El documento presenta la resolución de un problema de estabilidad de una barra mediante el método de las fuerzas. Se propone analizar la barra adoptando dos sistemas fundamentales diferentes. En el primer caso, se convierte el sistema hiperestático en isostático eliminando el apoyo B y agregando fuerzas desconocidas. Luego se plantean ecuaciones de compatibilidad y se calculan coeficientes para resolver el sistema. En el segundo caso se reemplazan los apoyos A y B y se sigue el mismo procedimiento.

1. Hiperestáticos
Método de las Fuerzas
Ejercicio N° 2b de la Guía de
Problemas Propuestos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Resolver por el método de las fuerzas la
barra estudiada en el Ejercicio Nº 1 del
Trabajo Práctico Nº 8…
Enunciado
…para las condiciones de vínculo que se muestran
en la figura, cargado con una carga distribuida de
valor “q” y una fuerza concentrada “P” actuando
en el punto “C” en la mitad de la luz (L/2) entre
apoyos “A” y “B”…
…adoptar dos Sistemas Fundamentales distintos. Comparar resultados. Dibujar el diagrama
de cuerpo libre, trazar los diagramas de características y calcular los efectos de un descenso
del vínculo B de valor  junto con una rotación de valor .
Datos: Perfil “doble T” (DIN 1025); L = 7,4 m; P = 4,5 t; q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2;
adm = 800 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2.
A BC
P
q

3. Encararemos la solución del problema
adoptando los siguientes sistemas
fundamentales…
Resolución
Caso A
Caso B
P
q
X1
X2
X3
Pq
X1
X2
X3

4. Veamos el Caso A…
Resolución
En este caso, el sistema que tiene un grado de
hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en
isostático mediante la supresión del vínculo
(empotramiento) “B”… P
q
A BC
…y agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así
será:
X3
X1
X2
…y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será:









0
0
00
22221122
12211111
3
aXaXaa
aXaXaa
XP
qP
qP
H
donde:
Xi - verdadero valor de la incógnita
hiperestática “i” (adimensional).
aij - desplazamiento que sufre el punto
de aplicación de la incógnita Xi en la
estructura fundamental en la dirección y
sentido de esta fuerza, originado por un
valor unitario de Xj.

5. Resolución
P
q
A BC
…y agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así
será:
X3
X1
X2
…y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será:









0
0
00
22221122
12211111
3
aXaXaa
aXaXaa
XP
qP
qP
H
donde:
aiP - desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
Xi en la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “P”,
por acción de Xi = 1
Veamos el Caso A…
En este caso, el sistema que tiene un grado de
hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en
isostático mediante la supresión del vínculo
(empotramiento) “B”…

6. Resolución
P
q
A BC
…y agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así
será:
X3
X1
X2
…y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será:









0
0
00
22221122
12211111
3
aXaXaa
aXaXaa
XP
qP
qP
H
donde:
aiq - desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
Xi en la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “q”,
por acción de Xi = 1
Veamos el Caso A…
En este caso, el sistema que tiene un grado de
hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en
isostático mediante la supresión del vínculo
(empotramiento) “B”…

7. Los coeficientes aij los obtenemos
aplicando el Principio de los Trabajos
Virtuales…
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
P
PL/2
1
L
Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X1
a1P

8. Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
P
PL/2
1
L
JE
a P


94875,189
1
JE
LPLL
L
LP
JE
dsMM
JE
a
L
PP














 
3
2
0
11
48
5
22
2
26
111


Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X1
a1P

9. qL2/2
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
1
L


JE
Lq
LL
Lq
JE
dsMM
JE
a
S
qq








 
42
11
8
1
24
111
JE
a q


69796,674
1
Carga distribuida q
Incógnita hiperestática X1
a1q

10. JE
L
LL
JE
dsMM
JE
aa
S





 
2
212112
2
1
1
2
111
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
1
L


Incógnita hiperestática X2
Incógnita hiperestática X1
1
JE
aa


38,27
2112
a12 = a21

11. En forma análoga calculamos los otros
coeficientes …
Resolución
JEJE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JEJE
LqLLq
JE
dsMM
JE
a
JEJE
LP
L
LP
JE
dsMM
JE
a
JEJE
L
LL
JE
dsMM
JE
a
S
S
qq
S
PP
S










































40,7
11
11
5672,121
12
1
2
1
23
111
8025,30
4
1
1
22
111
...07466,135
3
1
3
111
2222
32
22
2
22
3
2
1111

12. Con lo que podemos armar y resolver el
siguiente sistema de ecuaciones…
Resolución





mtX
tX
3765,12
91,8
2
1






040,738,273697,152
038,27...0746,1356459,864
21
21
XX
XX
P
q
A BC
X1
X2
El signo menos indica que el sentido adoptado para la incógnita x1 es el
contrario al graficado en el esquema.

13. Veamos el Caso B…
Resolución
El sistema tiene un grado de hiperestaticidad igual
a 3, lo convertimos en isostático mediante el
reemplazo del vínculo (empotramiento) “A” por
un vínculo de segunda especie (apoyo fijo)…
… agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así
será:
…y planteando de la ecuaciones de
compatibilidad será:
donde:
Xi - verdadero valor de la incógnita
hiperestática “i” (adimensional).
aij - desplazamiento que sufre el punto
de aplicación de la incógnita Xi en la
estructura fundamental en la dirección y
sentido de esta fuerza, originado por un
valor unitario de Xj.
A BC
P
q… y el reemplazo del vínculo (empotramiento)
“B” por un vínculo de primera especie (apoyo
móvil…
X3
X2X1











0
00
00
12211111
21
3
aXaXaa
XXM
XP
qP
H

14. Resolución
donde:
A BC
P
q
X3
X2X1











0
00
00
12211111
21
3
aXaXaa
XXM
XP
qP
H
aiP - desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
Xi en la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “P”,
por acción de Xi = 1
aiq - desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
Xi en la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “q”,
por acción de Xi = 1
Veamos el Caso B…
El sistema tiene un grado de hiperestaticidad igual
a 3, lo convertimos en isostático mediante el
reemplazo del vínculo (empotramiento) “A” por
un vínculo de segunda especie (apoyo fijo)…
… agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así
será:
…y planteando de la ecuaciones de
compatibilidad será:
… y el reemplazo del vínculo (empotramiento)
“B” por un vínculo de primera especie (apoyo
móvil…

15. Los coeficientes aij los obtenemos
aplicando el Principio de los Trabajos
Virtuales…
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X1
P
PL/4
1
a1P

16. JE
LP
LLP
JE
dsMM
JE
a
S
PP






 
2
11
16
1
1
4
1
4
111
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X1


JE
LP
a P



2
1
16
1
P
PL/4
Incógnita hiperestática X1
1
a1P

17.   L
JE
dsMM
JE
aa
S




  11
6
111
122112
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
Incógnita hiperestática X2
Incógnita hiperestática X1


1
-1
JE
L
aa


6
1
2112
a12 = a21

18. En forma análoga calculamos los otros
coeficientes …
Resolución
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JE
Lq
LLq
JE
dsMM
JE
a
S
S
qq















3
1
11
3
111
24
1
1
8
1
3
111
1111
3
2
11
Con lo que podemos armar y resolver la siguiente ecuación:
mt
LqLP
XX 




 


 3765,12
128
2
21
      0
632416
11
2





 XXLqLP


19. A C B
4,5 t
1,8 t/m
Graficamos el diagrama del cuerpo
libre…
Resolución
12,38 t.m 12,38 t.m
8,91 t8,91 t

20. Graficamos los diagramas de momento
flexor y corte…
Resolución
Q M
8,91 t
8,91 t
2,25 t
2,25 t
12,38 t.m
12,38 t.m
8,27 t.m

21. Calculemos ahora los efectos de un
descenso del vínculo B (de valor )…
Resolución
X3
X1
X2
A B
…y agregamos las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así
será:
…si planteamos ahora, las ecuaciones de
compatibilidad tendremos:









0
00
2222112
1221111
3
aXaXa
aXaXa
XP
P
P
H

Adoptamos el sistema fundamental del Caso A…
…los coeficiente aij son los ya calculados
considerando, en este caso, la no existencia
de cargas exteriores:
 
 
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JE
L
LL
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
S
P
S
PP
S
S
P
S
PP





























11
11
00
1
2
1
1
2
111
3
1
3
111
00
1
2222
22
2
2
2112
3
2
1111
11

22. Calculemos ahora los efectos de un
descenso del vínculo B (de valor )…
Resolución
X1
X2
A B
…y reemplazando se tiene:
















0
2
1
2
1
3
1
2
2
1
2
2
3
1
JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X 
…despejando de la segunda
ecuación X2 resulta: 2
12
L
XX 
…reemplazando ahora X2 en la
primera y operando, se tiene: BR
L
EJ
X 

 31
12 
BM
L
EJ
X 

 22
6 
Calculemos ahora las reacciones
de vínculo en A:



















2
3
6
0
12
0
0
0
L
EJ
MLRMM
L
EJ
RRR
M
F
ABBA
ABA
A
V


RA
MA
= RB
= MB

23. Calculemos ahora los efectos de una
rotación del vínculo B (de valor )…
Resolución
X3
X1
X2
A B
…y agregamos las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así
será:
…si planteamos ahora, las ecuaciones de
compatibilidad tendremos:









0
00
2222112
1221111
3
aXaXa
aXaXa
XP
P
P
H

Adoptamos el sistema fundamental del Caso A…
…los coeficiente aij son los ya calculados
considerando, en este caso, la no existencia
de cargas exteriores:
 
 
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JE
L
LL
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
S
P
S
PP
S
S
P
S
PP





























11
11
00
1
2
1
1
2
111
3
1
3
111
00
1
2222
22
2
2
2112
3
2
1111
11

24. Calculemos ahora los efectos de un
descenso del vínculo B (de valor )…
Resolución
X1
X2
A B
…y reemplazando se tiene:

















JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X
2
2
1
2
2
3
1
2
1
0
2
1
3
1
…despejando de la primer
ecuación X2 resulta:
LXX  12
3
2
…reemplazando ahora X2 en la
segunda y operando, se tiene: BR
L
EJ
X 

 21
6 
BM
L
EJ
X 


4
2
Calculemos ahora las reacciones
de vínculo en A:



















L
EJ
MLRMM
L
EJ
RRR
M
F
ABBA
ABA
A
V


2
0
6
0
0
0 2
RA
MA
= RB
= MB

25. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

26. Muchas Gracias