Hiperestaticidad de la estructura (Ge)
Analicemos una estructura sometida a un determinado estado de carga, y en ella planteamos el esquema
de cuerpo libre:

De acuerdo a si el cuerpo está en el plano o en el espacio (3 en el plano y 6 en el espacio) queda
determinado un número de ecuaciones definidas por la Estática (E) y un número de incógnitas a calcular
(I):
 Si el número de incógnitas, (I), es menor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es
inestable, es un mecanismo o sistema hipostático. Constituye un sistema incompatible.
 Si el número de incógnitas, (I), es igual al número de ecuaciones, (E), la estructura es
estáticamente determinada, un mecanismo o sistema isostática.
 Si el número de incógnitas, (I), es mayor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es
estáticamente indeterminada, es un mecanismo o sistema hiperestático.
El número o cantidad de incógnitas (I), o vínculos que se deben eliminar para que el sistema
“hiperestático” se convierta en isostático se denomina “Grado de Hiperestaticidad” o “Grado de
Indeterminación Estática” de la estructura:
EIGe 
En un sistema donde se tiene mayor número de I que de E se pueden fijar arbitrariamente valores a las
incógnitas y resolver el sistema de ecuaciones. En dicho caso existen infinitas soluciones, que satisfacen
las ecuaciones de equilibrio de la Estática, pero existe un único juego de valores de todas las incógnitas,
que satisface condiciones basadas en el comportamiento elástico de la estructura.
Determinación del Sistema Fundamental
La idea fundamental es la siguiente: se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se
obtiene un sistema isostático fundamental o principal.
El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón,
para hacer que dichas condiciones se cumplan, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituyen
las incógnitas hiperestáticas. Las condiciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser
condiciones internas del sistema.
El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando Ge
vínculos, por las acciones que los mismos introducen. Dichas acciones pasan a ser cargas externas sobre
el fundamental. Para la misma estructura existen varios sistemas fundamentales posibles.

El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las incógnitas y a
las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad posible de coeficientes δij
suplementarios, distintos de cero.
Las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargas exteriores y
de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, son iguales a las solicitaciones y deformaciones
en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de las cargas exteriores.
Determinación de solicitaciones en el Sistema Fundamental
Si se aplicaran al sistema fundamental las incógnitas hiperestáticas y el estado de cargas inicial,
obtendríamos para una sección genérica C las solicitaciones correspondientes.
Los momentos flectores en C son:
CCCC MMMM 3210 ;;;
Luego, por el principio de superposición de efectos el momento flector total en la sección C de la
estructura hiperestática original vale:
CCCCC MMMMM 3210 
Pero se desconocen los valores verdaderos de X1, X2 y X3; luego, no pueden obtenerse M1C, M2C ni M3C.
Sin embargo, la forma del diagrama de solicitaciones es única para cualquier valor de la carga que lo
produzca. Así por ejemplo los diagramas de momentos de un par de 1 tm y el de 5 tm son idénticos, sólo
varía la escala de referencia de los mismos.
Siguiendo el razonamiento, puede escribirse:
CC MXM 111

en la cual:
 X1 - valor (adimensional) de la incógnita hiperestática verdadera.
 M’1C - valor del momento flector en C originado por una carga unitaria en el punto de actuación de
la incógnita X1.

La expresión del momento en C en la estructura hiperestática será:
CCCCC MXMXMXMM 3322110

y en general:


n
i
iiC MXMM
1
0
Por lo tanto, deben calcularse las solicitaciones en el sistema fundamental para las cargas exteriores y
para cargas unitarias actuando en los puntos de aplicación de las incógnitas hiperestáticas.
Planteo de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones
Hay que plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas
hiperestáticas existan.
Si en las secciones de la estructura hiperestática donde se consideraron las incógnitas hiperestáticas (X1,
X2 y X3) los enlaces son rígidos, el desplazamiento relativo de dichas secciones es nulo.

Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión,
originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser
nula.
00 13312211110   XXXA
dónde:
 δ’A - desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la incógnita
hiperestática X1, en la estructura fundamental.
 δ10 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura
fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las cargas exteriores.
 X1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1 (adimensional).
fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X1
actuando en A.
 X2 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 2 (adimensional).
fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X2.
 (etc.)
En general,
 δij - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura
fundamental, en la dirección y sentido de esta fuerza, por acción de Xj = 1 [t o tm].
Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de volver a llevar los
puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes.
La expresión de los desplazamientos δ’ij la obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales:
   mtótdl
IE
MM i
ij 


 
dónde:
 M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la
estructura hiperestática).
 M’i - momentos en la estructura fundamental originados por X1 = 1 [t] ó [tm]

Sustituyendo el valor de M e igualando a cero:
0
0
0
2
3
3
32
2
31
1
30
23
3
2
2
2
21
1
20
13
3
12
2
2
1
1
10







































dl
IE
M
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
MM
dl
IE
MM
Xdl
IE
M
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
MM
dl
IE
MM
Xdl
IE
MM
Xdl
IE
M
Xdl
IE
MM
que puede escribirse:
0
0
0
33332231130
23322221120
13312211110






XXX
XXX
XXX
Sistema de n ecuaciones, no homogéneo, con n incógnitas, que puede representarse de la siguiente
forma:
      0 TXF
dónde:
 F representa la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad, ya que sus términos
miden deformaciones de la estructura bajo la acción de cargas unitarias.
 X representa la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas X
 T representa la matriz columna de los términos independientes.

































30
20
10
3
2
1
333231
232221
131211
;;






T
X
X
X
XF
Por el teorema de Maxwell se tiene δij = δji por lo que la matriz de coeficientes es simétrica respecto a la
diagonal principal.
Resolución del Sistema de Ecuaciones
Resuelto el sistema obtenemos los valores de las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3).
Cálculo de Solicitaciones
El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando los Ge
vínculos, por las acciones que los mismos introducen y resolviéndolo como un sistema isostático.
Efecto de la Variación de Temperatura
En el cálculo de pórticos con "n" grados de hiperestaticidad ante la acción de la temperatura, el esquema
de cálculo no varía, solamente se reemplazan en las ecuaciones de compatibilidad, los miembros de
carga iP por los miembros libres iT.














0......
.................................................................................
0......
0......
332211
22332222112
11331221111
nnnnnnTn
nnT
nnT
XXXX
XXXX
XXXX



La magnitud iT viene a ser el desplazamiento de puntos del sistema principal, en los cuales se aplica la
fuerza Xi en la dirección Xi, debido a la acción de la temperatura. Estos coeficientes iT se determinan
por la fórmula 3.9.
TLTi   dónde L = longitud del elemento y T = variación de temperatura.
Los diagramas finales de fuerzas internas se determinan por las siguiente expresiones, siendo MP = 0, QP
= 0 y NP = 0.








nnP
nnP
nnP
NXNXNXNXNN
QXQXQXQXQQ
MXMXMXMXMM
......
......
......
332211
332211
332211
Efecto de asentamiento o desplazamiento de apoyos
En el cálculo de pórticos con "n" grados de hiperestaticidad ante el posible asentamiento o
desplazamiento de los apoyos, su esquema de cálculo tampoco varía. En el sistema de ecuaciones
canónicas 3.3, los miembros de carga iP se reemplazan por los miembros libres iC. La magnitud iC
viene a ser el desplazamiento de puntos del sistema principal, en los cuales se aplica la fuerza Xi en la
dirección Xi, debido al asentamiento o desplazamiento de apoyos del sistema principal.
Los diagramas finales de fuerzas internas se determinan por las siguiente expresiones, siendo MP = 0, QP
= 0 y NP = 0.








nnP
nnP
nnP
NXNXNXNXNN
QXQXQXQXQQ
MXMXMXMXMM
......
......
......
332211
332211
332211

Para calcular los desplazamientos iC del sistema principal, se dan tales desplazamientos del sistema
inicial, que corresponden a las conexiones en los apoyos del sistema principal, conservando su dirección
o sentido, dependiendo que sea fuerza o momento (figura b, c, d).
Como ejemplo, mostramos la forma de las ecuaciones canónicas del método de las fuerzas para las
variantes del sistema principal mostradas en la figura b, c, d.
Sistema principal de la figura b:





42222112
51221111
CXX
CXX
C
C


Sistema principal de la figura c:





32222112
21221111
CXX
CXX
C
C


Sistema principal de la figura d:





0
0
2222112
1221111


XX
XX
C
C
Ejercicio Nº II: Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo por el método
de las fuerzas. Trazar los diagramas de características.
Datos: Perfil 1 “doble T” (IPB 450 - DIN 1026); Perfil 2 “doble T” (IPB 550 - DIN 1026); H = 5,6 m; L = 8,4 m;
q = 2,7 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; J1 = 79890 cm4; J2 = 136700 cm4

Resolución:
Estamos en presencia de un sistema hiperestático de grado tres.
a.1) Sistema Fundamental:
El sistema fundamental se obtiene a partir
de la estructura hiperestática planteada,
reemplazando tres vínculos, por las
acciones que los mismos introducen (X1, X2
y X3).
a.2) Determinación de los diagramas de
momentos flexores para las carga y
de las incógnitas hiperestáticas:
Plantearemos los diagramas de momentos
flexores para las cargas exteriores y mas
incógnitas hiperestáticas adoptando para
esta un valor unitario. Así tendremos:
Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión,
originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser
nula.
133122111101   XXX
Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de volver a llevar
los puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes.

La expresión de los desplazamientos δ’i la obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales:
   mtótdl
JE
MM i



 1
dónde:
 M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la
estructura hiperestática).
 M’i - momentos en la estructura fundamental originados por Xi = 1 [t] ó [tm]
Sustituyendo el valor de M obtenido en la tercer etapa, e igualando a cero:
0
0
0
2
3
3
32
2
31
1
30
3
23
3
2
2
2
21
1
20
2
13
3
12
2
2
1
1
10
1










































dl
JE
M
Xdl
JE
MM
Xdl
JE
MM
Xdl
JE
MM
dl
JE
MM
Xdl
JE
M
Xdl
JE
MM
Xdl
JE
MM
dl
JE
MM
Xdl
JE
MM
Xdl
JE
M
Xdl
JE
MM



que puede escribirse:








0
0
0
33332231130
23322221120
13312211110



XXX
XXX
XXX
a.3) Determinación de los coeficientes δij:
Los coeficientes δij los obtendremos utilizando tablas de multiplicación de diagramas. Así tendremos:
  235,102802804233600
6
111
28056022804233600
6
111
5604233600840
11
5604233600560
4
111
11
21
10
10




























 
JEJE
JEJE
ds
JE
MM

203,52808404233600
2
111
2804233600840
2
111
8404233600840
2
111
12
2
20
20






















 
JEJE
JE
ds
JE
MM

0171,028014233600
2
111
28014233600
2
111
84042336001
11
56042336001
3
111
11
21
30
30




























 
JEJE
JEJE
ds
JE
MM


001615,0560560560
3
111
840560560
11
560560560
3
111
1
21
11
11






















 
JE
JEJE
ds
JE
MM

00304,0840840560
11
840840840
3
111
12
22
22 














  JEJE
ds
JE
MM

9
21
33
33 10602,984011
11
56011
1
2
1 















  JEJE
ds
JE
MM

00147,0560560840
2
111
840840560
2
111
12
21
12 














  JEJE
ds
JE
MM

6
21
31
13 10508,35608401
11
5605601
2
11
2
1 















  JEJE
ds
JE
MM

6
12
32
23 10032,45608401
11
8408401
2
111 















  JEJE
ds
JE
MM

a.4) Resolución del sistema:
Remplazando valores obtendremos X1, X2 y X3 como sigue:











010602,9100328,410508,30171,0
0100328,400304,000147,0203,5
010508,300147,0001615,0235,10
9
3
6
2
6
1
6
321
6
321
XXX
XXX
XXX









mtX
tX
tX
79,19
44,1
95,11
3
2
1
a.5) Diagramas de Características:

Ejercicio Nº III: Calcular las reacciones de vínculo del pórtico de la figura que sufre una variación de
temperatura en la barra BC de 30 °C y un corrimiento vertical del apoyo D de 1 cm.
cm
CT
C
cmAF
MPaE
cmI
m
kN
q
kNP
ml
Datos
D
BC
acero
1
º30
º
1
1015
42
101.2
1000
3
10
1
:
inferiorCara
6
2
5
4












1) Caso Hiperestático por Exceso de Ligaduras:
Como los desplazamientos se deben esencialmente a flexión, se prescinde de evaluar tracción, luego
se construyen los diagramas de M para causa “fuerzas distribuidas”, para causa “x1=+1” y para causa
“x2=+1”. (Se grafican en el orden citado)
Para el sistema fundamental (SF):
 
 
           






























lPlqM
lqV
lqPH
MlPl
lql
lqM
lqVF
P
lq
HF
A
A
A
A
A
AV
AH
2
6
59
3
2
024
3
2
2
4
2
3
30
030
0
2
4
0
2

 






















mkNM
kNV
kNH
mkNm
m
kN
M
m
m
kN
V
m
m
kN
kNH
A
A
A
A
A
A
5.9
9
4
110213
6
59
133
13210
2
Con lo cual primero hay que obtener δ1P, δ11, δ12, δ2P y δ22 (es decir: el desplazamiento virtual en la
dirección de x1 debido a las cargas P, el desplazamiento virtual en la dirección de x1 debido a x1 y así
sucesivamente). Para esto se deben multiplicar los diagramas correspondientes.
     
  IE
LMMLMMdl
IE
MM
IE
LMMMLMMLMMMLMMdl
IE
MM
HV
HPPHPVPPVP
P
P
BBAA
BCBBCAABAA





























































1
3
1
1
4
1
2
1
4
1
1111
11
11
1111
1
1


      IE
L
MM
M
LMMMLMMLMMMLMMdl
IE
MM
IE
LMMLMMLMMdl
IE
MM
IE
LMMLMMdl
IE
MM
V
PHPPHPVPPVP
P
P
VHV
HV
CC
C
BCBCCBABBA
CCBBBB
BBBA











































































































1
2
2
26
1
3
1
5
1
2
1
1
3
1
3
1
1
2
1
2
1
2
2
2222
2
2
222222
22
22
2121
21
2112



       
 
 
         

















































































































































IEIE
IEIE
IEIE
IEIE
IEIE
P
P
1
4667,475
1
2
4
2042
2
4
6
1
34205,33
3
1
3420445.95,33
5
1
445,9
4
1
1
667,90
1
444
3
1
344444
3
1
1
42
1
343
2
1
443
2
1
1
45
1
333
3
1
433
1
375,306
1
33205,33
4
1
3320
2
1
435.95,33
4
1
435,9
2
22
12
11
1






Luego la matriz de ecuaciones canónicas queda:























kNx
kNx
x
x
68,3
37,3
4667,475
375,306
667,9042
4245
2
1
2
1
Calculamos ahora las reacciones de vínculo:
 
 
             






























lxlPlqM
xlqV
xlqPH
MlPlxl
lql
lqM
xlqVF
xP
lq
HF
A
A
A
A
V
H
1
2
1
2
1
1
2
32
6
59
3
2
0234
3
2
2
4
2
3
30
030
0
2
4
0
 











mkNmkNm
m
kN
M
kNm
m
kN
V
kNm
m
kN
kNH
137,33110213
6
59
37,3133
68,313210
2








mkNM
kNV
kNH
61,0
63,5
32,0
2) Caso Hiperestático por Diferencia de Temperaturas:
δ2∆T (desplazamiento en la dirección de H2 debido a ∆T)
  TlT  32 
δ22 (desplazamiento en la dirección de H2 debido a H2)
     





 lMMlMMlMM
IE
CCBBBB 4
3
1
34
3
11
22222222
     





 lll
IE
444
3
1
344444
3
11
22
IE
l



3
272
22
Luego la ecuación de compatibilidad es:
 
272
9
3
272
3
0
22
2
22222
IET
IE
l
Tl
HH T
T





 






272
1000101.2º30
º
1
10159 456
2
cmMPaC
CH



Entonces:
NH 27.312  y NH 27.311 
3) Caso Hiperestático por Corrimiento de Vinculo:
ηD = 1cm (desplazamiento por corrimiento de vinculo)
η11 (desplazamiento en la dirección de x1 debido a x1)
11
1111
1
1


cm
xcmx D 
   





 lMMlMM
IE
AAAA 3
3
1
4
1
111111
   





 ll
IE
333
3
1
433
1
11
IE
l



3
11
45

 3
45
31
145
1000101.21
45
1
m
cmMPacm
l
IEcm
x






Nx 7.4661 
Una vez conocido x1 se calculan las reacciones de vínculo:
  













mNlxM
NxV
lxMM
xVF
A
A
A
V
14003
7,466
030
00
1
1
1
1
4) Suma final:
Por último se suman los efectos de las tres causas del problema para obtener todas las reacciones de
vínculo:

Sistemas Hiperestáticos: MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES
Introducción
El método de las deformaciones, de los desplazamientos o de la rigidez
se caracteriza por tener como incógnitas los desplazamientos
generados en las estructuras debido a las cargas aplicadas y en función
de parámetros de rigidez de la estructura, tal como lo indica su nombre.
El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente,
analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura;
para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para
cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los
esfuerzos internos. Finalmente, aplicando el principio de superposición,
se determina el efecto conjunto. Por cada componente de
desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio.
Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas
deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos internos en
la estructura.
Por ejemplo, para el pórtico de la figura, la aplicación del método implica impedir las rotaciones de los
nodos B y C así como el desplazamiento de la barra BC.
Por su parte, las ecuaciones de compatibilidad lo obtenemos planteando el equilibrio de los nodos, así, el
sistema de ecuaciones que resuelve el sistema será:






















































333231
232221
131211
3
2
1
30
20
10
3
2
1
con
0
0
0
rrr
rrr
rrr
K
z
z
z
K
R
R
R
R
R
R
dónde:
jk
kj
zz
u
r



2
serán los respectivos coeficientes de rigidez:

La construcción de la matriz de rigidez K para la totalidad de la estructura de forma directa no es sencilla.
La solución para formarla de manera simple consiste en realizar el análisis elemento a elemento,
construyendo la matriz de rigidez de cada uno de ellos en su sistema de ejes local, para a continuación
proyectarla sobre el sistema global de ejes, y finalmente ensamblar las matrices de todos los elementos.
Así, por ejemplo, para una viga empotrada-empotrada, podemos adoptar un sistema de ejes local con su
eje XL coincidente con la viga, y su origen en el nudo I del elemento. Los ejes Z general y local son
coincidentes.
Para cada nudo los 3 grados de libertad son: desplazamiento axial según XL, desplazamiento transversal
según YL, y giro según el eje Z. Los esfuerzos correspondientes son: fuerza axial según XL, cortante
según YL y momento flector según Z.
El elemento tiene capacidad para absorber energía de flexión y de esfuerzo axial. La flexión se produce
en el plano XY, y está controlada por el momento de inercia de la sección respecto al eje Z, que se
denominará I. Como ya se sabe ambos efectos están desacoplados.
La matriz de rigidez es de 6x6; sus términos se calculan aplicando sucesivamente desplazamientos
unitarios a cada uno de los 6 grados de libertad, y calculando en cada caso las fuerzas de reacción que
aparecen sobre la barra. La resolución de cada caso proporciona una columna de la matriz de rigidez.
Agrupándolas se obtiene:

La no existencia de términos de rigidez entre los grados de libertad axiales y de flexión muestra el
desacoplamiento entre ambos efectos.
En base a ésta matriz calculemos, por ejemplo, los esfuerzos de extremo de barra para el caso de la
rotación del empotramiento de la derecha un valor  en sentido horario. En este caso serán: IX, IY, I,
JX, JY, todos nulos, mientras que J = -.
Reemplazando en la matriz de rigidez resulta:






















L
EI
M
L
EI
P
P
L
EI
M
L
EI
P
P
J
JY
JX
I
IY
IX




4
6
0
2
6
0
2
2
Por su parte, para para una viga empotrada-articulada al exister una articulación en el nudo J, se cumple
que Mj = 0. Al imponer esta condición de momento nulo se debe de prescindir de un grado de libertad, que
es el giro en el nudo J, y la matriz de rigidez de la viga será:

En ella se observa que la fila y la columna correspondientes al giro en J son nulas. Ello quiere decir que el
momento en el nudo J es siempre 0, para cualquier valor de los otros 5 grados de libertad y que el grado
de libertad al giro en el nudo J (J) no afecta a las fuerzas en los extremos del elemento.
En base a ésta matriz calculemos, por ejemplo, los esfuerzos de extremo de barra para el caso del
rotación descenso del apoyo de la derecha un valor . En este caso serán: IX, IY, I, JX, JY, J todos
nulos, mientras que JY = -.
Reemplazando en la matriz de rigidez resulta:




















0
3
0
3
3
0
3
2
3
J
JY
JX
I
IY
IX
M
L
EI
P
P
L
EI
M
L
EI
P
P



Ejercicio Nº IV: Calcular por el método de las incógnitas cinemáticas (método de las deformaciones)
los momentos en los vínculo del pórtico de
la figura que se producen cuando la
estructura sufre un incremento de
temperatura t, y el apoyo C sufre un
descenso de valor  en la dirección C’
además de una rotación de valor .
Resolución:
Apliquemos este método a la resolución
del siguiente pórtico considerando que el
mismo está cargado con una fuerza
distribuida de valor q en la barra 1B y por
una carga concentrada horizontal de valor P en la mitad de la altura h de la barra 1C tal como se muestra
en la figura de la izquierda.
Consideremos además, que la estructura sufre un incremento de temperatura t, y que el apoyo C sufre
un descenso de valor  en la dirección C’ y una rotación de valor .
Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal
que no pueda rotar. De esta forma la única restricción
impuesta al sistema será 1. En consecuencia el sistema
fundamental resultante será la que se muestra en la figura
y estará conformado por una barra empotrada-articulada
(A1), y dos barras empotrada-empotrada (B1 y C1).
Una vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las
cargas externas (q y P) sobre este sistema fundamental;

para luego imponer pequeños
desplazamientos a las estructuras para
cada una de las restricciones impuestas
(en este caso la rotación del nodo 1) y
calcular su efecto sobre los esfuerzos
internos y aplicando el principio de
superposición, se determina el efecto
conjunto.
Calcularemos a continuación los efectos
que sobre la estructura tienen el
incremento de temperatura (t), el
descenso del apoyo () y la rotación del
mismo () y finalmente, aplicando el principio de superposición, se determinaremos el efecto conjunto
(vínculos superabundantes, variación de temperatura, descenso y rotación del apoyo C).
Por cada componente de desplazamiento desconocida se deberá establece una ecuación de equilibrio, en
este caso, al ser sólo una la restricción incorporana al sistema (rotación del nodo 1) será necesaria sólo
una ecuación de compatibilidad.
Procederemos a calcular el efecto de las cargas externas actuando sobre el sistema fundamental.
Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán las barras B1 y C1 de acuerdo con
el siguiente esquema:
Por lo tanto, el momento en el nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores será:
812
2
20
1
0
1
0
1
H
P
L
qMMM CBP 
Imponemos ahora pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones
impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calcular su efecto. El esquema sería el que se presenta
en la figura de la derecha, y su efecto combinado será:
CBAM 111
0
11  
Deformaciones debidas al efecto de las cargas externas.

dónde:
H
EI
m
H
EI
L
EI
m
L
EI
L
EI
CC
BB
A



24
24
3
11
2
1
2
1
1
1



Planteando ahora la ecuación de compatibilidad
(equilibrio del nodo 1) resulta:
0
11
0
1
11
0
11
0
1 0
M
M
MM P
P  
y los momentos en los empotramientos C y B serán:
    11
0
111
0
1   BPBBCPCC mMMmMM
En forma análoga podemos obtener las reacciones de vínculos horizontales y verticales.
Calculemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t). El efecto resultante será
una variación de longitud (L) directamente proporcional al incremento de temperatura (t), a la longitud
de la barra y al coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento
por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1ºC. Así se tendrá:
  LtLt   
El esquema de la dilatación será el que se
muestra en la figura de la derecha en donde:
 
 
 







11
11
121
LtL
HtL
LtL
A
C
B



mientras que la posición final del punto A será: BAA LLa 11  , dado que no posee restricciones para
desplazarse horizontalmente y la deformación del pórtico será:
donde m*1A. 1, m*1B. 1, m*B1. 1,
m*1C. 1 y m*C1. 1 son los pares
extremos de barra producto del
desplazamiento en vertical (1) y
horizontal (1) del nodo 1.
Los coeficientes m*1B y m*B1, los
obtenemos, para la barra B1 de la
matriz de rigidez de barras
doblemente empotradas para IX
= -1 y IY = 1, para la barra C1
los coeficientes m*1C y m*C1 los
obtenemos de la matriz de rigidez
de barras doblemente empotradas
Deformaciones debidas un
incremento de temperatura t.
Deformaciones debidas a los
pequeños desplazamientos de las
restricciones impuestas.

para JX = 1 y JY = 1, y para la barra A1, el coeficiente m*1A, lo obtenemos de la matriz de rigidez de
barras empotradas-articuladas para IY = 1 (como el vínculo A de la barra se desplaza libremente en
forma horizontal no habrá deformaciones el la dirección de eje de la barra A1  IX = 0). Así:
     
































C
C
C
C
B
B
B
B
A
A
LH
EI
m
LH
EI
m
LL
EI
m
LL
EI
m
LL
EI
m
1
2
*
1
1
2
*
1
1
2
2
*
1
1
2
2
*
1
1
2
1
*
1
6
6
C1barra,
6
6
B1barra,
3
A1barra
impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calculamos su efecto. Por lo tanto, si planteamos el
equilibrio en el nodo 1 será:
0
11
0
1
11
0
11
0
11
*
11
*
11
*
1
0
1 0
M
M
MMmmmM t
tBCAt 



 
Así:





















111
*
11
111
*
11
111
*
11
111
*
11
111
*
11





CCC
CCC
BBB
BBB
AAA
mM
mM
mM
mM
mM
t
t
t
t
t
Calculemos ahora los efectos de un giro del empotramiento C (de valor ). El esquema de la deformación
se muestra en la figura.
Los coeficientes m1C y mC1, los obtenemos, para la barra C1 de la matriz de rigidez de barras doblemente
empotradas para I = -. Así:
 










H
EI
m
H
EI
m
C
C
4
2
C1barra
1
1
H
EI
mM
M
M
MM C

 








2
donde0 1
0
10
11
0
1
11
0
11
0
1
Así:
Deformaciones debidas al giro del empotramiento C.






















1111
1111
111
111
111










CCC
CCC
BB
BB
AA
mM
mM
M
M
M
En forma análoga podemos
obtener las reacciones de vínculos
horizontales y verticales.
Calculemos ahora los efectos de un cedimento del empotramiento C (de valor ). El esquema de la
deformación se muestra en la figura de la derecha.
Los coeficientes m*1A los obtenemos, para la barra A1 de la matriz de rigidez de barras articuladas-
empotradas para IY = -1, los coeficientes m*1B y m*B1, los obtenemos, para la barra B1 de la matriz de
rigidez de barras doblemente empotradas para IY = -1, para la barra C1 los coeficientes m*1C y m*C1 los
obtenemos de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas para JX = 1 y JY = C,
Así:
     























 

2
*
1
2
*
1
2
2
*
1
2
2
*
1
2
1
*
1
6
6
C1barra,
6
6
B1barra,
3
A1barra
H
EI
m
H
EI
m
L
EI
m
L
EI
m
L
EI
m
C
C
B
B
A
CCBA mmmM
M
M
MM  

  11111
0
10
11
0
1'''
1
'''
1
0
11
0
1 donde0
Así:
















'''
11
*
11
'''
11
*
11
'''
111
*
11
'''
111
*
11
'''
111
*
11










CCCC
CCCC
BBB
BBB
AAA
mM
mM
mM
mM
mM
Ejercicio Nº V: Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo por el método
de las deformaciones. Trazar los diagramas de características.
Deformaciones debidas al
cedimento del
empotramiento C.

Datos: Perfil 1 “doble T” (IPB 450 - DIN 1026); Perfil 2 “doble T” (IPB 550 - DIN 1026); H = 5,6 m; L = 8,4 m;
q = 2,7 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; J1 = 79890 cm4; J2 = 136700 cm4
Resolución:
b) Método de las Incógnitas Cinemáticas (Método de las Deformaciones):
En este caso, el proceso utilizado, de superposición de efectos, puede idealizarse pensando de la
siguiente manera:
 Se parte de una estructura hiperestática, donde inicialmente se han colocado vínculos ficticios
que bloquean los nudos impidiendo la rotación de las
secciones extremas y el desplazamiento relativo entre
los nudos.
 En este estado hacemos actuar las cargas exteriores
produciéndose momentos de empotramiento perfecto.
 Luego relajamos las condiciones ficticias de vínculo,
produciéndose rotaciones y desplazamientos relativos
entre nudos, y momentos flexores.
 Para calcular los momentos originados por las rotaciones
y por los desplazamientos relativos utilizaremos tablas de
fuerzas y momentos de extremos de barras prismáticas.
b.1) Determinación del sistema fundamental:
El pórtico posee tres grados de libertad, representados por las
rotaciones de los nudos “C” y “D” y el desplazamiento
horizontal de la barra “CD”. Agregando tres vínculos ficticios
(restringimos las rotaciones de los nudos y el desplazamiento indicado) obtenemos el Sistema
Fundamental de la figura.
b.2) Planteo de las ecuaciones de superposición de efectos:
En este caso (tres grados de libertad restringidos) tendremos:









0
0
0
3
0
332
0
321
0
31
0
3
3
0
232
0
221
0
21
0
2
3
0
132
0
121
0
11
0
1
XaXaXaa
XaXaXaa
XaXaXaa
P
P
P
o bien, en forma matricial:
   

































0
33
0
32
0
31
0
23
0
22
0
21
0
13
0
12
0
11
0
3
0
2
0
1
3
2
1
;
aaa
aaa
aaa
K
a
a
a
X
X
X
K
P
P
P
b.3) Cálculo de los coeficientes aij:
 Fuerzas actuantes (coeficientes aip):
En este caso sólo tendremos fuerzas exteriores actuando sobre la columna izquierda del pórtico, y
reemplazando valores resulta:
t
Lq
aamt
Lq
a PPP 56,7
2
;0;056,7
12
0
3
0
2
2
0
1 




 Giro unitario en el nudo “C” (coeficientes ai1):
En este caso sólo tendremos los siguientes pares
extremos de pieza, y reemplazando valores resulta:




















756,3209
6
266,6832
2
39,25653
44
1
1110
31
2
1220
21
2
122
1
1110
11
L
JE
a
L
JE
a
L
JE
L
JE
a




 Giro unitario en el nudo “D” (coeficientes ai2):
En este caso sólo tendremos los siguientes pares extremos de pieza, y reemplazando valores resulta:




















756,3209
6
39,25653
44
266,6832
2
3
2330
32
3
233
2
2220
22
2
2220
12
L
JE
a
L
JE
L
JE
a
L
JE
a



 Desplazamiento unitario de la barra “CD” (coeficientes ai3):






















76,2292
1212
756,3209
6
756,3209
6
3
3
333
3
1
3110
33
2
3
3330
23
2
1
3110
13
L
XJE
L
XJE
a
L
XJE
a
L
XJE
a
b.4) Resolución del Sistema:
Reemplazando valores tendremos:




















mX
X
X
XXX
XXX
XXX
3
3
4
2
4
1
321
321
321
10176,4
10877,4
10128,1
076,2292756,3209756,320956,7
0756,320939,25653266,68320
0756,3209266,683239,25653056,7
b.5) Diagramas de Características:
 Cálculo de las reacciones de vínculo:




























tXJE
L
XJE
L
N
tXJE
H
XJE
H
Q
mtXJE
H
XJE
H
M
B
tXJE
L
XJE
L
N
t
Hq
XJE
H
XJE
H
Q
mt
Hq
XJE
H
XJE
H
M
A
B
B
B
A
A
A
1352,1
66
2218,3
126
481,10
62
1352,1
66
98,11
2
126
784,19
12
62
22221222
33332112
3332211
22221222
33331112
2
3332111
 Gráficos: Ver Ejercicio II (páginas 16 y 17).

Ejercicio Nº VI: Para el pórtico de la figura hallar los valores de los esfuerzos que se producen cuando
se produce un cedimiento vertical del vínculo
C de valor. Trazar los diagramas de
características.
Datos:  = 10-2 m , h = 4 m; l = 3 m; EJ = cte.
Resolución:
a) Método de las Incógnitas Cinemáticas
(Método de las Deformaciones):
En este caso, el proceso utilizado, de
superposición de efectos, puede
idealizarse pensando de la siguiente
manera:
 Se parte de una estructura
hiperestática, donde inicialmente se han colocado vínculos ficticios que bloquean los nudos
impidiendo la rotación de las secciones extremas y el
desplazamiento relativo entre los nudos.
 En este estado hacemos actuar las cargas exteriores
produciéndose momentos de empotramiento perfecto.
 Luego relajamos las condiciones ficticias de vínculo,
produciéndose rotaciones y desplazamientos relativos
entre nudos, y momentos flexores.
 Para calcular los momentos originados por las rotaciones y
por los desplazamientos relativos utilizaremos tablas de
fuerzas y momentos de extremos de barras prismáticas.
a.1)Determinación del sistema fundamental:
El pórtico posee sólo un grado de libertad, representados por la
rotación del nudo “B”. Agregando un vínculo ficticio
(restringimos las rotaciones del nudo) obtenemos el Sistema
Fundamental de la figura.
a.2) Planteo de las ecuaciones de superposición de efectos:
En este caso (un grado de libertad restringidos) tendremos una única incógnita  y una única
ecuación:
0
11
0
10
11
0
1 0
a
a
aa 
  
a.3) Cálculo de los coeficientes aij:
i) Cedimiento de vínculo (coeficientes a1):
En este caso consideraremos que el vínculo C desciende un valor  = 10-2 m:

JE
JE
l
JE
a 



  22
22
0
1 10
3
1
10
3
33 
ii) Giro unitario en el nudo “B” (coeficiente a11):
JE
JEJE
a
l
JE
h
JE
a










2
3
3
4
4
34
0
11
0
11
a.4) Resolución del Sistema:
Reemplazando valores tendremos:
2
2
0
11
0
1
10
6
1
2
10
3
1








 
JE
JE
a
a

a.5) Cálculo de las reacciones de vínculo:















JEJE
l
JE
l
N
JEJE
h
Q
JEJE
h
M
A
A
A
A
2
32
2
2
2
10
18
133
10
16
16
10
12
12

















JEJE
h
N
JEJE
l
JE
l
Q
M
C
C
C
C
2
2
2
32
10
16
16
10
18
133
0


a.6) Gráficos:

Anexo A: Barra articulada-articulada con acciones en los nudos.
a) Rotaciones wi ; wj
Analicemos una barra i-j a la cual se le
aplican por sus extremos o nudos un
estado de desplazamientos w asociado a
una solicitación M (momento flexor).
Si aplicamos un momento Mi = 1
aparecerán rotaciones ii y ij y
reacciones en los vínculos 1/lij y -1/lij.
Con el mismo procedimiento, si
aplicamos en j un Mj = 1 aparecerán
rotaciones y reacciones jj; ij y 1/lij; -1/lij.
Por superposición de efectos al aplicar
momentos Mi ; Mj aparecerán en los
extremos rotaciones wi ; wj y reacciones
Ri ; Rj, tal que:














 








 








ij
ji
j
ij
ji
i
jiij
jjjijij
jijiiii
l
MM
R
l
MM
R
ycon
MMw
MMw




De dos primeras ecuaciones podemos despejar Mi y Mj en función de wi y wj , donde denominaremos
ij al determinante de los coeficientes:
2
ijjjiijiijjjiiij   así obtendremos:









j
ij
ii
i
ij
ji
j
j
ij
ij
i
ij
jj
i
wwM
wwM








y
   
   

















ij
j
ij
ijii
ij
i
ij
jijj
j
ij
j
ij
ijii
ij
i
ij
jijj
i
l
w
l
w
R
l
w
l
w
R








con los coeficientes:
ij
ii
jj
ij
ji
ji
ij
ij
ij
ij
jj
ii kkkk








 ;;;
podremos obtener:
   
   














ij
j
jjij
ij
i
jiiij
ij
j
jjij
ij
i
jiiii
jjjijij
jijiiii
l
w
kk
l
w
kkR
l
w
kk
l
w
kkR
y
wkwkM
wkwkM
Los coeficientes podemos obtenerlos, por ejemplo aplicando el principio de los trabajos virtuales, así será:
22
2
0
0
0
12
1
6
1
3
1
3
1
JE
l
JE
l
dx
JE
MM
JE
l
dx
JE
MM
JE
l
dx
JE
MM
ij
ij
l
ijji
jiij
l
ijjj
jj
l
ijii
ii
ij
ij
ij
























siendo entonces:
ij
jiij
ij
jjii
l
JE
kk
l
JE
kk



 2;4
llamaremos en lo sucesivo:

LlMMMMww ijjiji  ;;;; 2121 
Las ecuaciones de los momentos y reacciones, pueden expresarse en notación matricial de la siguiente
manera:


























































2
1
22
2
1
2
1
66
66
42
24


L
JE
L
JE
L
JE
L
JE
L
JE
L
JE
L
JE
L
JE
R
R
M
M
o también:
































LL
JE
LL
JE
R
LL
JE
LL
JE
R
y
L
JE
L
JE
M
L
JE
L
JE
M
21
2
21
1
212
211
66
66
42
24




Así, por ejemplo, el coeficiente k11 pueden interpretarse como el momento que debe aplicarse en el
extremo 1 de la barra para producir una rotación unitaria en dicho extremo (1 = 1), en tanto que en el
opuesto se encuentra empotrado (2 = 0). El coeficiente k21, es el momento resultante en el extremo 2 de
la barra para esta condición.
La ecuación matricial consta de dos ecuaciones algebraicas que pueden resolverse simultáneamente para
determinar las rotaciones 1 y 2 en los extremos.




























2
1
1
2
1
42
24
M
M
l
JE
l
JE
l
JE
l
JE


b) Desplazamientos vi; vj según eje y
Aplicamos desplazamientos vi ; vj tales que:
ij
ij
ij
ij
ijijij
l
vv
l
v
vvv



 ;
con 0 ji ww
por lo que aparecerán solicitaciones Mi ; Mj ; Ri ; Rj
cuyos valores obtendremos de una viga similar a la
anterior con rotaciones wi* ; wj* tales que:
ij
ij
ij
ij
ijji
l
vv
l
v
ww



 **
Se cumplirá entonces:
****
jijiiij
ij
ij
i
ij
jj
i wkwkwwM 




y por lo tanto:
   
ij
ij
ijii
ij
ij
ijiii
l
vv
kk
l
v
kkM




y análogamente:
   
   
    22
22
22
22
ij
ij
ijjjii
ij
ij
ijjjiij
ij
ij
ijjjii
ij
ij
ijjjiii
ij
ij
jjji
ij
ij
jjjij
l
vv
kkk
l
v
kkkR
l
vv
kkk
l
v
kkkR
l
vv
kk
l
v
kkM












y siendo entonces:
ij
jiij
ij
jjii
l
JE
kky
l
JE
kk



 24 resulta llamando:

LlMMMMvww ijjiijji  ;;;;; 2121 




















32
31
22
21
12
12
6
6
L
JE
R
L
JE
R
y
L
JE
M
L
JE
M
Anexo B: Ecuaciones de rigidez para elementos con fuerza axial
Consideremos el elemento simple mostrado en la figura, el cual sólo está sometido a cargas axial. Las
fuerzas que actúan en los nudos reciben dos subíndices. El primero indica el nudo donde actúa la fuerza,
en tanto que el segundo indica el otro extremo del elemento. Si el extremo “2” del puntal está fijo (b),
existen las siguientes relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos:

1
1,2
2,1
11,2
12,1







































 






 

l
EA
l
EA
F
F
l
EA
F
l
EA
F I
I
I
Si ahora se impide que el nudo “1” del puntal se mueva ( c ), se tendrá:
2
2,1
1,2
22,1
21,2







































 






 

l
EA
l
EA
F
F
l
EA
F
l
EA
F II
II
II
y con base en el principio de superposición de efectos se puede escribir:
21
1,2
2,1
1,2
2,1
1,2
2,1
 




















































l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
F
F
F
F
F
F
IIITotal
;o bien:





























2
1
1,2
2,1


l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
F
F
Total
Ecuaciones que pueden escribirse simbólicamente como:
      KP ; en donde
vector de fuerzas en el nudo
vector de desplazamiento en el nudo
matriz de rigidez
Puede verse que cada columna de la matriz de rigidez representa el conjunto de fuerzas correspondientes
a un valor unitario de un solo desplazamiento de nudo. La matriz K, en este caso resulta imposible de
invertir por lo que resulta imposible resolver:






























1,2
2,1
1
2
1
F
F
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA


La razón es que los movimientos del cuerpo rígido no se han eliminado. Si 1 fuese igual a 2, el puntal
podría desplazarse cualquier distancia arbitraria sin la intervención de las fuerzas axiales F1,2 o F2,1. Sin
 
 
 


K
P


embargo, si uno de los extremos recibe un desplazamiento específico, digamos 2 = 0 existirá entonces
una relación bien definida entre las fuerzas F1,2 y el desplazamiento resultante en el nudo “1”:
2,11 F
EA
l








Si el puntal tiene tres segmentos (4 nudos) el procedimiento puede repetirse en cada nudo. La
superposición de todas estas relaciones origina la siguiente ecuación matricial:












































 





 






 





 





 





 






 





 





 





 






 





 















4
3
2
1
33
3322
2211
11
4
3
2
1
00
0
0
00




l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
X
X
X
X
y simbólicamente:       KP
La matriz de rigidez K es singular y no tiene inversa, por lo tanto, igual que antes, no puede despejarse los
desplazamientos X1, X2, X3 y X4. Sin embargo, si el movimiento del cuerpo rígido es impedido, al
especificar uno o más desplazamientos nodales, será posible hallar una solución.
Bibliografía Recomendada
 Estabilidad II - E. Fliess
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
 Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced
Mechanics of Materials")
 El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
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 Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros

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