Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema de números reales. Define el conjunto de números reales y sus propiedades bajo las operaciones de adición, multiplicación y orden. Explica los axiomas que rigen estas operaciones y las definiciones de sustracción y división. También introduce conceptos como intervalos, operaciones con conjuntos e intervalos, ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES
FACULTAD DE MEDICINA HUMANA
MATEMATICA APLICADA
NUMEROS REALES I
2014
1

2. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Se llama el Sistema de Número Reales a un conjunto no vacío R,
dotado de 2 operaciones internas, la adición y la multiplicación, y se
denota así:
< R , + , x >
Donde se considera una relación de orden mayor denotado por “ > ”
que satisface los siguientes axiomas:
2

3. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Axiomas de Adición
A.1. Si a, b ∈ R (a + b) ∈ R ……………………….. Clausura.
A.2. Si a + b = b + a a, b ∈ R ………………………. Conmutativa.
A.3. (a + b) + c = a + (b + c); a, b,c ∈ R …………… Asociativa.
A.4. Existe 0 ∈ R / a + 0 = 0 + a = a; a ∈ R …... .. Elemento neutro aditivo.
A.5. a ∈ R; (-a) ∈ R / a + (-a) = (-a) + a = 0 …… Inverso aditivo.
Axiomas de multiplicación
M.1. Si a, b ∈ R a.b ∈ R …………………………… Clausura.
M.2. a. b = b. a; a, b ∈ R ………………………….......Conmutativa.
M.3. (a x b) x c = a x (b x c); a, b ∈ R ……………… Asociativa.
M.4. 1 ∈ R / 1 x a = a x 1 = a ∈ R ……………….. Elemento neutro mult.
M.5. a ∈ R, con a ≠ 0, ∈ R / x a = a x = 1 … Inv Mult.
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4. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Axiomas Distributivas respecto a la adición
D.1. Si a, b, c ∈ R a x (b + c) = (a x b) + (a x c). Distributiva por la izquierda.
D.2. Si a, b, c ∈ R (b + c) x a = (b x a) + (c x a) ... Distributiva por la derecha.
Axiomas de igualdad
I.1. a = a …………………………………..………………. (Reflexiva).
I.2. Para a, b ∈ R a = b ó a ≠ b ………….…………… (Dicotomía).
I.3. Si a = b b = a……………… ………..…………. (Simetría).
I.4. Si a = b b = c a = c ………...………………. (Transitiva).
I.5. Si a = b a + c = b + c; c ∈ R …………………. (Unicidad de adición).
I.6. Si a = b a x c = b x c; c ∈ R …………… (Unicidad de la
multiplicación).
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5. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Axiomas de Orden
O.1. Si a,b, ∈ R a = b ; a > b ; a < b ………....... (Tricotomía).
O.2. Si a > b b > c a > c ……….…….. (Transitiva).
O.3. Si a > b a + c > b + c; c ∈ R …..……... (Consistencia Aditiva).
O.4. a > b c > 0 a x c > b x c ……...…….. ..(Consistencia
Multiplicativa).
O.5. a > b c < 0 a x c < b x c ……...…….. ..(Consistencia
Multiplicativa).
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6. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Definición de sustracción de Números Reales
Dado dos números a y b. Se define la diferencia de a y b, como la suma de a
con el inverso aditivo de b. Es decir :
a – b = a + ( - b ) a, b ∈ R
Definición de división de Números Reales
Dado 2 números a y b. Se define el cociente de a entre b, como el producto de
a con el inverso multiplicativo de b. Es decir :
, a, b ∈ R, b ≠ 0
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7. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION
: a x 0 = 0 = 0 x a , a ∈ R
: - a = (-1) x a , a ∈ R
: a(- b) = - (a x b) = (- a) x b, a, b ∈ R
: - (- a) = a , a ∈ R
: (- a)(- b) = a x b , a, b ∈ R
: a + c = b + c a = b , a, b, c ∈ R
: a x c = b x c , c ≠ 0 a = b a, b, c ∈ R
: ax(b - c) = axb - axc , a, b, c ∈ R
7

8. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION
8

9. EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION
: a + a = 2a, en general a + a + a + ….. + a = na
: a + c = x ∈ R, a ≠ 0 a x + b = 0 x =
: a. b = 0 a = 0 b = 0
: (a + b) (a - b) =
: a = b a = - b
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10. LOS INTERVALOS
Son conjuntos de números reales que están definidos mediante la condición de
que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades.
Entre estas tenemos :
1) Intervalo Abierto:
Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a < x < b } = < a, b >
2) Intervalo Cerrado:
Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } = [ a, b ]
10
a b ∞-∞
a b ∞-∞

11. LOS INTERVALOS
3) Intervalos Semiabiertos:
i) Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a ≤ x < b } = [ a, b >
ii) Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a < x ≤ b } = < a, b ]
4) Intervalos Infinitos:
i) Dado a, b ∈ R { x ∈ R / x ≥ a } = [ a, +∞ >
11
a b
a b
a +∞

12. LOS INTERVALOS
3) Intervalos Semiabiertos:
ii) Dado a ∈ R { x ∈ R / a < x } = < a, >
iii) Dado a ∈ R { x ∈ R / x ≤ a } = < - , a ]
iv) Dado a ∈ R { x ∈ R / x < a } = < - ∞ , a >
12
a +∞
-∞ a
-∞ a

13. OPERACIONES CON INTERVALOS
CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS
1. Reunión de Conjuntos
A ∪ B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A o B o ambos.
A ∪ B = { x / x ∈ A V x ∈ B }
U
B A
13
A B

14. OPERACIONES CON INTERVALOS
CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS
2. Intersección de Conjuntos
A ∩ B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A y B a la vez, es
decir son elementos comunes a ambos conjuntos.
A ∩ B = { x / x ∈ A x ∈ B }
U
A B
A ∩ B
a b
14

15. OPERACIONES CON INTERVALOS
CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS
3. Diferencia de Conjuntos
A - B, es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B.
A - B = { x / x ∈ A x B }
U
A B
A – B
A B
A – B
a b
15

16. OPERACIONES CON INTERVALOS
CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS
4. Complemento de un Conjunto
A’ , es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A.
A’ = { x / x ∈ U x A }
U U
A
A´ A
a
16
aA’ A

17. OPERACIONES CON INTERVALOS
CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS
4. Diferencia Simétrica de Conjuntos
A Δ B = { x / x ∈ (A – B) x ∈ (B – A) }
A Δ B = (A – B) ∪ (B – A)
A Δ B = (A ∪ B) - (B ∩ A)
U
A B
A Δ B A Δ B
a b
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18. OPERACIONES CON INTERVALOS
Ejemplos
Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B
d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C
Solución:
a. A ∪ B
A ∪ B = < -2 , 5 >
b. A ∩ B
A ∩ B = [ 0 , 2 >
18
-2 0 2 5
A
B
-2 0 2 5
A
B

19. OPERACIONES CON INTERVALOS
Ejemplos
Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B
d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C
Solución:
c. A - B
A ∪ B = ˂-2 , 0 ˂
d. A’
A’ = < - ∞ , -2 ] ∪ [ 2 , + ∞
>
19
-2 0 2 5
A
B
-2 0 2 5
A
A’A’

20. OPERACIONES CON INTERVALOS
Ejemplos
Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B
d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C
Solución:
e. (A ∪ C) – B
A ∪ C = < -2 , 7
]
(A ∪ C) – B = < -2 , 0 > ∪ [ 5 , 7 ]
20
v
-2 0 2 5
A
B
C
-2 0 2 5
A
B
C
7
7

21. OPERACIONES CON INTERVALOS
Ejemplos
Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B
d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C
Solución:
f. (A’ ∩ B) ∪ C
(A’ ∩ B) = [ 2 , 5 >
(A’ ∩ B) ∪ C = [ 2 , 7 ]
21
-2 0 2 5
A’
B
C
7
A’

22. 2. Dados los intervalos: A=[- 4, 4 > , B= < 2,
8] , C=< -1, 10 > , U= R.
Hallar:
a) A B b) C – B c) A C d) B’
C’
Solucion
a) [- 4, 8 ]
b) < 8, 10 >
- 4 - 2 -1 4 8 10 c) [ -4, -1] [ 4, 10
>
d) R - <- 2
,10 >
22

23. INTERVALOS
3. Si x є [1, 5], entonces a que intervalo
pertenece: 2x + 3.
Solución
Sabemos que: 1 ≤ X ≤ 5
por 2 : 2≤ 2x ≤ 10
mas 3: 2 + 3 ≤ 2x + 3 ≤ 10 + 3
tenemos: 5 ≤ 2x + 3 ≤ 13
Entonces : ( 2x + 3) є [ 5, 13 ]
23

24. INTERVALOS
4. Si ( x – 3) є < -3, 5 > , entonces el
intervalo al que pertenece ¨x¨ es:
Solución
Sabemos que: - 3 < x – 3 < 5
Entonces: - 3 + 3 < x < 5 + 3
Por lo tanto: 0 < x < 8 x є < 0,8 >
5. Si: x є < 3, 9 > entonces 1/ (3x + 1)
pertenece al intervalo:
Solución
Sabemos que: 3 < x < 9
Por 3: 9 < 3x < 27
Mas 1: 10 < 3x + 1 < 28 (observa los extremos
positivos)
Entonces podemos invertir: 1/28 < 1/(3x+1) < 1/10
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25. ECUACIONES E INECUACIONES
Una ecuación es una igualdad que es válida solo para algunos valores.
 Una ecuación lineal ( De primer grado )
se expresa en la forma:
 Una ecuación Cuadratica ( De segundo grado )
se expresa en la forma:
Es necesario tener en cuenta las siguientes reglas :
1. Si se suma o resta una misma expresión a ambos miembros de una
ecuación , la ecuación resultante es equivalente a la dada.
2. Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o se divide entre un
número diferente a cero, la ecuación no varía.
25
ax + b = 0 ; a ≠ 0

26. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO
Sea la Ecuación:
Para su resolución se utilizará los siguientes métodos:
1. Método de la Formula General:
Donde : = - 4ac se llama discriminante.
Si: = - 4ac > 0 ; la ecuación tiene 2 raíces reales y diferentes.
Si: = - 4ac = 0 ; la ecuación tiene 2 raíces iguales.
Si: = - 4ac < 0 ; la ecuación tiene 2 raíces imaginarias.
26

27. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO
2. Método de la Factorización:
Sea la ecuación
Para su resolución usar el Teorema:
ab = 0 a = 0 ó b = 0
3. Método de Completar Cuadrados
Sea la ecuación:
Para su resolución usar el Teorema
a = b ó a = -b
Propiedades de la raíces de una Ecuación Cuadrática
Sea la ecuación :
Si sus raíces son: ; entonces se tiene que:
27

28. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO
Ejemplo 1: Dada la ecuación : , resolver por los 3 métodos.
1. Método de la Formula General: a = 1, b = - 6 , c = 8
28

29. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO
2. Método de la Factorización
(x – 2) (x - 4) = 0
Aplicamos el teorema a x b = 0 a = 0 b = 0
x – 2 = 0 x – 4 = 0 x = 2 x = 4
3. Método de Completar Cuadrados:
Sea la ecuación
Para su resolución usar el Teorema:
a = b ó a = -b
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30. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Forma General:
Teorema de Cardamo – Viete
Sean: , las “n” raices de
la ecuacion polinomica.
1. Suma de raices :
2. Producto de raices:
30

31. ECUACIONES POLINOMIALES
1. Resolver la ecuación:
, indicar la menor raiz de la ecuacion.
Solución
1 - 5 6 4 - 8
2 2 - 6 0 8 (x- 2)(x- 2)(x- 2)(x +1)=
0
1 - 3 0 4 0 .(x + 1) = 0
2 2 -2 -4 x = 2, multiplicidad
3
1 -1 -2 0 x = - 1
2 2 2
1 1 0
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32. EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) X – {5 + 3x – [ 5x – ( 6 + x)]} = - 5
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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33. h) Hallar el valor de “a” para que la
ecuacion en “x” ,
tenga raices iguales.
i) Que valor debe tener “m” para que una
raiz sea la inversa de la otra en:
j) Dos de las raices de la ecuacion:
, son 2 y 4.
Hallar “ h + k ”.
33

34. INECUACIONES
Una inecuación es toda desigualdad donde existe una o mas cantidades
desconocidas llamadas variables.
Las inecuaciones de una variable son proposiciones de la forma:
P(x) > 0 , P(x) < 0 , P(x) ≥ 0 , P(x) ≤ 0
Teoremas
1. Si a < b c < d a + c < b + d
2. Si a < b - a > - b
3. Si a < b c > 0 a x c < b x c
4. Si a < b c < 0 a x c > b x c
5. Si a ≠ 0
6. tiene el mismo signo que a, es decir:
i. a > 0 > 0 ii. a < 0 < 0
7. Si a y b tienen el mismo signo y si:
a < b
8. Si a x b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)
9. Si a x b < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)
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35. INECUACIONES
10. Si > 0 , b ≠ 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)
11. Si < 0 , b ≠ 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)
12. Si a ≥ 0 b ≥ 0 a > b
13. Si b ≥ 0 ;
14. Si b ≥ 0 ;
15. Si b > 1 x < y
16. Si 0 < b < 1 x > y
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36. INECUACIONES
1. Inecuación lineal. Es de la forma:
 Una inecuación se caracteriza porque tiene n soluciones.
 Para la resolución de una inecuación lineal es necesario tener en cuenta los
siguientes teoremas.
i) Si a > b donde c ∈ R a + c > b + c
ii) Si a > b ; y c > 0 a x c > b x c
iii) Si a > b ; y c < 0 a x c < b x c
Ejemplo:
Resolver: 2x – 9 > 5x – 3
2x – 9 – 5x + 9 > 5x – 3 – 5x +9
-3x > 6 x < -2 S = {x ∈ R / x < -2} S = <-∞; -2 >
36
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0
- ∞ - 2

37. INECUACIONES
3. Determinar el valor de verdad de la siguiente afirmacion:
Si, ( 5 – 4x ) < - 10 , 5 >
SOLUCION
37

38. INECUACIONES
Para hacer mas sencilla la demostracion:
2x – 1 3x + 2 Entonces tenemos:
- 2x – 4 / 3 2/ 3
0 - 7/ 3
Si: - 10 < 5 – 4x < - 5 ,
Sumamos: - 5 ……-10 – 5 < - 4x < 5 – 5
Obtenemos:………………….. - 15 < - 4x < 0
Dividimos entre: -4…………. 15/4 > x > 0
Por 3…………………………...45/4 > 3x > 0
Sumamos 2…………………… 45/4 + 2 > 3x + 2 >
0 + 2
Entonces obtenemos:……….. 53/4 > 3x + 2 > 2
38

39. INECUACIONES
Observa que los extremos de la inecuacion son de igual
signo por lo tanto podemos invertir la inecuacion.
La inecuacion quedara: 4/ 53 < < 1/ 2
por – 7/ 3:………- 28/ 159 > - > - 7/ 6
sumar: 2/ 3 …..2/3 – 28/ 159 > 2/3 - > - 7/ 6 + 2/ 3
entonces: - 1/ 2 < 2/ 3 - < 26/ 53
entonces la afirmacion es verdadera.
39

40. INECUACION
4. Si: x [ - 2 , 0 ], a que intervalo pertenece la
expresion :
Solución
Si:………….. – 2 x 0
Por – 1 ……... 0 x 2
Elevamos al cuadrado: …. .0 4
Por -1 :…………- 4 - 0
Sumar: 4 ………-4 + 4 4 - 0 + 4
Queda ………… 0 4 - 4
Sacamos la raíz cuadrada: 0 2
Por 3/2 …………… 0 3
Entonces: ………… [ 0, 3 ]
40

41. INECUACIONES
Ejercicios:
1. Si: [ - 5/2 , - 1/2 ]. A que intervalo
pertenece “ x ” ……………Rpta. [ - 4, 4/5 ]
2. Si: [ 8, 16 ], hallar el valor de m, n si
x [ m, n ]………Rpta…[ 17/4, 3/2 ]
3. Si “x” < - 4, - 2 > entonces a que intervalo
pertenece: ……………Rpta…
4. Si “x” R, entonces la expresion:
..Rpta: <0,5/4>
41

42. INECUACIONES
5. Resolver:
Solución
mcm: 12….. 3( 3x – 1) – 36( 5 – 2x ) 4( 4 – 2x)
reduciendo:…… 89 x 199
entonces:………….. X 199 / 89
6. Resolver:
Solucion:
Asi:
mcm: 4 mcm: 2
- 12x < - 14 x 2
x > 7/6 x 2
7/6 2
c.s. X < 7/6 , 2 >
42

43. INECUACIONES
2. Inecuación de Segundo Grado
Es de la forma :
ó
donde a , b , c son números reales, a ≠ 0
Para la resolución, consideramos los siguientes teoremas:
i) Si utilizamos el método de factorización:
Si: a x b > 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 )
Si: a x b < 0 ( a > b b < 0 ) ( a < 0 b > 0 )
Se utiliza los mismos teoremas para ≥ ó ≤
II. Si utilizamos el método de completar cuadrados:
Si: b ≥ 0 a < - a >
Si: b ≥ 0 a > - a <
es decir: - < a <
43

44. INECUACIONES
Ejemplo: Resolver por el método de factorización.
Se usara el teorema a x b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)
x ∈ < -∞ , -2 > ∪ < 3 , + ∞ >
44
- 2 3

45. INECUACIONES
Ejemplo: Resolver: por el método de completar cuadrados.
Se usará el teorema
x ∈ < -1 , 5/3 >
45
- 1 5/3

46. INECUACIONES
Metodo de los puntos criticos:
3. Resolver:
Analizamos primero el discriminante:
, entonces 2
puntos criticos
Hallamos los puntos criticos( p.c)
multiplicamos por: - 1:
1. Factorizamos: ( 3x – 2 ) ( 2x – 1 ) 0
2. Hallamos los P.C.: x = 2/3 y x = 1/2
3. + +
1/2 2/3
C.S. [ 1/2 , 2/3 ]
46
-

47. INECUACION
4. Resolver:
Analizamos el discriminante:
, , un solo
P.C.
Factorizamos:
Entonces un solo P.C: X = 3
+ +
3
C.S. { 3 }
47

48. INECUACIONES
5. Resolver:
Analizamos el discriminante.
,no hay punto critico.
9 – 20 0, no hay punto critico.
C. S. R
48
+

49. INECUACION
6. Resolver:
Solución
Para resolver este tipo de inecuaciones se
separa la inecuacion en dos inecuaciones:
( x + 3 )( x – 2 )
PC: X = -3 y X= 2 PC: X = 1 multipli.
2
+ +
-3 1 2
C.S : R - < -3, 2 > 49
+ +
++
_