Se pueden contar figuras en una figura geométrica, pero se debe saber cuantos son en total. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm kkkkkkkkkkkkkk jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj j j j j j j

1. CAPÍTULO Nº 18

2. En la figura mostrada ¿Cuántos triángulos se contarán en total?
Resolución:
Rpta 28
=
7 8
2
Enumeramos los triángulos
simples y contamos en
forma progresiva.
1 2 3 4 5 6 7
1
1+2
1+2+3
⁞
1+2+3…+7
Número de
triángulos en total:
1+2+3…+7 = 28

3. • Establece técnicas de conteo
experimentales e inductivas.
• Desarrolla la capacidad de visión
espacial.

4. Conteo por inducción.
Conteo por método directo

5. MÉTODOS DE CONTEO
Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, posteriormente se procede al
conteo creciente y ordenado, figuras de 1 número, al unir 2 números, al unir 3 números, etc.
Número total de cuadriláteros:
0
A. Método directo (schoenk)
 Calcule el número total de cuadriláteros en la figura:
a b
c
d
e
f
 Cuadriláteros de una letra:
 Cuadriláteros de dos letras:
 Cuadriláteros de tres letras:
 Cuadriláteros de cuatro letras:
 Cuadriláteros de cinco letras:
 Cuadriláteros de seis letras:
ab, bc, cf, ef, de, ad
abc, bcf, cfe, def, ade, dab
0
0
0
6
6
6 + 6 = 12 Rpta 12

6. MÉTODOS DE CONTEO
Es el método más sistemático y se aplica para gráficos donde cada figura simple es análoga a
la figura en conjunto, el número de figuras se calcula mediante una formula.
B. Método inductivo:
 Veamos algunos casos de conteo:
1 2 3 n
1 2 3 4 … … n-1 n
… …
… …
… …
n-1
1 2 3 n
… … n-1
…
…
1 2 3
n
n-1
=
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐

7. MÉTODOS DE CONTEO
B. Método inductivo:
# de cuadriláteros
1 2 3 n
…
…
2
3
m
…
…
…
…
…
…
…
…
… …
… …
… …
… …
… …
=
𝒎 𝒎 + 𝟏
𝟐
# de cuadriláteros
en la columna
# de cuadriláteros
en la fila
Conteo de cuadriláteros en una cuadricula
×
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐

8. MÉTODOS DE CONTEO
B. Método inductivo:
# de cuadrados:
𝒎 𝒏 +
Conteo de cuadrados en una cuadricula
# de cuadrados (cada región simple es un cuadrado):
𝒏𝟐 + =
𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏
𝟔
𝒎 − 𝟏 𝒏 − 𝟏 + 𝒎 − 𝟐 𝒏 − 𝟐 + 𝒎 − 𝟑 𝒏 − 𝟑 + ⋯ ⋯
(𝒏 − 𝟏)𝟐+ (𝒏 − 𝟐)𝟐 +(𝒏 − 𝟑)𝟐 + ⋯ +𝟏𝟐
2 3
1
2
3
… …
… …
… …
…
…
… …
…
…
…
…
…
…
… …
n
…
…
n
3
2
1
…
…
…
…
…
…
… …
… …
… …
…
…
… …
… …
m
n
…
…
2
3

9. 1
Rpta
Resolución:
4
Cuántos cuadriláteros hay en
7
# de cuadriláteros
De la forma:
# de cuadriláteros
De la forma:
3
+ 7
# total de
cuadriláteros:
=

10. 2
Rpta
Resolución:
Calcule la diferencia entre el número de cuadriláteros y cuadrados.
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
5 6
2
# de cuadriláteros # de cuadrados
5 × 8 +
−
540 =
100
− 440
440
4 × 7 +3 × 6 + 2 × 5 + 1 × 4
×
8 9
2

11. 3
Resolución:
Rpta 161
¿Cuántos triángulos hay en total?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5
1 2 3
1
# de triángulos en total
11 12
2
9 10
2
7 8
2
5 6
2 3 4
2
1 2
2
66 + = 161
45 +28 +15 + 6 +1

12. m2 + n2 + 2mm
4
Resolución:
Rpta 21
¿Cuántos hexágonos hay en total?
1 2 3 4 5 6
# de hexágonos en total =
6 7
2
= 21

13. 5 ¿Cuántos triángulos hay en total?

14. 6
Calcule
1
1×3
+ 1
3×5
+ 1
5×7
+ ... + 1
49×51
¿Cuántos triángulos hay en total?

15. 7 ¿Cuántos triángulos hay en total?

16. En una dinámica del aula del 1.er año se ordenan
210 vasos en forma conveniente logrando formar un
triángulo equilátero. ¿Cuántos vasos deben ubicarse
en la base?
8 Halle el máximo número de diagonales que pueden
trazarse en

17. 1
1
Resolución:
2 Resolución:
Rpta 7
4
# de cuadriláteros
De la forma:
# de cuadriláteros
De la forma:
3
+ 7
# total de
cuadriláteros:
=
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
5 6
2
×
8 9
2
# de cuadriláteros # de cuadrados
5 × 8 + 4 × 7 + 3 × 6 + 2 × 5 + 1 × 4
−
540 =
100
− 440
Rpta 400

18. 3
3
Resolución
:
4 Resolución
:
Rpta 161
Rpta 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5
1 2 3
1
# de triángulos en total
11 12
2
9 10
2
7 8
2
5 6
2 3 4
2
1 2
2
66 + 45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 161
1 2 3 4 5 6
# de hexágonos en total =
6 7
2
= 21
3