Descriocion del Metodo

1. FALSA POSICION
1.- Introducción
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su
método de aproximación por “fuerza bruta” es relativamente ineficiente. La falsa posición es una
alternativa basada en una visualización gráfica.
Un inconveniente del métodode bisecciónesqueal dividirelintervalode 𝑥 𝑙 a 𝑥 𝑢enmitades
iguales,nose toman en consideraciónlasmagnitudesde 𝑓(𝑥 𝑙)y 𝑓(𝑥 𝑢). Por ejemplo,si 𝑓(𝑥 𝑙)está
muchomás cercana a ceroque 𝑓(𝑥 𝑢), eslógicoque la raíz se encuentre máscercade 𝑥𝑙 que de 𝑥 𝑢
(figura5.12). Un métodoalternativoque aprovechaestavisualizacióngráficaconsisteenunir 𝑓(𝑥 𝑙)
y 𝑓( 𝑥 𝑢)con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las 𝑥 representa una mejor
aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta da una “falsa
posición” de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi.
2.- Descripciones
Formula
Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje 𝑥 de las se estima
mediante:
𝑓(𝑥 𝑙)
𝑥𝑙 − 𝑥 𝑢
=
𝑓(𝑥 𝑢)
𝑥 𝑙 − 𝑥 𝑢
Multiplicandoencruzlaecuaciónobtenemos:
𝑓(𝑥 𝑙)(𝑥 𝑟 – 𝑥 𝑢) = 𝑓(𝑥 𝑢)(𝑥 𝑟 – 𝑥 𝑙)
Agrupandotérminosyreordenando:
𝑥 𝑟 [ 𝑓( 𝑥𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)] = 𝑥 𝑢 𝑓( 𝑥𝑙)– 𝑥 𝑙 𝑓(𝑥 𝑢)
Dividiendoentre 𝑓(𝑥 𝑙) – 𝑓(𝑥 𝑢):
𝑥 𝑟 =
𝑥 𝑢 𝑓(𝑥𝑙)
𝑓( 𝑥 𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
−
𝑥 𝑙 𝑓(𝑥 𝑢)
𝑓( 𝑥𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
Sumandoy restando 𝑥 𝑢 enel ladoderecho:
𝑥 𝑟 = 𝑥 𝑢 +
𝑥 𝑢 𝑓(𝑥𝑙)
𝑓( 𝑥 𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
− 𝑥 𝑢 −
𝑥𝑙 𝑓(𝑥 𝑢)
𝑓( 𝑥 𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
Agrupando términosse obtiene:
𝑥 𝑟 = 𝑥 𝑢 +
𝑥 𝑢 𝑓(𝑥𝑙)
𝑓( 𝑥𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
−
𝑥𝑙 𝑓( 𝑥 𝑢)
𝑓( 𝑥 𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
𝑜 𝑥 𝑟 = 𝑥 𝑢 −
𝑓(𝑥 𝑢)(𝑥𝑙 − 𝑥 𝑢)
𝑓( 𝑥 𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
Ésta es la fórmula de la falsa posición. El valor de 𝑥 𝑟 calculado con la ecuación, reemplazará,
después, a cualquiera de los dos valores iniciales, 𝑥 𝑙 o 𝑥 𝑢 , y da un valor de la

2. Función con el mismo signo de 𝑓(𝑥 𝑟). De esta manera, los valores 𝑥 𝑙 y 𝑥 𝑢 siempre encierran la
verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada.
Algoritmo
Paso 1: Elija valores iniciales inferior, 𝑥𝑙 y superior 𝑥 𝑢, que encierran la raíz, de forma tal que la
función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que 𝑓( 𝑥 𝑙) 𝑓( 𝑥 𝑢) < 0.
Paso 2: Una aproximaciónde laraíz 𝑥 𝑟 se determinamediante:
𝑥 𝑟 = 𝑥 𝑢 −
𝑓( 𝑥 𝑢)( 𝑥𝑙 − 𝑥 𝑢)
𝑓( 𝑥 𝑙)– 𝑓( 𝑥 𝑢)
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué sub intervalo está la raíz:
a) Si 𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo.
Por lo tanto, haga 𝑥 𝑢 = 𝑥 𝑟 y vuelva al paso 2.
b) Si𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo superior o derecho.
Por lo tanto, haga 𝑥 𝑙 = 𝑥 𝑟 y vuelva al paso 2.
c) Si 𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) = 0, la raíz es igual a 𝑥 𝑟; termina el cálculo.
Paso 4: Calcularel error aproximadoconlaecuación:
𝐸 𝑎 = ⌈
𝑋𝑟
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑋𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑋𝑟
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
⌉∗ 100
Ventajas del método de falsa posición.
 Siempre encuentraunaraíz de la funciónsi se sabe que la raíz existe enunintervalodado;
es decir siempre converge.
 Casi siempre converge más rápido que el método de bisección.

3. Desventajas del método de falsa posición.
 La longitud del sub intervalos que contiene a la raíz en general no tiende a cero, debidoa
que uno de losextremosde lossubintervalosse aproximaalaraíz, mientrasel otropuede
permanecer fijo; es decir la longitud del sub intervalo no puede tomarse como un criterio
de aproximación a la raíz.
 Una tarea importante que se debe de realizar antes de aplicar el método es encontrar un
intervaloque contengalaraízbuscada,así como verificarque lafunciónseacontinuaenél.
Lo anteriornosignificaque si nose cumple cualquierade estosrequisitosel métodovayaa
diverge.
3.- Aplicaciones
Se aplicaenlasmismascosasque el métodode bisecciónyaque el métodode lafalsaposiciónhalla
los mismos resultados solo que de diferente manera.
4.- Ejercicios
1.- Hallar las raíces de la función: 𝑓( 𝑥) = 2𝑥𝑐𝑜𝑥 − 3 𝑦 = 2𝑥𝑐𝑜𝑥 − 3
𝑥 𝑦
−2 −6.99
−1 −4.99
0 −3
1 −1
2 0.99
 𝑥 𝑙 = 1; 𝑥 𝑢 = 2; 𝑓( 𝑥 𝑙) = 1: 𝑓( 𝑥 𝑢) = 0.99
𝑥 𝑟 = 2 −
(0.99)(1 − 2)
−1– 0.99
= 1.50
𝑓( 𝑥 𝑟) = 2 ∗ (1.50) cos(1.50) − 3 = −0.000832
𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) > 0
−1 ∗ −0.000832 = 0.000832
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 𝑙 = 𝑥 𝑟
 𝑋𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1,50; 𝑥 𝑙 = 1.50; 𝑥 𝑢 = 2; 𝑓( 𝑥𝑙) = −0.000832: 𝑓( 𝑥 𝑢) = 0.99
𝑥 𝑟 = 2 −
(0.99)(1.50 − 2)
−0.000832– 0.99
= 1.50
𝑓( 𝑥 𝑟) = 2 ∗ (1.50) cos(1.50) − 3 = −0.000832
𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) > 0
−0.000832 ∗ −0.000832 = 0.00000069
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 𝑙 = 𝑥 𝑟
𝐸 𝑎 = ⌈
1.50 − 1.50
1.50
⌉ ∗ 100 = 0%

4. 2.- Hallar las raíces de la función: 𝑓( 𝑥) =
2𝑥2−3
5
𝑦 =
2𝑥2−3
5
𝑥 𝑦
−2 1
−1 −0.2
0 −0.6
1 −0.2
2 1
 𝑥 𝑙 = 1; 𝑥 𝑢 = 2; 𝑓( 𝑥 𝑙) = −0.2: 𝑓( 𝑥 𝑢) = 1
𝑥 𝑟 = 2 −
(1)(1 − 2)
−0.2– 1
= 1.17
𝑓( 𝑥 𝑟) =
2(1.17)2 − 3
5
= −0.052
𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) > 0
−0.2 ∗ −0.052 = 0.0104
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 𝑙 = 𝑥 𝑟
 𝑋𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1,17; 𝑥 𝑙 = 1.17; 𝑥 𝑢 = 2; 𝑓( 𝑥𝑙) = −0.052: 𝑓( 𝑥 𝑢) = 1
𝑥 𝑟 = 2 −
(1)(1.17 − 2)
−0.052– 1
= 1.17
𝑓( 𝑥 𝑟) =
2(1.21)2 − 3
5
= −0.014
𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) > 0
−0.052 ∗ −0.014 = 0.000728
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 𝑙 = 𝑥 𝑟
𝐸 𝑎 = ⌈
1.21 − 1.17
1.21
⌉ ∗ 100 =
3.30%
100
= 0.033%
 𝑋𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1,21; 𝑥 𝑙 = 1.21; 𝑥 𝑢 = 2; 𝑓( 𝑥𝑙) = −0.014: 𝑓( 𝑥 𝑢) = 1
𝑥 𝑟 = 2 −
(1)(1.21 − 2)
−0.014– 1
= 1.22
𝑓( 𝑥 𝑟) =
2(1.22)2 − 3
5
= −0.00464
𝑓(𝑥 𝑙)𝑓(𝑥 𝑟) > 0
−0.014 ∗ −0.00464 = 0.00006496
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 𝑙 = 𝑥 𝑟
𝐸 𝑎 = ⌈
1.22 − 1.21
1.22
⌉ ∗ 100 =
0.81%
100
= 0.0081%

5. 3.- Determine laraíz real de 𝑓(𝑥) = (0.8 – 0.3𝑥)/𝑥:
a) Analíticamente
b) Gráficamente
c) Empleandotresiteracionesen elmétododelafalsaposición, convaloresinicialesde1a3. Calcule
el error aproximado 𝐸 𝑎 y el error verdadero 𝐸𝑡 en cada iteración.
4.- La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por
𝑣 =
𝑔𝑚
𝑐
(1 − 𝑒−(𝑐/𝑚)𝑡 )
Donde 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠2.Para un paracaidistaconcoeficientede arrastre de 𝑐 = 15 𝑘𝑔/𝑠,calcule la
masa 𝑚 de modo que la velocidad sea 𝑣 = 35 𝑚/𝑠 en 𝑡 = 9𝑠. Utilice el método de la falsa
posición para determinar m a un nivel de 𝐸 𝑠 = 0.1%.