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Prof. Guillermo Corbacho C.
gcorbach@uc.cl




Notas del Autor

El presente trabajo, junto con compilar y deducir parte de los contenidos -ya existentes por
lo demás, desde la antigua Grecia- presenta en su amplia mayoría ejercicios elaborados
personalmente. Algunos de los cuales se pueden hallar -con alguna variación numérica,
dentro de los textos indicados en la bibliografía.
Como el estudiante puede sospechar, la dificultad para todo profesor no está en la
elaboración mental de los mismos, sino más bien en el tiempo invertido para llegar a la
elaboración de un trabajo digital al cual podremos consultar. Y sumando en tal dirección,
espero sea un aporte para alumnos, profesores y en cierta medida, para quienes se preparan
en alguna prueba de admisión universitaria.

Es así como hoy me toca poder invitarlos a los temas o contenidos de Circunferencias y
Círculos. Figuras y formas que desde de la antigüedad han inspirado interpretaciones o
significados cercanos a la belleza o a la perfección más allá de la geometría. El tenerlas
presente me han reportado y reportan mucho disfrute personal, cada vez que me hallo con
ellas. Espero que a uds. también, desde la perspectiva de sus contenidos y variados
ejercicios.




Guillermo Corbacho Castro.
Profesor de Matemáticas y Física y Licenciado en Educación.
Titulado y graduado de la Pontificia Universidad Católica de Chile.




Parinacota, Quilicura, 2k09                                                               1
Prof. Guillermo Corbacho C.
gcorbach@uc.cl

                                                                     ÍNDICE
A
Ángulos en la circunferencia......................... 3                      Listado Nº 3 Ejercicios (Resueltos)
Ángulo del centro ............................................ 3             Segmentos proporcionales.............................. 43
Ángulo inscrito .............................................. 3             Listado Nº 4 Ejercicios (Propuestos)
Ángulo semi inscrito ........................................ 5              Segmentos proporcionales.............................. 46
Ángulo exterior a una circunferencia                                         Listado Nº 5 Ejercicios de Recapitulación:
formado por dos secantes............................... 10                   Ángulos en la circunferencia y Segmentos
con uno de sus lados como tangente .............. 10                         proporcionales ................................................ 47
Ángulo interior a una circunferencia ............. 10                        Listado Nº 6 Ejercicios de Recapitulación Nº 2:
Áreas y perímetros....................................... 59                 Ángulos en la circunferencia y segmentos
Algo podremos inducir. ................................. 61                  proporcionales ................................................ 49
Áreas y Perímetros combinados con:                                           Listado Nº 1 de Ejercicios (Resueltos)
propiedades de ángulos en la circunferencia.. 82                             Segmentos Circulares ..................................... 73
triángulos ....................................................... 97        Listado Nº 2 de Ejercicios (Resueltos)
Área de un triángulo rectángulo..................... 98                      Flor de Ejercicios en Segmentos Circulares ... 76
Área de un triángulo en función de la altura .. 98                           Listado Nº 3 de Ejercicios (Resueltos)
Área de un ∆ circunscrito.............................. 99                   Áreas y Perímetros sobre un fondo cuadrado. 78
Área de un ∆ inscrito .................................... 99                Listado Nº 4 de Ejercicios (Resueltos)
                                                                             Áreas y Perímetros ......................................... 84
C                                                                            Listado Nº 5 de Ejercicios (Propuestos)
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ... 10                           Áreas y Perímetros ......................................... 94
Cuerda que pasa por el centro dimidiando ⊥ . 24                              Lúnula .......................................................... 100
Cuerdas congruentes ...................................... 32                Listado Nº 6 de Ejercicios (Resueltos)
Cuadrilátero Circunscrito.Suma de lados....... 33                            Áreas      y         Perímetros:              Circunferencias
Control de Ángulos en la circunferencia y                                    combinadas con triángulos ........................... 103
Segmentos proporcionales                       Fila Atenea..... 51           Listado Nº 7 de Ejercicios (Propuestos)
Control de Ángulos en la circunferencia y                                    Áreas y Perímetros combinados con teorema de
Segmentos proporcionales                       Fila Apolo ...... 54          Pitágoras ....................................................... 108
Control de Ángulos en la circunferencia y                                    Listado Nº 8 de Ejercicios (Propuestos).
Segmentos proporcionales                       Fila Afrodita... 57           Áreas y Perímetros ....................................... 117
Control de Ángulos en la circunferencia y                                    P
Segmentos proporcionales                       Fila Ares......... 58
Corona Circular.............................................. 63             Potencia de un punto P ................................... 23
Considere la utilidad de simplificar ............... 67                      Perímetro de la circunferencia........................ 59
Circunferencias y Círculos en fondo cuadrado                                 Perímetros de bases AB en triángulos AOB
....................................................................... 78   Segmentos Circulares ..................................... 72
Cuadratura del área                     101                                  Puntos notables en el triángulo....................... 98
E                                                                            R
Elementos de la circunferencia ........................ 3                    Relaciones de Áreas en ∆s OAB de ángulos del
Ejercicios de Aplicación del teorema particular                              centro, suplementarios entre sí ....................... 71
de Pitágoras en Métrica en la circunferencia . 34                            S
Ejercicios Resueltos y Propuestos. Nivel básico.
Áreas y Perímetros....................................... 110                Segmentos Proporcionales ........................... 23
                                                                             Sector Circular................................................ 65
G                                                                            Segmento circular........................................... 68
Guía de Autoaprendizaje. Áreas y Perímetros                                  T
..................................................................... 110
                                                                             Trapecio Isósceles inscrito ............................. 10
L                                                                            Teorema de las Cuerdas ................................. 23
Listado Nº 1 Ejercicios (Resueltos)                                          Teorema de las Secantes................................. 30
Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos.. 6                           Teorema de la secante con la tangente ........... 32
Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos)                                         Teorema de la tangente con la tangente ......... 32
Cuadriláteros Inscritos, ángulos interiores y                                Teorema de Ptolomeo..................................... 33
exteriores a la circunferencia ......................... 11                  Teorema Particular de Pitágoras..................... 33
Listado Nº 3 Ejercicios (Propuestos)                                         Trapecio Circular............................................ 64
Ángulos en la circunferencia ......................... 18                    Tabla de áreas de ∆s OAB
Listado Nº 4 Ejercicios (Propuestos)                                         (segmentos circulares).................................... 70
Ángulos en la circunferencia ......................... 21                    Tabla de perímetros de bases de ∆s OAB
Listado Nº 1 Ejercicios (Propuestos)                                         (segmentos circulares).................................... 72
Segmentos proporcionales ............................. 26                    Teorema de Pitágoras (Repaso)
Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos)                                         Números Pitagóricos ...................................... 97
Segmentos proporcionales ............................. 35
Listado Nº 2 (Alternativo)                                                   BIBLIOGRAFIA.......................................... 118
Segmentos proporcionales ............................. 39


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Prof. Guillermo Corbacho C.
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ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
I. Elementos de la circunferencia:
       O es centro de la ⊗;
       OT , OQ y OB son radios de la ⊗;
        AB cuerda de la ⊗;
        QT diámetro de la ⊗;
        L1 y L 2 son rectas secantes a la ⊗;
        L3 es tangente a la ⊗;
        α es ángulo interior de la ⊗;
        δ es ángulo exterior a la ⊗;

II. Propiedades
     1. El ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito.
        O bien; el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo del centro.




        Ejemplos: Para hallar el valor incógnito, usar la primera representación de la
        propiedad indicada será suficiente: “el ángulo del centro mide el doble que su
        ángulo inscrito”.




        Solución:                       Solución:               Solución:
        126º = 2α         /• 1          α = 2 • 52º             60º = 2α       /• 1
                                 2                                                    2
                                          = 104º
        63º = α                                                 30º = α


    2. El ángulo del centro mide lo mismo que el arco de circunferencia que subtiende.
       Tal como se ilustra en la figura.

                              AB = α = AOB




        Ejemplos:




                  α = AB = 122º                    α = 115º                  AB = 80º
Parinacota, Quilicura, 2k09                                                               3
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  3. Los ángulos inscritos que subtienden el        O bien, el ángulo del centro mide el
     mismo ángulo del centro -o arco de             doble que todos los ángulos inscritos
     circunferencia, son iguales entre sí y         que subtienden el mismo arco que el,
     miden la mitad que el ángulo del               cuya medida de este último, es
     centro –así como del arco que                  también el doble que ellos.
     subtiende.




        Ejemplos:




        Recordatorios:
        En ejercicios de esta unidad, aparecen en ocasiones triángulos inscritos (adentro) de
        una circunferencia. Por lo tanto es pertinente recordar de los triángulos que:
           La suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
           Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a
           el.

                                         α + β + γ = 180º
                                         α +γ =δ



            Dos ángulos adyacentes suplementarios suman 180º.                En la figura
            anterior: β + δ = 180º


    En una circunferencia debemos tener que:
           Toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, es diámetro de ella –la
           dimidia en dos partes iguales-.

            Todo triángulo dentro de una circunferencia que tengas
            dos lados coincidentes con un radio, es isósceles. Y los
            ángulos interiores -del mismo triángulo-, opuestos a
            dichos lados, son de igual medida entre sí.
            En la circunferencia de la izquierda, r designa su radio.
             AB es una cuerda que pasa por su centro, por lo tanto es
            también un diámetro.

            El triángulo AOC es isósceles, pues AO = OC = r .
            Y sus ángulos interiores, -opuestos a dichos lados- y de igual medida entre sí,
            están indicados por α.


Parinacota, Quilicura, 2k09                                                                4
Prof. Guillermo Corbacho C.


        Ejemplos:




        Observe que en las primeras figuras hemos indicado también el ángulo del centro.
        El cuál tiene siempre la misma orientación que su respectivo ángulo inscrito. Así,
        en la primera figura un ángulo inscrito de 35º se abre hacia la derecha, por lo tanto
        su respectivo ángulo del centro –que mide el doble, 70º-, también se abre hacia la
        derecha. Hacia donde se halla el arco respectivo.
        En la segunda figura, un ángulo inscrito se abre hacia la izquierda y su respectivo
        ángulo del centro también.
        Pero no siempre hemos indicado el ángulo del centro y su arco. Las dos últimas
        figuras se concentran únicamente en lo que estamos indicando al inicial este punto:
        que si dos lados del triángulo coinciden con los radios, entonces es un triángulo
        isósceles. Esto significa que por tener dos lados de igual medida, los ángulos
        opuestos a dichos lados -llamados ángulos basales-, también tienen igual medida al
        interior del mismo triángulo.

            Otro punto que destacar relativo a ángulos al interior de una circunferencia es
            que, un ángulo completo es aquel que subtiende un arco que coincide con la
            propia circunferencia y que por lo tanto, mide 360º.

    4. Debido a lo anterior, un ángulo del centro que subtiende un arco de media
       circunferencia, mide 180º. Y si dicho ángulo del centro tiene un ángulo inscrito,
       este mide, por lo visto anteriormente, su mitad, es decir, 90º.




    5. Un ángulo semi inscrito -en la figura de la derecha marcado
       con rojo, tiene como uno de sus lados una cuerda de la
       circunferencia y por otro, un segmento externo y tangente,
       comparte la misma propiedad que un ángulo inscrito. Es decir,
       mide la mitad que el ángulo del centro y lo mismo que el
       ángulo inscrito con los cuales subtienda el mismo arco. Tal
       como lo ilustra la figura.



        Ejemplos: Lo usual es que no nos encontremos con los arcos y ángulos resaltados o
        diferenciados como arriba (es el caso de la última de las siguientes figuras.)




Parinacota, Quilicura, 2k09                                                                5
Prof. Guillermo Corbacho C.


                                Ángulos en la Circunferencia
                              Listado Nº1: Ejercicios (Resueltos)
                        Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos.
Ejercicios: En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda.

1. AB es diámetro de la ⊗ . γ = ? 2. α = ?                                3. α = ?




Solución:
                                                                          Solución:
γ es un     inscrito y mide la mitad Solución:
                                                                          Los ángulos inscritos y del centro
que el        del centro con el cual α es un      del centro y por lo
                                                                          subtienden el mismo arco BC .
subtiende el mismo arco AB de ⊗.     tanto, mide el doble que el
                                                                          En tales casos, el ángulo del
              180º                   inscrito que subtiende el mismo
Es decir, γ =       = 90º            arco de ⊗ que el.
                                                                          inscrito mide SIEMPRE la mitad
                2                                                         que el    del centro.
                                               α = 2•50º = 100º
                                                                                          120º
                                                                                     α=        = 60º
                                                                                           2
4. AB = α = ?                          5. α = ?                           6. AB = α = ?




Solución:                             Solución:                           Solución:
Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo α es un ángulo inscrito, por lo            Ahora α es un arco y al igual que
mismo que el        del centro que lo tanto, mide la mitad que el arco    un ángulo del centro, mide el
subtiende. Por lo tanto:              que subtiende:                      doble que el ángulo inscrito:
 AB = 160º O bien: α = 152º                       110º                           α = 2•40º = 80º .
                                               α=          = 55º
                                                       2
7. α = ?, β = ?,    δ =?               8. El   triángulo   ABC    es 9. Se tiene un nonágono regular
                                         equilátero. α = ?, β = ?       (polígono de nueve lados
                                                                        congruentes) inscrito en la ⊗.
                                                                             δ = ?, α = ?, ϕ = ?




Solución:                               Solución:                         Solución:
α es un ángulo del centro y por lo     Cada vértice del triángulo         Cada vértice del polígono
tanto, mide el doble que el ángulo
inscrito que subtiende el mismo arco
                                       equilátero divide los 360º de la   equilátero divide los 360º de la ⊗
                                       ⊗ en tres arcos y ángulos del      en 9 arcos y ángulos del centro
de ⊗, es decir:
                                       centro congruentes (de igual       congruentes (de igual medida).
     δ = 2•42º =84º.                   medida).                           Es decir, el ángulo del centro
α y β son           s inscritos que                 360º                  mide: δ = 360º /9 = 40º.
subtienden el mismo arco que el        Es decir, β =     = 120º.
de 48º. Por lo tanto, miden lo mismo                  3                   Cada ángulo inscrito mide:
                                                     β 120º            α = δ /2 = 40º /2 = 20º.
que este.                              Mientras, α = =        = 60º. y ϕ mide cuatro veces α:
Es decir: α = β = 48º.                               2     2
                                                                     ϕ = 4α = 4•20º = 80º .



Parinacota, Quilicura, 2k09                                                                            6
Prof. Guillermo Corbacho C.



10. AB es diámetro . AB = α = ?     11. δ = ?                         12. α = ?




                                    Solución:
Solución:                                                             Solución:
                                    La figura se puede completar a:
La figura se puede completar a:                                       Por ser δ un ángulo del centro
                                                                      que subtiende el mismo arco
                                                                      BC que el ángulo inscrito
                                                                       CAB , tenemos:
                                                                           si CAB = 35º
                                                                      ⇒ δ = 2 CAB = 2 • 35º = 70º.

                                    Esto debido a que se tiene
 AD + DB = 180º (forman media ángulos                    adyacentes
circunferencia)                     suplementarios (que sumados
                                    dan 180º).
De donde: AD = 180º −62º = 118º .
Y como α es un ángulo inscrito, del Y sabemos que α = BC mide
                                    el doble que el    inscrito que
arco AD que subtiende.              lo subtiende:
           AD 118º                  α = 2•54º = 108º .
      α=         =       = 59º.
             2       2
13. AC = δ = ?                      14. ϕ = ?,   γ = ?, δ = ?         15. BT ⊥ ⊗ . α = ?




                                                                     Solución:
Solución:                           Solución:
                                                                     Un       semi inscrito α mide lo
Como OA = OC = r , los s que se     OB y OC son radios ⇒ sus mismo que un                inscrito con el
oponen a tales lados son iguales ( s   s opuestos son iguales.       cual subtienda el mismo arco de
basales) y miden 37º. En este caso: ∴ϕ = 25º [ s basales en un ⊗. En este caso, el arco en
          ACB = AOC = 37º .         ∆ isósceles).
Y el arco α es igual al ángulo del                                   común es AB .
                                    Un      del centro mide el doble
centro del ∆AOC. Este último se                                      Es decir, α = ACB = 43º.
                                    que el        inscr. con el cual
puede deducir mediante la suma de   subtiende el mimo arco. Así,
los s interiores en todo ∆ (iguales a δ = 50º.
180º).                                Y dado que en todo ∆:
                                    Σ int.=180º. En el ∆DOC:
                                    γ = 180º − (90+50)º = 40º




  AOC = 180º −74º = 106º = δ .




Parinacota, Quilicura, 2k09                                                                     7
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16. BT ⊥ ⊗ . α = ?                        17. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ?             18. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ?




Solución:
                                          Solución:                             Solución: Análogo al anterior.
Un      semi−inscrito (al igual que un
                                          El triángulo AOB es isósceles,        Resp.: α = 35º
   inscrito) siempre mide la mitad
que el arco que subtiende.                ⇒ α = OBA por ser                 s   19. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ?
En este caso, α es        semi-inscrito   basales, ( s opuestos a lados de
                                                                                ¿Y qué se puede concluir de los
en la ⊗ y subtiende al arco AB.           igual medida, el radio r, del ∆).
                                                                                ejercicios 17, 18 y 19?
Por lo tanto:                             Y el ángulo del centro mide
                                          siempre el doble que el
      AB 126º
 α=      =    = 63º .                     semi−inscrito con el cual
       2   2                              subtiende el mismo arco.
                                          Así, la figura se puede completar
                                          a:



                                                                                Solución: Ídem a los anteriores.
                                                                                Resp.: α = 42º

                                                                             Conclusión(es):
                                                                             • El ángulo basal y el semi
                                          Hallaremos α por la suma de los      inscrito son complementarios
                                          ángulos interiores.                  suman 90º.
                                          Así, lo que falta son 60º, (que se • La      tangente     a      la
                                          reparten en los dos ángulos α).      circunferencia              es
                                          Esto es,                             perpendicular a su radio en el
                                          2α = 60º ⇒ α = 30º .                 punto de tangencia.
20. AC diámetro. γ = ?, α = ?             21. BA = 212º. α = ?                  22. α = ?




                                                                        Solución:
Solución:                             Solución:                         El CBA = 124º es inscrito, por
AB     y BC forman        una   media Por    ser    α    un     ángulo
circunferencia.                       semiinscrito, mide la mitad que lo tanto el arco AC que
                                      su ángulo del centro, con el cuál subtiende hacia la derecha –está
AB + BC = 180º                                                          de más decirlo-, mide SU
                                      subtiende la cuerda AB            DOBLE.
AB + 84º = 180º
                                                 AOB AB                         AC = 2•124º = 248º
⇒ AB = 180º −84º = 96º                    α=        =
                                                  2   2                         Luego,
Y como un ángulo del centro mide Todo se reduce a hallar el AB y AC + CA = 360º
siempre lo mismo que el arco que dividirlo por dos.              248º + CA = 360º
subtiende: δ = 96º.              AB + BA = 360º                  ⇒ CA = α =112º.
                                          AB + 212º = 360º                      Pues α es ángulo del centro y
                                          ⇒ AB = 148º ⇒ α = 74º.                subtiende al arco CA .


Parinacota, Quilicura, 2k09                                                                               8
Prof. Guillermo Corbacho C.



23. α = ?                         24. β = ?                         25. γ = ?
                                                                    ¿Qué se puede concluir de este
                                                                    ejercicio y del 23 y 24? ¿Y cuál es
                                                                    la diferencia con el ejercicio 22?




Solución:                            Resp.:
Como 105º y α son ángulos inscritos, β = 91º
sus arcos -además de completar una
circunferencia- miden el doble que 26. α = ?                        Resp.:
ellos.                                                              γ = 100º.

BD + DB = 360º                                                      Conclusiones:
2α + 210º = 360º                                                    Se puede concluir que:
                                                                    • Los ángulos opuestos en un
⇒ 2α = 150º
                                                                        cuadrilátero inscrito en una
    α = 75º                                                             circunferencia suman 180º
                                  Solución:                             (son suplementarios).

                                                                    •   La diferencia es que el
                                                                        cuadrilátero del ejerc. 22
                                                                        tiene uno de sus vértices en
                                                                        el     centro       de     la
                                                                        circunferencia. Por ello no
                                                                        satisface     la  conclusión
                                  α es ángulo inscrito, por tanto       anterior.
                                         BOC                        27. α = ?
                                  α=
                                          2
                                         B'OC'
                                    =           ( s op. vértice)
                                          2

                                  =
                                    ( B'A + AC' )
                                          2

                                  =
                                    (2•34º +2•40º )
                                                                    ¿Qué se puede concluir de este
                                             2
                                                                    ejercicio y del anterior (ejercicio
                                     2 (34º +40º )                  26)?
                                  =
                                          2
                                                                    Resp.:
                                  = 74º
                                                                    α = 63º

                                                                    Conclusión:
                                                                    Para cuadriláteros con tres
                                                                    vértices en la ⊗ y el otro en el
                                                                    centro de ella, uno de sus ángulos
                                                                    inscritos es igual a la suma de los
                                                                    otros dos ángulos inscritos.




Parinacota, Quilicura, 2k09                                                                    9
Prof. Guillermo Corbacho C.


Volviendo con puntos de contenidos,…

   6. Cuadrilátero inscriptible o inscrito en 7. Trapecio Isósceles inscrito en una
      una circunferencia.                         circunferencia.
      Un cuadrilátero está inscrito en una        Un trapecio es una figura de cuatro lados
      circunferencia cuando todos sus vértices    (cuadrilátero) con un par de lados
      están en ella.                              opuestos paralelos y el otro par de lados
                             Hay que notar la     opuestos no paralelos.
                             diferencia     entre Y al igual que en un triángulo, a ángulos
                             circunferencia     y contiguos de igual medida entre sí se
                             círculo.             oponen también lados de igual medida
                             Una Circunferencia   entre sí (congruentes).
                             es      el     lugar
                             geométrico        de
                             todos los puntos
      equidistantes o que tienen una misma        Un ejemplo de ello es el siguiente
      distancia respecto de otro, llamado este    trapecio.
      último, centro.                             Sin embargo, lo más común es que la
      Mientras que un círculo es el espacio al    mayoría de los trapecios que se dibujan
      interior de la circunferencia.              en la práctica, no tengan dos ángulos y
                                                  lados opuestos que sean de igual medida
      El cuadrilátero ABCD de arriba está         o congruentes.
      inscrito en la circunferencia de centro O.  Pero esto SIEMPRE ocurre si el trapecio
      Y los ejercicios 23, 24 y 25 hacen          dibujado     está
      referencia a que en un cuadrilátero         inscrito en una
      inscrito a una , los ángulos opuestos       circunferencia.
      son suplementarios -suman 180º.             Un ejemplo es la
      Así, en la figura del recuadro:             figura de la
                  α + γ = 180º                    derecha.
       y           β + δ = 180º
   8. Ángulo interior a una circunferencia.   9. Ángulo exterior a un triángulo.
      Un ángulo interior a una circunferencia    Podemos hallar un ángulo interior a una
      es aquel ángulo formado por dos cuerdas    circunferencia y a la vez, exterior a un
      que se cortan, como se muestra en la       triángulo inscrito.
      figura.                                                         Su medida es igual
      Y su medida se obtiene mediante la                              a la suma de los
      fórmula:                                                        ángulos interiores
                               AB + CD                                del ∆, no contiguos
                           x=                                         a el.
                                  2
                                                                      En la figura:
                          O bien,
                                                                      x = β +δ
                               α +β
                           x=
                                 2

    10. Ángulo exterior a una circunferencia 11. Ángulo exterior a la circunferencia
        formado por dos secantes.                con al menos uno de sus lados como
      La medida de un ángulo exterior x,         tangente.
      formado por dos secantes PA y PD , se                      La obtención del
      obtiene mediante la fórmula:                               ángulo exterior no
                                                                 difiere del caso
            AB − CD                  α −β
         x=              O bien: x =                             anterior:
               2                       2                                 α −β
                                                                      x=
                                                                           2
                                                                      Nota aparte:
                                                                      La tangente es siempre
                                                                      perpendicular al radio y
                                                                      al diámetro de la ⊗.




Parinacota, Quilicura, 2k09                                                             10
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gcorbach@uc.cl


                              Ángulos en la Circunferencia
                        Listado Nº 2 de Ejercicios (Propuestos)
                    Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores.

Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____

Ejercicios
En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo
igual.
1. α = ?;    β =?                  2. x =                              3. x =    ;β =




4. α, β, γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3        6. DC ≡ CB;      DCB =
   5 : 4 : 7, respectivamente.     Hallar δ.
   Hallar δ.




7. α = 21º , γ = 63º . x =         8. x =                              9. x =




10.   APC =                        11. α =                             12. α =




Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                11
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13. AB diámetro; α =          ;     14. AB diámetro; DA ≡ BC . 15. γ =         ;x=         ;δ =
                 β=                 Si DA = 50º ; CD =       ;α =




16. α :β = 5 :8. Hallar α y β. 17. α          y   βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º.
                                       α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 .   δ= ?
                                       Hallar α y β.




19. α : β = 36 : 13. δ = 46.        20. PD ≡ DA. CA =               21. PA ≡ PC.     BD = 53º
    α=       ;β =
                                                                        δ=     ;     CA =




22. α =       ;β =        ;δ =      23. α =           ;β =          24. TP tangente. α =




25. TA        diámetro,          TP 26. α =                         27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º ,
    tangente.                                                           Calcule el QPT.
    Hallar γ, α y δ.




Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                       12
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                               Ángulos en la Circunferencia
                     Solucionario Listado Nº 2: Ejercicios Propuestos
                     Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores.
Ejercicios:
En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo igual.

1. α = ?;     β =?                  2. Halle     los    ángulos    del 3. x = ?;       β =?
                                       cuadrilátero.




Solución:                                                              Solución:
En todo cuadrilátero inscrito en Solución:                             Los ángulos opuestos suman
una ⊗, los ángulos opuestos son Como en cada pareja de ángulos         180º.
suplementarios (suman 180º).     opuestos hay una sola incógnita,      Así, en la figura de arriba, solo
                                 basta tomar cualquier pareja.         nos sirve en un principio los
Así, en la figura de arriba:        10 x + 8 x = 180º                  ángulos opuestos que presentan
                                    18 x = 180º ⇒ x = 10º              en la suma un solo valor
α + 95º = 180º ⇒ α = 85º            Ahora reemplazamos este valor en desconocido, x.
β + 80º = 180º ⇒ β = 100º           cada expresión algebraica de cada 25 x + 80º = 180º
                                    vértice y los ángulos pedidos son: 25 x = 100º ⇒ x = 4º
                                    100º, 120º, 80º y 60º.
                                                                         Ahora reemplazamos el valor
                                                                         hallado de x en la otra pareja de
                                                                         ángulos opuestos.
                                                                         21x + β = 180º
                                                                         21•4 + β = 180º
                                                                         84 + β = 180º ⇒ β = 96º .
4. α, β y γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3         6. DC ≡ CB;        DCB = ?
   5 : 4 : 7. Hallar δ.          Hallar δ.




                                                                         Solución:
Solución:                          Solución:                             La figura se puede completar a
α y γ son ángulos opuestos, por lo De la figura, nos sirve:
tanto suman 180º. Además, están
                                     α +         γ      = 180º
entre sí en la razón 5 : 7.
                                    (2x+3) + (3x – 3) = 180º
 α + γ = 180º
                                    5x = 180º ⇒ x = 36º
 5p + 7p = 180º       (donde p es
                      cada parte)
                                    Ahora que conocemos el valor de x,
                 180º
12p = 180º ⇒ p =      = 15º.        nos dirigimos a la pareja en donde
                  12                se halla el ángulo pedido.
Ahora vamos a ver la pareja de δ + β = 180º                              Pues a lados congruentes se
ángulos opuestos a δ.                                                    oponen ángulos de igual medida.
                                    δ + 4x = 180º
δ + β = 180º                                                             Por lo tanto, el ángulo pedido es
                                    δ + 4 • 36º = 180º                   suplementario con 64º. Así,
δ + 4p = 180º
                                       δ + 144º = 180º                     DCB + 64º = 180º
δ + 4 • 15º = 180º ⇒ δ = 120º
                                             δ = 180º − 144 = 36º        ⇒ DCB = 116º



Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                      13
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gcorbach@uc.cl

7. α = 21º , γ = 63º . x = ?          8. x = ?                           9. x = ?




Solución:                             Solución:                            Solución:
                                      Solo tenemos que x es ángulo
x es ángulo exterior del triángulo,                                        Análogo al anterior:
                                      interior entre las dos cuerdas, pero
por lo tanto, equivale a la suma de                                            81º +134º 225º
                                      es suficiente. Su cálculo viene dado x =           =      = 112, 5º
los dos ángulos interiores no                                                      2         2
                                      por el promedio de los arcos que
adyacentes a el.
                                      “subtiende” el y su opuesto por el
x = α + γ = 21º + 63º = 84º           vértice.
                                          161º +85º 246º
                                      x=           =     = 123º
                                              2      2
10.   APC = ?                         11. α = ?                           12. α = ?




                                    Solución:                            Solución:
Solución:
                                                                         Esta vez conocemos el ángulo
El ángulo pedido tiene vértice en P
                                                                         interior. Su relación con las
–el punto medio de la notación
                                                                         medidas de los arcos es que
del ángulo- y está entre A y C.
                                                                         equivale a su promedio. Es decir,
                                                                                  α +130º
                                                                          85º =
                                                                                     2
                                                                          Ahora despejaremos α.
                                      Con los arcos dados, en principio     85º•2 = α +130º
                                      solo podemos calcular al ángulo x
                                      y su opuesto por el vértice, que se
                                                                          170º −130º = α
                                      ha indicado en la figura.                  40º = α
Su cálculo viene dado por el
promedio de los arcos que x = 60º +70º = 130º = 65º
“subtiende” el y su opuesto por el         2        2
vértice.                           Pero x y α son ángulos adyacentes
     103º +85º 188º                suplementarios, por lo que:
x=             =       = 94º          x + α = 180º
        2          2
                                      65º +α = 180º ⇒ α = 180º −65º
                                                          = 115º




Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                       14
Prof. Guillermo Corbacho C.
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13. AB diámetro; α = ? ; β = ? 14. AB diámetro; DA ≡ BC .              15. γ = ?      ; x =?     ;δ = ?
                                  Si DA = 50º ; CD = ? ; α = ?




                                                                    Solución:
Solución:                         Solución:                         γ = 90º por ser         inscrito que
El diámetro AB divide a la ⊗      Teniendo     presente    que   el subtiende un arco de media
en dos arcos congruentes de       diámetro define dos arcos de circunferencia.
180º.                             circunferencia de 180º y que      x es     exterior del ∆BCP por lo
Aquí tenemos algunas medidas      DA ≡ BC           con DA = 50º    tanto, es igual a la suma de los dos
de arcos, por lo que podemos                                          s interiores no adyacentes a el.
                                  ⇒ BC = 50º                        Esto es, x = 40º + 90º = 130º.
completar las semi ⊗ a 180º       La figura puede completarse a:
cada uno:
                                                                       Nos falta δ, el cual es
                                                                       suplementario con el      ABC (por
                                                                       ser opuestos dentro de un
                                                                       cuadrilátero inscrito en una ⊗)
                                                                       Tenemos:




Y    por   ser α ángulo interior: Y que α es ángulo interior –igual
   40º +100º                      al promedio del arco que
α=           = 70º .              “subtiende” el y su opuesto por el
       2
                                  vértice-, entonces:
                                       180º+80º                        Completando       s interiores en el
                                  α=            = 130º .               ∆ABC (para que su suma sea igual
                                          2                            a 180º) hallamos que:
                                                                           ABC = 60º
                                                                       ⇒ δ = 180º − 60º = 120º.

                                                                       También      se  podría     lograr
                                                                       completando los ángulos interiores
                                                                       a 180º en el ∆ABP con lo que:
                                                                          ABP = 20º.




                                                                       y δ = 120º −(40+20)º
                                                                           = 180º − 60º
                                                                           = 120º.




Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                      15
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16. α :β = 5 :8. Hallar α y β.      17. α     y     βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º.
                                         α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 .  δ= ?
                                        Hallar α y β.




Solución:                           Solución:                         Solución:
α se compone de 5 partes (5p) y β         α +β                        δ es ángulo exterior     a la
de 8 partes (8p). Además, 52º es el 49º = 2                           circunferencia, por lo que se
ángulo interior de α y β.                                             relaciona con α y β por la
                                          2 x − 3+ 3 x +1             igualdad:
Por lo tanto,                       49º =
        5 p + 8 p 13 p                              2                      α −β     138º −50º
52º =            =        / •2      98º = 5 x − 2                     δ=          =
            2      2                                                          2         2
                13 p                100º = 5 x                                      88º
                                                                                  =
104º = 13 p              /:13       20º = x                                          2
   8= p                                                                           = 44º
                                    Reemplazando el valor de x en α
Finalmente,                         y β obtenemos:
α = 5p = 40º y β = 8p = 64º.        α = 2 x − 3 = 37º
                                    β = 3x +1 = 61º
19. α : β = 36 : 13. δ = 46.        20. PD ≡ DA. CA = ?               21. PA ≡ PC.        BD = 53º
    α = ?;    β =?
                                                                           δ =?       ;   CA = ?




                                    Solución:
                                    El ∆APD es isósceles, con:
                                        DAP = APD = 25º
Solución:                                                             Solución:
     α −β                           ⇒ ADP = 130º                      El ∆APC es isósceles, con:
δ=
       2                            ⇒ CDA = 180º −130º = 50º            CAP = ACP = 71º
      36 p − 13 p 23 p              ⇒ CA = 100 º                      ⇒ δ = 180º −142º = 38º
46º =            =            •2
           2       2
                                                                      Además:
92º = 23 p                          Usamos:
                                    - s basales                            CA − β
92                                                                    δ=
   =p                               -Suma de        s interiores en          2
23
                                    ∆ADP.                                     CA − 53º
    α = 36 p = 144º                - s adyacentes suplementarios.    38º =
p=4⇒                                                                            2
     β = 13 p = 52º                También podíamos usar
                                    exterior a un ∆:                  76º = CA − 53º ⇒ CA = 76º +53º
                                         DAP = APD = 25º                                  = 129º
                                     y CA = 2 CDA                     (No es el único camino, también
                                            = 2 ( DAP + DPA )         se puede lograr completando
                                                                      ángulos y arcos en la figura).
                                            = 2 ( 25º +25º )
                                            = 2•50º
                                            = 100º




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22. α = ?;       β = ?;   δ =?    23. α = ?;      β =?                24. TP tangente. α = ?




Solución:                                                             Solución:
                                  Solución:
    100º −50º 50º                                                         130º −64º
δ=           =    = 25º           α +β                               α=
                                                                              2
        2      2                       = 98º 
                                    2         α + β = 196º 
   100º +50º 150º                            ⇒                          74º
α=           =     = 75º          α −β        α − β = 72º 
                                                                        =
        2       2                      = 36º                                2
                                    2        
                                             
β = 105º s ady. suplentarios                     2α = 268º
                                                 ⇒ α = 134º
                                                                        = 37º
                                                 ⇒ β = 62º
25. TA diámetro, TP tangente.     26. α = ?                           27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º ,
     Hallar γ, α y δ.                                                    Calcule el QPT.




                                                                      Solución:
                                  Solución:                           La figura se puede completar a:
Solución:                         El ángulo exterior al triángulo es
La figura se puede completar a:   igual a la suma de los dos ángulos
                                  interiores no adyacentes a el.
                                   48º +55º = 103º (ver sgte. figura)
                                  Y el arco subtendido siempre mide
                                  el doble que el ángulo inscrito que
                                  lo subtiende. Por lo tanto:
                                   α = 206º                           De donde:
                                                                                  242º −118º 124º
Donde:                                                                  QPT =               =
                                                                                       2        2
α = 42º  pues α + 48º = 90º                                                                  = 62º
en ∆ABT.
                                                                      No solo en relación a este ejercicio
γ = 2α = 84º por ser arco que                                         en particular sino que en general,
subtiende                  tal                                        las tangentes trazadas desde un
ángulo inscrito.                                                      mismo punto a una misma
                                                                      circunferencia son SIEMPRE
δ = 48º  pues δ + 42º = 90º                                           congruentes.
en ∆BPT.




Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                     17
Prof. Guillermo Corbacho C.
      gcorbach@uc.cl

                                       Ángulos en la Circunferencia
                                    Listado Nº 3: Ejercicios (Propuestos)
Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____
En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican.
 i) Dibujar sobre la ⊗:           ii) α = ?                               iii) α = ?
 Una cuerda AB que coincida
 con un diámetro de la ⊗;
 Una cuerda CD que toque otros
 dos puntos de la ⊗;
 Una recta tangente PT , formando
 un ángulo de 90º con un radio
  OT ;
 Una recta secante L que corte a iv) AB = α = ?                           v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ?
 la ⊗ en dos puntos.




 vi) AB = α = ?                        vii) AB = α = ?                    viii) α = ?




 ix) α = ?, β = ?                      x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados
                                           de 10 lados de igual medida)       y ángulos inscritos de igual
                                           esta inscrito en la ⊗.             medida.
                                           δ = ?;    EHF = ?; α = ?           γ = ?,    δ = ?, α = ?




 xii) α = ?;  x = ?;                   xiii) x = ?                        xiv) x = ?
        ABC = ?;     CDA = ?




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                            Solucionario Listado Nº 3: Ejercicios Propuestos
Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____
En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro.
Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican.
 i) Dibuja sobre la ⊗:                   ii) α = ?                             iii) α = ?
 Una cuerda AB que coincida
 con un diámetro de la ⊗;
 Una cuerda CD que toque otros
 dos puntos de la ⊗;
 Una semirecta tangente PT ,
 formando un ángulo de 90º con
 un radio OT ;                           Solución:                             Solución:
 Una recta secante L que corte a         α es un ángulo inscrito, por lo       α es un ángulo del centro, por lo
 la ⊗ en dos puntos.                     tanto, mide la mitad que el ángulo    tanto mide el doble que el ángulo
                                         del centro que subtiende el mismo     inscrito que subtiende el mismo
 Solución:                               arco que el:                          arco que el:
                                                        144º                            α = 2 • 60 = 120º
                                                   α=        = 72º
                                                         2

                                         iv) AB = α = ?                        v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ?



 En la figura, la recta L corta a la
 ⊗ en los puntos E y F.
 Además, toda recta tangente a
 una ⊗, forma un ángulo recto
 (90º) con el radio. En la figura:   Solución:
 OT ⊥ PT .                           Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo
                                     mismo que el    del centro que lo Solución:
                                         subtiende. Por lo tanto:              δ es un ángulo del centro que
                                                                               subtiende al AB , por lo tanto,
                                         AB = 160º O bien: α = 160º
                                                                               mide lo mismo que el. Es decir:
                                                                               δ = 130º.
                                                                               Mientras que todo ángulo inscrito
                                                                               mide la mitad que el arco que
                                                                               subtiende, es decir:
                                                                                                 130º
                                                                                            γ=        = 65º
                                                                                                  2
 vi) AB = α = ?                          vii) AB = α = ?                       viii) α = ?




 Solución:                               Solución:     Completamos       los   Solución: AD y DB forman
 El arco α mide lo mismo que el            s adyacentes suplementarios (que    media circunferencia, es decir 180º.
 del centro que lo subtiende y este a    sumados dan 180º) hallando la         Así, AD = 180º −68º = 112º
 su vez, el doble que el      inscrito   medida del inscrito de 65º.           y α que subtiende al = 112º
 que subtiende al arco α. Es decir,      El respectivo      del centro y α     es inscrito. Por lo tanto mide su
 α=      del centro = 2•34º = 68º .      miden su doble: α = 2•65º = 130º .    mitad: α = 112º /2 = 56º .




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ix) α = ?, β = ?                       x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados
                                           de 10 lados iguales) esta                      y ángulos inscritos de igual
                                           inscrito en     la    ⊗.                       medida.
                                           δ = ?;            EHF = ?; α = ?                 γ = ?,     δ = ?, α = ?




Solución:                              Solución:
                                                                                       Solución:
Todos los           s inscritos que    Cada vértice del decágono regular
                                                                                       Cada vértice de la estrella divide
subtienden el mismo arco de ⊗ son      divide los 360º de la circunferencia
iguales. Es decir, β = 21º.                                                            los 360º de la ⊗ en 5 arcos y
                                       en diez arcos y ángulos del centro
Y todo      del centro que subtienda                                                   ángulos del centro congruentes.
                                       congruentes.
el mismo arco de ⊗ que un                                                                              360º
                                                        360º                           Es decir, γ =        = 72º .
inscrito, medirá el doble que este.    Es decir, δ =         = 36º.                                     5
                                                         10
Es decir, α = 2 • 21º = 42º.           Entonces,        el     ángulo      inscrito:
                                                                                       Todo ángulo del centro tiene igual
                                                                                       medida que el arco que subtiende,
                                                    δ        36º                       por lo tanto:
                                         EHG =          =        = 18º.
                                                    2         2                                  δ = γ = 72º
                                       Y se puede observar que α equivale
                                                                                       δ 72º
                                       a seis medidas de 18º. Es decir:   Mientras, α = =    = 36º .
                                                α = 6•18º = 108º .                     2 2
xii) α = ?;   x = ?;                   xiii) x = ?                                     xiv) x = ?
       ABC = ?;      CDA = ?




Solución:                          Solución: x es  interior y su Solución: x es exterior a la ⊗ y su
  s opuestos en una ⊗ son medida queda determinada por:          medida queda determinada por:
suplementarios (sumados dan 180º)      AB + CD 82º+ 66º 148º         AB − CD 105º − 27º 78º
Así pues, α + 100º = 180º ⇒ α= 80º x=          =        =        x=            =            =
                                           2      2        2             2          2          2
A su vez, 6 x + 4 x = 180º                                                                 = 39º
                                                                          = 74º
             10 x = 180º ⇒ x = 18º
⇒     ABC = 6 • 18º = 108º.
⇒     CDA = 4 • 18º = 72º.




     Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                                      20
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                                Ángulos en la Circunferencia
                              Listado Nº 4: Ejercicios Propuestos

Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____

Ejercicios:
Calcular las medidas de α y β según corresponda.
1. α = ?;      β =?                2. φ = ?;    δ =?                3. β = ?;    γ =?




4. α = ?;      β =?                5. α = ?;    β =?                6. α = ?;    β =?




7. α = ?                           8. α = ?                         9. AT = 54°; con OT radio.
                                                                      y PT ⊥ OT. Entonces, α = ?




10. α = ?;      β =?               11. α = ?                        12. α = ?;   β =?




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13. AC es tangente a la ⊗     14. α = ?;     β =?                15. α = ?;   β =?
    α = ?;     β= ?




16. α = ?;      β =?          17. Si α = 130º , entonces β = ?   18. α = ?;     β =?




19. α = ?;       β =?         20. α = ?;      β =?               21. α = ?;    β =?




22. α = ?                     23. α = ?;     β =?                24. α = ?;    β =?




25. α = ?                     26. PB es tangente.    α =?        27. ABCDE es polígono regular.
                                                                     α =?




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                 Segmentos Proporcionales en la Circunferencia
Definición:
1. Se define llama “Potencia de un punto P ” respecto a la circunferencia, al número
   Pot(P), que se define como: Pot ( P) = PA • PB .
Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)
i) Si PA = 3 y AB = 12.        ii) Si PA = 4 y PB = 25      iii) P coincide con A.
   Pot (P ) = PA•PB                                              AB = 17




                                   Pot(P) = PA•PB
           = 3•( PA + AB )                = 4•25                   Si P coincide con A:
                                                                   PA = 0 y PB = AB =
           = 3•( 3+12 )                   = 100
                                                                   17.
           = 3 • 15                                                Entonces:
           = 45                                                    Pot ( P) = PA • PB
                                                                           = 0•17
                                                                           =0
iv) Sea P un punto exterior a v) Si P es punto interior a una ⊗ vi) Aún cuando los puntos
    una ⊗ de radio r.            de radio r y a una distancia d     de la cuerda no
    Y d la distancia que hay     del centro de ella :               coincidan   con    el
                                                                    diámetro,  pero    se
    de P al centro de la ⊗.
                                                                     mantiene el radio r de
                                                                     la ⊗ y la distancia d del
                                                                     punto P al centro, la
                                                                     potencia no varía.




    La potencia de P es:           Pot ( P) = PA • PB
    Pot ( P) = PA • PB                    = ( r − d )( d + r )
            = ( d − r )( d + r )          = − ( d − r )( d + r )
            = d 2 − r2                    = r2 − d 2               El       teorema       a
                                                                   continuación garantiza
                                                                   que: PC•PD = PA•PB

2. Teorema de las Cuerdas
Dada la siguiente figura de la derecha, se tiene que:
        ϕ = φ por ser s opuestos por el vértice.
        α = β por ser s inscr. que subtienden un mismo arco.
Por criterio de semejanza ángulo- ángulo (A.A.)
 Se concluye que el ∆APC ∼ ∆BDP.
Esto implica que podemos escribir la proporción:
                             PA PC
                                 =
                             PD PB
Esto significa o nos dice que “Los segmentos de dos cuerdas que se intersectan al interior
de un circulo, son inversamente proporcionales”.
Haciendo el producto cruzado, se obtiene: PA • PB = PC • PD .
Lo que significa que “la potencia de un punto a través de una cuerda, es igual a la
potencia del mismo punto, a través de la otra cuerda”. Tal propiedad se denomina
“Teorema relativo a la potencia de un punto interior a la circunferencia”.



Parinacota, Quilicura 2K09.                                                               23
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Más conocido como “Teorema de las cuerdas”: “Si dos cuerdas de una ⊗ se intersectan
en un punto P, el producto de las medidas de los segmentos definidos en una cuerda, es
igual al producto de las medidas de los segmentos definidos en la otra cuerda”.

Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)
i) PA = 16; PB = 2;            ii) Hallar PD si:               iii) Hallar x = PC si:
   PC = 8; PD = 4.                 PA = 5; PB = 12; PC = 3.         AP = 3; PB = 8; PD = 4.




El teo. de las cuerdas nos
muestra que:                      Por teo. de las cuerdas:        Por teo. de las cuerdas:
PA•PB = PC•PD                     PA•PB = PC•PD                   PA•PB = PC•PD
 16 •2 = 8•4                         5•12 = 3•PD                    3•8 = PC•4
                                       60                             24
    32 = 32                               = PD ⇒ PD = 20                 = PC ⇒ PC = 6
                                        3                              4

3. Es importante tener presente también, que “toda cuerda que pase por el centro de la
   circunferencia divide en dos partes iguales a todo segmento rectilíneo perpendicular
   a ella. Además, la intercepción con tal trazo rectilíneo biseca al ángulo del centro”.
   Lo que se quiere indicar es, que dada una figura como la siguiente:
                            Tenemos:
                                   AD = DB ;      µ =ϕ ;          AE = EB ;
                                   Además de lo más obvio, ∆OAB es isósceles, pues:
                                   OA y OB son congruentes (radios de la ⊗) .
                                   ⇒ OAB = OBA ( s basales del ∆).


Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)
i) Hallar x si: PA = 3;       ii) Hallar x y CD si:            iii) Hallar x y AB si:
PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27                                  OC = 10; PD = 4; PA = PB = x
y PC = PD = x




                               Primero identifiquemos los
                               segmentos:                     Por teo. de las cuerdas:
El     diámetro      AB     es El radio mide 13.              PA•PB = PC•PD
perpendicular a la cuerda CD , PA = r + OP
                                                               x • x = ( PO + OC )•4
por lo tanto, dimidia a esta       = 13+ ( r − 8 ) ; r radio
ultima. Es decir, CP = PD y                                        x 2 = (10 − 4 ) +10 •4
por el teo. de las cuerdas:
                                         (      )
                                   = 13+ 13 − 8 = 26 − 8 = 18                          
PA•PB = PC•PD                  PB = 8, PC = PD = x .                 x 2 = [16 ]•4
  3•27 = x• x                  Y por teo. de las cuerdas:             = 64
                               PA•PB = PC•PD
     81 = x2         /                                             ⇒ x=8
                                 18•8 = x• x
       9= x                                                        ⇒ AB = 2 x = 16
                                   144 = x2         /
                                    12 = x ⇒ CD = 2x = 24


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Los ejercicios anteriores se pueden resolver también, combinando el teorema de las cuerdas
con la potencia de un punto P interior a una ⊗. Veamos:
La expresión hallada para la Pot(P) en el interior de una ⊗ fue:
                                                      Pot ( P) = r 2 − d 2


Veámoslo:
(Las siguientes figuras no están a escala)
i) Hallar x si: PA = 3;         ii) Hallar x y CD si:              iii) Hallar x y AB si:
 PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27                                     OC = 10; PD = 4; PA = PB = x
y PC = PD = x




                             Primero identificamos:
                             − El radio: r =13.                    Primero identificamos:
− El radio es r = 15.        − De B a P tenemos 8, por lo          − El radio: r =10.
− La distancia de P al centro tanto faltan 5 para alcanzar
                                                                   − De D a P tenemos 4, por lo
   es d = 12.                  la medida del radio igual a           tanto faltan 6 para alcanzar
− Luego, por potencia de un 13.
                                                                     la medida del radio igual a
   pto. interior a una ⊗:      ⇒ La distancia del punto P            10.
Pot ( P) = r 2 − d 2           al centro de la ⊗ es:                 ⇒ La distancia del punto P
                               d = PO = 5.                           al centro de la ⊗ es:
          = (15 ) − (12 )
                 2        2
                             − Luego, por potencia de un             d = PO = 6.
          = 225 − 144          pto. interior a una ⊗:              − Luego, por potencia de un
          = 81                Pot ( P) = r 2 − d 2                 pto. interior a una ⊗:
Y por teo. de las cuerdas:                                         Pot ( P) = r 2 − d 2
                                       = (13) − ( 5 )
                                               2     2
PC•PD =81
                                                                             = (10 ) − ( 6 )
                                       = 169 − 25                                   2      2
x 2 = 81 ⇒ x = 9
                                       = 144                                 = 100 − 36
                             − Y por teo. de las cuerdas:                  = 64
                             PC•PD =144                            − Y por teo. de las cuerdas:
                              x• x = 144
                                                                   PA•PB =64
                                 x 2 = 144 ⇒ x = 12                x• x = 64
                                          ⇒ CD = 2 x = 24            x 2 = 64 ⇒ x = 8
                                                                              ⇒ AB = 2 x = 16




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                             Relaciones métricas en la Circunferencia
                              Listado nº1: Ejercicios Propuestos
Relativo a teoremas de:
          Potencia de un punto;
          las cuerdas;
          diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda;

Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____
Ejercicios
Halle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado.
1. Si PA = 3 y PB = 11             2. P punto medio de AB .           3. PA = 6 y AB = 24 ;
   Halle la Pot(P) = PA • PB       Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ?      La Pot(P) = PA • PB = ?




4. u = ?                           5. v = ?                           6. x = ?




7. x = ?                           8. y = ?                           9. z = ?




10. x = ?; CD = ?                  11. y = ?; AB = ?                  12. z = ?, CD = ?




     Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                26
Prof. Guillermo Corbacho C.
    gcorbach@uc.cl

13. x = ?                         14. y = ?                     15. z = ?




16. x = ?                         17. x = ?                     18. z = ?




19. x = ?                         20. y = ?                     21. z = ?




22. AB diámetro. Si PA = 9;       23. AB diámetro.              24. AB diámetro.
    PB = 4 y PD = 6. s = ?            PA = 3 y PB = 27. u = ?       PA = 2 y PB = 8. v = ?




25. OA radio de la ⊗ .            26. OA radio de la ⊗ .       27. OB radio de la ⊗ .
    OP = 5 y PA = 8. s = ?              OP = 6; PA = 4. CD = ?       PB = 9; OP = 8. CD = ?




    Parinacota, Quilicura 2K09.                                                        27
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                             Relaciones Métricas en la Circunferencia
                       Solucionario Listado Nº 1: Ejercicios Propuestos
Relativos a teoremas o propiedades de:
          Potencia de un punto;
          las cuerdas;
          el diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda;
Ejercicios: Halle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado.
1. Si PA = 3 y PB = 11             2. P punto medio de AB .           3. PA = 6 y AB = 24 ;
   Halle la Pot(P) = PA • PB       Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ?      La Pot(P) = PA • PB = ?




                                   Solución:
Solución:
                                   Pot(P) = PA • PB = 7 • 7 = 49      Solución:
 Pot(P) = PA • PB = 3 • 11 = 33                                       Pot(P) = PA • PB
                                                                             = 6 • (6+24)= 6 •30 = 180
4. u = ?                           5. v = ?                           6. x = ?




Solución:                          Solución:                          PA•PB = PC•PD
 PA•PB = PC•PD                     PA•PB = PC•PD
                                                                          4• x = 8•6      48
   8•4 = 2•u      32                  6•7 = 4•v      42                            ⇒ x=    = 12
             ⇒u =    = 16                       ⇒u =    = 10, 5          4 x = 48       4
    32 = 2u       2                    42 = 4v       4
7. x = ?                           8. y = ?                           9. z = ?




   x•10 = 5•11     55                8 y = 6•9       54 27              3 z = 5•4       20
              ⇒ x=    = 5, 5                    ⇒ x=    =                         ⇒ z =
    10 x = 55      10                  8 y = 54       8   4             3 z = 20         3

10. x = ?; CD = ?                  11. y = ?; AB = ?                  12. z = ?, CD = ?




                         2                             3
                  6•14              9 • 2 = 3y ⇒ y =
                                                     9 •2
                                                          =6          5 z = 3•15 ⇒ z = 9
 6•14 = 7 x ⇒ x =      = 12
                   17                                 13




     Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                28
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13. x = ?                                      14. y = ?                                15. z = ?




x•3 x = 25•12                                  3 y2 = 12•16                             4 z2 = 27•12
                   4                                  4 12 •16                                          3
       25•12                                                                             2  27•12
⇒ x2 =       = 100               /             y2 =               = 64 /                z =       = 81 /
         13                                              13                                   14
    x = 10                                      y =8                                     z =9
16. x = ?                                      17. x = ?                                18. z = ?




x ( x + 4 ) = ( x + 2 )( x +1)                 ( y + 2 )( y + 2 ) = ( y + 5) y          ( z + 3)( z + 4 ) = ( z + 9 ) z
x 2 + x 4 x = x 2 + ( 2 +1) x             +2    y 2 +0x 4 y + 4 = y 2 + 5y               z 2 +0x 7 y +12 = z 2 + 9 z 2z
                                                                                 1y
                           3x        0x                     4= y                                      12 = 2 z
             x=2                                                                                       6= z
19. x = ?                                      20. y = ?                                21. z = ?




(2 x + 3)( x + 4 ) = ( x + 6 )(2 x +1)         (2 y +1)( y + 6 ) = ( y + 5)(2 y + 2 )   ( 3z − 2 )( z +1) = ( z − 1)( 3z + 5)
2 x 2 +11x +12 = 2 x 2 +13 x + 6               2 y 2 +13 y + 6 = 2 y 2 +12 y +10             3z 2 + z − 2 = 3z 2 + 2 z − 5
             6 = 2x                                          y=4                                       3= z
             3= x
22. AB diámetro. Si PC = 7;                    23. AB diámetro.                         24. AB diámetro.
       s=?                                         PA = 3 y PB = 27. u = ?              PA = 6 y OB = r = 15. CD = ?




 La perpendicular que viene PA•PB = PC•PD                                               En esta ocasión usaremos:
 desde el centro siempre divide
 una cuerda por la mitad.       3•27 = u2                                               PC•PD = r 2 − d 2
 Por lo tanto, s = 7.             81 = u 2                                              s2 = (15 ) − ( 9 ) = 225 − 81 = 144
                                                                                                    2        2

                                                       9=u                              ⇒ s = 12 ⇒ CD = 2 s = 24




      Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                                         29
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25. AB diámetro. PO = 5;           26. AB diámetro.                   27. AB diámetro.
    PA = 8 s = ?; CD = ?               PO = 10; PA = 6. CD = ?              PB = 9; OP = 8; CD = ?




Primero identificamos:             Primero identificamos:
− El radio: r = AO = 8 + 5 = 13.   − El radio: r = AO = 2 + 8 = 10.   Primero identificamos:
− La distancia d de P al centro    − La distancia d de P al centro    − El radio: r = AO = 8 + 9 = 17.
  de la ⊗ es 5 ⇒ PO = d = 5.          de la ⊗ es 6 ⇒ PO = d = 8.      − La distancia d de P al centro de
− Luego, por potencia de un pto.   − Luego, por potencia de un           la ⊗ es 8 ⇒ PO = d = 8.
  interior a una ⊗:                   pto. interior a una ⊗:          − Y por potencia de un pto.
                                   Pot ( P) = r 2 − d 2                  interior a una ⊗:
Pot ( P) = r 2 − d 2
                                                                      Pot ( P) = r 2 − d 2
                                           = (10 ) − ( 8 )
                                                  2       2
        = (13) − ( 5 )
               2       2
                                                                              = (17) − ( 8 )
                                                                                     2       2
        = 169 − 25                         = 100 − 64
                                          = 36                                = 289 − 64
      = 144
− Y por teo. de las cuerdas:       − Y por teo. de las cuerdas:               = 225
PC•PD =144                         PC•PD =36                          − Finalmente, por teo. de las
   s•s = 144                          u •u = 36; u = PC = PD          cuerdas:
                                        u 2 = 36 ⇒ u = 6              Sea x la medida de CP = PD
     s 2 = 144 ⇒ s = 12
                                                                      ⇒ PC•PD = 125
                ⇒ CD = 2 s = 24                  ⇒ CD = 2u = 12              x• x = 125
                                                                               x 2 = 125 ⇒ x = 15
                                                                                         ⇒ CD = 2 x = 30




     Volviendo con puntos de contenidos,…

     4. Teorema de las Secantes
     Dada la siguiente figura de la derecha, se puede probar que:
             PA • PB = PC • PD .
     Que es la misma expresión que teníamos para la igualdad
     de potencias de un punto en dos cuerdas, pero esta vez,
     como muestra la figura, será en dos secantes.
     Veamos:
     En la figura, tenemos el ∆PAD y el ∆PCB.
     En ellos:
             β = δ por ser s inscritos que subtienden el mismo arco de ⊗.
             Además comparten el φ , por estar este ángulo en ambos ∆s.
     Luego, por criterio de semejanza: ángulo – ángulo (A.A) se concluye que:
     El ∆APC ∼ ∆BDP.

     Esto implica que podemos formar la proporción:
     el lado exterior a la ⊗ del ∆PAD el lado exterior a la ⊗ del ∆PCB
                                     =
         el lado secante del ∆PAD         el lado secante del ∆PCB
                                   PA PC
                                     =
                                   PD PB


     Parinacota, Quilicura 2K09.                                                                    30
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   Y efectuando el producto cruzado, obtenemos:
                          PA • PB = PC • PD
   Así como esta expresión en dos cuerdas se conoce como teorema de las cuerdas, nos resulta
   obvio entonces, la denominación de esta expresión en dos secantes. “Teorema de las
   secantes” y que se puede enunciar así:
   “Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la
   medida de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por
   su respectivo segmento exterior”

   De aquí surgen una serie de ejercicios, de los cuales ilustraremos en principio, algunos a
   modo de ejemplos:

   Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala)
i) Si PA = 4; AB = 5;           ii) PC = 3; CD = 27; PB = 15   iii) PA = 6; PC = 8; CD = 10
   y PD = 12; PC = x = ?            PA = x = ?                      AB = y = ?




                                  Por teo. de las SECANTES:    Por teo. de las SECANTES:
Por teo. de las SECANTES:                                       PA•PB = PC•PD
  PA•PB = PC•PD                   PA•PB = PC•PD
                                    x •15 = 3•( 3+ 27) / :12    6 ( y + 6 ) = 8 ( 8 +10 )   / :12
4 •( 4 + 5 ) = x•12     / :12
                                                 30                               •18
      4•9
          =x                         15 x = 90         / :15     6 y + 36 = 144
      12
       36                                90                           6 x = 144 − 36 = 108 / : 6
          =x                           x=
       12                                15                                  108
                                                                        x=       = 18
        3= x                           x=6                                    6




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   5. Teorema de la secante con la tangente.
      Si los dos puntos con que una secante corta a la circunferencia tuviesen libertad de
      moverse, uno hacia al otro y en la misma circunferencia, tendríamos una situación
      como la siguiente:




      Las situaciones inicial e intermedia se conocen, como hemos visto, por teorema de las
      secantes.
      La situación final nos queda con una sola secante y un segmento tangente debido a que
      C y D ocupan el mismo espacio. Es decir, son el mismo punto geométrico.

      Debido a esto, es que podemos reemplazar en el teorema de las secantes, a D por C (o
      viceversa) quedándonos la expresión matemática:
                                          PA • PB = PC 2
      Conocida como “Teorema de la secante con la tangente”.
      Es frecuente que este teorema se presente gráfica y algebraicamente como:

                                         PA • PB = PT 2




   6. Teorema de la tangente con la 7. Dos cuerdas congruentes tienen igual
      tangente                          distancia al centro de la circunferencia.
      “Si desde un punto exterior a una
      circunferencia se   trazan    dos
      tangentes a ellas, entonces los
      segmentos de las tangentes son
      congruentes”



                                                AB ≅ CD ⇒ MO = ON




            PT1 ≅ PT2
      Además, OP biseca los          s del
      centro y del vértice.




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   8. Cuadrilátero Circunscrito                   9. Teorema de Ptolomeo
      Un cuadrilátero cuyos lados son              Recordemos que, un cuadrilátero se dice que
      todos tangentes a una circunferencia        está inscrito a una circunferencia si todos sus
      se dice que está circunscrito o es          vértices se hallan sobre la misma.
      circunscriptible a ella.                    Siendo así, Ptolomeo de Alejandría presentó en
                                                  su libro “Almagesto” 150 D.C. que:
      Ahora bien, en todo cuadrilátero
      circunscrito a una circunferencia, la       “En todo cuadrilátero inscrito             en   la
      suma de dos lados opuestos es igual         circunferencia, el
      a la suma de los otros dos lados            producto de las
      opuestos.                                   diagonales es igual
                                                  a la suma de los
                                                  productos de los
                                                  lados opuesto”
                                                  En la figura: a, b, c
                                                  y d son segmentos
                                                  de los lados del
                                                  cuadrilátero, d1 y d2 sus diagonales.
                                                                     d1•d 2 = ac + bd

                                                       Ejemplo:
                 AB + CD = BC + DA
                                                       En     el   trapecio
         ( a + b ) + ( c + d ) = ( b + c ) + ( d + a ) isósceles ABCD las
      En la figura: a, b, c y d son diagonales d1 y d2
      segmentos de los lados del son iguales ¿Cuánto
      cuadrilátero.                                    mide cada una?

      Ejemplo:                                    Solución:
                                                  d1•d 2 = ac + bd            con d1 = d 2
                                                                  5
                                                   ( d1 )2 = 2•2 + 3•
                                                                    = 4 + 5 = 9  d1 = d 2 = 3
                                                                                  →
                                                                  3
                                                  Cada diagonal mide 3.

                                                  El teorema de Ptolomeo se reduce a lo más, a
                                                  una curiosidad en la actualidad.
       AB + CD = BC + DA
       30 + 24 = 22 + 32
            54 = 54
   10. Teorema Particular de Pitágoras
     “En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
                                         cuadrado de la hipotenusa.”


                                                   La figura ilustra además, como el teorema de
                                                   Pitágoras se presenta y visualiza en torno a una
                                                   circunferencia.




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                      Ejercicios de Aplicación del teorema particular de Pitágoras

(Las siguientes figuras no están a escala)
i) r = ?                             ii) r = ?                     iii) r = ?
Hint. : Usar teo. de Pitágoras
 y secante con tagente.




Solución:                      Solución:                           Solución:
Aplicando Pitágoras en ∆PTB, Por Pitágoras en ∆PTB:                Por Pitágoras en ∆PTB:
rectángulo en T. Tenemos:
                               PB2 = PT2 + TB2                     PB2 = PT2 + TB2
   2       2     2
PB = PT + TB
                               Y por teo. secante con tangente::   Y por teo. secante con tangente::
Y aplicando teo. secante con
                               PB2 = PA•PB + TB2                   PB2 = PA•PB + TB2
tangente en esta igualdad,
obtenemos:
                               Reemplazando los valores:           Reemplazando los valores:
PB2 = PA•PB + TB2                       2                                       2
                                                                                       
                               10 + 8  = 10  10 + 8  + BT2      75 + 25  = 75  75 + 25  + BT2
Reemplazando valores:                                                                  
                                18           18                 100            100 
         2
                           324 = 180 + BT 2
12 + 4  = 12 12 + 4  + BT2                                     10.000 = 7.500 + BT 2
                    
 16           16           ⇒ BT 2 = 324 − 180                  ⇒ BT 2 = 10.000 − 7.500
 256 = 192 + BT 2                                = 144   /              = 2.500                 /
 ⇒ BT 2 = 256 − 192                  ⇒ BT = 12                     ⇒ BT = 50
      = 64                                   BT 12                     BT 50
                                     ⇒r=        = =6               ⇒r=     =    = 25
 ⇒ BT = 8                                     2  2                      2    2
       BT 8
 ⇒r=     = =4
        2 2




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                                     Relaciones Métricas en la Circunferencia
                                        Listado nº 2: Ejercicios Propuestos
Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____
Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala)
1. Si PA = 4; AB = 5; PD = 20         2. PA = 6; AB = 8; PD = 12       3. PA = 10; CD = 38; PC = 12
     PC = x = ?                          PC = y = ?                       CD = z = ?




4. PA = 5; AB = 19; PC = 6            5. PA = 4; AB = 21; PT = x = ?   6. PA = 4; AB = 5; PT = y = ?
   CD = u = ?; PC = ?




7. PD = ? y QT = ?                    8. PA = ? y QT = ?               9. x = ?; PA = ?; PB = ?; PC = ?




10. x = ?; Pot(P) = ?                 11. ¿Cuánto mide la tangente PT ? 12. PT1 y PT2 son tangentes.
                                                                            PT2 = x = ?




13. AB = 29; BC = 23; CD = 20         14. x = ?                        15. PA = 6; AB = 2; r = ?
    AD = ?                                                             Hint.: Usar teo. de Pitágoras y
                                                                       secante con tangente.




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                                          Relaciones Métricas en la Circunferencia
                                     Solucionario Listado nº 2: Ejercicios Propuestos

Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____
Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala)
i) Si PA = 4; AB = 5; PD = 20               ii) PA = 6; AB = 8; PD = 12       iii) PA = 10; CD = 38; PC = 12
      PC = x = ?                                 PC = y = ?                                          CD = z = ?




Solución:                                   Solución:                         Solución:
 PA • PB = PC • PD                          PA • PB = PC • PD                 PA • PB = PC • PD
4 ( 4 + 21) = 20 x                          6 ( 6 + 8 ) = 12 y                10 (10 + 38 ) = 12 ( z +12 )   / :12
     25                                         14                                     48
      100 = 20 x ⇒ x = 100/20 = 5                 84 = 12 y ⇒ y = 84/12 = 7              4
                                                                              10• 48
                                                                                     = z +12 ⇒ z = 40 − 12 = 28
                                                                                1 12
                                                                                  40

iv) PA = 5; AB = 19; PC = 6                 v) PA = 4; AB = 21; PT = x = ? vi) PA = 4; AB = 5; PT = y = ?
    CD = u = ?; PC = ?




                                            Solución:                         Solución:
                                            PA • PB = PT                      PA • PB = PT
Solución:
PA • PB = PC • PD                           4 ( 4 + 21) = x 2                 4 ( 4 + 5) = y 2
5 ( 5 +19 ) = 6 ( 6 + u )     / :6               25                                9
     24                                            100 = x 2     /                  36 = x 2      /
          4                                         10 = x                           6=x
5• 24
              = 6 + u ⇒ u = 20 − 6 = 14
  16
   20




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Circunferencia y circulos
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  • 1. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Notas del Autor El presente trabajo, junto con compilar y deducir parte de los contenidos -ya existentes por lo demás, desde la antigua Grecia- presenta en su amplia mayoría ejercicios elaborados personalmente. Algunos de los cuales se pueden hallar -con alguna variación numérica, dentro de los textos indicados en la bibliografía. Como el estudiante puede sospechar, la dificultad para todo profesor no está en la elaboración mental de los mismos, sino más bien en el tiempo invertido para llegar a la elaboración de un trabajo digital al cual podremos consultar. Y sumando en tal dirección, espero sea un aporte para alumnos, profesores y en cierta medida, para quienes se preparan en alguna prueba de admisión universitaria. Es así como hoy me toca poder invitarlos a los temas o contenidos de Circunferencias y Círculos. Figuras y formas que desde de la antigüedad han inspirado interpretaciones o significados cercanos a la belleza o a la perfección más allá de la geometría. El tenerlas presente me han reportado y reportan mucho disfrute personal, cada vez que me hallo con ellas. Espero que a uds. también, desde la perspectiva de sus contenidos y variados ejercicios. Guillermo Corbacho Castro. Profesor de Matemáticas y Física y Licenciado en Educación. Titulado y graduado de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Parinacota, Quilicura, 2k09 1
  • 2. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl ÍNDICE A Ángulos en la circunferencia......................... 3 Listado Nº 3 Ejercicios (Resueltos) Ángulo del centro ............................................ 3 Segmentos proporcionales.............................. 43 Ángulo inscrito .............................................. 3 Listado Nº 4 Ejercicios (Propuestos) Ángulo semi inscrito ........................................ 5 Segmentos proporcionales.............................. 46 Ángulo exterior a una circunferencia Listado Nº 5 Ejercicios de Recapitulación: formado por dos secantes............................... 10 Ángulos en la circunferencia y Segmentos con uno de sus lados como tangente .............. 10 proporcionales ................................................ 47 Ángulo interior a una circunferencia ............. 10 Listado Nº 6 Ejercicios de Recapitulación Nº 2: Áreas y perímetros....................................... 59 Ángulos en la circunferencia y segmentos Algo podremos inducir. ................................. 61 proporcionales ................................................ 49 Áreas y Perímetros combinados con: Listado Nº 1 de Ejercicios (Resueltos) propiedades de ángulos en la circunferencia.. 82 Segmentos Circulares ..................................... 73 triángulos ....................................................... 97 Listado Nº 2 de Ejercicios (Resueltos) Área de un triángulo rectángulo..................... 98 Flor de Ejercicios en Segmentos Circulares ... 76 Área de un triángulo en función de la altura .. 98 Listado Nº 3 de Ejercicios (Resueltos) Área de un ∆ circunscrito.............................. 99 Áreas y Perímetros sobre un fondo cuadrado. 78 Área de un ∆ inscrito .................................... 99 Listado Nº 4 de Ejercicios (Resueltos) Áreas y Perímetros ......................................... 84 C Listado Nº 5 de Ejercicios (Propuestos) Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ... 10 Áreas y Perímetros ......................................... 94 Cuerda que pasa por el centro dimidiando ⊥ . 24 Lúnula .......................................................... 100 Cuerdas congruentes ...................................... 32 Listado Nº 6 de Ejercicios (Resueltos) Cuadrilátero Circunscrito.Suma de lados....... 33 Áreas y Perímetros: Circunferencias Control de Ángulos en la circunferencia y combinadas con triángulos ........................... 103 Segmentos proporcionales Fila Atenea..... 51 Listado Nº 7 de Ejercicios (Propuestos) Control de Ángulos en la circunferencia y Áreas y Perímetros combinados con teorema de Segmentos proporcionales Fila Apolo ...... 54 Pitágoras ....................................................... 108 Control de Ángulos en la circunferencia y Listado Nº 8 de Ejercicios (Propuestos). Segmentos proporcionales Fila Afrodita... 57 Áreas y Perímetros ....................................... 117 Control de Ángulos en la circunferencia y P Segmentos proporcionales Fila Ares......... 58 Corona Circular.............................................. 63 Potencia de un punto P ................................... 23 Considere la utilidad de simplificar ............... 67 Perímetro de la circunferencia........................ 59 Circunferencias y Círculos en fondo cuadrado Perímetros de bases AB en triángulos AOB ....................................................................... 78 Segmentos Circulares ..................................... 72 Cuadratura del área 101 Puntos notables en el triángulo....................... 98 E R Elementos de la circunferencia ........................ 3 Relaciones de Áreas en ∆s OAB de ángulos del Ejercicios de Aplicación del teorema particular centro, suplementarios entre sí ....................... 71 de Pitágoras en Métrica en la circunferencia . 34 S Ejercicios Resueltos y Propuestos. Nivel básico. Áreas y Perímetros....................................... 110 Segmentos Proporcionales ........................... 23 Sector Circular................................................ 65 G Segmento circular........................................... 68 Guía de Autoaprendizaje. Áreas y Perímetros T ..................................................................... 110 Trapecio Isósceles inscrito ............................. 10 L Teorema de las Cuerdas ................................. 23 Listado Nº 1 Ejercicios (Resueltos) Teorema de las Secantes................................. 30 Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos.. 6 Teorema de la secante con la tangente ........... 32 Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos) Teorema de la tangente con la tangente ......... 32 Cuadriláteros Inscritos, ángulos interiores y Teorema de Ptolomeo..................................... 33 exteriores a la circunferencia ......................... 11 Teorema Particular de Pitágoras..................... 33 Listado Nº 3 Ejercicios (Propuestos) Trapecio Circular............................................ 64 Ángulos en la circunferencia ......................... 18 Tabla de áreas de ∆s OAB Listado Nº 4 Ejercicios (Propuestos) (segmentos circulares).................................... 70 Ángulos en la circunferencia ......................... 21 Tabla de perímetros de bases de ∆s OAB Listado Nº 1 Ejercicios (Propuestos) (segmentos circulares).................................... 72 Segmentos proporcionales ............................. 26 Teorema de Pitágoras (Repaso) Listado Nº 2 Ejercicios (Propuestos) Números Pitagóricos ...................................... 97 Segmentos proporcionales ............................. 35 Listado Nº 2 (Alternativo) BIBLIOGRAFIA.......................................... 118 Segmentos proporcionales ............................. 39 Parinacota, Quilicura, 2k09 2
  • 3. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA I. Elementos de la circunferencia: O es centro de la ⊗; OT , OQ y OB son radios de la ⊗; AB cuerda de la ⊗; QT diámetro de la ⊗; L1 y L 2 son rectas secantes a la ⊗; L3 es tangente a la ⊗; α es ángulo interior de la ⊗; δ es ángulo exterior a la ⊗; II. Propiedades 1. El ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito. O bien; el ángulo inscrito mide la mitad que el ángulo del centro. Ejemplos: Para hallar el valor incógnito, usar la primera representación de la propiedad indicada será suficiente: “el ángulo del centro mide el doble que su ángulo inscrito”. Solución: Solución: Solución: 126º = 2α /• 1 α = 2 • 52º 60º = 2α /• 1 2 2 = 104º 63º = α 30º = α 2. El ángulo del centro mide lo mismo que el arco de circunferencia que subtiende. Tal como se ilustra en la figura. AB = α = AOB Ejemplos: α = AB = 122º α = 115º AB = 80º Parinacota, Quilicura, 2k09 3
  • 4. Prof. Guillermo Corbacho C. 3. Los ángulos inscritos que subtienden el O bien, el ángulo del centro mide el mismo ángulo del centro -o arco de doble que todos los ángulos inscritos circunferencia, son iguales entre sí y que subtienden el mismo arco que el, miden la mitad que el ángulo del cuya medida de este último, es centro –así como del arco que también el doble que ellos. subtiende. Ejemplos: Recordatorios: En ejercicios de esta unidad, aparecen en ocasiones triángulos inscritos (adentro) de una circunferencia. Por lo tanto es pertinente recordar de los triángulos que: La suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º. Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el. α + β + γ = 180º α +γ =δ Dos ángulos adyacentes suplementarios suman 180º. En la figura anterior: β + δ = 180º En una circunferencia debemos tener que: Toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, es diámetro de ella –la dimidia en dos partes iguales-. Todo triángulo dentro de una circunferencia que tengas dos lados coincidentes con un radio, es isósceles. Y los ángulos interiores -del mismo triángulo-, opuestos a dichos lados, son de igual medida entre sí. En la circunferencia de la izquierda, r designa su radio. AB es una cuerda que pasa por su centro, por lo tanto es también un diámetro. El triángulo AOC es isósceles, pues AO = OC = r . Y sus ángulos interiores, -opuestos a dichos lados- y de igual medida entre sí, están indicados por α. Parinacota, Quilicura, 2k09 4
  • 5. Prof. Guillermo Corbacho C. Ejemplos: Observe que en las primeras figuras hemos indicado también el ángulo del centro. El cuál tiene siempre la misma orientación que su respectivo ángulo inscrito. Así, en la primera figura un ángulo inscrito de 35º se abre hacia la derecha, por lo tanto su respectivo ángulo del centro –que mide el doble, 70º-, también se abre hacia la derecha. Hacia donde se halla el arco respectivo. En la segunda figura, un ángulo inscrito se abre hacia la izquierda y su respectivo ángulo del centro también. Pero no siempre hemos indicado el ángulo del centro y su arco. Las dos últimas figuras se concentran únicamente en lo que estamos indicando al inicial este punto: que si dos lados del triángulo coinciden con los radios, entonces es un triángulo isósceles. Esto significa que por tener dos lados de igual medida, los ángulos opuestos a dichos lados -llamados ángulos basales-, también tienen igual medida al interior del mismo triángulo. Otro punto que destacar relativo a ángulos al interior de una circunferencia es que, un ángulo completo es aquel que subtiende un arco que coincide con la propia circunferencia y que por lo tanto, mide 360º. 4. Debido a lo anterior, un ángulo del centro que subtiende un arco de media circunferencia, mide 180º. Y si dicho ángulo del centro tiene un ángulo inscrito, este mide, por lo visto anteriormente, su mitad, es decir, 90º. 5. Un ángulo semi inscrito -en la figura de la derecha marcado con rojo, tiene como uno de sus lados una cuerda de la circunferencia y por otro, un segmento externo y tangente, comparte la misma propiedad que un ángulo inscrito. Es decir, mide la mitad que el ángulo del centro y lo mismo que el ángulo inscrito con los cuales subtienda el mismo arco. Tal como lo ilustra la figura. Ejemplos: Lo usual es que no nos encontremos con los arcos y ángulos resaltados o diferenciados como arriba (es el caso de la última de las siguientes figuras.) Parinacota, Quilicura, 2k09 5
  • 6. Prof. Guillermo Corbacho C. Ángulos en la Circunferencia Listado Nº1: Ejercicios (Resueltos) Ángulos inscritos, del centro y semi inscritos. Ejercicios: En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda. 1. AB es diámetro de la ⊗ . γ = ? 2. α = ? 3. α = ? Solución: Solución: γ es un inscrito y mide la mitad Solución: Los ángulos inscritos y del centro que el del centro con el cual α es un del centro y por lo subtienden el mismo arco BC . subtiende el mismo arco AB de ⊗. tanto, mide el doble que el En tales casos, el ángulo del 180º inscrito que subtiende el mismo Es decir, γ = = 90º arco de ⊗ que el. inscrito mide SIEMPRE la mitad 2 que el del centro. α = 2•50º = 100º 120º α= = 60º 2 4. AB = α = ? 5. α = ? 6. AB = α = ? Solución: Solución: Solución: Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo α es un ángulo inscrito, por lo Ahora α es un arco y al igual que mismo que el del centro que lo tanto, mide la mitad que el arco un ángulo del centro, mide el subtiende. Por lo tanto: que subtiende: doble que el ángulo inscrito: AB = 160º O bien: α = 152º 110º α = 2•40º = 80º . α= = 55º 2 7. α = ?, β = ?, δ =? 8. El triángulo ABC es 9. Se tiene un nonágono regular equilátero. α = ?, β = ? (polígono de nueve lados congruentes) inscrito en la ⊗. δ = ?, α = ?, ϕ = ? Solución: Solución: Solución: α es un ángulo del centro y por lo Cada vértice del triángulo Cada vértice del polígono tanto, mide el doble que el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco equilátero divide los 360º de la equilátero divide los 360º de la ⊗ ⊗ en tres arcos y ángulos del en 9 arcos y ángulos del centro de ⊗, es decir: centro congruentes (de igual congruentes (de igual medida). δ = 2•42º =84º. medida). Es decir, el ángulo del centro α y β son s inscritos que 360º mide: δ = 360º /9 = 40º. subtienden el mismo arco que el Es decir, β = = 120º. de 48º. Por lo tanto, miden lo mismo 3 Cada ángulo inscrito mide: β 120º α = δ /2 = 40º /2 = 20º. que este. Mientras, α = = = 60º. y ϕ mide cuatro veces α: Es decir: α = β = 48º. 2 2 ϕ = 4α = 4•20º = 80º . Parinacota, Quilicura, 2k09 6
  • 7. Prof. Guillermo Corbacho C. 10. AB es diámetro . AB = α = ? 11. δ = ? 12. α = ? Solución: Solución: Solución: La figura se puede completar a: La figura se puede completar a: Por ser δ un ángulo del centro que subtiende el mismo arco BC que el ángulo inscrito CAB , tenemos: si CAB = 35º ⇒ δ = 2 CAB = 2 • 35º = 70º. Esto debido a que se tiene AD + DB = 180º (forman media ángulos adyacentes circunferencia) suplementarios (que sumados dan 180º). De donde: AD = 180º −62º = 118º . Y como α es un ángulo inscrito, del Y sabemos que α = BC mide el doble que el inscrito que arco AD que subtiende. lo subtiende: AD 118º α = 2•54º = 108º . α= = = 59º. 2 2 13. AC = δ = ? 14. ϕ = ?, γ = ?, δ = ? 15. BT ⊥ ⊗ . α = ? Solución: Solución: Solución: Un semi inscrito α mide lo Como OA = OC = r , los s que se OB y OC son radios ⇒ sus mismo que un inscrito con el oponen a tales lados son iguales ( s s opuestos son iguales. cual subtienda el mismo arco de basales) y miden 37º. En este caso: ∴ϕ = 25º [ s basales en un ⊗. En este caso, el arco en ACB = AOC = 37º . ∆ isósceles). Y el arco α es igual al ángulo del común es AB . Un del centro mide el doble centro del ∆AOC. Este último se Es decir, α = ACB = 43º. que el inscr. con el cual puede deducir mediante la suma de subtiende el mimo arco. Así, los s interiores en todo ∆ (iguales a δ = 50º. 180º). Y dado que en todo ∆: Σ int.=180º. En el ∆DOC: γ = 180º − (90+50)º = 40º AOC = 180º −74º = 106º = δ . Parinacota, Quilicura, 2k09 7
  • 8. Prof. Guillermo Corbacho C. 16. BT ⊥ ⊗ . α = ? 17. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ? 18. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ? Solución: Solución: Solución: Análogo al anterior. Un semi−inscrito (al igual que un El triángulo AOB es isósceles, Resp.: α = 35º inscrito) siempre mide la mitad que el arco que subtiende. ⇒ α = OBA por ser s 19. BT ⊥ ⊗ . δ = ?, α = ? En este caso, α es semi-inscrito basales, ( s opuestos a lados de ¿Y qué se puede concluir de los en la ⊗ y subtiende al arco AB. igual medida, el radio r, del ∆). ejercicios 17, 18 y 19? Por lo tanto: Y el ángulo del centro mide siempre el doble que el AB 126º α= = = 63º . semi−inscrito con el cual 2 2 subtiende el mismo arco. Así, la figura se puede completar a: Solución: Ídem a los anteriores. Resp.: α = 42º Conclusión(es): • El ángulo basal y el semi Hallaremos α por la suma de los inscrito son complementarios ángulos interiores. suman 90º. Así, lo que falta son 60º, (que se • La tangente a la reparten en los dos ángulos α). circunferencia es Esto es, perpendicular a su radio en el 2α = 60º ⇒ α = 30º . punto de tangencia. 20. AC diámetro. γ = ?, α = ? 21. BA = 212º. α = ? 22. α = ? Solución: Solución: Solución: El CBA = 124º es inscrito, por AB y BC forman una media Por ser α un ángulo circunferencia. semiinscrito, mide la mitad que lo tanto el arco AC que su ángulo del centro, con el cuál subtiende hacia la derecha –está AB + BC = 180º de más decirlo-, mide SU subtiende la cuerda AB DOBLE. AB + 84º = 180º AOB AB AC = 2•124º = 248º ⇒ AB = 180º −84º = 96º α= = 2 2 Luego, Y como un ángulo del centro mide Todo se reduce a hallar el AB y AC + CA = 360º siempre lo mismo que el arco que dividirlo por dos. 248º + CA = 360º subtiende: δ = 96º. AB + BA = 360º ⇒ CA = α =112º. AB + 212º = 360º Pues α es ángulo del centro y ⇒ AB = 148º ⇒ α = 74º. subtiende al arco CA . Parinacota, Quilicura, 2k09 8
  • 9. Prof. Guillermo Corbacho C. 23. α = ? 24. β = ? 25. γ = ? ¿Qué se puede concluir de este ejercicio y del 23 y 24? ¿Y cuál es la diferencia con el ejercicio 22? Solución: Resp.: Como 105º y α son ángulos inscritos, β = 91º sus arcos -además de completar una circunferencia- miden el doble que 26. α = ? Resp.: ellos. γ = 100º. BD + DB = 360º Conclusiones: 2α + 210º = 360º Se puede concluir que: • Los ángulos opuestos en un ⇒ 2α = 150º cuadrilátero inscrito en una α = 75º circunferencia suman 180º Solución: (son suplementarios). • La diferencia es que el cuadrilátero del ejerc. 22 tiene uno de sus vértices en el centro de la circunferencia. Por ello no satisface la conclusión α es ángulo inscrito, por tanto anterior. BOC 27. α = ? α= 2 B'OC' = ( s op. vértice) 2 = ( B'A + AC' ) 2 = (2•34º +2•40º ) ¿Qué se puede concluir de este 2 ejercicio y del anterior (ejercicio 2 (34º +40º ) 26)? = 2 Resp.: = 74º α = 63º Conclusión: Para cuadriláteros con tres vértices en la ⊗ y el otro en el centro de ella, uno de sus ángulos inscritos es igual a la suma de los otros dos ángulos inscritos. Parinacota, Quilicura, 2k09 9
  • 10. Prof. Guillermo Corbacho C. Volviendo con puntos de contenidos,… 6. Cuadrilátero inscriptible o inscrito en 7. Trapecio Isósceles inscrito en una una circunferencia. circunferencia. Un cuadrilátero está inscrito en una Un trapecio es una figura de cuatro lados circunferencia cuando todos sus vértices (cuadrilátero) con un par de lados están en ella. opuestos paralelos y el otro par de lados Hay que notar la opuestos no paralelos. diferencia entre Y al igual que en un triángulo, a ángulos circunferencia y contiguos de igual medida entre sí se círculo. oponen también lados de igual medida Una Circunferencia entre sí (congruentes). es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes o que tienen una misma Un ejemplo de ello es el siguiente distancia respecto de otro, llamado este trapecio. último, centro. Sin embargo, lo más común es que la Mientras que un círculo es el espacio al mayoría de los trapecios que se dibujan interior de la circunferencia. en la práctica, no tengan dos ángulos y lados opuestos que sean de igual medida El cuadrilátero ABCD de arriba está o congruentes. inscrito en la circunferencia de centro O. Pero esto SIEMPRE ocurre si el trapecio Y los ejercicios 23, 24 y 25 hacen dibujado está referencia a que en un cuadrilátero inscrito en una inscrito a una , los ángulos opuestos circunferencia. son suplementarios -suman 180º. Un ejemplo es la Así, en la figura del recuadro: figura de la α + γ = 180º derecha. y β + δ = 180º 8. Ángulo interior a una circunferencia. 9. Ángulo exterior a un triángulo. Un ángulo interior a una circunferencia Podemos hallar un ángulo interior a una es aquel ángulo formado por dos cuerdas circunferencia y a la vez, exterior a un que se cortan, como se muestra en la triángulo inscrito. figura. Su medida es igual Y su medida se obtiene mediante la a la suma de los fórmula: ángulos interiores AB + CD del ∆, no contiguos x= a el. 2 En la figura: O bien, x = β +δ α +β x= 2 10. Ángulo exterior a una circunferencia 11. Ángulo exterior a la circunferencia formado por dos secantes. con al menos uno de sus lados como La medida de un ángulo exterior x, tangente. formado por dos secantes PA y PD , se La obtención del obtiene mediante la fórmula: ángulo exterior no difiere del caso AB − CD α −β x= O bien: x = anterior: 2 2 α −β x= 2 Nota aparte: La tangente es siempre perpendicular al radio y al diámetro de la ⊗. Parinacota, Quilicura, 2k09 10
  • 11. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Listado Nº 2 de Ejercicios (Propuestos) Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores. Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____ Ejercicios En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro. Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo igual. 1. α = ?; β =? 2. x = 3. x = ;β = 4. α, β, γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3 6. DC ≡ CB; DCB = 5 : 4 : 7, respectivamente. Hallar δ. Hallar δ. 7. α = 21º , γ = 63º . x = 8. x = 9. x = 10. APC = 11. α = 12. α = Parinacota, Quilicura 2K09. 11
  • 12. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 13. AB diámetro; α = ; 14. AB diámetro; DA ≡ BC . 15. γ = ;x= ;δ = β= Si DA = 50º ; CD = ;α = 16. α :β = 5 :8. Hallar α y β. 17. α y βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º. α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 . δ= ? Hallar α y β. 19. α : β = 36 : 13. δ = 46. 20. PD ≡ DA. CA = 21. PA ≡ PC. BD = 53º α= ;β = δ= ; CA = 22. α = ;β = ;δ = 23. α = ;β = 24. TP tangente. α = 25. TA diámetro, TP 26. α = 27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º , tangente. Calcule el QPT. Hallar γ, α y δ. Parinacota, Quilicura 2K09. 12
  • 13. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Solucionario Listado Nº 2: Ejercicios Propuestos Cuadriláteros inscritos. Ángulos interiores y exteriores. Ejercicios: En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es diámetro. Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo igual. 1. α = ?; β =? 2. Halle los ángulos del 3. x = ?; β =? cuadrilátero. Solución: Solución: En todo cuadrilátero inscrito en Solución: Los ángulos opuestos suman una ⊗, los ángulos opuestos son Como en cada pareja de ángulos 180º. suplementarios (suman 180º). opuestos hay una sola incógnita, Así, en la figura de arriba, solo basta tomar cualquier pareja. nos sirve en un principio los Así, en la figura de arriba: 10 x + 8 x = 180º ángulos opuestos que presentan 18 x = 180º ⇒ x = 10º en la suma un solo valor α + 95º = 180º ⇒ α = 85º Ahora reemplazamos este valor en desconocido, x. β + 80º = 180º ⇒ β = 100º cada expresión algebraica de cada 25 x + 80º = 180º vértice y los ángulos pedidos son: 25 x = 100º ⇒ x = 4º 100º, 120º, 80º y 60º. Ahora reemplazamos el valor hallado de x en la otra pareja de ángulos opuestos. 21x + β = 180º 21•4 + β = 180º 84 + β = 180º ⇒ β = 96º . 4. α, β y γ están en la razón de 5. α = 2x+3; β = 2x; γ = 3x - 3 6. DC ≡ CB; DCB = ? 5 : 4 : 7. Hallar δ. Hallar δ. Solución: Solución: Solución: La figura se puede completar a α y γ son ángulos opuestos, por lo De la figura, nos sirve: tanto suman 180º. Además, están α + γ = 180º entre sí en la razón 5 : 7. (2x+3) + (3x – 3) = 180º α + γ = 180º 5x = 180º ⇒ x = 36º 5p + 7p = 180º (donde p es cada parte) Ahora que conocemos el valor de x, 180º 12p = 180º ⇒ p = = 15º. nos dirigimos a la pareja en donde 12 se halla el ángulo pedido. Ahora vamos a ver la pareja de δ + β = 180º Pues a lados congruentes se ángulos opuestos a δ. oponen ángulos de igual medida. δ + 4x = 180º δ + β = 180º Por lo tanto, el ángulo pedido es δ + 4 • 36º = 180º suplementario con 64º. Así, δ + 4p = 180º δ + 144º = 180º DCB + 64º = 180º δ + 4 • 15º = 180º ⇒ δ = 120º δ = 180º − 144 = 36º ⇒ DCB = 116º Parinacota, Quilicura 2K09. 13
  • 14. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 7. α = 21º , γ = 63º . x = ? 8. x = ? 9. x = ? Solución: Solución: Solución: Solo tenemos que x es ángulo x es ángulo exterior del triángulo, Análogo al anterior: interior entre las dos cuerdas, pero por lo tanto, equivale a la suma de 81º +134º 225º es suficiente. Su cálculo viene dado x = = = 112, 5º los dos ángulos interiores no 2 2 por el promedio de los arcos que adyacentes a el. “subtiende” el y su opuesto por el x = α + γ = 21º + 63º = 84º vértice. 161º +85º 246º x= = = 123º 2 2 10. APC = ? 11. α = ? 12. α = ? Solución: Solución: Solución: Esta vez conocemos el ángulo El ángulo pedido tiene vértice en P interior. Su relación con las –el punto medio de la notación medidas de los arcos es que del ángulo- y está entre A y C. equivale a su promedio. Es decir, α +130º 85º = 2 Ahora despejaremos α. Con los arcos dados, en principio 85º•2 = α +130º solo podemos calcular al ángulo x y su opuesto por el vértice, que se 170º −130º = α ha indicado en la figura. 40º = α Su cálculo viene dado por el promedio de los arcos que x = 60º +70º = 130º = 65º “subtiende” el y su opuesto por el 2 2 vértice. Pero x y α son ángulos adyacentes 103º +85º 188º suplementarios, por lo que: x= = = 94º x + α = 180º 2 2 65º +α = 180º ⇒ α = 180º −65º = 115º Parinacota, Quilicura 2K09. 14
  • 15. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 13. AB diámetro; α = ? ; β = ? 14. AB diámetro; DA ≡ BC . 15. γ = ? ; x =? ;δ = ? Si DA = 50º ; CD = ? ; α = ? Solución: Solución: Solución: γ = 90º por ser inscrito que El diámetro AB divide a la ⊗ Teniendo presente que el subtiende un arco de media en dos arcos congruentes de diámetro define dos arcos de circunferencia. 180º. circunferencia de 180º y que x es exterior del ∆BCP por lo Aquí tenemos algunas medidas DA ≡ BC con DA = 50º tanto, es igual a la suma de los dos de arcos, por lo que podemos s interiores no adyacentes a el. ⇒ BC = 50º Esto es, x = 40º + 90º = 130º. completar las semi ⊗ a 180º La figura puede completarse a: cada uno: Nos falta δ, el cual es suplementario con el ABC (por ser opuestos dentro de un cuadrilátero inscrito en una ⊗) Tenemos: Y por ser α ángulo interior: Y que α es ángulo interior –igual 40º +100º al promedio del arco que α= = 70º . “subtiende” el y su opuesto por el 2 vértice-, entonces: 180º+80º Completando s interiores en el α= = 130º . ∆ABC (para que su suma sea igual 2 a 180º) hallamos que: ABC = 60º ⇒ δ = 180º − 60º = 120º. También se podría lograr completando los ángulos interiores a 180º en el ∆ABP con lo que: ABP = 20º. y δ = 120º −(40+20)º = 180º − 60º = 120º. Parinacota, Quilicura 2K09. 15
  • 16. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 16. α :β = 5 :8. Hallar α y β. 17. α y βcumplen con: 18. Si α = 138º y β = 50º. α = 2 x − 3 y β = 3x + 1 . δ= ? Hallar α y β. Solución: Solución: Solución: α se compone de 5 partes (5p) y β α +β δ es ángulo exterior a la de 8 partes (8p). Además, 52º es el 49º = 2 circunferencia, por lo que se ángulo interior de α y β. relaciona con α y β por la 2 x − 3+ 3 x +1 igualdad: Por lo tanto, 49º = 5 p + 8 p 13 p 2 α −β 138º −50º 52º = = / •2 98º = 5 x − 2 δ= = 2 2 2 2 13 p 100º = 5 x 88º = 104º = 13 p /:13 20º = x 2 8= p = 44º Reemplazando el valor de x en α Finalmente, y β obtenemos: α = 5p = 40º y β = 8p = 64º. α = 2 x − 3 = 37º β = 3x +1 = 61º 19. α : β = 36 : 13. δ = 46. 20. PD ≡ DA. CA = ? 21. PA ≡ PC. BD = 53º α = ?; β =? δ =? ; CA = ? Solución: El ∆APD es isósceles, con: DAP = APD = 25º Solución: Solución: α −β ⇒ ADP = 130º El ∆APC es isósceles, con: δ= 2 ⇒ CDA = 180º −130º = 50º CAP = ACP = 71º 36 p − 13 p 23 p ⇒ CA = 100 º ⇒ δ = 180º −142º = 38º 46º = = •2 2 2 Además: 92º = 23 p Usamos: - s basales CA − β 92 δ= =p -Suma de s interiores en 2 23 ∆ADP. CA − 53º α = 36 p = 144º - s adyacentes suplementarios. 38º = p=4⇒ 2  β = 13 p = 52º También podíamos usar exterior a un ∆: 76º = CA − 53º ⇒ CA = 76º +53º DAP = APD = 25º = 129º y CA = 2 CDA (No es el único camino, también = 2 ( DAP + DPA ) se puede lograr completando ángulos y arcos en la figura). = 2 ( 25º +25º ) = 2•50º = 100º Parinacota, Quilicura 2K09. 16
  • 17. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 22. α = ?; β = ?; δ =? 23. α = ?; β =? 24. TP tangente. α = ? Solución: Solución: Solución: 100º −50º 50º 130º −64º δ= = = 25º α +β  α= 2 2 2 = 98º  2  α + β = 196º  100º +50º 150º ⇒   74º α= = = 75º α −β  α − β = 72º  = 2 2 = 36º 2 2   β = 105º s ady. suplentarios 2α = 268º ⇒ α = 134º = 37º ⇒ β = 62º 25. TA diámetro, TP tangente. 26. α = ? 27. PT ≡ PQ. Si QT = 242º , Hallar γ, α y δ. Calcule el QPT. Solución: Solución: La figura se puede completar a: Solución: El ángulo exterior al triángulo es La figura se puede completar a: igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el. 48º +55º = 103º (ver sgte. figura) Y el arco subtendido siempre mide el doble que el ángulo inscrito que lo subtiende. Por lo tanto: α = 206º De donde: 242º −118º 124º Donde: QPT = = 2 2 α = 42º pues α + 48º = 90º = 62º en ∆ABT. No solo en relación a este ejercicio γ = 2α = 84º por ser arco que en particular sino que en general, subtiende tal las tangentes trazadas desde un ángulo inscrito. mismo punto a una misma circunferencia son SIEMPRE δ = 48º pues δ + 42º = 90º congruentes. en ∆BPT. Parinacota, Quilicura 2K09. 17
  • 18. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Listado Nº 3: Ejercicios (Propuestos) Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____ En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro. Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican. i) Dibujar sobre la ⊗: ii) α = ? iii) α = ? Una cuerda AB que coincida con un diámetro de la ⊗; Una cuerda CD que toque otros dos puntos de la ⊗; Una recta tangente PT , formando un ángulo de 90º con un radio OT ; Una recta secante L que corte a iv) AB = α = ? v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ? la ⊗ en dos puntos. vi) AB = α = ? vii) AB = α = ? viii) α = ? ix) α = ?, β = ? x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados de 10 lados de igual medida) y ángulos inscritos de igual esta inscrito en la ⊗. medida. δ = ?; EHF = ?; α = ? γ = ?, δ = ?, α = ? xii) α = ?; x = ?; xiii) x = ? xiv) x = ? ABC = ?; CDA = ? Parinacota, Quilicura 2K09. 18
  • 19. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Solucionario Listado Nº 3: Ejercicios Propuestos Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____ En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez diámetro. Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican. i) Dibuja sobre la ⊗: ii) α = ? iii) α = ? Una cuerda AB que coincida con un diámetro de la ⊗; Una cuerda CD que toque otros dos puntos de la ⊗; Una semirecta tangente PT , formando un ángulo de 90º con un radio OT ; Solución: Solución: Una recta secante L que corte a α es un ángulo inscrito, por lo α es un ángulo del centro, por lo la ⊗ en dos puntos. tanto, mide la mitad que el ángulo tanto mide el doble que el ángulo del centro que subtiende el mismo inscrito que subtiende el mismo Solución: arco que el: arco que el: 144º α = 2 • 60 = 120º α= = 72º 2 iv) AB = α = ? v) AB = 130º ⇒ γ = ?; δ = ? En la figura, la recta L corta a la ⊗ en los puntos E y F. Además, toda recta tangente a una ⊗, forma un ángulo recto (90º) con el radio. En la figura: Solución: OT ⊥ PT . Todo arco de ⊗ SIEMPRE mide lo mismo que el del centro que lo Solución: subtiende. Por lo tanto: δ es un ángulo del centro que subtiende al AB , por lo tanto, AB = 160º O bien: α = 160º mide lo mismo que el. Es decir: δ = 130º. Mientras que todo ángulo inscrito mide la mitad que el arco que subtiende, es decir: 130º γ= = 65º 2 vi) AB = α = ? vii) AB = α = ? viii) α = ? Solución: Solución: Completamos los Solución: AD y DB forman El arco α mide lo mismo que el s adyacentes suplementarios (que media circunferencia, es decir 180º. del centro que lo subtiende y este a sumados dan 180º) hallando la Así, AD = 180º −68º = 112º su vez, el doble que el inscrito medida del inscrito de 65º. y α que subtiende al = 112º que subtiende al arco α. Es decir, El respectivo del centro y α es inscrito. Por lo tanto mide su α= del centro = 2•34º = 68º . miden su doble: α = 2•65º = 130º . mitad: α = 112º /2 = 56º . Parinacota, Quilicura 2K09. 19
  • 20. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl ix) α = ?, β = ? x) El decágono regular (polígono xi) La estrella tiene todos sus lados de 10 lados iguales) esta y ángulos inscritos de igual inscrito en la ⊗. medida. δ = ?; EHF = ?; α = ? γ = ?, δ = ?, α = ? Solución: Solución: Solución: Todos los s inscritos que Cada vértice del decágono regular Cada vértice de la estrella divide subtienden el mismo arco de ⊗ son divide los 360º de la circunferencia iguales. Es decir, β = 21º. los 360º de la ⊗ en 5 arcos y en diez arcos y ángulos del centro Y todo del centro que subtienda ángulos del centro congruentes. congruentes. el mismo arco de ⊗ que un 360º 360º Es decir, γ = = 72º . inscrito, medirá el doble que este. Es decir, δ = = 36º. 5 10 Es decir, α = 2 • 21º = 42º. Entonces, el ángulo inscrito: Todo ángulo del centro tiene igual medida que el arco que subtiende, δ 36º por lo tanto: EHG = = = 18º. 2 2 δ = γ = 72º Y se puede observar que α equivale δ 72º a seis medidas de 18º. Es decir: Mientras, α = = = 36º . α = 6•18º = 108º . 2 2 xii) α = ?; x = ?; xiii) x = ? xiv) x = ? ABC = ?; CDA = ? Solución: Solución: x es interior y su Solución: x es exterior a la ⊗ y su s opuestos en una ⊗ son medida queda determinada por: medida queda determinada por: suplementarios (sumados dan 180º) AB + CD 82º+ 66º 148º AB − CD 105º − 27º 78º Así pues, α + 100º = 180º ⇒ α= 80º x= = = x= = = 2 2 2 2 2 2 A su vez, 6 x + 4 x = 180º = 39º = 74º 10 x = 180º ⇒ x = 18º ⇒ ABC = 6 • 18º = 108º. ⇒ CDA = 4 • 18º = 72º. Parinacota, Quilicura 2K09. 20
  • 21. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Ángulos en la Circunferencia Listado Nº 4: Ejercicios Propuestos Nombre: ___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____ Ejercicios: Calcular las medidas de α y β según corresponda. 1. α = ?; β =? 2. φ = ?; δ =? 3. β = ?; γ =? 4. α = ?; β =? 5. α = ?; β =? 6. α = ?; β =? 7. α = ? 8. α = ? 9. AT = 54°; con OT radio. y PT ⊥ OT. Entonces, α = ? 10. α = ?; β =? 11. α = ? 12. α = ?; β =? Parinacota, Quilicura 2K09. 21
  • 22. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 13. AC es tangente a la ⊗ 14. α = ?; β =? 15. α = ?; β =? α = ?; β= ? 16. α = ?; β =? 17. Si α = 130º , entonces β = ? 18. α = ?; β =? 19. α = ?; β =? 20. α = ?; β =? 21. α = ?; β =? 22. α = ? 23. α = ?; β =? 24. α = ?; β =? 25. α = ? 26. PB es tangente. α =? 27. ABCDE es polígono regular. α =? Parinacota, Quilicura 2K09. 22
  • 23. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Segmentos Proporcionales en la Circunferencia Definición: 1. Se define llama “Potencia de un punto P ” respecto a la circunferencia, al número Pot(P), que se define como: Pot ( P) = PA • PB . Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala) i) Si PA = 3 y AB = 12. ii) Si PA = 4 y PB = 25 iii) P coincide con A. Pot (P ) = PA•PB AB = 17 Pot(P) = PA•PB = 3•( PA + AB ) = 4•25 Si P coincide con A: PA = 0 y PB = AB = = 3•( 3+12 ) = 100 17. = 3 • 15 Entonces: = 45 Pot ( P) = PA • PB = 0•17 =0 iv) Sea P un punto exterior a v) Si P es punto interior a una ⊗ vi) Aún cuando los puntos una ⊗ de radio r. de radio r y a una distancia d de la cuerda no Y d la distancia que hay del centro de ella : coincidan con el diámetro, pero se de P al centro de la ⊗. mantiene el radio r de la ⊗ y la distancia d del punto P al centro, la potencia no varía. La potencia de P es: Pot ( P) = PA • PB Pot ( P) = PA • PB = ( r − d )( d + r ) = ( d − r )( d + r ) = − ( d − r )( d + r ) = d 2 − r2 = r2 − d 2 El teorema a continuación garantiza que: PC•PD = PA•PB 2. Teorema de las Cuerdas Dada la siguiente figura de la derecha, se tiene que: ϕ = φ por ser s opuestos por el vértice. α = β por ser s inscr. que subtienden un mismo arco. Por criterio de semejanza ángulo- ángulo (A.A.) Se concluye que el ∆APC ∼ ∆BDP. Esto implica que podemos escribir la proporción: PA PC = PD PB Esto significa o nos dice que “Los segmentos de dos cuerdas que se intersectan al interior de un circulo, son inversamente proporcionales”. Haciendo el producto cruzado, se obtiene: PA • PB = PC • PD . Lo que significa que “la potencia de un punto a través de una cuerda, es igual a la potencia del mismo punto, a través de la otra cuerda”. Tal propiedad se denomina “Teorema relativo a la potencia de un punto interior a la circunferencia”. Parinacota, Quilicura 2K09. 23
  • 24. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Más conocido como “Teorema de las cuerdas”: “Si dos cuerdas de una ⊗ se intersectan en un punto P, el producto de las medidas de los segmentos definidos en una cuerda, es igual al producto de las medidas de los segmentos definidos en la otra cuerda”. Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala) i) PA = 16; PB = 2; ii) Hallar PD si: iii) Hallar x = PC si: PC = 8; PD = 4. PA = 5; PB = 12; PC = 3. AP = 3; PB = 8; PD = 4. El teo. de las cuerdas nos muestra que: Por teo. de las cuerdas: Por teo. de las cuerdas: PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD 16 •2 = 8•4 5•12 = 3•PD 3•8 = PC•4 60 24 32 = 32 = PD ⇒ PD = 20 = PC ⇒ PC = 6 3 4 3. Es importante tener presente también, que “toda cuerda que pase por el centro de la circunferencia divide en dos partes iguales a todo segmento rectilíneo perpendicular a ella. Además, la intercepción con tal trazo rectilíneo biseca al ángulo del centro”. Lo que se quiere indicar es, que dada una figura como la siguiente: Tenemos: AD = DB ; µ =ϕ ; AE = EB ; Además de lo más obvio, ∆OAB es isósceles, pues: OA y OB son congruentes (radios de la ⊗) . ⇒ OAB = OBA ( s basales del ∆). Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala) i) Hallar x si: PA = 3; ii) Hallar x y CD si: iii) Hallar x y AB si: PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27 OC = 10; PD = 4; PA = PB = x y PC = PD = x Primero identifiquemos los segmentos: Por teo. de las cuerdas: El diámetro AB es El radio mide 13. PA•PB = PC•PD perpendicular a la cuerda CD , PA = r + OP x • x = ( PO + OC )•4 por lo tanto, dimidia a esta = 13+ ( r − 8 ) ; r radio ultima. Es decir, CP = PD y x 2 = (10 − 4 ) +10 •4 por el teo. de las cuerdas: ( ) = 13+ 13 − 8 = 26 − 8 = 18   PA•PB = PC•PD PB = 8, PC = PD = x . x 2 = [16 ]•4 3•27 = x• x Y por teo. de las cuerdas: = 64 PA•PB = PC•PD 81 = x2 / ⇒ x=8 18•8 = x• x 9= x ⇒ AB = 2 x = 16 144 = x2 / 12 = x ⇒ CD = 2x = 24 Parinacota, Quilicura 2K09. 24
  • 25. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Los ejercicios anteriores se pueden resolver también, combinando el teorema de las cuerdas con la potencia de un punto P interior a una ⊗. Veamos: La expresión hallada para la Pot(P) en el interior de una ⊗ fue: Pot ( P) = r 2 − d 2 Veámoslo: (Las siguientes figuras no están a escala) i) Hallar x si: PA = 3; ii) Hallar x y CD si: iii) Hallar x y AB si: PB = PO + OB = (12 +15 ) = 27 OC = 10; PD = 4; PA = PB = x y PC = PD = x Primero identificamos: − El radio: r =13. Primero identificamos: − El radio es r = 15. − De B a P tenemos 8, por lo − El radio: r =10. − La distancia de P al centro tanto faltan 5 para alcanzar − De D a P tenemos 4, por lo es d = 12. la medida del radio igual a tanto faltan 6 para alcanzar − Luego, por potencia de un 13. la medida del radio igual a pto. interior a una ⊗: ⇒ La distancia del punto P 10. Pot ( P) = r 2 − d 2 al centro de la ⊗ es: ⇒ La distancia del punto P d = PO = 5. al centro de la ⊗ es: = (15 ) − (12 ) 2 2 − Luego, por potencia de un d = PO = 6. = 225 − 144 pto. interior a una ⊗: − Luego, por potencia de un = 81 Pot ( P) = r 2 − d 2 pto. interior a una ⊗: Y por teo. de las cuerdas: Pot ( P) = r 2 − d 2 = (13) − ( 5 ) 2 2 PC•PD =81 = (10 ) − ( 6 ) = 169 − 25 2 2 x 2 = 81 ⇒ x = 9 = 144 = 100 − 36 − Y por teo. de las cuerdas: = 64 PC•PD =144 − Y por teo. de las cuerdas: x• x = 144 PA•PB =64 x 2 = 144 ⇒ x = 12 x• x = 64 ⇒ CD = 2 x = 24 x 2 = 64 ⇒ x = 8 ⇒ AB = 2 x = 16 Parinacota, Quilicura 2K09. 25
  • 26. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Relaciones métricas en la Circunferencia Listado nº1: Ejercicios Propuestos Relativo a teoremas de: Potencia de un punto; las cuerdas; diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda; Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____ Ejercicios Halle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado. 1. Si PA = 3 y PB = 11 2. P punto medio de AB . 3. PA = 6 y AB = 24 ; Halle la Pot(P) = PA • PB Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ? La Pot(P) = PA • PB = ? 4. u = ? 5. v = ? 6. x = ? 7. x = ? 8. y = ? 9. z = ? 10. x = ?; CD = ? 11. y = ?; AB = ? 12. z = ?, CD = ? Parinacota, Quilicura 2K09. 26
  • 27. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 13. x = ? 14. y = ? 15. z = ? 16. x = ? 17. x = ? 18. z = ? 19. x = ? 20. y = ? 21. z = ? 22. AB diámetro. Si PA = 9; 23. AB diámetro. 24. AB diámetro. PB = 4 y PD = 6. s = ? PA = 3 y PB = 27. u = ? PA = 2 y PB = 8. v = ? 25. OA radio de la ⊗ . 26. OA radio de la ⊗ . 27. OB radio de la ⊗ . OP = 5 y PA = 8. s = ? OP = 6; PA = 4. CD = ? PB = 9; OP = 8. CD = ? Parinacota, Quilicura 2K09. 27
  • 28. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl Relaciones Métricas en la Circunferencia Solucionario Listado Nº 1: Ejercicios Propuestos Relativos a teoremas o propiedades de: Potencia de un punto; las cuerdas; el diámetro y radio dimidiando perpendicularmente una cuerda; Ejercicios: Halle en cada ejercicio el valor faltante indicado por su respectivo enunciado. 1. Si PA = 3 y PB = 11 2. P punto medio de AB . 3. PA = 6 y AB = 24 ; Halle la Pot(P) = PA • PB Si PA = PB = 7. La Pot(P) = ? La Pot(P) = PA • PB = ? Solución: Solución: Pot(P) = PA • PB = 7 • 7 = 49 Solución: Pot(P) = PA • PB = 3 • 11 = 33 Pot(P) = PA • PB = 6 • (6+24)= 6 •30 = 180 4. u = ? 5. v = ? 6. x = ? Solución: Solución: PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD 4• x = 8•6  48 8•4 = 2•u  32 6•7 = 4•v  42 ⇒ x= = 12 ⇒u = = 16 ⇒u = = 10, 5 4 x = 48  4 32 = 2u  2 42 = 4v  4 7. x = ? 8. y = ? 9. z = ? x•10 = 5•11 55 8 y = 6•9  54 27 3 z = 5•4  20 ⇒ x= = 5, 5 ⇒ x= = ⇒ z = 10 x = 55  10 8 y = 54  8 4 3 z = 20  3 10. x = ?; CD = ? 11. y = ?; AB = ? 12. z = ?, CD = ? 2 3 6•14 9 • 2 = 3y ⇒ y = 9 •2 =6 5 z = 3•15 ⇒ z = 9 6•14 = 7 x ⇒ x = = 12 17 13 Parinacota, Quilicura 2K09. 28
  • 29. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 13. x = ? 14. y = ? 15. z = ? x•3 x = 25•12 3 y2 = 12•16 4 z2 = 27•12 4 4 12 •16 3 25•12 2 27•12 ⇒ x2 = = 100 / y2 = = 64 / z = = 81 / 13 13 14 x = 10 y =8 z =9 16. x = ? 17. x = ? 18. z = ? x ( x + 4 ) = ( x + 2 )( x +1) ( y + 2 )( y + 2 ) = ( y + 5) y ( z + 3)( z + 4 ) = ( z + 9 ) z x 2 + x 4 x = x 2 + ( 2 +1) x +2 y 2 +0x 4 y + 4 = y 2 + 5y z 2 +0x 7 y +12 = z 2 + 9 z 2z 1y 3x 0x 4= y 12 = 2 z x=2 6= z 19. x = ? 20. y = ? 21. z = ? (2 x + 3)( x + 4 ) = ( x + 6 )(2 x +1) (2 y +1)( y + 6 ) = ( y + 5)(2 y + 2 ) ( 3z − 2 )( z +1) = ( z − 1)( 3z + 5) 2 x 2 +11x +12 = 2 x 2 +13 x + 6 2 y 2 +13 y + 6 = 2 y 2 +12 y +10 3z 2 + z − 2 = 3z 2 + 2 z − 5 6 = 2x y=4 3= z 3= x 22. AB diámetro. Si PC = 7; 23. AB diámetro. 24. AB diámetro. s=? PA = 3 y PB = 27. u = ? PA = 6 y OB = r = 15. CD = ? La perpendicular que viene PA•PB = PC•PD En esta ocasión usaremos: desde el centro siempre divide una cuerda por la mitad. 3•27 = u2 PC•PD = r 2 − d 2 Por lo tanto, s = 7. 81 = u 2 s2 = (15 ) − ( 9 ) = 225 − 81 = 144 2 2 9=u ⇒ s = 12 ⇒ CD = 2 s = 24 Parinacota, Quilicura 2K09. 29
  • 30. Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl 25. AB diámetro. PO = 5; 26. AB diámetro. 27. AB diámetro. PA = 8 s = ?; CD = ? PO = 10; PA = 6. CD = ? PB = 9; OP = 8; CD = ? Primero identificamos: Primero identificamos: − El radio: r = AO = 8 + 5 = 13. − El radio: r = AO = 2 + 8 = 10. Primero identificamos: − La distancia d de P al centro − La distancia d de P al centro − El radio: r = AO = 8 + 9 = 17. de la ⊗ es 5 ⇒ PO = d = 5. de la ⊗ es 6 ⇒ PO = d = 8. − La distancia d de P al centro de − Luego, por potencia de un pto. − Luego, por potencia de un la ⊗ es 8 ⇒ PO = d = 8. interior a una ⊗: pto. interior a una ⊗: − Y por potencia de un pto. Pot ( P) = r 2 − d 2 interior a una ⊗: Pot ( P) = r 2 − d 2 Pot ( P) = r 2 − d 2 = (10 ) − ( 8 ) 2 2 = (13) − ( 5 ) 2 2 = (17) − ( 8 ) 2 2 = 169 − 25 = 100 − 64 = 36 = 289 − 64 = 144 − Y por teo. de las cuerdas: − Y por teo. de las cuerdas: = 225 PC•PD =144 PC•PD =36 − Finalmente, por teo. de las s•s = 144 u •u = 36; u = PC = PD cuerdas: u 2 = 36 ⇒ u = 6 Sea x la medida de CP = PD s 2 = 144 ⇒ s = 12 ⇒ PC•PD = 125 ⇒ CD = 2 s = 24 ⇒ CD = 2u = 12 x• x = 125 x 2 = 125 ⇒ x = 15 ⇒ CD = 2 x = 30 Volviendo con puntos de contenidos,… 4. Teorema de las Secantes Dada la siguiente figura de la derecha, se puede probar que: PA • PB = PC • PD . Que es la misma expresión que teníamos para la igualdad de potencias de un punto en dos cuerdas, pero esta vez, como muestra la figura, será en dos secantes. Veamos: En la figura, tenemos el ∆PAD y el ∆PCB. En ellos: β = δ por ser s inscritos que subtienden el mismo arco de ⊗. Además comparten el φ , por estar este ángulo en ambos ∆s. Luego, por criterio de semejanza: ángulo – ángulo (A.A) se concluye que: El ∆APC ∼ ∆BDP. Esto implica que podemos formar la proporción: el lado exterior a la ⊗ del ∆PAD el lado exterior a la ⊗ del ∆PCB = el lado secante del ∆PAD el lado secante del ∆PCB PA PC = PD PB Parinacota, Quilicura 2K09. 30
  • 31. Prof.: Guillermo Corbacho C. Y efectuando el producto cruzado, obtenemos: PA • PB = PC • PD Así como esta expresión en dos cuerdas se conoce como teorema de las cuerdas, nos resulta obvio entonces, la denominación de esta expresión en dos secantes. “Teorema de las secantes” y que se puede enunciar así: “Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su respectivo segmento exterior” De aquí surgen una serie de ejercicios, de los cuales ilustraremos en principio, algunos a modo de ejemplos: Ejemplos: (las siguientes figuras no están a escala) i) Si PA = 4; AB = 5; ii) PC = 3; CD = 27; PB = 15 iii) PA = 6; PC = 8; CD = 10 y PD = 12; PC = x = ? PA = x = ? AB = y = ? Por teo. de las SECANTES: Por teo. de las SECANTES: Por teo. de las SECANTES: PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD PA•PB = PC•PD x •15 = 3•( 3+ 27) / :12 6 ( y + 6 ) = 8 ( 8 +10 ) / :12 4 •( 4 + 5 ) = x•12 / :12 30 •18 4•9 =x 15 x = 90 / :15 6 y + 36 = 144 12 36 90 6 x = 144 − 36 = 108 / : 6 =x x= 12 15 108 x= = 18 3= x x=6 6 Parinacota, Quilicura 2k09
  • 32. Prof.: Guillermo Corbacho C. 5. Teorema de la secante con la tangente. Si los dos puntos con que una secante corta a la circunferencia tuviesen libertad de moverse, uno hacia al otro y en la misma circunferencia, tendríamos una situación como la siguiente: Las situaciones inicial e intermedia se conocen, como hemos visto, por teorema de las secantes. La situación final nos queda con una sola secante y un segmento tangente debido a que C y D ocupan el mismo espacio. Es decir, son el mismo punto geométrico. Debido a esto, es que podemos reemplazar en el teorema de las secantes, a D por C (o viceversa) quedándonos la expresión matemática: PA • PB = PC 2 Conocida como “Teorema de la secante con la tangente”. Es frecuente que este teorema se presente gráfica y algebraicamente como: PA • PB = PT 2 6. Teorema de la tangente con la 7. Dos cuerdas congruentes tienen igual tangente distancia al centro de la circunferencia. “Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a ellas, entonces los segmentos de las tangentes son congruentes” AB ≅ CD ⇒ MO = ON PT1 ≅ PT2 Además, OP biseca los s del centro y del vértice. Parinacota, Quilicura 2k09
  • 33. Prof.: Guillermo Corbacho C. 8. Cuadrilátero Circunscrito 9. Teorema de Ptolomeo Un cuadrilátero cuyos lados son Recordemos que, un cuadrilátero se dice que todos tangentes a una circunferencia está inscrito a una circunferencia si todos sus se dice que está circunscrito o es vértices se hallan sobre la misma. circunscriptible a ella. Siendo así, Ptolomeo de Alejandría presentó en su libro “Almagesto” 150 D.C. que: Ahora bien, en todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la “En todo cuadrilátero inscrito en la suma de dos lados opuestos es igual circunferencia, el a la suma de los otros dos lados producto de las opuestos. diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuesto” En la figura: a, b, c y d son segmentos de los lados del cuadrilátero, d1 y d2 sus diagonales. d1•d 2 = ac + bd Ejemplo: AB + CD = BC + DA En el trapecio ( a + b ) + ( c + d ) = ( b + c ) + ( d + a ) isósceles ABCD las En la figura: a, b, c y d son diagonales d1 y d2 segmentos de los lados del son iguales ¿Cuánto cuadrilátero. mide cada una? Ejemplo: Solución: d1•d 2 = ac + bd con d1 = d 2 5 ( d1 )2 = 2•2 + 3• = 4 + 5 = 9  d1 = d 2 = 3 → 3 Cada diagonal mide 3. El teorema de Ptolomeo se reduce a lo más, a una curiosidad en la actualidad. AB + CD = BC + DA 30 + 24 = 22 + 32 54 = 54 10. Teorema Particular de Pitágoras “En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.” La figura ilustra además, como el teorema de Pitágoras se presenta y visualiza en torno a una circunferencia. Parinacota, Quilicura 2k09
  • 34. Prof.: Guillermo Corbacho C. Ejercicios de Aplicación del teorema particular de Pitágoras (Las siguientes figuras no están a escala) i) r = ? ii) r = ? iii) r = ? Hint. : Usar teo. de Pitágoras y secante con tagente. Solución: Solución: Solución: Aplicando Pitágoras en ∆PTB, Por Pitágoras en ∆PTB: Por Pitágoras en ∆PTB: rectángulo en T. Tenemos: PB2 = PT2 + TB2 PB2 = PT2 + TB2 2 2 2 PB = PT + TB Y por teo. secante con tangente:: Y por teo. secante con tangente:: Y aplicando teo. secante con PB2 = PA•PB + TB2 PB2 = PA•PB + TB2 tangente en esta igualdad, obtenemos: Reemplazando los valores: Reemplazando los valores: PB2 = PA•PB + TB2 2 2         10 + 8  = 10  10 + 8  + BT2  75 + 25  = 75  75 + 25  + BT2 Reemplazando valores:          18   18   100   100  2     324 = 180 + BT 2 12 + 4  = 12 12 + 4  + BT2 10.000 = 7.500 + BT 2      16   16  ⇒ BT 2 = 324 − 180 ⇒ BT 2 = 10.000 − 7.500 256 = 192 + BT 2 = 144 / = 2.500 / ⇒ BT 2 = 256 − 192 ⇒ BT = 12 ⇒ BT = 50 = 64 BT 12 BT 50 ⇒r= = =6 ⇒r= = = 25 ⇒ BT = 8 2 2 2 2 BT 8 ⇒r= = =4 2 2 Parinacota, Quilicura 2k09
  • 35. Prof.: Guillermo Corbacho C. Relaciones Métricas en la Circunferencia Listado nº 2: Ejercicios Propuestos Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____ Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala) 1. Si PA = 4; AB = 5; PD = 20 2. PA = 6; AB = 8; PD = 12 3. PA = 10; CD = 38; PC = 12 PC = x = ? PC = y = ? CD = z = ? 4. PA = 5; AB = 19; PC = 6 5. PA = 4; AB = 21; PT = x = ? 6. PA = 4; AB = 5; PT = y = ? CD = u = ?; PC = ? 7. PD = ? y QT = ? 8. PA = ? y QT = ? 9. x = ?; PA = ?; PB = ?; PC = ? 10. x = ?; Pot(P) = ? 11. ¿Cuánto mide la tangente PT ? 12. PT1 y PT2 son tangentes. PT2 = x = ? 13. AB = 29; BC = 23; CD = 20 14. x = ? 15. PA = 6; AB = 2; r = ? AD = ? Hint.: Usar teo. de Pitágoras y secante con tangente. Parinacota, Quilicura 2k09
  • 36. Prof.: Guillermo Corbacho C. Relaciones Métricas en la Circunferencia Solucionario Listado nº 2: Ejercicios Propuestos Nombre: __________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____ Ejercicios: (Las siguientes figuras no están a escala) i) Si PA = 4; AB = 5; PD = 20 ii) PA = 6; AB = 8; PD = 12 iii) PA = 10; CD = 38; PC = 12 PC = x = ? PC = y = ? CD = z = ? Solución: Solución: Solución: PA • PB = PC • PD PA • PB = PC • PD PA • PB = PC • PD 4 ( 4 + 21) = 20 x 6 ( 6 + 8 ) = 12 y 10 (10 + 38 ) = 12 ( z +12 ) / :12 25 14 48 100 = 20 x ⇒ x = 100/20 = 5 84 = 12 y ⇒ y = 84/12 = 7 4 10• 48 = z +12 ⇒ z = 40 − 12 = 28 1 12 40 iv) PA = 5; AB = 19; PC = 6 v) PA = 4; AB = 21; PT = x = ? vi) PA = 4; AB = 5; PT = y = ? CD = u = ?; PC = ? Solución: Solución: PA • PB = PT PA • PB = PT Solución: PA • PB = PC • PD 4 ( 4 + 21) = x 2 4 ( 4 + 5) = y 2 5 ( 5 +19 ) = 6 ( 6 + u ) / :6 25 9 24 100 = x 2 / 36 = x 2 / 4 10 = x 6=x 5• 24 = 6 + u ⇒ u = 20 − 6 = 14 16 20 Parinacota, Quilicura 2k09