Capitulo 7 ii_-marcos_y_anillos

MARCOS Y ANILLOS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras

Resolver el marco cuadrado (lado L) de la figura sometido a las cargas indicadas.
Supóngase conocida la rigidez EI de las barras.
P
P
A
B
C
D
¡Por supuesto despreciamos los movimientos inducidos por los esfuerzos
Axil y cortante!

P
P
El marco tiene los dos ejes de simetría indicados en la figura:
A
B
C
D

P
N
N
M
M
Por equilibrio: N=P/2
A
B
D

P
P
A
B
C
D
¿Cómo se deforma el marco ? Hay que tener en cuenta que las barras ni se
acortan ni se alargan:
A*
B*
C*
D*
a a
a
a
a
a
a
a
Las secciones A, B, C y D no giran por ser secciones de corte con un eje de simetría

P
P
A
B
C
D
A*
B*
C*
D*
a a
a
a
a
a
a
a
Si, una vez deformado el marco, empotramos en A* y cortamos por B* (liberando
los esfuerzos internos):
B**
Si sobre B** actuase, de nuevo, N=P/2 y M, B** pasaría a la posición B*
sin experimentar ningún giro.

B*
N
M
B**
A*
2a
( ) 0
2
452 2
=−
⋅
=
EI
ML
EI
Lcos/P
**Bθ
ºcosL
P
M 45
4
⋅=
ºsen
P
N
MMLºcos
P
M
A
A
45
2
45
2
=
=−⋅=
MA
NA
EI
LºcosP
a
EI
LºcosP
EI
LºcosP
EI
LºcosP
EI
ML
EI
Lºcos
P
a
48
45
24
45
8
45
6
45
23
45
22
3
333
2
3
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
=
=−
⋅
=

Ley de momentos flectores:
P
P
A
B C
D
M
M
M
M
M
M
M
M

P
P
A
B
C D
Resolver el anillo de la figura sometido a las cargas indicadas

P
P
La estructura tiene dos ejes de simetría
A
B
C D
Por razones de simetría, en las secciones C y D sólo existen axil y flector y en las
secciones A y B axil(=0), cortante (P/2) y flector.

P
A
C D
Cortemos la estructura por la línea CD:
NC
MC
ND
MD
Planteando el equilibrio de fuerzas verticales:
NC=ND=P/2

P
P
A
A*
B
B*
CC* D D*
Las secciones A, B, C y D pasan, respectivamente, a A*, B*, C* y D* sin girar

P
P
A
A*
B
B*
CC* D D*
Demos un corte a la estructura deformada por la sección C*
manteniendo fija la sección A* y retiremos todos los esfuerzos
que actúan en C:
C**
NC
MC
C** pasaría a C*

NC=P/2
MC
Condición: C** no gira!!!!
C**
A*
C*

C**
NC=P/2
MC
C**
1
Estado 0 Estado I
)cos1(
2
0
θ−−= R
P
MM C 1=I
M
R
θ
01))cos1(
2
(
1 2/
0
2/
0
0
** =⋅⋅−−=⋅⋅= ∫∫
ππ
θθθ RdR
P
MdsMM
EI
C
I
C
Esta última ecuación nos proporciona el valor de MC
Nótese que los valores de los esfuerzos en C son independientes del valor de EI

Demos valores numéricos a las magnitudes que aparecen en este problema:
P=100 kN, R=2m y EI=105 kN.m2
MC=3,64 kN.m
Las leyes de axiles, cortantes y flectores son:
5 kN
3,64 kN.m3,64 kN.m
6,36 kN.m
6,36 kN.m
5 kN
5 kN
5 kN
5 kN

Supongamos que nos piden el desplazamiento (corrimiento) relativo entre A y B
P
P
A
A*
B
B*
CC* D D*
C**
AA*(hacia abajo)=desplazamiento vertical ascendente de C**
Desplazamiento relativo entre A y B=2 AA*

C**
NC= 5 kN
MC=3,64 kN.m
Estado 0
R
θ
Luego el problema queda reducido a calcular el desplazamiento vertical de C**
C**
NC= 1 kN
R
θ
Estado 1
Leyes de momentos flectores:
)( θcosR
P
MM C −−= 1
2
0
)( θcosRM I
−−= 1
m,RdMM
EI
v I
/
C
4
2
0
0
10955
1 −
⋅=↑= ∫ θ
π
Desplazamiento relativo entre A y B=10,90.10-4 m de acercamiento

De manera similar podríamos calcular el desplazamiento relativo entre C y D (el
cual se deja para que lo calcule el alumno):
Desplazamiento relativo entre C y D=10,92.10-4 m de separación

PROBLEMA PROPUESTO
Para el anillo de la figura, en el que R=2 m y EI=105 kN.m, determinar las leyes de
esfuerzos y los desplazamiento relativos entre cualquier par de puntos diametralmente
opuestos para cualquier valor de la sobrecarga uniformemente distribuida q.
Solución: Ningún diámetro del anillo cambia de longitud. Las leyes de esfuerzos
cortantes y de momentos flectores son nula y sólo existe esfuerzo axil constante
a lo largo de toda la directriz de la pieza y su valor es qR
q

Como todos los ejes diametrales son de simetría, cualquier sección sólo
podría desplazarse según el diámetro (sin girar) y, entonces, el anillo se
Acortaría. Como estamos despreciando las deformaciones por efecto del
esfuerzo axil, esto no podría suceder y, por tanto, el anillo no cambia de
forma.
N N
q
N N
q
qq
2N=q(2R)
N=qR

¡Cuando los árboles no nos dejan ver el bosque!

=
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P P
A
B
C
D
P
=
P
A
B
C
D

P
P
A
B
C D
=
P
A
B
C D
ó
P
P
A
B
C D
=
P
A
B
C D

q
q
PROBLEMA PROPUESTO
Para el marco cuadrado de la figura, en el que su lado es L y la rigidez es EI,
determinar las leyes de esfuerzos cuando actúa la sobrecarga uniformemente
distribuida q.

q
q
A
B
C D
La estructura presenta dos ejes de simetría

q
q
A
B
C DC* D*
A*
B*
¿Cómo se deforma la estructura?

q
q
A
B
C DC* D*
A*
B*
Empotramos en A*, cortamos por D* y retiramos todas las cargas y
los esfuerzos que aparezcan en esta última sección

q
q
A
B
C DC* D*
A*
B*
N
M
D**
Al volver a considerar los esfuerzos en D y las cargas exteriores, D** pasa a D*
sin que la sección D** gire

Luego nuestro problema a quedado reducido a, en la estructura de la figura,
obtener M con la condición de que D** no gire
N la conocemos por equilibrio de medio marco:
N
M
N
M
D**
N
M
DC
q
qL=2N
N=qL/2

0
24
1
22222
1
823
11 32
=+−=++−= ][][(horario) ML
qL
EI
M
L
M
LNLLqLL
EI
**Dθ
D**
N
D**
M
D**
D**
qL2/8
N
D**
NL/2
M
D**
M
M
q
24
2
qL
M =

¿Y si calculásemos la estructura como intraslacional?
q
q
A
B
C D
E
E1
M M
M
M
E2
21 EE θθ =

EI
ML
EI
qL
E
224
3
1
−=(horario)θ
EI
ML
E
22
−=(horario)θ
21 EE θθ =
24
2
qL
M =
Moraleja: si la estructura es intranslacional, lo mejor es resolverla dividiéndola
en vigas e igualando giros, aunque se trate de un marco, como sucede en este
problema

q
q
A
B
C D
24
2
qL
24
2
qL
24
2
qL
24
2
qL

q
q
A
B
C D
Ley de esfuerzos axiles:
2
qL
2
qL

q
q
A
B
C D
Ley de esfuerzos cortantes:
2
qL
2
qL
2
qL
2
qL

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