El documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con sus derivadas. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales como ordinarias o parciales dependiendo del número de variables independientes, y define notación común como la de Leibniz.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que las ecuaciones diferenciales surgen de modelos matemáticos que describen fenómenos físicos. Define formalmente una ecuación diferencial y clasifica las ecuaciones diferenciales ordinarias por su orden y linealidad. También proporciona ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos, astrofísica y psicología.
Clasificación de las ecuaciones diferencialesjesusamigable
Este documento clasifica las ecuaciones diferenciales en tres categorías: por tipo, por orden y por linealidad. Por tipo, divide las ecuaciones en ordinarias y parciales. Por orden, define el orden como la derivada más alta en la ecuación. Por linealidad, explica que una ecuación lineal es aquella donde la variable dependiente y sus derivadas aparecen solo al primer grado y los coeficientes dependen solo de la variable independiente.
Este documento presenta un curso propedéutico sobre ecuaciones diferenciales para una maestría en ingeniería eléctrica. Explica conceptos básicos como el orden de una ecuación diferencial, clasificaciones como lineal vs no lineal, y métodos de solución analítica como separación de variables. También introduce conceptos como campo vectorial, isoclinas y solución general. El objetivo es preparar a los estudiantes con los fundamentos necesarios para comprender ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver problemas de valor inicial y de contorno, incluyendo ejemplos. También describe técnicas analíticas como separación de variables y el análisis de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial relaciona derivadas de funciones y que su solución implica determinar las funciones cuya derivada satisfaga la ecuación. Proporciona ejemplos de aplicaciones en física, mecánica y procesos de ingeniería. Finalmente, define conceptos básicos como orden, grado, solución general y particular de una ecuación diferencial.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:
Un resumen sobre conceptos básicos.
Clasificación.
Fundamentos requeridos en las diversas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este documento define y clasifica las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función desconocida y sus derivadas con una o más variables independientes. Las clasifica como ordinarias o parciales dependiendo de si la función depende de una o más variables. También las clasifica por orden, grado y linealidad. Presenta ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales y cuasilineales y explica los tipos de soluciones. Finalmente, introduce el teorema de existencia y unicidad, el cual establece condiciones para la
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que las ecuaciones diferenciales surgen de modelos matemáticos que describen fenómenos físicos. Define formalmente una ecuación diferencial y clasifica las ecuaciones diferenciales ordinarias por su orden y linealidad. También proporciona ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos, astrofísica y psicología.
Clasificación de las ecuaciones diferencialesjesusamigable
Este documento clasifica las ecuaciones diferenciales en tres categorías: por tipo, por orden y por linealidad. Por tipo, divide las ecuaciones en ordinarias y parciales. Por orden, define el orden como la derivada más alta en la ecuación. Por linealidad, explica que una ecuación lineal es aquella donde la variable dependiente y sus derivadas aparecen solo al primer grado y los coeficientes dependen solo de la variable independiente.
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Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial relaciona derivadas de funciones y que su solución implica determinar las funciones cuya derivada satisfaga la ecuación. Proporciona ejemplos de aplicaciones en física, mecánica y procesos de ingeniería. Finalmente, define conceptos básicos como orden, grado, solución general y particular de una ecuación diferencial.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:
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Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales y álgebra lineal. Explica conceptos como ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el orden de una ecuación diferencial, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como las de variable separable, las exactas y las homogéneas. También cubre temas como soluciones implícitas, familia de soluciones, y problemas de valor inicial.
Este documento define una ecuación diferencial de variables separables como una ecuación de la forma ∫ f(x) dx + ∫ g(y) dy = 0. Explica que cuando f es independiente de y, la ecuación puede resolverse mediante integración para llegar a la solución y = ∫g(x) dx + c. Proporciona como ejemplo la ecuación (dy/dx)= 1 + e^(2x) y muestra los pasos para separar las variables y llegar a la solución Y = x + 1/2(e^(2x)) + c tras
El documento resume conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, grado, clasificación, soluciones generales y particulares, y aplicaciones geométricas. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función y sus derivadas, y que su orden depende de la derivada más alta involucrada. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad.
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función desconocida y sus derivadas con variables independientes. También diferencia entre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y discute conceptos como orden, linealidad, soluciones y métodos para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado y linealidad. También describe los pasos para resolver una ecuación diferencial, que implica encontrar una función que satisfaga la relación de igualdad definida en la ecuación. Finalmente, presenta algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de orden superior.
Este documento presenta un resumen de la historia de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVI al XIX. Describe las contribuciones de figuras clave como Galileo, Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Fourier y Cauchy. Además, explica brevemente cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su orden, tipo, linealidad y las formas de soluciones implícitas y explícitas.
Este documento ofrece una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiendo conceptos clave como orden, grado, linealidad, y tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También explica qué es una solución general, particular y ofrece una interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales en términos de pendientes de curvas.
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcialaysha14
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales. Introduce los conceptos básicos como tipos de ecuaciones diferenciales, orden, grado y soluciones. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden como variables separables, variación de constantes y coeficientes indeterminados. Finalmente, incluye aplicaciones y ejemplos ilustrativos de los diferentes temas.
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial involucra derivadas de una función desconocida. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad. Finalmente, presenta ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de diferentes órdenes para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce las nociones básicas de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Define una ecuación diferencial, clasifica las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales, y explica el orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria. También discute la solución general de una ecuación diferencial, las soluciones particulares, y los problemas de valor inicial y valores en la frontera.
El documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales para una maestría en ingeniería eléctrica. Explica conceptos básicos como el orden de las ecuaciones diferenciales y métodos de solución analítica como separación de variables. También incluye ejemplos de ecuaciones diferenciales y el método de isoclinas para graficar soluciones.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. En la introducción explica que las ecuaciones diferenciales son herramientas importantes en física, ingeniería y otras ciencias para expresar leyes naturales. El documento está dividido en dos módulos, donde el primero presenta conceptos básicos como definiciones, tipos de soluciones y el teorema de existencia y unicidad. El segundo módulo se enfoca en métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones. El documento incl
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Contiene tres unidades que cubren la introducción a las ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones diferenciales de segundo orden. Incluye conceptos como clasificación, solución, intervalo de definición, métodos de solución y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
¡Saludos! Gracias por revisar este material dedicado a los que con gusto desean obtener mas información en el área de la matemática, esta vez se trata de una introducción a las Ecuaciones Diferenciales, esperamos lo disfruten...
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. En la introducción explica que las ecuaciones diferenciales son herramientas importantes en física, ingeniería y otras ciencias para expresar leyes naturales. El documento está dividido en dos módulos, donde el primero presenta conceptos básicos como definiciones, tipos de soluciones y el teorema de existencia y unicidad. El segundo módulo se enfoca en métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones. El documento incl
La historia-de-las-ecuaciones-diferenciales-ordinarias oscar garcía,marianni ...LcdoOscarGarcia
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se originaron en el estudio de problemas dinámicos por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. Durante el siglo XVIII, los matemáticos resolvían ecuaciones particulares específicas, mientras que en el siglo XIX buscaban métodos de resolución aplicables a todo tipo de ecuaciones diferenciales y soluciones en serie. Los primeros métodos numéricos datan de finales del siglo XIX, pero el análisis numérico sólo fue posible a partir de 1950 con las primeras
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo que son ecuaciones que contienen derivadas de funciones, cómo se clasifican (ordinarias, parciales), el orden y grado de una ecuación diferencial, soluciones particulares y generales, trayectorias ortogonales, el teorema de existencia y unicidad, y campos direccionales.
1) El documento habla sobre el origen y desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo y comenzaron a formular y resolver ecuaciones diferenciales.
2) Se clasifican las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales dependiendo de si la función depende de una o varias variables, respectivamente. También se clasifican por orden, linealidad y otros criterios.
3) Se explican conceptos como solución explíc
Capítulo Introductorio de Ecuaciones DiferencialesYerikson Huz
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Introduce las ecuaciones diferenciales y cómo se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Explica cómo resolver una ecuación diferencial y define el concepto de solución. Finalmente, menciona brevemente los problemas de valor inicial y los modelos matemáticos.
Este documento describe los tipos principales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluidas las ecuaciones en variables separadas, homogéneas, lineales y aquellas con un factor integrante. Explica que las ecuaciones diferenciales relacionan una función con sus derivadas y son importantes en diversas disciplinas como física, ingeniería y biología. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de ecuación diferencial de primer orden.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) transformar ecuaciones no homogéneas a homogéneas mediante sustitución de variables, 2) criterios para que una ecuación sea exacta y su solución, 3) uso de factores integrantes para reducir ecuaciones a formas exactas, 4) resolución de ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli. Ilustra los conceptos con varios ejemplos resueltos.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica los problemas de valor inicial y de contorno, y cómo resolver problemas de valor inicial de primer y segundo orden. También describe métodos para analizar ecuaciones diferenciales cualitativamente, incluyendo el uso de campos de direcciones e isóclinas. Finalmente, resume diferentes técnicas analíticas para resolver ecuaciones diferenciales de forma analítica.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales y álgebra lineal. Explica conceptos como ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el orden de una ecuación diferencial, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como las de variable separable, las exactas y las homogéneas. También cubre temas como soluciones implícitas, familia de soluciones, y problemas de valor inicial.
Este documento define una ecuación diferencial de variables separables como una ecuación de la forma ∫ f(x) dx + ∫ g(y) dy = 0. Explica que cuando f es independiente de y, la ecuación puede resolverse mediante integración para llegar a la solución y = ∫g(x) dx + c. Proporciona como ejemplo la ecuación (dy/dx)= 1 + e^(2x) y muestra los pasos para separar las variables y llegar a la solución Y = x + 1/2(e^(2x)) + c tras
El documento resume conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, grado, clasificación, soluciones generales y particulares, y aplicaciones geométricas. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función y sus derivadas, y que su orden depende de la derivada más alta involucrada. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad.
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función desconocida y sus derivadas con variables independientes. También diferencia entre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y discute conceptos como orden, linealidad, soluciones y métodos para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado y linealidad. También describe los pasos para resolver una ecuación diferencial, que implica encontrar una función que satisfaga la relación de igualdad definida en la ecuación. Finalmente, presenta algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de orden superior.
Este documento presenta un resumen de la historia de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVI al XIX. Describe las contribuciones de figuras clave como Galileo, Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Fourier y Cauchy. Además, explica brevemente cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su orden, tipo, linealidad y las formas de soluciones implícitas y explícitas.
Este documento ofrece una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiendo conceptos clave como orden, grado, linealidad, y tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También explica qué es una solución general, particular y ofrece una interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales en términos de pendientes de curvas.
Ecuaciones diferenciales Resumen primer parcialaysha14
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales. Introduce los conceptos básicos como tipos de ecuaciones diferenciales, orden, grado y soluciones. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden como variables separables, variación de constantes y coeficientes indeterminados. Finalmente, incluye aplicaciones y ejemplos ilustrativos de los diferentes temas.
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial involucra derivadas de una función desconocida. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad. Finalmente, presenta ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de diferentes órdenes para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce las nociones básicas de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Define una ecuación diferencial, clasifica las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales, y explica el orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria. También discute la solución general de una ecuación diferencial, las soluciones particulares, y los problemas de valor inicial y valores en la frontera.
El documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales para una maestría en ingeniería eléctrica. Explica conceptos básicos como el orden de las ecuaciones diferenciales y métodos de solución analítica como separación de variables. También incluye ejemplos de ecuaciones diferenciales y el método de isoclinas para graficar soluciones.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. En la introducción explica que las ecuaciones diferenciales son herramientas importantes en física, ingeniería y otras ciencias para expresar leyes naturales. El documento está dividido en dos módulos, donde el primero presenta conceptos básicos como definiciones, tipos de soluciones y el teorema de existencia y unicidad. El segundo módulo se enfoca en métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones. El documento incl
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Contiene tres unidades que cubren la introducción a las ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones diferenciales de segundo orden. Incluye conceptos como clasificación, solución, intervalo de definición, métodos de solución y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
¡Saludos! Gracias por revisar este material dedicado a los que con gusto desean obtener mas información en el área de la matemática, esta vez se trata de una introducción a las Ecuaciones Diferenciales, esperamos lo disfruten...
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. En la introducción explica que las ecuaciones diferenciales son herramientas importantes en física, ingeniería y otras ciencias para expresar leyes naturales. El documento está dividido en dos módulos, donde el primero presenta conceptos básicos como definiciones, tipos de soluciones y el teorema de existencia y unicidad. El segundo módulo se enfoca en métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones. El documento incl
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Las ecuaciones diferenciales ordinarias se originaron en el estudio de problemas dinámicos por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. Durante el siglo XVIII, los matemáticos resolvían ecuaciones particulares específicas, mientras que en el siglo XIX buscaban métodos de resolución aplicables a todo tipo de ecuaciones diferenciales y soluciones en serie. Los primeros métodos numéricos datan de finales del siglo XIX, pero el análisis numérico sólo fue posible a partir de 1950 con las primeras
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo que son ecuaciones que contienen derivadas de funciones, cómo se clasifican (ordinarias, parciales), el orden y grado de una ecuación diferencial, soluciones particulares y generales, trayectorias ortogonales, el teorema de existencia y unicidad, y campos direccionales.
1) El documento habla sobre el origen y desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo y comenzaron a formular y resolver ecuaciones diferenciales.
2) Se clasifican las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales dependiendo de si la función depende de una o varias variables, respectivamente. También se clasifican por orden, linealidad y otros criterios.
3) Se explican conceptos como solución explíc
Capítulo Introductorio de Ecuaciones DiferencialesYerikson Huz
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Introduce las ecuaciones diferenciales y cómo se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Explica cómo resolver una ecuación diferencial y define el concepto de solución. Finalmente, menciona brevemente los problemas de valor inicial y los modelos matemáticos.
Este documento describe los tipos principales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluidas las ecuaciones en variables separadas, homogéneas, lineales y aquellas con un factor integrante. Explica que las ecuaciones diferenciales relacionan una función con sus derivadas y son importantes en diversas disciplinas como física, ingeniería y biología. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de ecuación diferencial de primer orden.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) transformar ecuaciones no homogéneas a homogéneas mediante sustitución de variables, 2) criterios para que una ecuación sea exacta y su solución, 3) uso de factores integrantes para reducir ecuaciones a formas exactas, 4) resolución de ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli. Ilustra los conceptos con varios ejemplos resueltos.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica los problemas de valor inicial y de contorno, y cómo resolver problemas de valor inicial de primer y segundo orden. También describe métodos para analizar ecuaciones diferenciales cualitativamente, incluyendo el uso de campos de direcciones e isóclinas. Finalmente, resume diferentes técnicas analíticas para resolver ecuaciones diferenciales de forma analítica.
Presentacion de matematica (ecuaciones diferenciales)oriannysrodriguez
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que una ecuación diferencial de primer orden es una función donde se puede despejar la derivada. Describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales como variables separadas y diferenciales exactas. También cubre ecuaciones lineales de primer orden.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Se clasifican en ordinarias, que dependen de una sola variable, y en derivadas parciales, que dependen de más de una variable. También define el orden y grado de una ecuación diferencial. Finalmente, da ejemplos de cómo surgen ecuaciones diferenciales en diversos campos como física, biología y economía.
Unidad ii guia de introduccion a las ecuciones diferencialesJulio Barreto Garcia
El documento describe el origen y desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo y formularon las primeras ecuaciones diferenciales. Posteriormente, matemáticos como los Bernoulli, Euler, Lagrange y Laplace hicieron importantes contribuciones al campo, resolviendo nuevos tipos de ecuaciones y desarrollando métodos de solución. Finalmente, el documento presenta una clasificación y definiciones básicas sobre ecuaciones difer
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que las ecuaciones diferenciales surgen de modelos matemáticos que describen fenómenos físicos. Define una ecuación diferencial y explica que el objetivo es encontrar funciones cuya derivada satisfaga la ecuación. También clasifica las ecuaciones diferenciales como ordinarias o parciales dependiendo del tipo de derivada, y por su orden y linealidad. Finalmente, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales en circuitos elé
1. El documento introduce las ecuaciones diferenciales y explica qué son, cómo se clasifican y notan. Explica que una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2. Se describen los tipos principales de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su orden, grado y linealidad.
3. El documento proporciona ejemp
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, incluyendo definiciones de términos clave como ecuación diferencial ordinaria, ecuación diferencial parcial, orden, grado y linealidad. Explica cómo clasificar ecuaciones diferenciales según estos términos y proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como soluciones de ecuaciones diferenciales.
Este documento describe las consideraciones básicas de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Define una ecuación diferencial y explica que relaciona una función desconocida, las variables independientes y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Luego, describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones separables y diferenciables exactas.
Material didáctico introductorio a las Ecuaciones Diferenciales, como parte del contenido programático de Matemática II del Programa Nacional de Formación de Ingeniería, preparado por MsC Mgs Ing. Ines Sanchez de la Universidad Politécnica Territorial de Maracaibo. El contenido hace referencia a las definiciones, caracterización y terminología básica sobre tipología de una ecuación diferencial según el orden, grado y linealidad.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales. En la introducción define las ecuaciones diferenciales y tipos como ordinarias y en derivadas parciales. Luego cubre ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables, variación de constante y exactas. Finalmente, cubre ecuaciones de segundo orden como lineales, problemas de valor inicial y principio de superposición.
Conceptos generales de las ecuaciones difernciales de primer gradoSantiago Morales Ruiz
Este documento presenta un resumen de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones de variables separables, homogéneas, exactas, lineales y de Bernoulli. Explica los procedimientos para resolver cada tipo, con ejemplos ilustrativos. También proporciona enlaces a recursos adicionales en línea sobre ecuaciones diferenciales.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver este tipo de ecuaciones como separación de variables, uso de campos de direcciones e isóclinas, y teoremas de existencia y unicidad. También presenta ejemplos resueltos de problemas de valor inicial y condiciones iniciales.
Este documento presenta un resumen de tres unidades sobre ecuaciones diferenciales. La Unidad 1 introduce conceptos básicos como clasificación, soluciones y campo de dirección. La Unidad 2 cubre métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, como variables separables, variación de constantes y ecuaciones exactas. La Unidad 3 trata ecuaciones lineales de segundo orden, funciones linealmente independientes, principio de superposición y reducción de orden.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiendo qué son, sus órdenes y grados. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, variables separadas, homogéneas y exactas, ilustrando cada uno con ejemplos. Concluye resaltando la importancia de las ecuaciones diferenciales y la bibliografía consultada.
Ecuaciones Diferenciales parte I_ EDO.pptx2015110566
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan por derivados. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida y=f(x) y su derivada, conocida como ecuación diferencial. Resolver tales ecuaciones a menudo proporciona información sobre cómo cambian las cantidades y con frecuencia proporciona información sobre cómo y por qué ocurren los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden tomar muchas formas diferentes, incluyendo solución directa, uso de gráficos o cálculos por computadora. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas, y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Se describen los tipos de ecuaciones diferenciales como ordinarias, en derivadas parciales, lineales, no lineales y exactas. También se explican conceptos como el orden, grado y linealidad de una ecuación diferencial. Finalmente, se proporcionan ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Semana 1. introduccion a las ecuaciones diferencialesnidia maldonado
1) Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, explicando qué son, cómo se clasifican y notaciones comunes. 2) Una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Se clasifican por tipo, orden y linealidad. 3) Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de variables dependientes de una sola variable independiente, mientras que las parciales contienen derivadas parciales de variables dependientes de dos o más variables independientes.
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función, su variable independiente y las derivadas de dicha función. Define una ecuación diferencial ordinaria como aquella que contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente. También clasifica las ecuaciones diferenciales por orden y grado, y presenta diferentes notaciones para representarlas.
Este documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Define una ecuación diferencial como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Explica cómo las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden, grado y linealidad, y provee ejemplos de cada clasificación. También cubre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como el método de variables separables y el método de soluciones generales y particulares.
Las matemáticas han sido la principal herramienta para entender el mundo y desarrollar tecnología. También son divertidas y fascinantes para algunas personas. Hoy en día, los estudiantes pueden aprender matemáticas de forma interactiva a través de software educativos que resuelven problemas a diferentes niveles. Las matemáticas sirven para pensar con lógica y evitar errores, y pueden usarse para comunicarse correctamente con otros.
Este documento define una inecuación lineal con dos variables como una expresión de la forma ax + by ≤ c, donde a, b y c son números reales y x e y son las incógnitas. Explica que la recta divide el plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la inecuación. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo determinar cuál de las dos regiones es la solución sustituyendo valores en la inecuación original.
Una inecuación lineal con dos variables es una expresión de la forma ax + by ≤ c, donde a, b y c son números reales y x e y son las incógnitas. Un ejemplo muestra que para determinar la región solución de una inecuación lineal, se sustituye un punto en la inecuación y se comprueba si la desigualdad resultante es cierta. Si lo es, el semiplano que contiene al punto es la solución.
El documento habla sobre ampliar los conocimientos ingresando a diapositivas. Al ingresar a las diapositivas se puede aprender más sobre diferentes temas. Estas diapositivas ofrecen información para expandir el conocimiento del usuario.
Este documento define una inecuación lineal con dos variables como una expresión de la forma ax + by ≤ c, donde a, b y c son números reales y x e y son las incógnitas. Explica que la recta definida por la inecuación divide el plano en dos regiones, una de las cuales es la solución. Para determinar cuál es la región solución, se toma un punto cualquiera y se comprueba si cumple o no la inecuación original. Si es cierta para ese punto, entonces la región que lo contiene es la soluc
1) El documento presenta información sobre los números reales, incluyendo las definiciones de fracciones, porcentajes, raíces y exponentes. 2) También describe métodos para resolver ecuaciones y desigualdades lineales, así como el sistema métrico de unidades. 3) Incluye ejemplos ilustrativos de cada uno de los temas cubiertos.
Este documento describe varias experiencias prácticas diseñadas para enseñar los números del 0 al 10 a estudiantes de educación parvularia. Las experiencias incluyen canciones, juegos con golosinas, representaciones físicas de los números y diagramas para relacionar los números con sus respectivos símbolos numéricos. El objetivo es que los estudiantes desarrollen una comprensión conceptual de los números a través de la percepción, reflexión y participación en actividades lúdicas.
El documento describe una sesión de aprendizaje sobre la relación entre números y numerales con estudiantes de educación parvularia. La sesión usó canciones, golosinas, preguntas y hojas de trabajo para enseñar de manera práctica las relaciones 0, 7, 8, 9 y 10 a través de la percepción, reflexión y comprensión. El proceso sistemático llevó al conocimiento de cada relación mientras promovió habilidades matemáticas como la reversibilidad del pensamiento y la seriación.
El documento describe una sesión de aprendizaje sobre la relación entre números y numerales con estudiantes de educación parvularia. La sesión usó canciones, golosinas, preguntas y hojas de trabajo para enseñar de manera práctica las relaciones 0, 7, 8, 9 y 10 a través de la percepción, reflexión y comprensión. El proceso sistemático llevó al conocimiento de cada relación mientras promovió habilidades matemáticas como la reversibilidad del pensamiento y la seriación.
Este documento resume una lección en una escuela infantil donde los niños aprenden conceptos lógicos y matemáticos como proposiciones, tablas de doble entrada y verdadero vs. falso a través de juegos y actividades prácticas como construir una matriz sobre sus juguetes favoritos. La educadora evalúa el progreso de los niños y concluye que han demostrado aprendizajes significativos al potenciar sus capacidades a través de una enseñanza afectiva y basada en la pregunta.
El documento describe una sesión educativa para niños de primer grado sobre percepciones espaciales de proximidad. La sesión incluyó la lectura de un cuento, actividades como la creación de un collage y juegos en el patio que ayudaron a los niños a comprender conceptos como la ubicación espacial y las relaciones de proximidad entre objetos. Los niños demostraron haber aprendido estos conceptos y disfrutaron de las dinámicas lúdicas propuestas.
El resumen describe una actividad en el jardín de infantes donde los niños aprendieron a agrupar animales domésticos en parejas de "mamás y crías" usando imágenes. Los niños disfrutaron encontrar a las crías con sus respectivas mamás y aprendieron los nombres de los bebés de diferentes animales. Al final, completaron una hoja de trabajo emparejando animales para evaluar lo que habían aprendido.
El documento describe un taller de educación popular para niños de primer grado sobre el concepto de magnitud. El taller utilizó juegos como formar un círculo, "las lanchas" y comparar tamaños de muñecos para motivar a los niños e introducir el tema de una manera divertida. Luego, en el aula se usaron más juegos didácticos y hojas de trabajo para que los niños ordenaran series de objetos de diferentes tamaños y afianzaran su comprensión de la magnitud. El documento concluye que la metodología
Este documento describe un taller educativo sobre la navidad con niños de primer grado. El taller utiliza el método de la "pedagogía de la pregunta" para guiar a los niños a través de cuatro momentos: 1) percepción de símbolos navideños, 2) reflexión sobre patrones en hojas de trabajo, 3) comprensión de una operación lógico-matemática, y 4) concreción a través de grupos de trabajo y ejercicios individuales. El taller concluye evaluando que los niños han aprendido significativamente al descubrir
La educadora llevó a cabo una actividad sobre las tradiciones navideñas con los niños. Los niños discutieron cómo celebran la Navidad en sus casas y aprendieron sobre el origen de las tradiciones. Luego, trabajaron en equipos para ordenar una serie de objetos navideños y establecer un patrón. Al final, los niños completaron una hoja de trabajo dibujando la serie según el modelo aprendido. La educadora concluyó que la actividad había sido exitosa en establecer la importancia del juego en el aprendizaje a
El resumen describe un taller presencial sobre clasificación con niños de 5 años en un jardín de infantes en Quito, Ecuador. El taller involucró canciones, tarjetas con imágenes de frutas, agrupar frutas similares y figuras de juguetes favoritos para enseñar conceptos de conjuntos y subconjuntos. Los niños participaron activamente y disfrutaron la experiencia de aprendizaje lúdica.
El documento describe una actividad pedagógica con niños donde exploran frutas a través de los sentidos, compartiendo conocimientos y formando grupos. Los niños identifican frutas por imágenes, se agrupan con frutas similares y reconocen conjuntos y subconjuntos. Al finalizar, representan lo aprendido y demuestran comprensión.
El documento describe un taller realizado con niños de primer grado para enseñarles la operación lógico-matemática de clasificar. Los niños participaron en juegos pedagógicos como formar conjuntos y subconjuntos de frutas al ritmo de una canción. Esto les permitió inferir el proceso de clasificación de una manera vivencial. Más tarde, completaron hojas de trabajo para reforzar los conceptos aprendidos. El taller demostró ser una forma efectiva de construir conocimiento colectivamente a través de la participación y preguntas que
Este documento describe la metodología PACIE para el aprendizaje en línea. PACIE son las siglas de las fases del proceso de aprendizaje: Presentación, Adquisición, Consolidación, Interacción y Evaluación. La estructura del aula virtual sigue tres bloques: bloque cero, bloque uno y bloque dos. El bloque cero, también llamado bloque PACIE, es la parte fundamental para motivar la participación y fomentar la interacción cooperativa mediante foros, chats y otras secciones.
1. 1 Módulo de Ecuaciones Diferenciales MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
2. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Una de las más importantes y fascinaste ramas de las matemáticas que permiten modelar diversos fenómenos físicos que surgen en la naturaleza son las Ecuaciones Diferenciales, las mismas que junto con el Cálculo Integral y Diferencial dan respuestas a los mismos. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
4. 4 ¿Qué es una ecuación diferencial? Función diferenciable en (-, ). Su derivada es: Ejemplo de ecuación diferencial Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación. Intentaremos contestar preguntas del tipo: ¿Qué función representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación? MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
5. 5 DEFINICIONES 1) Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. variable dependiente variable independiente MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
6. 6 2) Es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas. 3)Es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
7. Notación 7 La notación a utilizarse en la escritura de ecuaciones diferenciales es en base a las derivadas y diferenciales, pueden ser de acuerdo a: Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,... Notación Prima: y', y'', y'''… y(n),... Notación de Newton: Notación de subíndice: ux, uy, uxx, uyy, uxy, … MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
8. 8 En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
9. 9 Clasificación Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad. Por el tipo: i) Ecuación diferencial ordinaria (EDO): Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente. Ejemplo de EDO: Una EDO puede contener más de una variable dependiente: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
10. 10 ii) Ecuación diferencial parcial (EDP): Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplos: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
11. 11 Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación. Ejemplo: Término Segundo orden Término Primer orden Luego, es una EDO de segundo orden Y las EDO pueden ser de primero, segundo, …, n-ésimo orden. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
12. 12 Grado: El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos da el orden de la ecuación diferencial. Ejemplo: La siguiente ecuación diferencial: es de primer grado, dado que la segunda derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada a uno. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
13. 13 Clasificación según la Linealidad Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal eny, y’, y”, …, y(n). O bien: Nótese que las derivadas n-ésimas y el término en y están elevados a la potencia 1, de ahí que la ecuación es lineal. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
14. FORMAS DE ESCRIBIR UNA EDO Forma general de orden n de una EDO: Forma normal de orden n de una EDO: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga 14 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
15. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye FORMAS DE ESCRIBIR UNA EDO Por ejemplo de la Ecuación Diferencial: Su forma general es: y su forma normal es: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga 15 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
16. 16 También la podemos escribir en forma diferencial Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente y x la independiente en la EDO en forma diferencial: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
17. 17 Ejercicios y taller Determinar el grado y orden de las siguientes ecuaciones: a) b) NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
18. 18 Ejercicios Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) c) d) MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
20. 20 Una EDO lineal de orden n, debe cumplir con dos condiciones: i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir: y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado. ii) Los Coeficientes a0, a1, …,andependen solo de la variable independiente x. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
21. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Una EDO no lineal es simplemente una Ecuación que no es lineal. Ejemplo: El coeficiente depende de y. Función no lineal de y. 21 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
22. 22 Determinar si las EDOS son ¿Lineales o no lineales? 1) 2) 3) 4) 5) MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
23. 23 Forma general: Estas ecuaciones de acuerdo a g(x) y a los coeficientes pueden ser: Lineal homogénea: El término independiente g(x) es nulo. Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes. Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
24. Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
25. Solución de una EDO La solución de una EDO es una función, es decir la relación existente entre la variable independiente y la variable dependiente. Sea la función Y f una función definida en el intervalo I, tal que sea derivable ( sea continua y admita n-ésimas derivadas). f es solución de la ecuación F en el intervalo I, si cumple dos condiciones: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
26. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Condiciones para que f sea Solución de una EDO F La debe estar definida Que al sustituirse en la EDO las n derivadas y la función y, reducen la ecuación a la identidad: Si i) y ii) son verdaderas entonces f es la solución explícita de F. Siempre hemos de considerar una solución junto a su intervalo I, de definición, también llamado intervalo de existencia de validez o dominio de definición. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
27. 27 Una EDO puede tener: Infinitas soluciones: Nótese que C puede tomar infinitos valores Una única solución: y(x) es un valor ya establecido (0). Ninguna solución: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
28. 28 Ejemplo: comprobación de una solución. Comprobar que la función y = x4/16 , es la solución de la EDO dy/dx = xy1/2 en el intervalo (-, ): Método 1 Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4para todo x de (-, ). (a) Lado izquierdo : Lado derecho: Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ). MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
29. Ejemplo: comprobación de una solución. Método 2 Expresamos la ecuación diferencial en su forma general: Reemplazamos en la ecuación general la y el valor de se cumple la identidad 0 = 0, para todo x de (-, ) 29 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
30. 30 Solución: Derivando la solución dos veces: y' = xex+ ex y'' = xex+ 2ex Nótese que y(x) = 0 también es solución tanto de este ejemplo como del anterior en el intervalo(-, ). A y(x) = 0se la conoce como solución trivial. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
31. 31 Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial: Solución: Derivando y = x2 + Ctenemos Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos: Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
32. 32 Ejercicios Determine si cada Función es solución o no de la ecuación diferencial dada: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
33. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Familia de Curvas y su Ecuación Diferencial Si se tiene una ecuación de una familia de curvas, se puede obtener la ecuación diferencial, mediante la eliminación de las constantes o parámetros y esto se obtiene aislando la constante en un miembro de la ecuación y derivando. También se puede eliminar la constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se resuelve el sistema formado con la ecuación original. 33 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
34. 34 Ejemplo: Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C. Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = x2 + C. Así Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general propuesta. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
35. 35 Ejemplo Encuentre la ED cuya solución general es y = C x2. Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = C x2. Así Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED. Por lo tanto: es la ED de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
36. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejemplo Encuentre la ED cuya solución general es y =Asenx+Bcosx Solución Observemos que aparecen dos constantes de integración, de manera que derivamos dos veces: Formamos un sistema entre y e y´´ y obtenemos: Por lo tanto, la ecuación buscada es: es la ED de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración. 36 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
37. 37 Función vssolución ¿y=1/x es solución de xy´+y=0? La gráfica de una solución de una EDO se llama curva solución. Como es una función diferenciable, es continua en su intervalo de definición I. Puede, entonces, haber diferencias entre la gráfica de la función y la solución. Veamos un ejemplo: (a) y = 1/x considerada como una función, tiene dominio de definición (-, 0) U (0, ). Es discontinua y no diferenciable en x = 0. (b) y = 1/x estambién solución de xy’ + y = 0. Se entiende que es solución en algún intervalo I en el que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo, en (0, ). MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
38. Solución explícita de una EDO: La variable dependiente está expresada solamente en términos de variables independientes y constantes. Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es y = (x) = 1/x. Solución implícita de una EDO Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una EDO sobre un intervalo I, siempre que exista al menos una función y = (x) que satisface tanto la relación como la ED en I. 38 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
39. 39 Ejemplo: Comprobación de una solución implícita. x2+ y2= 25 es una solución implícita de dy/dx = − x/y en el intervalo -5 < x < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a x: dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0; obtenemos la EDO:dy/dx = -x/y.Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos soluciones explícitas:
40. Familia de soluciones o solución general: Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en general, se obtiene una solución que contiene una constante arbitraria o parámetro c. Una solución así, G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de soluciones, llamado familia uniparamétrica de soluciones. Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una familia n-paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0. 40 Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución general está determinado por el orden de la EDO. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
41. 41 Solución Particular es una solución libre de parámetros arbitrariosy tiene la forma: G(x,y)= 0. Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general de xy’ – y = x2sin x ; en (-, ). Una familia uniparamétrica de soluciones, se obtiene si Tomamos c = 0, c > 0, c < 0tenemos: y = x cos x, una solución particular. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
42. Ejemplo: Sin explicitarlo, hemos visto que las variables independientes y dependientes pueden usar símbolos distintos a x e y. Por ejemplo: x = c1cos(4t) x = c2 sen(4t) con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son ambas soluciones de la EDO: x + 16x = 0. Podemos comprobar fácilmente que la suma x = c1cos 4t + c2 sin 4t es también una solución.taller 42 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
43. Problemas con valores iniciales PVI y Contorno MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
44. Problemas de valores iniciales (PVI) Sea la solución general de la Ecuación Diferencial F(x,y,y´,…,yn)=0 el PVI, consiste en encontrar el valor de la constante C, para un y(x0) = y0, de manera que con éste se pueda determinar una solución particular de la ED. Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo , el problema de Resolver : con condiciones: Se le llama problema de valor inicial. Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales. 44 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
45. 45 PVIs de primer y segundo orden: Resolver: sujeta a: Resolver: sujeta a: son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente. Fácilmente interpretables de manera geométrica, como vemos en las figuras. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
46. Ejemplo: Sabemos que y = cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO: y’ = y en (-, ). Si y(0) = 3, entonces 3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una solución de este problema de valor inicial.Si queremos una solución que pase por (1, -2), entonces la condición es: y(1) = -2. De modo que -2 = ce, c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex. 46 y = 3ex y = -(2/e)ex MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
47. 47 Ejemplo: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) es una solución de x + 16x = 0. Hallar una solución del siguiente PVI:x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1. Solución: Sustituimos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t), y obtenemos c1 = −2. De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1obtenemos c2= ¼. La solución pedida es: x = −2cos 4t +¼sen4t taller MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
48. 48 Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si asignamosy(0) = -1, obtenemos c = -1. Considérense las siguientes distinciones: 1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1. 2) Como una solución: los intervalos de definición mayores posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ). 3) Como un problema de valor inicial, con y(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1). MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
49. Teorema de existencia de una solución única 49 Sea R la región rectangular en el plano xy definida por a x b, c y d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io: xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a x b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI . Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias... MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
50. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Lineales de 1er orden Las ED de la forma Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple con el Principio de Superposición respecto al término independiente q(x). Métodos para resolver una ED de Primer Orden: Análisis Caulitativo (gráfico) Técnicas Analíticas Aproximaciones Numéricas. (no se estudiará en este curso) MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
51. Análisis Cualitativo Isóclinas Para este análisis consideraremos EDOsAutónomas y NO Autónomas MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
52. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden autónoma tiene la forma de es decir si la derivada es función solamente de la variable dependiente. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden NOautónomatiene la forma de Es decir si su derivada es una función tanto de la variable dependiente como de la independiente. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
53. 53 Curvas solución "sin una función solución" Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden analizando una EDO cualitativamente. dy/dx = 0.2 xy = f(x, y) (a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y). (b) Elementos lineales: Suponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
54. 54 Campo de direcciones Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
55. 55 Ejemplo: El campo de direcciones de EDO No Autónoma dy/dx = 0.2 xyestá representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.
56. 56 Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada de la ecuación autónomady/dx = seny, con y(0) = −3/2. Solución: Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y f/y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
57. 57 EDO autónomas y campos de direcciones La figura muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2.Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos de cualquier recta horizontal mantienen la pendiente. Recordemos que una EDO autónoma es de la forma dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
58. Método de las Isoclinas El procedimiento para dibujar el campo direccional puede ser simplificado construyendo primero las isóclinas. Una Isóclina es una curva en el plano xy sobre la cual la derivada de las soluciones de la ED es constante. Es decir: podemos encontrar las curvas f(x,y)= c, en donde las soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
59. Procedimiento para realizar el análisis cualitativo de una EDO Construimos las isóclinas, éstas son curvas de la forma: Donde c es una constante para varios valores de C. ii) Dibujar el campo de direcciones o de pendientes. Sobre la isóclina correspondiente a la constante C, la derivada de la solución de la ecuación diferencial tiene pendiente c. Dibujar rectas tangentes con pendiente c iii) Construir soluciones. iV) Recordar que las soluciones no se intersecan. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
60. Construya un campo direccional para la ecuación diferencial: Las isóclinas está definidas estableciendo calculamos para c=0, c=4 y c=1 Claramente se puede notar que es un círculo centrado en el origen. En cada punto de éstas isóclinas trazamos los campos direccionales. Mostramos las posibles curvas de solución, La superior pasa por (0,1) La de en medio pasa por (0,0) La inferior pasa a través de (0,-1) Obsérvese que cada curva de la solución sigue el flujo de los elementos de línea en el campo direccional y que no se cortan. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
61. Método de las Isoclinas a) Encontrar la ecuación de las isóclinas para la ecuación diferencial: b) ¿Qué tipo de curvas son estas isóclinas? c) Dibujar las isóclinas y con ayuda de éstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvas solución. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
64. Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
65.
66. Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente.
67. Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
73. 67 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO Se las representa de la siguiente forma: Si despejamos la derivada tenemos: Si a ésta ecuación la podemos expresar en forma: Se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable y la solución general se obtiene por integración directa. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
74. Separación de variables La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde M(x)es una función exclusivamente de x y N(y)es una función exclusivamente de y. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados: Siendo c una constante de integración. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
75. Ecuación de variables separadas Ejemplo: Resolver la ecuación Integramos Se obtiene: La solución es una familia de circunferencias concéntricas con c>0 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
76. Separación de variables La ED de la forma: Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
77. Separación de variables Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables tenemos: Integrando: Obtenemos: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
78. Separación de variables Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo: Haciendo el cambio z=ax+by+c, se obtiene una ecuación de variables separadas: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
79. Separación de variables Ejemplo: La ecuación Se puede reescribir como Donde: Integrando se obtiene Regresando a las variables originales: taller MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga