Dados dos puntos A y B, se define el vector que va de A a B. La suma de un vector y un punto da como resultado otro punto, y la suma de dos vectores da como resultado otro vector. El producto de un escalar por un vector también es un vector. Se describen propiedades del producto escalar como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. [/RESUMEN]

1. :
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tan
cos
cos
cos
Es un segmento de una cierta longitud
sean los puntos A a b y B c d vector c a d b
Sus caracteresticas son
sentido A B
Direccion
Modulo longitud dis cia c a d b
sean los vectores u a b y v c d
u v a b c d k u k a k b k u v c d
a b
primero dibujar el vector u despues dibujar el vector v empezando por el final de u
el vector u v es dibujado desde el principio de u hasta el final de v
se representa por un punto el resultado es un numero
u v
u v u v u v es el menor angulo formado entre u y v
ac bd se realiza como producto matricial a b d
c
ac bd
u es la proyeccion escalar de u en v
sean u a b v c d y w e f
k u v u k v u v v u u v w u v u w u u u
u v u v grados o u o v perpendicular
u v u k v k paralelo
u v u v
u v u w v w
v
u
no existe
Observacion
Vector
Propiedades
Producto Escalar
Propiedades del producto escalar
desigualdad de Cauchy schwarz
Vea la imagen
como representar la suma de dos vectores
vea la imagen de abajo
de abajo
vea la imagen
AB
AB AB
0 90 0 0 0
0
R
R
R
2 2
2
"
+
"
"
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-
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Q
Q
Q
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Q Q
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V
V
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V
V
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V
V
V
V V
V
V
X
V V
Z
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Z
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b
b
b
b
b
b
b
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ya que cos(0 grados)=1

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Dados dos puntos A a b y B c d se define el vector de la manera seguiente
c a d b
Dado un punto A a b y un vector v v v su suma es un punto a v a v
Dados dos vectores u u u y v v v su suma es un vector w u v u v
Dado un escalar k y un vector u u u su producto es un vector ku ku
Ejercicio
dados los puntos A y B halla
punto medio de AB simetrico de A respecto de B simetrico de B respecto de A
obten un punto P de AB tal que
obten un punto Q de AB tal que
Respuesta sea M Punto medio de AB vea la imagen
M
Sea A simetrico de A respecto de B vea la imagen
y
x
y
x
A
Sea B simetrico de B respecto de A vea la imagen
y
x
y
x
A
sea P x y x y x y
y
y
x
x
y
x
y
x
luego P
Sea Q x y x y
y
x
y
x
luego P
v
A a b P x y y v v v v
x y a b v v
y b v
x a v
asi que la ecuacion vectorial de una recta esta definida de la forma y b v
x a v
Recta r por un punto A y un vector v
AB
AB
AP PB
AQ AB
AP PB AP PB
AQ AB AQ AB
AP
OA OP
1 7 7 3
1 2 3
4 2 5
5 1 7
1
2
7 1
2
7 3
4 2
2
2
7
3
2
1
7
13
13 13 13
3
2
3
7
2
7
1
17
5 5 17
4 2 5 2 5 1 7 2 5 7 3
7 5
6
5
2
1 5
14
5
2
5
7
5
29
5
7
5
19
7
29
7
19
7
19
7
29
5 1 7 1 7 1 7 1 7 7 1 3 7
7 7
10
1 7
6
7
39
7
13
7
13
7
39
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2
1
2
1
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m
m
m m
m
m
m
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V
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W
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V
V
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G
G
G
A B
A
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A
A
B
B
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B
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r
a
b
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det
int
det
cos
cos
int cos
u y v son Linealmente Dependientes L D tienen misma direccion
u v
o bien
u k v k
u y v son L D coplanarios
c d
a b
ad bc
a b k c d k
u y v son Linealmente Independientes L I tienen dist a direccion
u v
o bien
u k v k
u y v son L I no coplanarios
c d
a b
ad bc
a b k c d k
es un vector que define la orientacion de una recta
conociendo puntos podemos dibujar una recta sean esos puntos A a b y B a b
el vector director de la recta que pasa por los puntos A y B es a a b b
con el punto A o bien el B y el vector director ya se puede hallar la ecuacion de la recta
cogemos el punto A a b y el vector director c d
u es un vector unitario u u a b vector unitario w
u
a
u
b
u y v son ortogonales perpendiculares u v u v porque
u y v son paralelos mismo sentido u v u v u v porque
u y v son paralelos dist o sentido u v u v u v porque
x y a t c b t d y b t d
x a t c
d
y b
t
c
x a
t
c
x a
d
y b
d x a d c y c b d x c y c b a d x y siendo
cb ad
c
d
su vector director v vector normal n
d x a d c y c b y b c
d
x c
a d
y b c
d
x a
siendo c
d
tg angulo formado entre la recta y el eje ox pendiente
Vector director
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion Continua
Ecuacion General
Ecuacion Explicita
x y a b t c d siendo t
y b t d
x a t c
c
x a
d
y b
x y
y b c
d
x a
AB
AB
AB
0
0
0
0
2
1
0 2 0
0 1
1
0 0 0
1
1
2
2
3
3
4
3
5
0
R
R
R
R
R
c d
u v u v
u v u v
obien
obien
1 1
1 1
+ +
+
+ +
+
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+ + +
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d
d
d
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a b c
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b a a b
a a
a b c
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- - + = - + - = + + =
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-
- = - - = - - = -
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= +
= +
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-
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3 3 3 5
3 4 3 6
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q Q
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Q Q
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V
V
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V
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V
V
V
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V
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Y
V
V
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V
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G
G
G
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6 7 8
44444444444444
4 44444444444444
4
6 7 8
444444444444444
4 444444444444444
4
M M

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cos
sec
tan
tan
inf
exp
la mediatriz de un segmento es la recta a esta y que lo divida
en partes iguales es una recta al segmento trazada desde el punto medio
sean los puntos A a b B c d del segmento AB
la ecuacion de la mediatriz es
se resuelve hasta llegar a
sean dos rectas r su vector director v a b y s su vector director v c d
si menor angulo formado entre r y s entonces
a b c d
a c b d
r s v v v k v siendo k
a b k c d a b k c k d b k d
a k c
k d
b
k c
a
c
a
d
b
c
d
a
b
a
b
m es la pendiente de la recta r c
d
m es la pendiente de la recta s
asi que r s m m
r s v v v v
r ax by c v b a
s a x b y c v b a
r s
a
a
b
b
r s a a b b
r r coincidentes
a
a
b
b
c
c
r s antes
a
a
b
b
r y m x n
s y m x n menor angulo formado entre r y s
angulo formado entre las rectas r y s es tag
m m
m m
r s m m
r s m m
r s m m y n n
r s m m y m m
dist r s
m
n n
siendo r s
son las que no se cor no tienen puntos en comun tambien
sistema de ecuaciones formado por las rectas r y s no tiene solucion
son las que se cor en un solo punto tambien
sistema de ecuaciones formados por las rectas r y s tiene una unica solucion
son las que tienen todos sus puntos comunes tambien
sistema de ecuaciones formados por las rectas r y s tiene initas soluciones
Mediatriz
Posicion de las rectas
x a y b x c y d
x y
Si tenemos unas ecuaciones generales de r y s
Si tenemos unas ecuaciones licitas de r y s
Rectas
Rectas
Rectas
2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
R
r s
r s r s
r s r s
r
s
2 2 2 2
2
2
2 2 2
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a
a
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Q
Q
Q
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Q Q Q Q
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V
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V V V V
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G G
J
J
Secantes
Perpendicular
Paralelas
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tan
tan
tan
sec
Escribir la ecuacion de la recta que corta el eje de las abscisas en y al de ordenadas en
la recta pasa por y
r
x y
Respuesta
Ejercicio
a
A x y y B x y
d A B Dis cia Modulo ver imagen
Por Pytagoras x x y y
Toda recta que que pasa por A a y B b
tiene por Ecuacion a
x
b
y
b toda recta que pasa por A a b y tiene una pendiente m
tiene por ecuacion y b m x a
c toda recta que pasa por dos puntos A a b y B c d
tiene por ecuacion y b
c a
d b
x a
dist X A dist X B
dist X r dist X r
Sea A a b centro de la circunferencia y X x y circunferencia
dist X A r x a y b r
Ecuacion Reducida x a y b r
Forma general Ax By Cxy Dx Ey F
Ecuacion de la recta formada por los puntos que equidis de y de
sean x y los puntos de la recta que equidista de y de
ha de verificar dist x y dist x y x y x y
x y x y x x y y x x y y
x y x y
como
Dis cia entre puntos
Ecuaciones de una Recta
Mediatriz de un Segmento
Bi triz de un Angulo
Ecuacion de una Circonferencia
Respuesta
Ejercicio
AB
4 3
4 0 0 3
4 3
0 0
1
0
5 2 2 1
5 2 2 1
5 2 2 1 5 2 2 1
5 2 2 1 10 25 4 4 4 4 2 1
6 6 24 0 4 0
1
2
2
2
1 1 2
2 1
2
1
2 2
1 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
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- + + = - + + =
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Q
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V
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V
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V
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V
V
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V
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V
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$ $
X
Mediatriz
Vea la imagen
Vea la imagen
Pinchamos el compas en el vertice del
angulo y trazamos un arco que corta los
lados en dos puntos A y B
Pinchamos el compas en la punta A y
Trazamos un arco con la misma apertura
trazamos otro arco desde B
unimos el vertice del angulo con el punto de corte
de los arcos Esta semi recta es la Bisectriz del
angulo
Es una Mediatriz
X
A
2

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tan
min
log
min
min
exp
Ejercicio
dados los puntos A y B halla
punto medio de AB simetrico de A respecto de B simetrico de B respecto de A
obten un punto P de AB tal que
obten un punto Q de AB tal que
Ejercicio
Ecuacion de la recta formada por los puntos que equidis de y de
Ejercicio
Dados los puntos P y Q y los vectores u v y w
Calcula y di si los resultados son un punto un vector o un numero
a b P v c w d v w e u v
Ejercicio
El punto P es el punto medio del segmento AB siendo A hallar B
Ejercicio
Halla el punto simetrico de P respecto al punto Q
Ejercicio
Deter ar el punto P simetrico de P respecto de la recta r x y
Ejercicio
Hallar las coordenadas del vertice D del parale ramo ABCD
Sabiendo que A B C
Ejercicio
Dar las coordenadas del punto P que divide el segmento de extremos A y B
en dos partes tales que BP PA
Ejercicio
Deter a los puntos que dividen al segmento en AB en tres partes iguales siendo
A y B
Ejercicio
Deter ar k para que los puntos A B y C k esten alineados
Ejercicio
Halla las ecuaciones parametricas continua implicita licita de la recta que pasa por A y B
a A B b A B c A B
AP PB
AQ AB
PQ PQ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 7 7 3
1 2 3
4 2 5
5 1 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 2 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 2 3 2 2 1 1 1
2 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 2 8 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 5 1 6 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 4 0 2
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 5 2 1 6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 3 2 0 4 5 0 3 5 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-
- - -
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- - - - - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - - - - -
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Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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Q
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exp
sec
Ejercicio
Sabemos que la recta r pasa por los puntos A y B calcula
a pendiente de la recta y la ecuacion punto pendiente
b Ecuacion licita de la recta c r y halla un punto a r
Ejercicio
Dadas las rectas r y t
x t
s x y Halla
a la ecuacion implicita de r y su pendiente
b la ecuacion parametrica de s c el punto de corte de r y s
Ejercicio
Escribir las ecuaciones parametricas de las seguientes rectas
a pasa por el punto A y su vector de direccion es v
b pasa por el punto P y es paralela a y t
x t
siendo t
c pasa por A y es perpendicular a la recta r x y
d es perpendicular al segmento PQ siendo P y Q en su punto medio
Ejercicio
halla m y n para que las rectas
s nx y
r mx y
sean y que r pasa por el punto P
Ejercicio
Sea r y k t
x t
t calcula k para que r sea a la bi triz del segundo cuadrante
Ejercicio
Dada la recta r x y y el punto P
Halla las ecuaciones de las rectas s y t que pasen por P y sean
a r paralela a s r s b t perpendicular a r t r
Ejercicio
Halla la ecuacion parametrica y cartesiana de r
x y
Ejercicio
Estudia la posicion relativa de las rectas
r x y s y x
Ejercicio
Las ecuaciones de los lados del triangulo ABC son
r x y
r x y
r x y
Hallar a los vertices del triangulo
b el vector que une los puntos medios de AB y AC comprueba que es paralelo a BC
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1 2 2 3
1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 3
3 2
2 3 9 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 2 0
5 2 2
1
1 3 2 3 6 0
0 4 6 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 8 0
2 5 0
1 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 6 0 5 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
5
7
3 5 0 4 7 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
2 0
2 4 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R
R
BC
AC
AB
=
=
'
'
! !
!
!
-
- - - - - - - - - - - - -
= +
= -
- + =
- - - - - - - - - - - - -
-
-
=
= -
- + =
-
- - - - - - - - - - - - -
+ - =
- + =
- - - - - - - - - - - - -
= +
=- +
- - - - - - - - - - - - -
- + =
- - - - - - - - - - - - -
-
= -
+ - = - + =
- - - - - - - - - - - - -
+ =
- =
+ - =
- - - - - - - - - - - - -
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Z
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]
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G
G
G
G

8. ,
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tan
det min
tan
min tan
tan
Ejercicio
Halla la dis cia del punto P a las rectas
a y t
x t
t b y c x
Ejercicio
Sea r Ax By C y t y ax b siendo a
a halla los vectores directores y normales de las rectas r y t
b halla la ecuacion de la recta s sabiendo que s r
c halla la ecuacion de la recta q sabiendo que q t y cual es su pendiente
Ejercicio
Halla la longitud del segmento que er e la recta r x y
al cortar los ejes de coordenadas
Ejercicio
Halla la dis cia entre las dos rectas
s x y
r x y
Ejercicio
Deter ar c para que la dis cia de la recta r x y c al punto P sea
Ejercicio
Halla el angulo que forman los seguientes pares de rectas
a
s y x
r y x
b
x y
x y
Ejercicio
Halla n para que la recta r x ny forme con el eje ox
Ejercicio
Halla el angulo que forman las rectas r y t
x t
s x y
Ejercicio
Halla la ecuacion de la recta paralela a r x y que dis de r
Ejercicio
Halla un punto de la recta r y x que equidista de los puntos A y B
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2 3
2
4
9
2 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 4 7 0
2 8 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 6 2 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1
2 5
10 6 3 0
3 5 7 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 0 45
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 3 0 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 5 1 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R
=
=
!
!
-
=-
=
= + =
- - - - - - - - - - - - -
+ + = = +
- - - - - - - - - - - - -
- + =
- - - - - - - - - - - - -
- + - =
- + =
- - - - - - - - - - - - -
- + =
- - - - - - - - - - - - -
=- +
= +
+ - =
- + =
- - - - - - - - - - - - -
+ - =
- - - - - - - - - - - - -
= -
=
- =
- - - - - - - - - - - - -
- + =
- - - - - - - - - - - - -
=- + -
- - - - - - - - - - - - -
c
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
G
G
G
G
G

9. , , , , ,
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:
: :
tan
Ejercicio
Calcula todos los lados y angulos del triangulo
A B C
Ejercicio
Sean A y B dos vertices del lado de un cuadrado
calcula los otros vertices y area del cuadrado
Ejercicio
Calcula la dis cia entre el punto P y la recta r x y k k
Ejercicio
Que angulo forma la recta x y con el eje de las abscisas
Ejercicio
Hallar el pie de la perpendicular proyeccion ortogonal trazada desde P a la recta
r x y
Ejercicio
Calcula el punto P del eje de las abscisas que equidista de la rectas
r x y y s x y
31
32
33
34
35
36
2 2 3 6 8 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 3 2 0 2 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 3
2 4 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 4 6 0 2 2 9 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
R
!
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - -
- = = - +
- - - - - - - - - - - - -
- + =
- - - - - - - - - - - - -
-
- + =
- - - - - - - - - - - - -
+ + = + - =
- - - - - - - - - - - - -
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q Q Q
Q
Q
V
V
V
V V
V
V
V V
V
V
F I
}
**Angulo formado por dos rectas
( )
( )

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:
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, ,
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. .
:
:
,
,
min
Ejercicio
Dados los puntos P y Q y los vectores u v y w
Calcula y di si los resultados son un punto un vector o un numero
a b P v c w d v w e u v
Respuesta
recuerda vectores vector punto y vector punto Producto escalar es un numero
a es un vector b P v es un punto
c w es un vector d v w es un vector
e u v es un escalar un numero
Ejercicio
el punto P es el punto medio del segmento AB siendo A hallar B
Respuesta vea la imagen
sea B x y asi que x y y
x
y
x
B
Ejercicio
halla el punto simetrico de P respecto al punto Q
Respuesta vea la imagen
Sea P x y asi que x y y
x
y
x
P
Ejercicio
Deter ar el punto P simetrico de P respecto de la recta r x y
Respuesta
vea la imagen
lo primero que vamos a hacer es hallar la recta s r por P
r su vector director es v y vector normal n
s pasa por P y vector director v n
luego n la recta s x y c x y c
y como P s c c
luego la recta s queda definida de la forma seguiente s x y
Recuerda r Ax By C
su vector normal perpendicular n A B
su vector director es v B A
PQ PQ
PQ
PQ
AP PB
PQ QP
1 2 3 2 3 2 2 1 1 1
2 4
3 1 2 2 2 4 1 2 2 1 1 1
2 4 1 1 3 3 2 4 4 2 4 4 8 6
3 2 2 1 6 2 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 1 3
3 2 5 2
2 3
7
5 5 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 2 1
3 2 1 1 3
2 1
4
3 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 2 8 0
1 2 2 1
3 2 2 1
1 2 1 2 0 2 0
1 3 2 2 0 1
2 1 0
0
r r
s r
s
r
r
+ + + &
+ + + &
& +
& +
=
!
- - -
+ - +
= =
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- = - - = + = - + - = -
= - + =- + =-
- - - - - - - - - - - - -
-
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=-
= -
- - - - - - - - - - - - -
-
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=
- - - - - - - - - - - - -
- - + =
-
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+ - + = =
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+ + =
-
l l l
l
Q
Q
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
Q
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
VW
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
V
W
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V
G
G
G
G
G
/ /
3
4
5
6

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:
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int sec
log
min
Hallemos el punto M que es el punto de er cion de las dos rectas
s
r
x y
x y
x y
x y
y
x
M
Por ultimo M es el punto medio de P y P PM MP x y
x y
y
x
y
x
P
Ejercicio
Hallar las coordenadas del vertice D del parale ramo ABCD
Sabiendo que A B C
Respuesta vea la imagen
AB DC
x y
y
x
y
x
D
Ejercicio
Dar las coordenadas del punto P que divide el segmento de extremos A y B
en dos partes tales que BP PA
Respuesta vea la imagen
Sea P x y tal que BP PA x y x y
y y
x x
y
x
P
Ejercicio
Deter a los puntos que dividen al segmento en AB en tres partes iguales siendo
A y B
Respuesta vea la imagen
sea M a b y N c d
y N es el medio de MB
N es el medio de MB N es el medio de MB
a b
N es el medio de MB
a b
b
a
b
a
M
N c d N
AB AM
AB AM
2 1 0
2 8 0
2 1
2 8
1 2
2 1
1 1
2 8
5
2 8
5
6
1 2
2 1
1 2
8 1
4 1
16 1
5
17
5
17
5
6
5
17
3 5
6 2 5
17
5
6
5
32
5
16
5
17
5
6
5
16
5
6
5
32
5
17
5
22
5
49
5
49
5
22
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 5 1 6 3
5 1 1 2 6 3
3 3
6 4
6
2 2 6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 4 0 2
2
2 0 2 2 3 4
2 8 2
6 2
2
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 3 4
3
3 3 2 4 1 3 2 1
2
5 3 3 6 3 3 1
1 3 3 3
5 3 6
2
3
1
3
1
2
2
2
3
1 3
2
2 4
3
4
3 3
4
3
+
+ &
+ +
+ + + (
+
+
+ + &
+ +
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= +
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-
- - - - - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - - - - -
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- -
l l
l
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Q
S
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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Q
Q
Q
Q
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Q
S
S
Q
Q
S
R
S
Q
S
Q
Q
Q
S
Q
T S
V
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
W
X
Z
V
V
V
V
X
X
VW
V
X
W
V
V
VX
X
V
X
V
X Y
Z
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Z
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]
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G G
D(x,y)
C
B
A
A B
M(a,b) N(c,d)
7
8
9

12. , , , , .
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5
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5
5
4
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.
. :
3
2
. : 3
min
det min det
exp
Ejercicio
Deter ar k para que los puntos A B y C k esten alineados
Respuesta
y k para que A B C esten alineados
el er ante de
k k k k
Ejercicio
Halla las ecuaciones parametricas continua implicita licita de la recta que pasa por A y B
a A B b A B c A B
Respuesta
Recuerda si la recta corta a los ejes en los puntos A m y B n su ecuacion puede
escribirse de la forma m
x
n
y
a A B
cogiendo el punto A
Ec Vectorial x y siendo x y
Ec Parametrica y
x
y
x
Ec Continua
y
x
x
y
Ec Cartesiana o Implicita
x
y x y x y
b A B
cogiendo el punto A
Ec Vectorial x y siendo x y
Ec Parametrica y
x
y
x
Ec Continua y
x
x y
Ec Cartesiana o Implicita
x y
x y
c A B
cogiendo el punto B
Ec Vectorial x y siendo x y
Ec Parametrica y
x
Ec Continua y
x
x y x y
Ec Implicita
x y
x y
AB BC
AB BC
AB AB
OA AB
AB AB
OA AB
AB
OB AB
3 5 2 1 6
5 4 4 1
0
4 1
5 4
0 5 1 4 4 0 5 5 16 0 5
11
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 3 2 0 4 5 0 3 5 1 2
0 0
1
1 1 3 2 3 1 2 1 4 1
1 1
1 1 4 1
1 1
1 4
1
1 4
1
4
1
4
1
1
4
1
1 1 4 4 4 5 0
0 4 5 0 4 4
0 4 5 4
4 4
4
4 4
5 4
4
4 5 20 0
3 5 1 2 4 3
1 2
1 4
1 4
4
1
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4 11 0
R
R
R
+ + +
& +
+
+
+
+ +
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+
+
+
+
(
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m m m
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m m m
m
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m
m
m m m
m
m
m
m
-
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- -
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- + =
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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V V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Z
[
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]
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]
]
Z
[
]
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]
]
]
]
G
G
G
G
G
G
la cartesiana se puede hallar
directamante en este caso que seria
x/5 +y/4 =1
10
11

13. :
:
,
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** ,
**
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. ,
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:
:
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. ,
:
,
exp
int sec
s
r
Ejercicio
Sabemos que la recta r pasa por los puntos A y B calcula
a pendiente de la recta y la ecuacion punto pendiente
b Ecuacion licita de la recta c r y halla un punto a r
Respuesta
Recuerda dado un punto P a b y una pendiente m
la ecuacion punto pendiente es y b m x a
y mx n donde m pendiente y n ordenada en el origen donde er ta la recta el eje y
a pendiente m
La ecuacion punto pendiente cogiendo el punto A queda de la seguiente forma
r y x
b y x y
x
r x y
c r Ssi r
para x y y luego r
Ejercicio
Dadas las rectas r y t
x t
s x y Halla
a la ecuacion implicita de r y su pendiente
b la ecuacion parametrica de s c el punto de corte de r y s
Respuesta
a la ecuacion implicita de r y su pendiente
r y t
x t
t
y
t
x
x y
x y Ecuacion Implicita
r x y y x pendiente m
b la ecuacion parametrica de s x y
vector director de s es v
para x y y s
Ecuacion Parametrica de s y t
x t
c el punto de corte de r y s
x y
x y
x
y
asi que el punto de corte es
AB
1 2 2 3
1 2
3 1
3
1
1 2
2 3
1 1
2 3
1 1 2 3
1
3 7 0
1 2 1 3 2 7 2 0 1 2
0 0 3 7 0 3
7 0 3
7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 3
3 2
2 3 9 0
5 3
3 2
3
5
2
3
2
3
3
5
3 2 19 0
3 2 19 0 2
3
19 2
3
2 3 9 0
3 2
0 2 0 3 9 0 3 0 3
3 2
0 3
2 3 9 0
3 2 19 0
2 3
3 2
9 3
19 2
13
57 18
13
39
3
2 3
3 2
2 9
3 19
13
27 38
13
65
5
3 5
s
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
Z
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G
G
G
G
12
13

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sec
sec
Ejercicio
Escribir las ecuaciones parametricas de las seguientes rectas
a pasa por el punto A y su vector de direccion es v
b pasa por el punto P y es paralela a y t
x t
siendo t
c pasa por A y es perpendicular a la recta r x y
d es perpendicular al segmento PQ siendo P y Q en su punto medio
Respuesta
a pasa por el punto A y su vector de direccion es v
sea s esa recta buscada su Ecuacion vectorial es x y t v siendo t
Ecuacion Parametrica s y t
x t
c pasa por A y es perpendicular a la recta r x y
Sea s la recta buscada que pasa por A y s r v v
r x y v y n y v n v n
su ecuacion parametrica es s y t
x t
t
b pasa por el punto P y es paralela a r y t
x t
siendo t
sea s la recta buscada r s tienen mismo vector director v v
su ecuacion parametrica es s y t
x t
t
d es perpendicular al segmento PQ siendo P y Q en su punto medio
P y Q sea M punto medio de PQ tal que M
vector director del segmento PQ es n
su ecuacion parametrica es y t
x t
t
Ejercicio
halla m y n para que las rectas
s nx y
r mx y
sean y que r pasa por el punto P
Respuesta
r pasa por el punto P m m
r mx y v m s nx y v n
r s v v v v n n n
Ejercicio
Sea r y k t
x t
t calcula k para que r sea a la bi triz del segundo cuadrante
Respuesta Vea la imagen
la bi triz del segundo cuadrante es s y x
v k y v
r s v v sus coordenadas son proporcionales
k
k
Recuerda r Ax By C v B A vector director n A B vector normal v n
u a b si u v v b a u v u v v u sus coordenadas son proporcionales
OA
PQ
3 1 2 0
5 2 2
1
1 3 2 3 6 0
0 4 6 0
3 1 2 0
1 0
3 2
1 3 2 3 6 0
1 3
2 3 6 0 3 2 2 3 2 3
3 3
1 2
5 2 2
1
1 2
2 2
5 1
0 4 6 0
0 4 6 0 2
6
2
4 3 2
6 4 4 6
2 6
3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 8 0
2 5 0
1 4
1 4 1 2 4 5 0 3
2 5 0 2 2 3 6 8 0 6
0 2 6 3 0 3 12 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
1 3
3 1 1
1
3
1 3
0
0
R
R
R
R
R
R
R
s r
r r r r s r
r s
PQ
r s
r s r s
r s
r s
r r r r
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- - - - - - - - - - - - -
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=- +
=-
-
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Q
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
Q Q Q
V
V V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V V
V V V
G
G
G
G
G
G
G
G
Bisectriz del 2º y 4º
cuadrante y = -x
Bisectriz del 1º y 3º
cuadrante y = x
14
15
16

15. :
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Ejercicio
Dada la recta r x y y el punto P
Halla las ecuaciones de las rectas s y t que pasen por P y sean
a r paralela a s r s b t perpendicular a r t r
Respuesta
Recuerda
a r x y y el punto P
r s la ecuacion cartesiana de s x y cte
y como P s cte cte luego s x y
b t r r x y v y n vector normal al vector director
P t asi que se concluye que t
x y
t x y
Ejercicio
Halla la ecuacion parametrica y cartesianade r
x y
Respuesta
vector director de r es v y vector posicion P
Ecuacion Parametrica r y t
x t
t r y t
x
t
Ecuacion cartesiana r
x y
x r x
Ejercicio
Estudia la posicion relativa de las rectas
r x y s y x
Respuesta
Recuerda
s y x
r x y
r s r y s Secantes
Ejercicio
Las ecuaciones de los lados del triangulo ABC son
r x y
r x y
r x y
Hallar a los vertices del triangulo
b el vector que une los puntos medios de AB y AC comprueba que es paralelo a BC
Respuesta
s A x B y C
r Ax By C
r s
B B
y
A A
s A x B y C
r Ax By C
r s
A
A
B
B
C
C Coincidentes
r s
A
A
B
B Secantes
r s
A
A
B
B
C
C Paralelas
s y m x n
r y mx n
r s m m y n n Coincidentes
r s m m Secantes
r s m m y n n Paralelas
3 2 6 0 5 1
3 2 6 0 5 1
3 2 0
3 5 2 1 0 13 3 2 13 0
3 2 6 0 2 3 3 2
3
5
2
1
2 3 13 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
5
7
0 7 5 0
0 7
5 0
7
5
0
5
7 7 35 0 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 5 0 4 7 0
4 7 0
3 5 0
1
1
4
3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
2 0
2 4 0
0
0
0
0
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r r
r
BC
AC
AB
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r
r s
r s
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V
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G G
G G
G
G
17
18
19
20

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int sec
int sec
int sec
tan
tan
a el punto de er cion entre AB y AC es el punto A hallemos su
r x y
r x y
x y
x y
y
x
A
el punto de er cion entre AB y BC es el punto B hallemos su
r x y
r x y
x y
x y
y
x
B
el punto de er cion entre AC y BC es el punto C hallemos su
r x y
r x y
x y
x y
y
x
C
b sea M punto medio de AB M
sea M punto medio de AC M
y como
Ejercicio
Halla la dis cia del punto P a las rectas
a y t
x t
t b y c x
Respuesta
Recuerda
a sea r y t
x t
t
t y
t
x
r
x
y r
x
y
dist P r
b sea r y P dist P r
c sea r x P dist P r
r Ax By C y un punto P a b
dis cia P r dist P r
A B
A a B b C
MM BC
MM BC
2 0
2 4 0
2 0
2 4
1 2
1 2
1 0
1 4
2 2
4
1
1 2
1 2
0 2
4 2
2 2
8
2
2 1
0
2 4
0
2 4
1 1
1 2
1 0
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1 2
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1 1
1 2
0 1
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4 4
0
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0
0 0 0
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2 4
2
1 4 1 2
5
2
2 0
2
1 0
1 2
1
1 1
2
1
2
5
2 2 0 4 0 4 4 4
2
4
2
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 3
2
4
9
2 5 0
2
2 2 2 0
2
1
1
2 2
1 3 1 0
4
5
2
2
5
2
5
4 5
4
9
0 2 3
0 1
0 2 1 3 4
9
4
21
4
21
2 5 0 2 3
2 0
2 2 0 3 5
2
9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
R
R
AC
AB
BC
AB
BC
AC
2
2
2 2
2 2
2 2
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l
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S Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
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Q
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Q Q
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V
X
X
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V
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X
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V
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X
X
X
V
V V
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G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
Distancia de un punto a una recta
21

17. ,
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det min
tan
tan
tan
Ejercicio
Sea r Ax By C y t y ax b siendo a
a halla los vectores directores y normales de las rectas r y t
b halla la ecuacion de la recta s sabiendo que s r
c halla la ecuacion de la recta q sabiendo que q t y cual es su pendiente
Respuesta
a r Ax By C
n A B
v B A
t y ax b t ax y b
n a
v a
b s r
n v B A
v n A B
s Bx Ay Cte
c q t
n v a
v n a
q x a y Cte y a x a
Cte
su pendiente es a
Ejercicio
Halla la longitud del segmento que er e la recta r x y
al cortar los ejes de coordenadas
Respuesta
Recuerda Eje de coordenadas eje de ordenadas eje y eje de las abscisas eje x
sea A a a y B b b Dis cia A B dist b a b a
la recta r corta el eje x y r x x r corta el eje x en el punto A
la recta r corta el eje y x r y y r corta el eje x en el punto B
dist
Ejercicio
Halla la dis cia entre las dos rectas
s x y
r x y
Respuesta
Recuerda
s Ax By
r Ax By
siendo dist r s
A B
Antes de nada veamos si de verdad es paralelas r s
primer metodo
s x y
r x y
s x y
r x y
dist r s
segundo metodo hallemos un punto P que a r luego se calcula la dist P s
para hallar el punto P se hace asi para x se remplaza en r y P
dist r s dist P s
Sea r Ax By C y un punto P a b dist P r
A B
A a B b C
AB AB
AB AB
0 0
0 0
1
1
0
1
1
1 0
1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 5 0
0 5 0 5 5 0
0 2 5 0 2 0 2
0 5 2
5
25 4
25
4
125
2
5 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 4 7 0
2 8 0
0
0
2
1
4
2
7
8
2 4 7 0
2 8 0
2 4 7 0
2 4 16 0
2 4
16 7
20
9
0 4 0 4
2 4
2 0 4 4 7
20
9
0
r
r
t
t
s r
s r
q t
q t
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2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
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G
G
G
G
G
F
G
G
G
I
A
B r :
P
r :
s :
Distancia entre dos rectas Paralelas y entre un punto y una recta
90º
22
23
24

18. : ,
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min tan
cos cos
cos
cos
cos cos
Ejercicio
Deter ar c para que la dis cia de la recta r x y c al punto P sea
Respuesta
dist P r
c c
c c existen dos rectas
r x y s x y
Ejercicio
Halla el angulo que forman los seguientes pares de rectas
a
s y x
r y x
b
x y
x y
Respuesta
Recuerda Angulo Formado entre dos rectas
s A x B y C
r Ax By C
r s v v
v v
v v
r s
A B A B
AA BB
siendo r s
s y m x n
r y m x n
tg tg r s
m m
m m
siendo r s
a
s y x
r y x
pendiente de s m
pendiente de r m
tg r s tg
tg r s r s
b
s x y
r x y
r s r s
otro metodo v v
r s v v
v v
v v
r s
Ejercicio
Que angulo forma la recta r x y con el eje de las abscisas
Respuesta
Sea s eje de las abscisas eje de x y la pendiente m
r x y r y x la pendiente m
angulo formado entre r y s es tg r s r s arctg
3 0 6 2 10
1 3
1 6 2 3
10
10 10 10
10
3 10 0 3 10 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1
2 5
10 6 3 0
3 5 7 0
0
0
0 2
1 0 2
3 1
2 5
3
2
1 2 3
2 3
5
5
1
1 4
10 6 3 0
3 5 7 0
5 10 6
10 5 6
0 2
5 3 6 10
5 3 6 10
5 3 6 10
34 136
30 30
0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 6 0
0 0
3 2 6 0 2
3
3 2
3
1 2
3
0
2
3
0
2
3
2
3
56 18 36
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r s
r s
r s
s s
r r
r s
r s
s
r
r s
r s
r s
r s
s
r
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
+ + (
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+
( (
&
( (
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(
# #
# #
b
a a
r
a a a
r
a
r
r
r
- + =
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+ -
+ - +
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- + = - - =
- - - - - - - - - - - - -
=- +
= +
+ - =
- + =
+ + =
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+ +
+
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- - - - - - - - - - - - -
l l l
l l
l l
c l m
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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G G
G
G
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P
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Ejercicio
Halla n para que la recta r x ny forme con el eje ox
Respuesta sea s eje ox y m r x ny r y n x n
angulo formado entre r y s es tg r s
n
n
n
n n
la solucion son
r x y
r x y
r y x m tg si es la solucion
r y x m tg no es solucion
por ultimo la solucion es n
Ejercicio
En el triangulo de vertices A B y C hallar las ecuaciones de
a la altura que parte de B b la mediana que parte de B c la mediatriz del lado CA
Respuesta Vea la imagen
a la altura que parte de B es una recta a AC llamamosle a esta recta s
que es asu vez el vector director de la recta AC
como la recta s AC v v vector director y tambien conocemos el punto B s
asi que la ecuacion de s y t
x t
t s
x y
s x y
o bien se puede hallar de la manera seguiente
sabemos que s tiene por v vector normal a s es n y B
s x y cte como B s cte cte asi que la ecuacion de s es
s x y
AC
AC
3 2 0 45
0 0 3 2 0
3 2
1
3
0
3
0 3
1 3 3
3
3 3 2 0
3 3 2 0
3
2
1 1 45
3
2
1 1 45
3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 3 5 1 3 4
3 2 4 3 5 7
7 5
1 5
5 7
7
5
5
1
5 7 18 0
7 5 5 7 5 1
5 7 0 5 5 7 1 0 18
5 7 18 0
R
s
r
r
s s
s s
45
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+ +
+
( + &
( + &
( (
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!
!
a a
a a
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-
+
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+
-
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-
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- - =
+ - =
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=-
- - - - - - - - - - - - -
- -
- - - - = -
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-
- + = - + = =-
- - =
c
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l
c
c
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Q
Q
Q
Q
Q Q
Q Q
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V
V
V
V
V V
V V
Z
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G
G
G
J
P
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Mediana que parte de B
Mediatriz del lado CA
Altura que parte de B
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cos cos
r
b sea t la mediana que parte de B corta segmento AC por la mitad en el punto M x y
A y C M x y M
asi que vector direccion de t es v y B t
v n y B t
t x y cte pero como B t cte cte por ultimo
t x y t x x t x y
c sea r la mediatriz del lado CA es a CA en su punto medio ya calculado anteriormente
M v n
r x y cte y como M r cte cte por ultimo
r x y
Ejercicio
Halla el angulo que forman las rectas r y t
x t
s x y
Respuesta
vector director de r es v vector director de s es v
r s v v
v v
v v
r s
Ejercicio
Halla la ecuacion de una recta que pasa por el punto P y forma un angulo de
con una recta r x y
Respuesta
Recuerda angulo formado entre dos rectas r y s es tg m m
m m
r x y y x m
Sea s la recta buscada de la que se sabe que pasa por P y forma un angulo con r
tg m m
m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m m
m m
m
m
asi que son dos pendientes luego son dos rectas s y s
s y m x cte
s y x cte
s y x cte
como P a s y a s
s cte cte luego s y x
s cte cte luego s y x
BM
CA
2 3 3 4 2
2 3
2
3 4
2
1
2
1
2
1
5 2
1
1 2
9
2
3 5 1
2
9
2
3
2
3
2
9 5 1
2
3
2
9
0 5 1
2
3
5 2
9
1 0 3
2
3
2
9
3 0 3 9 6 0 3 2 0
2
1
2
1
2 3 3 4 5 7 7 5
7 5 0 7 2
1
5 2
1
0 1
7 5 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 0
1 2 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
5 2
1
10
1
71 33 54
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 5 45
2 3 6 0
1
2 3 6 0 3
2
2 3
2
3 5 45
45 1 1 1
1 3
2
3
2
1 3 2
2 3
1
3 2
2 3
1
3 2
2 3
1
2 3 3 2
2 3 3 2
5
1
5
5
1
5
3 5
5 5 3 20 5 20
5 5
1
3 5
22
5
1
5
22
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
t
t t
r r
r s
r s
r s
r s
r s
r s
r
r s
r s
s
s
s
s
s
s
s
s
s s
s
s
s
s
2 2 2 2
1 2
2
1
1 2
1 1
2 2
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- - - - - - - - - - - - -
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c
c
c
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Q
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S
Q
Q
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S
Q
Q
Q
Q
S
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Q
Q
Q
Q
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V
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G
G
G
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tan
mod
Ejercicio
En el triangulo de vertice A B y C
calcula la longitud de la altura que parte de B
Respuesta vea la imagen
la longitud de la altura que parte de B
fijandonos en la imagen esa altura corta AC en H
la recta AC r tiene por vector director y n
r x y cte pero como A r cte cte
r x y r y y
altura B H dist B r
Ejercicio
Halla la ecuacion de la recta paralela a r x y que dis de r
Respuesta
Recuerda
s Ax By
r Ax By
dist r s
A B
sea s la recta paralela a r ha de tener una ecuacion de la forma s x y cte
s x y cte
r x y
tambien sabemos que dist r s
cte
cte cte
cte
cte
cte
hay dos soluciones
s x y
s x y
Ejercicio
Halla un punto de la recta r y x que equidista de los puntos A y B
Respuesta
Sea P x y ses punto a r cumple la ecuacion y x a
tambien cumple dist A P dist B P x y x y
x x y y x x y y x y b
x y
x y
x y luego P
Ejercicio
Calcula todos los lados y angulos del triangulo
A B C
Respuesta recuerda dist A B
Primero calculemos los vectores de los lados para luego hallar sus ulos
AC AC
AB
AB AC BC
AB AC BC
0 1 8 3 6 1
8 3
6 0 0 6
0 6 0 0 0 6 1 0 6
0 6 6 0 6 6 0 1 0
0 1
8 0 3 1 1
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 3 0 5
0
0
2 0
2 0
2 3 0
5
2 1
3
5
3 5 3 5
3 5
8
2
2 8 0
2 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 5 1 3 2
3 2
5 1 3 2
10 25 2 1 6 9 4 4 4 6 13 0
3 2
4 6 13
3 1
4 6
2 1
13 6
4 18
13 12
14
1
14
3 2
4 13
14
8 39
14
31
14
1
14
31
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 3 6 8 3
1 4 6 1 5 3
1 4 17 6 1 37 5 3 34
AC AC
AC AC
AC AC
AC
2 2
2 2
2 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
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+ +
" +
+ +
+ + + (
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+
+
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!
!
b
a a b
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- + + - + = - + + + + - - + =
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
Q
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S
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
V
V
V
V
V
W
X
V
G
G
G
G G G
Distancia entre dos rectas paralelas
32
33
34
35

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cos cos
arccos
cos cos
arccos
cos cos
arccos
tan
Para hallar los angulos
Ejercicio
Sean A y B dos vertices del lado de un cuadrado
calcula los otros vertices y area del cuadrado
Respuesta
Recuerda un vector a v v v es w v v
el vector el vector
Hallar los vertices sumando a los vertices A y B el vector
C A
D B
dist A B
Area del cuadrado
Ejercicio
Calcula la dis cia entre el punto P y la recta r x y k k
Respuesta
r y k
x k x y
r x y
n
v
dist P r
Ejercicio
Que angulo forma la recta x y con el eje de las abscisas
Respuesta Recuerda definicion de una pendiente
la pendiente es el angulo que forma la recta con el eje ox eje de las abscisas
x y y x la pendiente de la recta es tg
asi que el angulo formado entre la recta y el eje ox es de
Ejercicio
Hallar el pie de la perpendicular proyeccion ortogonal trazada desde P a la recta
r x y
AB AC
AB AC
AB AC
BA BC
BA BC
BA BC
CB CA
CB CA
CB CA
AB AB
AB
AB
AB
17 37
1 6 4 1
0 4
0 4
17 34
1 5 4 3
0 29
0 29
34 37
5 6 3 1
0 76
0 76
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 4 5
4 1 5 1 3 4 4 3
1 1 4 3 3 4
4 5 4 3 0 8
3 4 5
5 5 25
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 3 2 0 2 4
0 4
2 2
2
2
4 2 4 0
2 1
1 2
2 1
2 3 3 1 4
5
5
5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0
6 0 1 6 1 1 45
45
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 3
2 4 0
R
r
r
1 2 2 1
2 2
2 2
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b
b
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c
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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int sec
Respuesta
r x y
n
v
sea s la recta a r a la que P n v y n v
asi que la podemos escribir de la forma s x y cte y como P s cte
luego s x y ahora calculemos el punto de er cion entre r y s
s x y
r x y
x y
x y
x y luego P
Ejercicio
Calcula el punto P del eje de las abscisas que equidista de la rectas
r x y y s x y
Respuesta
P ox P x tambien sabemos que dist P r dist P s
dist P r dist P s
x x x x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
esto implica que hay dos puntos P P
2 4 0
1 2
2 1
2 0 2 1 1 3 0
2 1 0
2 1 0
2 4 0
2 1
2 4
2 1
1 2
1 1
4 2
5
6
5
2 1
1 4
5
7
5
6
5
7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 4 6 0 2 2 9 0
0
3 4
3 4 0 6
1 2 2
2 2 0 9
5
3 6
3
9
3 6
3
5 9
3 6 3
5
15
3 6 3
5
15
3
14
9
3
4
21
14
27
4
63
4
63
0 14
27
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r
r
r s s r
2 2 2 2
1 2
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Q Q
Q
Q
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Q
S
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