Este documento trata sobre torsión en elementos estructurales. Explica conceptos como momento torsor, diagrama de momentos torsores, torsión en barras de sección circular y cálculo de esfuerzos de torsión. También presenta ejemplos de problemas de torsión estáticamente indeterminados y ecuaciones para calcular esfuerzos cortantes en barras no circulares.

1. CAPÍTULO 4
TORSIÓN

2. Introducción
• Se considera torsión cuando un cuerpo esta
solicitado a un momento torsor.
• Se estudiaran elementos estructurales que
todas en los que toda su sección estará
solicitada a torsión

3. Introducción

4. Diagramas de momentos torsores
• Al igual de lo que vimos para tracción, el diagrama de
momento torsor indica el momento torsor
correspondiente a cada sección del cuerpo.

5. Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un
miembro respecto a su eje longitudinal.
Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión,
utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.
Torsión de barras de sección circular

6. Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a
un eje circular hecho de un material muy elástico.
Hipótesis de Coulomb:
Las secciones transversales planas antes de la deformación siguen siendo
planas después de ellas.
El diámetro de estas secciones, inicialmente una línea recta, sigue siendo recta
después de la deformación.
Torsión de barras de sección circular

7. Torsión de barras de sección circular
Según Hooke

8. Torsión de barras de sección circular
El ángulo de torsión 𝜃 , es el giro relativo que
experimenta una de las secciones del extremo de la
barra, respecto de la otra. El ángulo de torsión por
unidad de longitud será 𝜃/𝐿 .

9. Cálculo de esfuerzos de torsión
• se pueden obtener fácilmente las relaciones entre deformación
angular para puntos de la barra en la superficie y ángulo de torsión,
suponiendo deformaciones elásticas pequeñas, se obtiene para
puntos del manto de la barra.

10. Si extraemos a continuación una porción cilíndrica y
consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se
encuentre en la superficie de dicha porción ocurre los mismo
que en la superficie exterior.
Torsión de barras de sección circular

11. Observemos la figura.
Si el ángulo g es muy pequeño, se puede establecer:
L
r
rAA
L
AA




g
gg ';
'
tan
Donde AA’ es el arco que
recorre el punto A al deformarse la
barra debido a torsión, θ es el ángulo de
giro (en radianes) entre dos secciones
transversales separadas una longitud L, r
es el radio de la porción cilíndrica
considerada y g es la deformación
cortante, en radianes.
Cálculo de esfuerzos de torsión

12. De la relación de deformación establecida anteriormente:
Notaremos que para una deformación dada, los valores de “” y “L” se
mantienen constates, de forma que “g” varía linealmente con “r” .
En la superficie del cilindro:
Luego:
podemos ver:
Lr  g
  R
L
RrRr

g  max
rLR
gg
max
R
r
 maxgg

13. Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del
material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda:
R
r
 max
nótese
g G
)1(2 

E
G

14. Considerando el equilibrio estático
 





 dA
R
r
rT max   dAr
R
T 2max

15. Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida como
momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la expresión de la
forma:
Recordando que anteriormente se estableció que:
Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:
J
R
T  max

max

r
R
J
Tr
J
r
T  


16. Cálculo de esfuerzos de torsión
• La relación J/R (módulo resistente de torsión)
puede servir al momento de comparar
estructuras sometidas a los mismos
momentos torsores (valido para τ).
R
J
T
J
TR
Rr  )(max 

18. OJO, estado de corte puro

19. Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer lugar,
encontramos que podemos relacionar el ángulo “” con la deformación cortante
“g” mediante la expresión:
En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:
Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzo
cortante, determinada recientemente:
Lr  g
g  G
J
rT 

Deformaciones de torsión

20. Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “g” y “” en la
ley de Hooke, obtendremos:
Finalmente, para barras de sección circular:





 





 
L
r
G
J
rT 
GJ
LT



Deformaciones de torsión
Si tenemos tramos:
 




ii
ii
ii
ii
i
L
JG
LT
JG
LT
dx
GJ
xT


0

21. Observemos el caso mostrado en la
figura.
En ella se presentan dos barras
solidarias, de sección transversal circular,
empotradas en sus extremos y sometidas a un
par torsor “T” en su unión.
La condición de equilibrio que puede
establecerse es la siguiente:
0 TTT CA
Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“TA” y “TC”). Un
segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los pares torsores. Para
poder establecer esta relación, es necesario primero definir los pares torsores al
que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”.
Estáticamente indeterminados

22. En primer lugar, estudiemos el tramo AB.
El torsor aplicado sobre este segmento se define
realizando un corte en la estructura justo antes del punto
donde se aplica el siguiente torsor. Queda entonces:
0 ABA TT
Luego, aplicamos un procedimiento
similar para el siguiente tramo. Al realizar un corte
justo antes del punto de aplicación del siguiente
torsor, obtenemos:
0 BCA TTT
ABA TT 
ABC TTT 

23. La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente:
Donde “B/A” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A” y “B/C”
es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “C”. Nótese que deben ser
iguales; entonces:
Sustituyendo “TAB” y “TBC”, obtenemos la segunda ecuación que
necesitamos para resolver el sistema:
C
B
A
B  
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
GJ
LT
GJ
LT





BCBC
BCA
ABAB
ABA
GJ
LTT
GJ
LT




 )()(

24. Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura:
a) Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe
pasar de 120 MPa.
b) Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante?
SOLUCIÓN:
a) como
J
Tr
J
T
 max


De donde:
extr
J
T
r
J
T
)()( max
max
max 

 
m
mmPax
T
030,0
)040.0()060,0(
32
)10120( 446
max



kNmT 08,4max 
Ejemplo 1

25. b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico siguiente:
max
2
1
min
1
min
2
max


r
r
rr

)120(
03,0
02,0
min MPa
m
m

MPa80min 

26. Ejemplo 2
• Para la barra que se muestra en la figura determine el
esfuerzo de corte máximo y el ángulo de torsión del
extremo C respecto al empotramiento A.

29. Ejemplo 3
• La barra que se
muestra en la
figura, está
empotrada en
ambos extremos.
Determine los
momentos en los
empotramientos.

30. • Se trata de un problema estáticamente
indeterminado, ya que la condición de equilibrio
proporciona solamente una ecuación para las
incógnitas
• La ecuación adicional, se obtiene de la condición
de ángulo de torsión nulo de un extremo
respecto al otro (condición de deformación
impuesta por los empotramientos).

31. CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
D
CDBCABD
GJ
LT
GJ
LT
GJ
LT




Teniendo en cuenta
CDBCAB
CDBCAB
D
JJJ
LLLL
16
0



Con el gráfico de momentos
TTTT
TT
ACDBC
AAB


Remplazando
TT
TT
D
A
18
1
18
17



32. Ejemplo 4
• Un tubo circular hueco de diámetro exterior 10 cm y
diámetro interior 5 cm, está sometido a torsión como
se muestra en la figura.
En la superficie exterior
está pegado un medidor
de deformaciones (strain-
gauges), que forma 45º
con la dirección axial del
tubo, registrándose una
lectura de +2600 με.
a) Determinar el esfuerzo normal máximo y el
esfuerzo de corte máximo en el tubo.
b) Calcule el valor del torque aplicado y el
ángulo de torsión por unidad de longitud.

35. El eje vertical AD está unido a una base fija en D y
sometido a los torques indicados. Un hueco de 44
mm de diámetro ha sido perforado en la porción CD
del eje. Sabiendo que todo el eje está hecho de
acero con G = 80 GPa, determine el ángulo de
torsión en el extremo A.
SOLUCIÓN:
En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada
una de sección uniforme y con torque interno constante,
además el sistema está en equilibrio, luego:
Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:
NmTTNm ABAB 2500250 
Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar
NmTTNmNm BCBC 225002000250 
Ejemplo 5

36. No hay torque aplicado en C entonces : NmTT BCCD 2250
El ángulo de torsión en A será:
)(
1
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
i
ii
J
LT
J
LT
J
LT
GGJ
LT
 
 











4444
)044,0()06,0(
32
)6,0)(2250(
)06,0(
32
)2,0)(2250(
)03,0(
32
)4,0)(250(
80
1
m
mNm
m
mNm
m
mNm
GPa
A


º22,2)
2
º360
(0388,0 
rad
radA


º22,2A

37. Ecuaciones empleadas en barras no
circulares
En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un par torsor
aplicado sobre una viga de sección transversal no circular.
La deducción de las ecuaciones que describen la distribución de esfuerzos
cortantes debido a torsión en estas barras no es sencilla. Nuestro interés radica
principalmente en conocer expresiones que permitan relacionar las características
geométricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, con el esfuerzo cortante
máximo que se produce y su respectiva deformación.
Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a
continuación algunos ejemplos.

38. Sección elíptica
2max
2
ba
T











 33
22
ba
ba
G
T
L 


39. Sección triangular equilátera
3max
20
a
T

4
3
80
aG
T
L 



40. Sección cuadrada
3max
8077,4
a
T

4
1124,7
aG
T
L 




41. Torsión de barras de sección
rectangular
Los efectos de la torsión son mucho mayores que los efectos del alabeo, por lo tanto
se puede analizar como lo visto anteriormente, sin embargo la distribución de
esfuerzos es diferente.

42. En este caso, el esfuerzo de corte debe ser tangente al contorno con valor
nulo en las esquinas.

43. Torsión en piezas abiertas de pequeño
espesor

44. J
Tt
max
mstJ 3
3
1

GJ
T

GJ la vamos a llamar rigidez torsional GtsKGJ
T
m
3
3
1



45. Torsión en piezas abiertas de pequeño
espesor
• En la práctica se encuentran variados elementos estructurales, cuya
sección transversal se pueden considerar compuesta por dos o más
rectángulos delgados como es el caso de los perfile laminados o de
planchas soldadas

46. Torsión en piezas abiertas de pequeño
espesor
• Si el perfil de la Figura es sometido a torsión,
la rigidez del conjunto será igual a la suma de
las rigideces de cada uno de los rectángulos

47. Torsión en piezas abiertas de pequeño
espesor
• Sabemos que
• Así la rigidez total resulta ser:
• Y también
GsK mt
3
3
1


321 TTTT
K t
t 

48. Torsión en piezas abiertas de pequeño
espesor
El esfuerzo de corte máximo
en la estructura
Esto significa que el esfuerzo de
corte máximo se producirá en el
rectángulo de mayor espesor.

49. Torsión en piezas abiertas de pequeño
espesor
• Si lo vemos para cada barra


33
3
1
3
1
ii
it
ii
ii
i
s
T
s
T




max

50. ejemplo
• Un perfil de sección angular es reforzado con
otro perfil de sección T. Determine en cuantas
veces se aumenta la rigidez torsional del perfil
angular

51. • La rigidez de una sección rectangular delgada está dada por:

52. Torsión de secciones tubulares de
pared delgada
Para el análisis se supondrá que la distribución del esfuerzo de corte en una
sección transversal es uniforme respecto al espesor de pared y tiene dirección
tangente a la línea media de la sección, que es sólo una aproximación a la
situación real .
En la realidad el esfuerzo de corte no es uniforme, ya que su valor es mayor en los
puntos del contorno exterior, decreciendo para los puntos interiores, sin embargo,
esta variación se puede despreciar por tratarse de un espesor delgado y considerar
un valor promedio uniforme.

53. Torsión de secciones tubulares de
pared delgada
• Cálculo de esfuerzos

54. Torsión de secciones tubulares de
pared delgada
• Los esfuerzos de corte serán mayores en los
sectores de menor espesor

55. Torsión de secciones tubulares de
pared delgada
• Tomando los momentos con respecto al
centro de gravedad G de la sección de todas
las fuerzas que actúan

56. • Definiendo
• Entonces el esfuerzo es
• Y el máximo
Luego

57. Torsión de secciones tubulares de
pared delgada
• Deformación

58. Ejemplo
• Para la sección cerrada de la pared delgada que se muestra en la Figura, el
esfuerzo de corte en el punto A es de 600 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
• a) Determine el esfuerzo de corte en el punto B.
• b) Determine el torque aplicado.
• c) Si el perfil es de aluminio con 𝐺=2,8·105 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 calcule el ángulo de
torsión por unidad de longitud.