1. 1
1. AMORTIGUAMIENTO EN ESTRUCTURAS
Los amortiguamientos son generalmente valores numéricos para las relaciones de
amortiguamiento modal y suficiente para análisis lineal.
Por lo tanto, determinar los coeficientes de la matriz de amortiguamiento; es
necesario para armar la ecuación de equilibrio dinámico y realizar el análisis lineal.
1.1 RELACIONES DE AMORTIGUAMIENTO EXPERIMENTAL
La librería Millikan del Tecnológico de Pandora construido en 1967, es estructura
de concreto reforzado con pantallas en las dos direcciones, tiene los siguientes
periodos de amortiguamiento. Ref. (Chopra, Avil K.)
Los periodos, modos y amortiguamiento modal fueron calculados a partir del
movimiento forzado armónico, usando un generador de masa excéntrica; generando la
curva de respuesta. (Figura 11.1.2 Chopra), que muestra los picos resonantes
correspondiente a la octava frecuencia natural de vibración en la dirección este–oeste.
1.1.1 CURVA RESPUESTA DE LA FRECUENCIA
Debido a la dificultad para obtener ߦ, los amortiguamientos se obtienen de una curva
experimental de respuesta de frecuencia.
Un generador vibra a determinada frecuencia, la respuesta estructural es observada hasta
que la parte transitoria desaparece y la amplitud del estado estacionario es medida. La
frecuencia del generador se ajusta a un nuevo valor, y se repite el proceso.
EXCITACIÓN
MODO FUNDAMENTAL N-S
SEGUNDO MODO
N-S
PERIODO
(S) AMORTIGUAMIENTO T(S) ξ (%)
GENERADOR 0,53 1,2 - 1,8
SISMO LITTLE
CREEK 0,52 2,9 0,12 1,0
SAN FERNANDO 0,62 6,4 0,13 4,7
DIRECCION ESTE - OESTE
GENERADOR 0,68 0,7 - 1,5
SISMO LITTLE
CREEK 0,71 2,2 0,18 3,6
SAN FERNANDO 0,98 7,0 0,2 5,9

2. 2
La frecuencia forzada varía en un rango que incluye las frecuencias naturales del
sistema. La fuerza en la curva de respuesta es proporcional a ߱ଶ
, la amplitud de la
aceleración medida se divide por ߱ଶ
, obteniendo una curva de aceleración-frecuencia
para una fuerza de amplitud constante; esta curva se parece a la curva de amplificación
dinámica (Factor de Respuesta Deformación).
‫݇ݔ‬
‫ܨ‬௢
‫.ݏݒ‬
߱
La frecuencia natural y el amortiguamiento, son calculadas de cualquiera de las curvas
experimentales de frecuencia de respuesta.
݂ܽ, ݂ܾ: Frecuencias forzadas a cada lado de la frecuencia resonante ݂௡, en al cual la
amplitud es 1/√2 veces la amplitud resonante para valores pequeños de
amortiguamiento.
El amortiguamiento para la frecuencia n-ésima ݂௡, es igual al de la frecuencia forzada
en resonancia. El coeficiente de amortiguamiento se calcula con:
ߦ ൌ
߱௕ െ ߱௔
2߱௡
ó ߦ ൌ
݂௕ െ ݂௔
2݂௡
ሺܸ݁‫ݎ‬ ‫ܽݎݑ݃݅ܨ‬ 3.2.9 ‫ܽݎ݌݋݄ܥ‬ሻ
Para la librería Millikan, la curva de respuesta de frecuencia es:
(Figura 11.1.2, 11.1.3, 11.1.4 y 11.1.5 Chopra pág. 499)

4. 4
La aceleración en la cubierta es mayor que en la base, debido a que el edificio es
flexible. Los periodos en cada dirección, son calculados de la duración de un ciclo de la
respuesta dinámica.

5. 5
1.2 COEFICIENTES DE AMORTIGUAMIENTO MODAL
Para edificios nuevos, obviamente el amortiguamiento no se puede medir, por lo tanto
las relaciones de amortiguamiento modal están basadas en datos registrados de sismos
fuertes, pero no deformados en el rango inelástico. Por otra parte el amortiguamiento en
estructuras con fluencia significativa por sismos, incluyen la disipación de energía por
fluencia del material y no sirve para análisis dinámico modal elástico.
En la siguiente tabla (11.2.1 Chopra Pág. 454), se presentan los valores de
amortiguamiento para dos niveles de movimiento: niveles de esfuerzo no mayores que
la mitad del punto de fluencia y esfuerzos justo por debajo del punto de fluencia.
Los rangos de amortiguamientos altos son usados para estructuras ordinarias, y valores
bajos de amortiguamiento para estructuras especiales, dan como resultado diseños más
conservativos. Para mampostería no reforzada se recomienda ߦ ൌ 3% y mampostería
estructural ߦ ൌ 7%. La mayoría de los códigos no reconoce la diferencia entre
materiales, y usan típicamente ߦ ൌ 5%.
Estos amortiguamientos pueden ser usados directamente en el análisis de sistemas
lineales elásticos para las ecuaciones modales desacopladas.

6. 6
2. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO
Se calcula a partir de las dimensiones estructurales, secciones de los elementos y
amortiguamiento del material usado.
No es practico calcular la matriz de amortiguamiento de la misma manera que la
rigidez, pues a diferencia del modulo de elasticidad, las propiedades de
amortiguamiento del material no está bien establecidas, además esta matriz no tiene en
cuenta la energía disipada por ejemplo en las conexiones metálicas (fricción,
microgrietas, elementos no estructurales, etc.). Esta matriz se calcula a partir de las
relaciones de amortiguamiento modal.
3. AMORTIGUAMIENTO CLASICO
Utilizado en el análisis modal clásico de sistemas lineales. Se seguirá el siguiente
procedimiento para armar la matriz de amortiguamiento modal para estructuras con ߦ
calculados experimentalmente.
3.1 Amortiguamiento Rayleigh
La masa y la rigidez son proporcionales al amortiguamiento.
ሾ‫ܥ‬ሿ ൌ ሼߙைሽሾ݉ሿ ‫ݕ‬ ሾ‫ܥ‬ሿ ൌ ሼߙଵሽሾ݇ሿ
Unidades: ߙை: ൣ1
‫ݏ‬ଵ
ൗ ൧ ߙଵ: ሾ‫ݏ‬ሿ
ሾ‫ܥ‬ሿ: ‫ݏܧ‬ ݀݅ܽ݃‫݈ܽ݊݋‬ ‫ݎ݋݌‬ ݈ܽ ‫݈݀ܽ݀݅ܽ݊݋݃݋ݐݎ݋‬ ݀݁ ݈‫ݏ݋‬ ݉‫ݏ݋݀݋‬.
A continuación se representa el modelo físico.

7. 7
El amortiguamiento proporcional a la rigidez representa la energía disipada en la
deformación, mientras que el amortiguamiento proporcional a la masa representa el aire,
el cual es despreciable para la mayoría de estructuras pequeñas, aunque ninguno de los
dos amortiguamientos son apropiados en aplicaciones prácticas.
Relacionando ߦ para un sistema con amortiguamiento generalizado, proporcional a la
masa ߙை, por el n-avo modo:
‫ܥ‬௡ ൌ ߙை݉௡
Y el coeficiente de amortiguamiento modal:
‫ܥ‬௡ ൌ 2݉௡ߦ௡߱௡
ߦ௡ ൌ
‫ܥ‬௡
2݉௡߱௡
ൌ
ߙை݉௡
2݉௡߱
ൌ
ߙை
2
1
߱
ߦ es inversamente proporcional a la frecuencia natural para el modo i-ésimo:
ߙ௢ ൌ 2ߦ௜߱௜
Para sistemas con amortiguamiento proporcional a la rigidez:
‫ܥ‬௡ ൌ ߙଵ݇௡ ൌ ߙଵ߱ଶ
݉௡
Pero ‫ܥ‬௡ ൌ 2݉௡ߦ߱
2݉௡ߦ߱ ൌ ߙଵ߱ଶ
݉௡
ߦ ൌ
ߙଵ
2
߱ ; ߦ ܽ‫ܽݐ݊݁݉ݑ‬ ݈݈݅݊݁ܽ݉݁݊‫݁ݐ‬ ܿ‫݊݋‬ ݈ܽ ݂‫ܽ݅ܿ݊݁ݑܿ݁ݎ‬ ݊ܽ‫݈ܽݎݑݐ‬
ߙଵ ൌ
2ߦ௝
߱௝
‫ܽݎܽ݌‬ ݈݁ ݉‫݋݀݋‬ ݆ െ é‫݋݉݅ݏ‬
La variación del amortiguamiento con la frecuencia, no es consistente con los datos
experimentales, que indican el mismo amortiguamiento para diferentes modos de
vibración.
El amortiguamiento de Rayleigh es:
ሾ‫ܥ‬ሿ ൌ ߙைሾ݉ሿ ൅ ߙଵሾ݇ሿ
Para el n-avo modo de vibración:
ߦ௡ ൌ
ߙை
2
1
߱௡
൅
ߙଵ
2
߱௡
ߙை ‫ݕ‬ ߙଵ Son determinantes específicamente para el modo i y j, en forma matricial.

8. 8
1
2
൥
1
߱௜
ൗ ߱௜
1
߱௝
ൗ ߱௝
൩ ቄ
ߙை
ߙଵ
ቅ ൌ ൜
ߦ௜
ߦ௝
ൠ
Despejando ߙை ‫ݕ‬ ߙଵ, asumiendo que los 2 modos (i y j) tienen el mismo
amortiguamiento ߦ.
ߙ௢ ൌ ߦ
2߱௜߱௝
߱௜൅߱௝
ߙଵ ൌ ߦ
2
߱௜൅߱௝
Para aplicar este procedimiento, el amortiguamiento en cada modo se escoge para
asegurar valores razonables de ߦ en todos los modos que contribuyen significativamente
a la respuesta dinámica, como se observa en la siguiente figura la variación del
amortiguamiento con la frecuencia natural:
Problema: Calcular la matriz de amortiguamiento de Rayleigh para ߦ ൌ 5% en los
modos 1 y 3, y calcule ߦ para el modo 2 en el siguiente edificio.

9. 9
La ecuación de equilibrio dinámico es:
൥
60 0 0
0 240 0
0 0 240
൩ ൝
‫ݑ‬ଷሷ
‫ݑ‬ଶሷ
‫ݑ‬ଵሷ
ൡ ൅ ൥
36100 െ36100 0
36100 72200 െ36100
0 െ36100 72200
൩ ൝
‫ݑ‬ଷ
‫ݑ‬ଶ
‫ݑ‬ଵ
ൡ ൌ ൝
0
0
0
ൡ
Las frecuencias naturales son:
߱ଵ ൌ 6.92 ‫݀ܽݎ‬
‫ݏ‬ൗ ߱ଶ ൌ 18.83 ‫݀ܽݎ‬
‫ݏ‬ൗ ߱ଷ ൌ 28.30 ‫݀ܽݎ‬
‫ݏ‬ൗ
La matriz modal es:
߶ଵ ߶ଶ ߶ଷ
ሾ߶ሿ ൌ ൥
1 െ0.872 1
െ0.331 െ0.358 0.920
0 1 0.547
൩ ݈‫ݏ݋‬ ݉‫ݏ݋݀݋‬ ݁‫݊ܽݐݏ‬ ݁݊ ܿ‫ݏܽ݊݉ݑ݈݋‬
1. Calculo ߙை ‫ݕ‬ ߙଵ
1
2
൥
1
6.92ൗ 6.92
1
28.30ൗ 28.30
൩ ቄ
ߙை
ߙଵ
ቅ ൌ ቄ
0.05
0.05
ቅ
Ecuación de la forma ሾ‫ܣ‬ሿሼ‫ݔ‬ሽ ൌ ሾ‫ܤ‬ሿ
ሼ‫ݔ‬ሽ ൌ ሾ‫ܣ‬ሿିଵሾ‫ܤ‬ሿ
ቄ
ߙை
ߙଵ
ቅ ൌ ቄ
0.556
0.0028
ቅ
2. Calculo de la matriz de amortiguamiento
ሾ‫ܥ‬ሿ ൌ ߙைሾ‫ܯ‬ሿ ൅ ߙଵሾ݇ሿ
ሾ‫ܥ‬ሿ ൌ ൥
134.44 െ101.08 0
െ101.08 335.60 െ101.08
0 െ101.08 335.60
൩

10. 10
3. Calculo ߦଶ
ߦଶ ൌ
ߙை
2
1
߱
൅
ߙଵ
2
߱ଶ ൌ
0.556
2
‫כ‬
1
18.83
൅
0.0028
2
‫כ‬ 18.33 ൌ 0.0411 ൌ 4.11%
3.2 AMORTIGUAMIENTO CAUGHEY
Para calcular el amortiguamiento en más de dos modos se considera la forma de la
matriz de amortiguamiento elástica o amortiguamiento de Caughey.
ሾ‫ܥ‬ሿ ൌ ሾ‫ܯ‬ሿ ෍ ߙ௜ሺሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿሻ௜
ேିଵ
௜ୀ଴
݅: ‫݋݀݋ܯ‬ ݅ െ é‫݋݉݅ݏ‬
ܰ: ܰú݉݁‫݋ݎ‬ ݀݁ ݃‫ݏ݋݀ܽݎ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬
ܽ௜: ‫ݏ݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋ܥ‬
Los primeros tres términos de la serie son:
ߙ଴ሾ‫ܯ‬ሿሺሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿሻ଴
ൌ ߙைሾ‫ܯ‬ሿ
ߙଵሾ‫ܯ‬ሿሺሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿሻଵ
ൌ ߙଵሾ݇ሿ
ߙଶሾ‫ܯ‬ሿሺሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿሻଶ
ൌ ߙଶሾ‫ܯ‬ሿሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿ ൌ ߙଶሾ݇ሿሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿ
Los dos primeros términos corresponden al amortiguamiento de Rayleigh. El
coeficiente de amortiguamiento modal ߦ௡, para j modos con n-grados de libertad es:
ߦ௡ ൌ
1
2
෍ ߙ௜ሺ߱௡ሻଶ௜ିଵ
௝ିଵ
௜ୀ଴
ܽ௜. Se calcula para cada modo; resolviendo la anterior ecuación con relaciones de
amortiguamiento especificados en el modo j-ésimo. Pueden dar valores negativos, pero
no se tienen en cuenta.
Existen dos problemas; asociados al cálculo de ߦ:
1. Las ecuaciones algebraicas. Son numéricamente condicionadas, porque los
coeficientes ߱௡
ିଵ
, ߱௡, ߱௡
ଷ
, ߱௡
ହ
, … ..difieren en orden de magnitud.
2. Si la serie de Caughey tiene más de dos términos, ሾ‫ܥ‬ሿ es una matriz llena, ሾ݇ሿ es
una banda y ሾ‫ܯ‬ሿ es diagonal.

11. 11
Problema: Para el sistema anterior, calcular el amortiguamiento de Caughey de los
primeros tres modos si ߦ ൌ 5%
1. Serie de Caughey – 3 modos:
ሾ‫ܥ‬ሿ ൌ ߙ଴ሾ‫ܯ‬ሿ ൅ ߙଵሾ݇ሿ ൅ ߙଶሾ݇ሿሾ‫ܯ‬ሿିଵሾ݇ሿ
2. Calculo ߙ଴, ߙଵ ‫ݕ‬ ߙଶ
ߦ௡ ൌ
ߙை
2
1
߱௡
൅
ߙଵ
2
߱௡ ൅
ߙଶ
2
߱௡
ଷ
݊ ൌ 1,2,3
En forma matricial:
൝
0.05
0.05
0.05
ൡ ൌ
1
2
‫ۏ‬
‫ێ‬
‫ێ‬
‫ۍ‬
1
6.92ൗ 6.92 6.92ଷ
1
18.83ൗ 18.83 18.83ଷ
1
28.30ൗ 28.30 28.3ଷ
‫ے‬
‫ۑ‬
‫ۑ‬
‫ې‬
௡
൝
ߙ଴
ߙଵ
ߙଶ
ൡ
ߙ଴ ൌ 0.4663
ߙଵ ൌ 0.00483
ߙଶ ൌ 0.234 ‫כ‬ 10ିହ
3. Reemplazando en la serie de Caughey para 3 modos:
൥
0.05
0.05
0.05
൩
ൌ 0.46636 ൥
60
240
240
൩ ൅ 0.00483 ൥
36100 െ36100 0
െ36100 72200 െ36100
0 െ36100 72200
൩ ൅ 2.34
‫כ‬ 10ି଺
൥
36100 െ36100 0
െ36100 72200 െ36100
0 െ36100 72200
൩ ൥
60
240
240
൩
ିଵ
൥݇
36100 െ36100 0
െ36100 72200 െ36100
0 െ36100 72200
൩
ሾCሿ ൌ ൥
87.83 115.58 െ63.52
െ47.74 244.32 െ72.55
െ12.70 െ123.37 396.76
൩