Este documento presenta un método para reducir sistemas de fuerzas no concurrentes aplicadas a un pórtico espacial a un punto de reducción único. Explica cómo calcular los momentos de cada fuerza con respecto al punto de reducción y componerlos en un momento resultante de reducción. También explica cómo componer las fuerzas en una resultante de reducción vectorial e invariant. El documento concluye que la proyección del momento resultante sobre la resultante de fuerzas da como resultado un invariante escalar independiente del punto de reducción elegido.

1. Clase N° 1 – TPN° 1
Fuerzas Concentradas – Parte B
Curso de Estática y
Resistencia de Materiales
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires

2. Sobre el pórtico espacial de la figura se
aplican los siguientes sistemas generalizados
de fuerzas independientes entre sí
Se pide:
x
y
z
P1
P2
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
1. Reducir cada uno de los sistemas al punto
“C” adoptado cómo Punto de Reducción
2. Determinar y calcular los Invariantes
Datos:
P1 = 2 KN = (0 ; 0 ; -2 ) KN
P2 = 4 KN = (0 ; 0 ; 4 ) KN
P3 = 6 KN = (0 ; 0 ; 6 ) KN
P4 = 10 KN = (0 ; 0 ; 10 ) KN
M1 = 4 KN.m = (-4 ; 0 ; 0 ) (vector libre)
M2 = 6 KN.m = (0 ; 6 ; 0 ) (vector libre)
A = (3 ; 3 ; 4 )
B = (3 ; 0 ; 4 )
C = (0 ; 0 ; 4 )
D = (0 ; 3 ; 4 )

3. Previamente
definamos:
Para establecer la convención de signos de los
momentos, en primer término identificaremos
con qué terna estamos trabajando, en este caso
la “terna izquierda”
x
y
z
P1
P2
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
…los dedos indican el
sentido de rotación de
“x” hacia “y”
…el pulgar indica la
dirección de “z”
…los dedos indican el
sentido de rotación
del momento
…el pulgar indica la
dirección del vector
momento
…definimos el sentido de
rotación de los momentos
M1 y M2

4. Metodología de
resolución:
Los sistemas de fuerzas “no concurrentes”
en el espacio son aquellos sistemas
aplicados a un cuerpo rígido en el que las
rectas de acción de las fuerzas que lo
constituyen pertenecen a planos distintos
x
y
z
P1
P2
P3
P4
M2
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
1
1
2
2
3
3
4
4
En consecuencia, es necesario reemplazar el
sistema por otro equivalente, y del que sea
factible hallar su resultante
Elijamos un punto “O” perteneciente al
mismo cuerpo rígido y al que en lo sucesivo
denominaremos “Centro de Reducción” y
sobre el cual que reduciremos todos los
sistemas de fuerzas actuantes
≡ O
M1

5. Metodología de
resolución:
Llamando d1 la distancia del centro de
reducción “O” a la recta de acción de P1,
el momento de dicho par será:
x
y
z
P1
P2
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
1
1
≡ d1
𝐌𝐏𝟏 = 𝐏𝟏 ∙ 𝐝𝟏 = 𝟐 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟔 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta,
paralelas a P1 y de su misma intensidad
P1
P1
…y lo definimos como un vector de módulo
MP1 normal al plano definido por “O” y la
recta de acción de P1, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda

6. 1
1
x
y
z
P1
P2
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
Metodología de
resolución:
Llamando d1 la distancia del centro de
reducción “O” a la recta de acción de P1,
el momento de dicho par será:
≡ O
≡ d1
𝐌𝐏𝟏 = 𝐏𝟏 ∙ 𝐝𝟏 = 𝟐 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟔 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta,
paralelas a P1 y de su misma intensidad
P1
P1
…y lo definimos como un vector de módulo
MP1 normal al plano definido por “O” y la
recta de acción de P1, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda
MP1
Operando en forma similar con las restantes fuerzas será:

7. Llamando d2 la distancia del centro de
reducción “B” a la recta de acción de P2,
el momento de dicho par será:
x
y
z
P2
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
≡ d2
𝐌𝐏𝟐𝐱 = 𝐏𝟐 ∙ 𝐝𝟐 = 𝟒 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟏𝟐 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos en “B” dos fuerzas opuesta,
paralelas a P2 y de su misma intensidad
…y lo definimos como un vector de módulo
MP2x normal al plano definido por “B” y la
recta de acción de P2, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda
La fuerza P2 la trasladaremos en dos pasos,
primero a “B” y luego a “O”
2
2
P2
P2
P1
MP1

8. Llamando d2 la distancia del centro de
reducción “B” a la recta de acción de P2,
el momento de dicho par será:
x
y
z
P2
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
≡ d2
𝐌𝐏𝟐𝐱 = 𝐏𝟐 ∙ 𝐝𝟐 = 𝟒 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟏𝟐 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos en “B” dos fuerzas opuesta,
paralelas a P2 y de su misma intensidad
…y lo definimos como un vector de módulo
MP2x normal al plano definido por “B” y la
recta de acción de P2, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda
La fuerza P2 la trasladaremos en dos pasos,
primero a “B” y luego a “O”
P2
P2
2
2
MP2x
P1
MP1

9. Llamando d2’ la distancia del centro de
reducción “O” a la recta de acción de P2,
el momento de dicho par será:
x
y
z
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
≡ d2’
𝐌𝐏𝟐𝐲 = 𝐏𝟐 ∙ 𝐝𝟐′ = 𝟒 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟏𝟐 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta,
paralelas a P2 y de su misma intensidad
…y lo definimos como un vector de módulo
MP2y normal al plano definido por “O” y la
recta de acción de P2, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda
Trasladaremos ahora la fuerza P2 a “O”
P2
P1
2’
2’
P2
P2
MP2x
MP1

10. Llamando d2’ la distancia del centro de
reducción “O” a la recta de acción de P2,
el momento de dicho par será:
x
y
z
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
≡ d2’
𝐌𝐏𝟐𝐲 = 𝐏𝟐 ∙ 𝐝𝟐′ = 𝟒 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟏𝟐 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos en “O” dos fuerzas opuesta,
paralelas a P2 y de su misma intensidad
…y lo definimos como un vector de módulo
MP2y normal al plano definido por “O” y la
recta de acción de P2, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda
Trasladaremos ahora la fuerza P2 a “O”
P2
P1
2’
2’
P2
P2
MP2y
MP2x
MP1

11. Llamando d3 la distancia del centro de
reducción “O” a la recta de acción de P3,
el momento de dicho par será:
x
y
z
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
≡ d3
𝐌𝐏𝟑 = 𝐏𝟑 ∙ 𝐝𝟑 = 𝟔 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟏𝟖 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos por último en “O” dos fuerzas
opuesta, paralelas a P3 y de su misma
intensidad
…y lo definimos como un vector de módulo
MP3 normal al plano definido por “O” y la
recta de acción de P3, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda
2’
2’
3
3
P1
P2
P3
P3
MP2x
MP1
MP2y

12. Llamando d3 la distancia del centro de
reducción “O” a la recta de acción de P3,
el momento de dicho par será:
x
y
z
P3
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
≡ d3
𝐌𝐏𝟑 = 𝐏𝟑 ∙ 𝐝𝟑 = 𝟔 𝐊𝐍 ∙ 𝟑 𝐦 = 𝟏𝟖 𝐊𝐍𝐦
Apliquemos por último en “O” dos fuerzas
opuesta, paralelas a P3 y de su misma
intensidad
…y lo definimos como un vector de módulo
MP3 normal al plano definido por “O” y la
recta de acción de P3, y cuyo sentido estará
dado por la regla de la mano izquierda
3
3
P1
P3
La fuerza P4 está aplicada en “O” y no necesita ser trasladada
MP3
P2
P3
MP2x
MP1
MP2y

13. x
y
z
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
≡ d3
𝐑 =
𝟏
𝟒
𝐏𝐢 = −𝟐 𝐊𝐍 + 𝟒 𝐊𝐍 + 𝟔 𝐊𝐍 + 𝟏𝟎 𝐊𝐍
𝐑 =
𝟏
𝟒
𝐏𝐢 = 𝟏𝟖 𝐊𝐍
Estamos en condiciones ahora de componer
las cuatro fuerzas P1; P2; P3 y P4 aplicadas en
el centro de reducción “O”, hallando su
resultante R, que denominaremos Resultante
de Reducción.
3
3
P1
P2
P3
Podemos decir entonces que la Resultante de Reducción
es un invariante del sistema de fuerzas espaciales que
por su naturaleza denominaremos Invariante Vectorial.
Nota: en este caso particular, al ser
todas las fuerzas (P1; P2; P3 y P4 )
colineales la Resultante de Reducción
será la suma escalar de los módulos de
las mismas. En caso contrario la suma
deberá ser vectorial
(con la dirección del eje z)
MP2x
MP1
MP2y
MP3

14. x
y
z
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
𝐌𝐱 =
𝟏
𝟑
𝐌𝐱 = −𝐌𝟏 +𝐌𝐏𝟐𝐱 +𝐌𝐏𝟑
𝐌𝐱 = −𝟒 𝐊𝐍𝐦 + 𝟏𝟐 𝐊𝐍𝐦 + 𝟏𝟖 𝐊𝐍𝐦
𝐌𝐱 = 𝟐𝟔 𝐊𝐍𝐦
Procediendo en forma análoga con los
vectores momento M1; M2; MP1; MP2x;
MP2y y MP3 obtenemos un vector
momento resultante representativo del
Par de Reducción que denominaremos M
y cuyas componentes son:
P1
P2
P3
(con la dirección del eje x)
𝐌𝐲 =
𝟏
𝟑
𝐌𝐲 = 𝐌𝟐 −𝐌𝐏𝟐𝐲 +𝐌𝐏𝟏
𝐌𝐲 = 𝟔 𝐊𝐍𝐦 − 𝟏𝟐 𝐊𝐍𝐦 + 𝟔 𝐊𝐍𝐦
𝐌𝐲 = 𝟎 (con la dirección del eje y)
MP2x
MP1
MP2y
MP3

15. x
y
z
P4
M2
M1
3 m
3 m
4 m
A
B
C
D
≡ O
P1
P2
P3
El vector momento M tendrá la
dirección de eje x y su módulo valdrá:
𝐌 = 𝟐𝟔 𝐊𝐍𝐦 𝟐 + 𝟎 𝐊𝐍𝐦 𝟐
𝐌 ≅ 𝟐𝟔 𝐊𝐍𝐦
Si proyectamos el vector Momento de
Reducción sobre la Resultante de
Reducción obtendremos un vector
momento que llamaremos M*
Cualquiera sea el Centro de Reducción
adoptado, M* es constante, es decir,
constituye otro invariante que
denominaremos Invariante Escalar.
En nuestro caso M tiene la dirección del eje x y R tiene
la dirección del eje z por lo tanto:
MP2x
MP1
MP2y
MP3
M
𝐌∗
= 𝐌 ∙ 𝐑 = 𝐌 ∙ 𝐑 ∙ 𝐜𝐨𝐬
𝛑
𝟐
= 𝟎

16. Bibliografía
Estabilidad I – Enrique Fliess
Introducción a la Estática y Resistencia de Materiales – C. Raffo

17. Muchas Gracias