guia

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACION POPULAR PARA LA EDUCACION
U. E. P. “INSTITUTO ESCUELA TURMERO “
ÁREA: Matemática
AÑO: 5to
EVALUACIÓN # 2
GUIA DE CIRCUNFERENCIA
Concepto de circunferencia y sus elementos
¿Qué es una circunferencia?
Una circunferencia es una figura geométrica que consiste en todos los puntos de un plano
que están a la misma distancia de un punto dado llamado centro. La ecuación de una
circunferencia se puede expresar en dos formas: la forma general y la forma estándar (o
forma canónica).
A continuación vemos una imagen de una circunferencia.
Elementos básicos
En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a
continuación:
Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la
circunferencia.
Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la
circunferencia.
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos
diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un
radio.

2. La ecuación ordinaria de la circunferencia es:
(x-a)2
+ (y-b)2
= r2
Donde:
 r es el radio de la circunferencia.
 a y b son las coordenadas del centro de la circunferencia:
La forma general de la ecuación de una circunferencia con centro (a,b) y radio r es:
(x-a)2
+ (y-b)2
= r2
La forma estándar o canónica de la ecuación de una circunferencia con centro (h,k) y radio
r es:
(x-h)2
+ (y-k)2
= r2
Para resolver ejercicios que involucren circunferencias, podemos usar la forma estándar de
la ecuación y completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio.
Ecuación general de la circunferencia
Otro tipo de ecuación de la circunferencia es la ecuación general, de hecho, es la que más
se usa. A continuación vamos a ver cómo obtener la ecuación general de cualquier
circunferencia a partir de su ecuación ordinaria.
Dada la ecuación ordinaria de una circunferencia:
(x-a)2
+(y-b)2
= r2
Si desarrollamos las igualdades notables (o productos notables):
X2
+a2
-2ax+y2
+b2
-2by= r2
X2
-2ax+y2
-2by+a2
+b2
- r2
=0
Ahora realizamos 3 cambios de variables:
A= -2a B= -2b C= a2
+b2
- r2
Y finalmente conseguimos la ecuación general de la circunferencia:
X2
+y2
+Ax+By+C= 0
Donde el centro de la circunferencia es: C =−
𝐴
2
; −
𝐵
2

3. Y el radio de la circunferencia es: r = √(
𝐴
2
)2 + (
𝐵
2
)2- C
Determina la ecuación general de la circunferencia de radio 6 cuyo centro es el punto
C(2,4).
Primero de todo, debemos hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia. Para ello,
utilizamos su fórmula:
(x-a)2
+(y-b)2
=r2
(x-2)2
+(y-4)2
=62
Y ahora operamos hasta encontrar la ecuación general de la circunferencia, es decir, hasta
que no podamos simplificar más:
X2
+22
-2. X. 2+y2
+42
-2. Y. 4=36
X2
+4-4x+y2
+16-8y=36
X2
-4x+y2
-8y+4+16-36=0
X2
-4x+y2
-8y-16=0
De manera que la ecuación general de la circunferencia es:
x2
+y2
-4x-8y-16=0
Aunque no lo pedía el problema, ahora podemos calcular el centro y el radio de la ecuación
hallada para comprobar que está bien.
Para determinar el centro de la circunferencia utilizamos su fórmula:
C =−
𝐴
2
; −
𝐵
2
C =−
4
2
; −
8
2
C =−(− 2); −(−4)
C = (2,4)
Efectivamente, el centro de la circunferencia coincide con el del encunciado.
Verificamos también el radio de la circunferencia con su fórmula:
Y el radio también es igual al del enunciado. Por tanto, la ecuación de la circunferencia
calculada es la correcta.

4. r= √(
𝐴
2
)2 + (
𝐵
2
)2- C
r= √(
−4
2
)2 + (
−8
2
)2- (-16)
r= √(−2)2 + (−4)2+16
r= √4 + 16+16
r= √36
r= 6
Vamos a completar cuadrados en la siguiente expresión:
x2
+y2
–4x+2y–1=0
La pregunta es: ¿qué lugar geométrico representa esta ecuación? ¿Estamos seguros de que
es una circunferencia? Tendremos que llevarla a la forma ordinaria.
(x2
- 4x) + (y2
+ 2y) - 1 = 0
Empecemos con x2
–4x
¿Qué le falta a esta expresión para ser un trinomio cuadrado perfecto? Falta el término
independiente. Sabemos que el término independiente deberá ser la mitad de 4, elevado al
cuadrado.
Entonces podemos sumar y restar 22
:
Ahora con la expresión de la variable y: y2
+ 2y
Se toma la mitad de 2, elevado al cuadrado.
Entonces podemos sumar o restar 12
Quedando de la siguiente manera
(x2
-4x + 4) + (y2
+ 2y +1) + 1= 0
Extrayendo raíz cuadrada del primer término y del término independiente, tanto en x como
en y
√𝑥2 = x; √42 = 2; √𝑦2 = y; √12 = 1
(x- 2)2
+ (y + 1)2
= 4+1+1
(x- 2)2
+ (y + 1)2
= 6

5. EJERCICIOS
1. Encuentra el centro y el radio de la circunferencia con ecuación: x2
+ y2
+ 6x - 8y -
3 = 0
2. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en (2,-3) y radio 4.
3. Para cada una de las siguientes circunferencias, halla las coordenadas de su centro y
la longitud de su radio. (x-2)2
+(y+5)2
=36
4. Para cada una de las siguientes circunferencias, halla las coordenadas de su centro y
la longitud de su radio. X2
+y2
+8x-10y+1 = 0
5. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son la ecuación de una circunferencia?
a) X2
+y2
+4x-6y-1=0
b) X2
+y2
+5x+5y+2xy-4 = 0
c) 2x2
+2y2
-8x+4y+2=0
d) X2
+y2
+x+2y+6=0
6. Completando cuadrados, hallen el lugar geométrico correspondiente a cada una de
las ecuaciones:
a) x2
+y2
+3x+4=0
b) x2
+y2
+6x+9=0