Este documento resume los temas de números primos, mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD). Explica las propiedades de los números primos, cómo calcular el MCM y MCD de números mediante la descomposición en factores primos, y proporciona ejemplos y ejercicios de aplicación de estos conceptos para resolver problemas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
Este documento resume diferentes tipos de ecuaciones y cómo resolverlas. Explica ecuaciones de primer grado, segundo grado completas e incompletas, bicuadradas, con fracciones algebraicas, irracionales y logarítmicas. También cubre inecuaciones de primer grado y segundo grado, resolviéndolas de manera similar a las ecuaciones pero dando como resultado un intervalo. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo.
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y vi...Cristina Parra
Este documento describe la importancia de las fracciones y los decimales para expresar cantidades menores a la unidad en la vida diaria y en procesos como el chancado del cobre. También presenta una actividad práctica donde se usan diferentes instrumentos para medir y se deben convertir las medidas a números decimales para realizar cálculos. Finalmente, propone un desafío de expresar medidas dadas en listones, reglas y lápices.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo inecuaciones con variables en el denominador. Se dividen los problemas en cuatro secciones: 1) inecuaciones de primer grado, 2) inecuaciones de segundo grado, 3) inecuaciones con variables en el denominador, y 4) resolución de inecuaciones específicas. Cada sección contiene múltiples ejemplos de inecuaciones con sus respectivas soluciones de intervalo.
Propuesta de estrategia didáctica sobre números racionalesLeandro Ernesto
Aquí desglosamos de la forma más sencilla lo que es la aplicación con claridad del algoritmo de la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación de números racionales en la resolución y formulación de problemas dentro y fuera de su contexto.
Los ejercicios y problemas están preparados para ser resueltos; aunque muchos de ellos cuentan con indicaciones y pistas para facilitar el estudio y su resolución. La dificultad de los enunciados tiene una forma creciente, de manera que, los más fáciles suelen estar al principio y los más dificultosos al final. En todos los ejercicios se busca que, la persona que los vaya trabajando se sienta cómoda desde el inicio, y que esto, aumente la motivación y la confianza en el alumno.
Ejercicios de potenciacion de números enterosgutidiego
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre potenciación de números enteros. Los ejercicios incluyen expresar productos y potencias usando un solo exponente, simplificar expresiones aplicando las propiedades de las potencias, calcular valores de expresiones cuando se dan valores para las variables, ordenar expresiones, y hallar valores de exponentes o bases. El documento proporciona referencias bibliográficas al final.
Este documento presenta una secuencia didáctica para enseñar el concepto de números enteros de manera significativa y lúdica a estudiantes de bachillerato. La secuencia incluye actividades para conceptualizar los números enteros, establecer relaciones de orden y estructuras aditivas y multiplicativas, y operar con números enteros. El objetivo es que los estudiantes se apropien de los números enteros de forma conceptual y operativa para resolver problemas en diferentes contextos de manera significativa.
Temas e indicadores de logro por trimestre para el 2014ciangasi
El documento presenta los temas, indicadores de logros y objetivos de aprendizaje de matemáticas para cada grado (sexto a onceavo) de la Institución Educativa Blanca Duran de Padilla para el año 2014. Se dividen los contenidos en tres trimestres que abarcan sistemas de numeración, álgebra, geometría, estadística, funciones y probabilidad. Los indicadores de logros detallan los conocimientos y habilidades que los estudiantes deben adquirir en cada periodo.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
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Ejercicios de potenciacion de números enterosgutidiego
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Temas e indicadores de logro por trimestre para el 2014ciangasi
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Este documento explica las reglas de divisibilidad por números del 2 al 11. Explica que la divisibilidad por 2 depende de que la última cifra sea par, por 3 de que la suma de las cifras sea múltiplo de 3, por 5 de que la última cifra sea 0 o 5, por 6 de ser divisible por 2 y 3, por 7 involucra restar el doble de la última cifra, por 10 la última cifra debe ser 0, y por 11 depende de restar la suma de cifras impares y pares. Proporciona ejemplos para ilustr
El documento explica cómo convertir números decimales a fracciones. Primero se lee el valor decimal y se escribe como fracción, poniendo el número decimal en el numerador y un 1 con tantos ceros como cifras decimales en el denominador. Luego, propone una forma rápida de hacerlo copiando los números enteros del decimal al numerador y usando 10, 100 o 1000 como denominador según el número de cifras decimales. Finalmente, da ejercicios para practicar la conversión.
Las ruedas de la bicicleta, la oferta de descuento en el centro comercial, el edificio de la Organización de las Naciones Unidas, entre muchos ejemplos más, son muestra de la utilidad de las cantidades denominadas “razones”. En esta ocasión, analizaremos sus propiedades y descubriremos diversas aplicaciones.
I. Este documento explica los conceptos básicos de la multiplicación de monomios y polinomios, incluyendo las leyes de signos, exponentes y la propiedad distributiva. II. Se proporcionan ejemplos detallados de cómo multiplicar monomios, monomios por polinomios, y polinomios por monomios. III. También incluye ejercicios de aplicación para practicar estas multiplicaciones.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo escribir, leer y realizar operaciones con fracciones. Explica que una fracción se compone de un numerador y un denominador separados por una línea, y cómo leer los diferentes tipos de denominadores. También describe cómo sumar y restar fracciones con el mismo denominador, que implica sumar o restar los numeradores y mantener el mismo denominador común. Finalmente, incluye ejercicios de práctica para leer, escribir, sumar y restar fracciones.
Material didáctico diseñado y elaborado para desarrollar aprendizajes respecto al tema de Números Racionales, originalmente diseñado para estudiantes de Primero de Secundaria, pero puede ser utilizado con estudiantes de otros grados.
El documento describe los pasos para realizar una división de polinomios. Estos incluyen ordenar los coeficientes del dividendo y divisor de forma decreciente, dividir la suma de las columnas por el primer coeficiente del divisor para obtener el cociente, y sumar las columnas finales para obtener el residuo. También indica dónde colocar la línea divisora y proporciona ejemplos de divisiones polinómicas.
Este documento describe las características básicas de los círculos y circunferencias. Explica que una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia del centro, mientras que un círculo incluye también los puntos en el interior de la circunferencia. Define elementos clave como el radio, diámetro y arco de una circunferencia, y describe posiciones relativas entre dos circunferencias y elementos de un círculo como segmentos y sectores circulares.
Este documento explica cómo dividir números mixtos. Un número mixto es una combinación de un número natural y una fracción. Para dividir números mixtos, primero se cambian a fracciones impropias multiplicando el entero por el denominador de la fracción y sumando este resultado al denominador. Luego se cambia la segunda fracción a su reciproco y se multiplican. Finalmente, se simplifica la expresión si es posible. Se proveen ejemplos y ejercicios para practicar esta operación.
El documento habla sobre el sistema de numeración decimal y sus características fundamentales. Explica que usa 10 símbolos (0-9) llamados dígitos para representar cualquier número natural agrupándolos de diez en diez. También describe las unidades, decenas, centenas y demás unidades posicionales que permiten expresar números de gran tamaño.
El documento presenta las reglas para operar con potencias. Específicamente, explica que en la multiplicación se conserva el exponente y se multiplican las bases si son distintas, o se conservan las bases y se suman los exponentes si son iguales. También indica que en la división se conserva el exponente y se dividen las bases si son distintas, o se conservan las bases y se restan los exponentes si son iguales. Por último, señala que en potencias con paréntesis y dos exponentes, estos se multiplican primero antes de resolver la potencia
Este documento explica cómo calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números. Define el MCM como el menor número natural que es múltiplo de todos los números dados. Explica el procedimiento para calcular el MCM mediante la construcción de una tabla y la división sucesiva de los números por números primos. Incluye dos ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del MCM y su aplicación para determinar cuándo encenderán simultáneamente tres avisos luminosos o tres semáforos.
Este documento presenta un resumen de las principales características de las funciones reales que se estudiarán en la quincena. En la primera sección se define el concepto de función y se explican elementos como el dominio, el recorrido y las funciones definidas a trozos. La segunda sección trata sobre las propiedades de continuidad, periodicidad y simetría de las funciones. Por último, la tercera sección aborda la tasa de variación y el crecimiento de las funciones, así como la determinación de máximos, mínimos, puntos de
Guia sobre como hacer un ejercicio de binomio de newtonMaria Langone
El documento explica el binomio de Newton, un método para desarrollar la enésima potencia de un binomio (a + b)n. Se define el triángulo de Pascal y la fórmula general para calcular cada término del desarrollo. Luego, se muestran ejemplos de cómo aplicar la fórmula para encontrar términos específicos o el coeficiente de un término en particular en el desarrollo de un binomio.
Este documento explica qué son las ecuaciones y cómo resolverlas. Presenta ejemplos de ecuaciones algebraicas y cómo equilibrar ambos lados mediante operaciones inversas para aislar la incógnita. También cubre ecuaciones con coeficientes fraccionarios y cómo multiplicar ambos lados por el m.c.m. de los denominadores para dejarlos como enteros. Finalmente, ofrece práctica guiada y ejercicios independientes para que los estudiantes apliquen los conceptos.
El documento presenta 9 ejemplos de conjuntos de solución para diferentes inecuaciones, identificando en cada caso el conjunto de números que satisfacen la inecuación a través de comprobaciones numéricas.
Este documento presenta un resumen de las propiedades de los números reales. Introduce los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Explica propiedades como la asociativa, conmutativa, distributiva, identidad e inversa para la suma y multiplicación. Además, ofrece ejemplos de cómo aplicar estas propiedades y simplificar expresiones.
El documento trata sobre las operaciones de potenciación y radicación en el conjunto de los números reales. Explica que la potenciación es el producto repetido de un número real usando un exponente entero, mientras que la radicación es la operación inversa. Luego presenta propiedades de la potenciación como la multiplicación y división de potencias de la misma base, y ejemplos de cálculos de potenciación y radicación. Finalmente, propone ejercicios prácticos para aplicar estas operaciones.
Este documento discute los desafíos de enseñar fracciones utilizando el significado de parte-todo en España. Primero, analiza las dificultades cognitivas que este enfoque crea para los estudiantes, como ignorar la medición de magnitudes y no ver a las fracciones como números. Luego, propone un enfoque alternativo basado en tres modelos: medida, cociente y razón. Finalmente, describe brevemente la propuesta didáctica para cuarto grado centrada en el modelo de medida.
Este documento contiene las soluciones a los ejercicios de una unidad sobre números. En primer lugar, resuelve varios ejercicios numéricos que implican operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. A continuación, explica conceptos como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y los números primos. Por último, propone y resuelve diversos problemas matemáticos.
CDivisibilidad, máximo común divisor, mínimo comúnISRA1988
Los números son divisibles por reglas específicas como terminar en par, sumar dígitos en múltiplo de 3 o 9. Un número primo solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Para calcular el máximo común divisor (MCD) se descomponen los números en factores primos y se toman los comunes con menor exponente. Para el mínimo común múltiplo (MCM) se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. El teorema fundamental de aritmética afirma que todo número compuesto se puede represent
Este documento explica las reglas de divisibilidad por números del 2 al 11. Explica que la divisibilidad por 2 depende de que la última cifra sea par, por 3 de que la suma de las cifras sea múltiplo de 3, por 5 de que la última cifra sea 0 o 5, por 6 de ser divisible por 2 y 3, por 7 involucra restar el doble de la última cifra, por 10 la última cifra debe ser 0, y por 11 depende de restar la suma de cifras impares y pares. Proporciona ejemplos para ilustr
El documento explica cómo convertir números decimales a fracciones. Primero se lee el valor decimal y se escribe como fracción, poniendo el número decimal en el numerador y un 1 con tantos ceros como cifras decimales en el denominador. Luego, propone una forma rápida de hacerlo copiando los números enteros del decimal al numerador y usando 10, 100 o 1000 como denominador según el número de cifras decimales. Finalmente, da ejercicios para practicar la conversión.
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I. Este documento explica los conceptos básicos de la multiplicación de monomios y polinomios, incluyendo las leyes de signos, exponentes y la propiedad distributiva. II. Se proporcionan ejemplos detallados de cómo multiplicar monomios, monomios por polinomios, y polinomios por monomios. III. También incluye ejercicios de aplicación para practicar estas multiplicaciones.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo escribir, leer y realizar operaciones con fracciones. Explica que una fracción se compone de un numerador y un denominador separados por una línea, y cómo leer los diferentes tipos de denominadores. También describe cómo sumar y restar fracciones con el mismo denominador, que implica sumar o restar los numeradores y mantener el mismo denominador común. Finalmente, incluye ejercicios de práctica para leer, escribir, sumar y restar fracciones.
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El documento describe los pasos para realizar una división de polinomios. Estos incluyen ordenar los coeficientes del dividendo y divisor de forma decreciente, dividir la suma de las columnas por el primer coeficiente del divisor para obtener el cociente, y sumar las columnas finales para obtener el residuo. También indica dónde colocar la línea divisora y proporciona ejemplos de divisiones polinómicas.
Este documento describe las características básicas de los círculos y circunferencias. Explica que una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia del centro, mientras que un círculo incluye también los puntos en el interior de la circunferencia. Define elementos clave como el radio, diámetro y arco de una circunferencia, y describe posiciones relativas entre dos circunferencias y elementos de un círculo como segmentos y sectores circulares.
Este documento explica cómo dividir números mixtos. Un número mixto es una combinación de un número natural y una fracción. Para dividir números mixtos, primero se cambian a fracciones impropias multiplicando el entero por el denominador de la fracción y sumando este resultado al denominador. Luego se cambia la segunda fracción a su reciproco y se multiplican. Finalmente, se simplifica la expresión si es posible. Se proveen ejemplos y ejercicios para practicar esta operación.
El documento habla sobre el sistema de numeración decimal y sus características fundamentales. Explica que usa 10 símbolos (0-9) llamados dígitos para representar cualquier número natural agrupándolos de diez en diez. También describe las unidades, decenas, centenas y demás unidades posicionales que permiten expresar números de gran tamaño.
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Este documento explica cómo calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números. Define el MCM como el menor número natural que es múltiplo de todos los números dados. Explica el procedimiento para calcular el MCM mediante la construcción de una tabla y la división sucesiva de los números por números primos. Incluye dos ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del MCM y su aplicación para determinar cuándo encenderán simultáneamente tres avisos luminosos o tres semáforos.
Este documento presenta un resumen de las principales características de las funciones reales que se estudiarán en la quincena. En la primera sección se define el concepto de función y se explican elementos como el dominio, el recorrido y las funciones definidas a trozos. La segunda sección trata sobre las propiedades de continuidad, periodicidad y simetría de las funciones. Por último, la tercera sección aborda la tasa de variación y el crecimiento de las funciones, así como la determinación de máximos, mínimos, puntos de
Guia sobre como hacer un ejercicio de binomio de newtonMaria Langone
El documento explica el binomio de Newton, un método para desarrollar la enésima potencia de un binomio (a + b)n. Se define el triángulo de Pascal y la fórmula general para calcular cada término del desarrollo. Luego, se muestran ejemplos de cómo aplicar la fórmula para encontrar términos específicos o el coeficiente de un término en particular en el desarrollo de un binomio.
Este documento explica qué son las ecuaciones y cómo resolverlas. Presenta ejemplos de ecuaciones algebraicas y cómo equilibrar ambos lados mediante operaciones inversas para aislar la incógnita. También cubre ecuaciones con coeficientes fraccionarios y cómo multiplicar ambos lados por el m.c.m. de los denominadores para dejarlos como enteros. Finalmente, ofrece práctica guiada y ejercicios independientes para que los estudiantes apliquen los conceptos.
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Este documento contiene las soluciones a los ejercicios de una unidad sobre números. En primer lugar, resuelve varios ejercicios numéricos que implican operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. A continuación, explica conceptos como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y los números primos. Por último, propone y resuelve diversos problemas matemáticos.
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Los números son divisibles por reglas específicas como terminar en par, sumar dígitos en múltiplo de 3 o 9. Un número primo solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Para calcular el máximo común divisor (MCD) se descomponen los números en factores primos y se toman los comunes con menor exponente. Para el mínimo común múltiplo (MCM) se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. El teorema fundamental de aritmética afirma que todo número compuesto se puede represent
Este documento presenta información sobre los conjuntos numéricos, en particular los números naturales y enteros. Define los números naturales como los utilizados para contar y explica algunas de sus propiedades y operaciones como la suma, multiplicación, mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Luego introduce los números enteros como una generalización de los naturales que incluye números negativos, necesarios para resolver situaciones como deudas o temperaturas bajo cero. Explica cómo representar y ordenar los enteros en una línea numérica y define su valor absol
1) El documento contiene 27 proyectos de matemáticas para primero de secundaria. 2) Cada proyecto presenta un problema matemático con su solución. 3) Los problemas incluyen conjuntos, operaciones con números enteros y fracciones, sistemas de ecuaciones, entre otros.
1) El documento contiene 27 proyectos de matemáticas para primero de secundaria. 2) Cada proyecto presenta un problema matemático con su solución. 3) Los problemas incluyen temas como conjuntos, operaciones con números enteros y fracciones, sistemas de ecuaciones, entre otros.
Este documento explica conceptos matemáticos como múltiplos, divisores, números primos, números compuestos y cómo descomponer números en factores primos. Define múltiplos como el resultado de multiplicar un número por otro natural. Explica cómo encontrar los divisores de un número y cómo descomponer números en factores primos usando divisiones sucesivas. También presenta criterios para determinar la divisibilidad de un número y define el máximo común divisor.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si ciertas expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El documento continúa explicando cómo convertir números mixtos a fracciones y comparar cantidades de pizza compradas.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento explica los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de números. Define el MCD como el mayor divisor común de dos o más números y el MCM como el menor múltiplo común. Presenta métodos como el de intersección de divisores y el algoritmo de Euclides para calcular el MCD, y métodos como la descomposición canónica y el práctico para calcular el MCM. Incluye ejemplos y propiedades de ambos conceptos.
El documento presenta información sobre conceptos matemáticos como máximo común divisor (MCD), mínimo común múltiplo (MCM) y divisores. Explica que el MCD de dos o más números es el mayor divisor positivo que comparten y que el MCM es el menor múltiplo positivo común. Proporciona ejemplos y métodos para calcular MCD y MCM mediante descomposición en factores primos. Finalmente, incluye ejercicios sobre estos temas.
Este documento explica conceptos matemáticos relacionados con la divisibilidad de números como múltiplos, divisores, números primos y compuestos, criterios de divisibilidad, descomposición en factores primos, máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). También incluye ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de números naturales como múltiplos, divisores, números primos y compuestos. También explica criterios de divisibilidad y cómo descomponer números en factores primos. Por último, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, y describe cómo calcularlos descomponiendo los números en sus factores primos.
"impacto de factores ambientales en el crecimiento de plantasamairanirc22
es un proyecto o más bien llamada Fase 2 de biología en el cual se llevarán a cabo distintos tipos de factores que ayuden a la investigación de este tema
1. ENCUENTRO # 3
TEMA: Números Primos, Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor.
CONTENIDOS:
1. Números primos. Propiedades.
2. Mínimo Común Múltiplo.
3. Máximo Común Divisor.
DESARROLLO
Ejercicios Reto
1. Dado el número N = 2495, qué dígito debe colocarse en la casilla para que N sea
divisible por 9.
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
2. Dado el número N = 294, qué dígito debe colocarse en la casilla para que N sea
divisible por 11.
A)1 B)3 C)5 D)7 E)9
Números primos. Propiedades.
Definición 1.
Un número primo es el número que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.
Ejemplo 1.1.
5, 7, 11, 23, 29, 37, 97
Definición 2.
Un número compuesto es aquel que además de ser divisible por sí mismo y por la
unidad lo es por otro factor.
Clasificación de los números naturales
1. El número 1 (No se considera ni primo, ni compuesto).
2. Los números primos (Los que tienen dos divisores positivos)
3. Los números compuestos ( Los que tienen más de dos divisores)
1
2. Números primos relativos:
Son aquellos que, dentro de un conjunto en particular, sólo admiten como divisor común
a la unidad. Es decir que son primos entre sí.
Ejemplo 1.2.
17 y 18
| {z }
Divisor común: 1
8, 9, 15
| {z }
Divisor común: 1
Números primos absolutos:
Son aquellos que dentro de cualquier conjunto de números, todos ellos son números
primos.
Ejemplo 1.3.
17, 23, 41, 47
| {z }
Divisor Común 1 y todos son primos
Números Primos entre sí 2 a 2:
Es todo conjunto de primos relativos o absolutos, donde se cumple que al tomar dos
elementos, estos sólo admiten como divisor común a la unidad.
Ejemplo 1.4.
En el conjunto {8, 15, 17} =⇒ 8 y 15; 8 y 17; 15 y 17; son primos entre sí 2 a 2.
2
3. Regla para averiguar si un número es o no primo.
Para saber si un número es primo, basta comprender que no sea divisible por ningún
número primo cuyo cuadrado no exceda al número
Ejemplo 1.5.
Averiguar si el número 317 es primo o no.
Procedimiento:
1. Para ello se extrae la raíz cuadrada por exceso del número dado;
√
317 ≈ 18
2. Se divide el número dado entre todos los números primos menores que su raíz.
Si alguna de las divisiones resulta ser exacta, el número no es primo; y si todas son
inexactas, se puede asegurar que el número dado es primo.
317
17
= 18.6470... 317
13
= 24.384... 317
11
= 28.81 317
7
= 54.285...
317
5
= 63.5 317
3
= 105.6 317
2
= 158.5
Por tanto 317 es un número primo
Ejercicios propuestos
1. Comprobar si los números dados son primos o no.
(a) 139
(b) 313
(c) 423
(d) 541
(e) 763
(f) 947
(g) 901
(h) 997
Descomposición de un número en factores primos
Teorema 1. Descomposición de un número en sus factores primos
La descomposición de un número en sus factores primos es su expresión como el pro-
ducto de sus factores primos. Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor
primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo
posible, y así hasta que el último cociente sea 1, este procedimiento también se conoce
como factorización completa de un número.
3
4. Ejemplo 2.1.
Expresa 144 como el producto de sus factores primos.
Solución:
Se divide 144 entre 2 el cociente es 72 y se vuelve a dividir entre 2 así sucesivamente.
144 ÷ 2 = 72 144 2
72 ÷ 2 = 36 72 2
36 ÷ 2 = 18 36 2
18 ÷ 2 = 9 18 2
9 ÷ 3 = 3 9 3
3 ÷ 3 = 1 3 3
1
144 = 24
· 32
Ejemplo 2.2.
Expresa 105 como el producto de sus factores primos.
solución:
105 se divide entre 3 y se continúa con el procedimiento.
105 ÷ 3 = 35 105 3
5 ÷ 5 = 7 35 5
7 ÷ 7 = 1 7 7
1
105 = 3 · 5 · 7
Ejercicios propuestos
1. Realiza la descomposición en sus factores primos de los siguientes números:
(a) 72
(b) 96
(c) 255
(d) 576
(e) 945
(f) 210
(g) 840
(h) 2310
(i) 3675
(j) 2376
(k) 7020
(l) 29400
(m) 3024
(n) 16200
(o) 30030
Máximo Común Divisor (MCD)
Es el mayor de los divisores en común de 2 o más números.
Ejemplo 3.1.
Los divisores de 18 y 24 son:
Divisores de 18 1 2 3 6 9 18
Divisores de 24 1 2 3 4 6 8 12 24
Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6
Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6
4
5. Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus fac-
tores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común.
Ejemplo 3.2.
Determina el MCD(72, 180).
Solución:
Se realiza la descomposición de 72 y 180, en su factores primos.
72 180 2
36 90 2
18 45 3
6 15 3
2 5
Por tanto el MCD(72, 180) = 22
· 32
= 36
Ejemplo 3.3.
Calcula el MCD(11, 23)
Solución:
Los números sólo tiene a la unidad como común divisor, lo cual quiere decir que 11 y
23 son primos relativos.
Por consiguiente el MCD(11, 23) = 1
Ejemplo 3.4.
Encuentra el MCD de 48, 36 y 60.
Solución:
Se descomponen simultáneamente en factores primos.
48 36 60 2
24 18 30 2
12 9 15 3
4 3 5
4, 3 y 5 no tienen divisores pri-
mos en común, por consiguiente el
MCD de 48, 36 y 60 es 12.
Ejemplo 3.5.
Encuentra el máximo común divisor de 234, 390 y 546.
Solución:
Se descomponen simultáneamente en factores primos.
234 390 546 2
117 195 273 3
39 65 91 13
3 5 7
MCD(234, 390, 546) = 2 · 3 · 13 = 78
5
6. Ejercicios propuestos
1. Calcula el MCD de los siguientes números:
(a) 108 y 72
(b) 270 y 900
(c) 243 y 124
(d) 60, 72 y 150
(e) 27, 25 y 28
(f) 80, 675 y 900
(g) 216, 300 y 720
(h) 126, 210 y 392
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más
números.
Ejemplo 4.1.
Al obtener los múltiplos de 4 y 6 se tiene:
Múltiplos de 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 · · ·
Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 · · ·
Los múltiplos comunes son: 12, 24, 36, 48, ...
El menor de todos los múltiplos en común es 12
Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12
Para calcular el MCM de varios números se descomponen simultáneamente en factores
primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los números no es divisible entre el
factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida.
Ejemplo 4.2.
Determina el MCM[28; 42]
Solución:
Se descomponen ambos números en factores primos:
28 42 2
14 21 2
7 21 3
7 7 7
1 1
Por consiguiente el MCM[28, 42] = 22
· 3 · 7 = 84
6
7. Ejemplo 4.3.
Determina el MCM[25,30,150]
Solución:
Se descomponen los números en factores primos:
25 30 150 2
25 15 75 3
25 5 25 5
5 1 5 5
1 1 1
Por tanto MCM[25, 30, 150] = 2 · 3 · 52
= 150
Ejemplo 4.4.
Calcula el MCM de 36,48 y 60.
Solución:
Se descomponen simultáneamente en factores primos y los números primos que resultan
se multiplican.
36 48 60 2
18 24 30 2
9 12 15 2
9 6 15 2
9 3 15 3
3 1 5 3
1 1 5 5
1 1 1 1
Entonces el MCM(36, 48, 60) = 24
· 32
· 5 = 720
Propiedades del MCM
• MCM (A; B) = p × q × MCD (A; B)
Además A × B = MCD (A; B) × MCM (A; B)
Ejercicios propuestos
1. Calcula el MCM de los siguientes números:
(a) 108 y 72
(b) 18 y 45
(c) 27 y 16
(d) 36,20 y 90
(e) 45,54 y 60
(f) 28,35 y 63
(g) 20,30 y 50
(h) 720,600 y 540
(i) 220,275 y 1925
(j) 605,1925 y 2695
7
8. Resolución de problemas
Problemas donde se aplica el MCD
Ejemplo 5.1.
En una reunión de la academia de Matemática se repartieron 18 bocadillos, 24 vasos
con refresco y 12 rebanadas de pastel. ¿Cuántos profesores asistieron a la reunión y
que cantidad de bocadillos, vasos con refresco y rebanadas de pastel recibió cada uno?
Nota: se debe tener en cuenta que la repartición debe ser equitativa.
Solución:
La clave para resolver este ejercicio es aplicar la definición de MCD porque a cada
docente le corresponde la misma cantidad de bocadillos, vasos con refresco y rebanadas
de pastel.
Se calcula el MCD de 18,24 y 12.
18 24 12 2
9 12 6 3
3 4 2
MCD(18, 24, 12) = 2 · 3 = 6
Por consiguiente a la reunión de la academia asistieron 6 profesores y a cada uno le
tocó 3 bocadillos, 4 vasos con refresco y 2 rebanadas de pastel.
Ejemplo 5.2.
Tres escuelas deciden hacer una colecta de dinero entre sus alumnos para donar a varias
instituciones de beneficencia. Si la primera junta C$120 mil, la segunda C$ 280 mil y
la tercera C$ 360 mil. ¿Cuál es la mayor cantidad que recibirá cada institución de tal
manera que sea la misma y cuántas instituciones podrán ser beneficiadas?
Solución:
Como a cada institución se le asignará la misma cantidad de dinero entonces se deben
calcular el MCD entre las cantidades.
Se calcula el MCD de 120,280 y 360.
120 280 360 2
60 140 180 2
30 70 90 2
15 35 45 5
3 7 9
MCD(120, 280, 360) = 23
· 5 = 40
Cada institución recibirá C$ 40 mil y el número de instituciones beneficiadas será la
suma de los cocientes 3+7+9=19.
8
9. Problemas donde se aplica el MCM
Ejemplo 5.3. Una persona viaja a Managua cada 12 días, otra lo hace cada 20 días
y una tercera cada 6 días. Si hoy han coincidido en estar en la ciudad. ¿Dentro de
cuántos días como mínimo, volverán a coincidir?
Solución:
Se calcula el MCM de 12, 20 y 6.
12 20 6 2
6 10 3 2
3 5 3 3
1 5 1 5
1 1 1
MCM(12, 20, 6) = 22
· 3 · 5 = 60
Por tanto el mínimo de días que transcurrirán para que las 3 personas coincidan en la
ciudad de Managua es de 60 días.
Ejemplo 5.4. Un médico receta a un paciente tomar una pastilla cada 6 horas y
un jarabe cada 8 horas. Si al iniciar el tratamiento toma la pastilla y el jarabe a
la misma hora. ¿Después de cuántas horas volverá a tomar ambos medicamentos al
mismo tiempo?
Solución:
Se calcula el MCM 6 y 8.
6 8 2
3 4 2
3 2 2
3 1 3
1 1
MCM(6, 8) = 23
· 3 = 24
Por tanto transcurrirán 24 horas para que el paciente tome los medicamentos juntos.
Ejercicios Propuestos
1. Tres cajas contienen cada una 12 kg de carne de res, 18 de carne de cerdo y 24 de
carne de pollo. La carne de cada caja este contenida en bolsas del mismo tamaño y
con la máxima cantidad posible. ¿Cuánto pesa cada bolsa y cuántas hay por caja?
2. Gerardo fábrica un anuncio luminoso con focos de color rojo, amarillo y verde,
de tal manera que los focos rojos enciendan cada 10 segundos, los amarillos cada
6 y las verdes cada 15, si al probar el anuncio enciende todos los focos a la vez.
¿Después de cuántos segundos volverán a encender juntos?
9
10. 3. Un ebanista quiere cortar en cuadros lo más grande posible una plancha de 300
cm de largo y 80 cm de ancho. ¿Cuál debe ser la longitud de los lados de cada
cuadro?
4. Un ciclista da una vuelta a una pista en 6 minutos mientras que otro tarda 4
minutos. Si ambos inician sus recorridos juntos. ¿Después de qué tiempo volverán
a encontrarse y cuántas vueltas habrá dado cada uno?
5. Una llave vierte 4 litros de agua por minuto, otra 3 y una tercera 8. ¿Cuál es la
menor cantidad de litros que puede tener un pozo para que se llene en un número
exacto de minutos por cualquiera de las 3 llaves?
6. Tres rollos de tela de 30, 48 y 72 metros de largo se quieren cortar para hacer
banderas con pedazos iguales y de mayor longitud, ¿Cuál será el largo de cada
pedazo?
7. Un parque de diversiones quiere construir balsas con 3 troncos de palmeras los
cuales miden 15, 9 y 6 metros. ¿Cuánto deben medir los pedazos de tronco si
tienen que ser del mismo tamaño? ¿Cuántos pedazos de troncos saldrán?
8. El abuelo de Eduardo da dinero a 3 de sus hijos para que lo repartan a los nietos
de manera equitativa. A su hijo Rubén le da $5000, a su hijo Anselmo le da
$6000, mientras que a Horacio sólo $3000, ¿Cuál es la mayor cantidad de dinero
que podrán darle a sus hijos y cuánto nietos tiene el abuelo?
9. Fabián tiene un reloj que da una señal cada 18 minutos, otro que da una señal
cada 12 minutos y un tercero cada 42 minutos. A las 11 de la mañana los tres
relojes han coincidido en dar la señal. ¿Cuántos minutos como mínimo han de
pasar para que vuelvan a coincidir? ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez
juntos?
10. Daniel tiene 60 canicas azules, 45 verdes y 90 amarillas y quiere hacer círculos
iguales con el números mayor de canicas sin que sobre. ¿ Cuántos circulos pueden
hacer y cuántas canicas tendrá cada uno?
11. Ricardo tiene en su papelería los lapiceros en bolsas. En la caja A tiene bolsitas
de 30 lapiceros cada una y no sobran, en la caja B tiene bolsitas de 25 lapiceros
cada una y tampoco sobran. El número de lapiceros que hay en la caja A es
igual al que hay en la caja “B. ¿Cuántos lapiceros hay como mínimo en cada
caja?
10
11. 12. Rosa tiene cubos de color lila de 8 cm de arista y de color rojo de 6 cm de arista.
Ella quiere apilar los cubos en 2 columnas, una de cubos de color lila y otra de
color rojo, desea conseguir que ambas columnas tenga la misma altura. ¿Cuántos
cubos como mínimo tiene que apilar de cada color?
13. Tres amigos pasean en bicicleta por un camino que rodea a un lago, para dar
una vuelta completa, uno de ellos tarda 10 minutos, otro tarda 15 y el tercero 18
minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que los 3
pasen simultáneamente por el punto de partida. ¿Cuánto tiempo dura el paseo?
¿Cuántas vueltas dió cada uno?
14. En 1994 se realizaron elecciones para presidente y para jefa de gobierno, el período
presidencial es de 6 años y el de jefe de gobierno de 4. ¿En qué años volverán a
coincidir las elecciones?
15. El piso de una habitación tiene 425 cm de largo por 275 cm de ancho, si se desea
poner el menor números de mosaicos cuadrados de mármol. ¿Cuáles serán las
dimensiones máximas de cada mosaico? ¿Cuántos mosaicos se necesitan?
Ejercicios de entrenamiento
1. El volumen mínimo que debe tener una caja cúbica para empaquetar jabones,
cuyas dimensiones son 6cm × 8cm × 15cm, sin que sobre espacio es:
A)1, 296m3
B)1, 458m3
C)2, 744m3
D)1, 964m3
E)1, 728m3
2. Si para viajar a una ciudad A, dos empresas de transporte brindan dicho servicio a
partir de las 6 : 00am, la primera empresa sale cada 4 horas y la segunda empresa
cada 3 horas y media. Dentro de cuando tiempo coincidirán en la salida.
A)5 horas B)28 horas C)4 horas D)24 horas E)48 horas
3. Se tiene 3 varillas metálicas de 72cm, 108cm y 120cm. Se desea obtener la menor
cantidad de varillas más pequeñas de cantidad entera de centímetros cortando
todas las anteriores de igual tamaño. ¿Cuántas varillas pequeñas se tendría?
A)20 B)24 C)25 D)30 E)18
4. Se han plantado árboles igualmente espaciados en el contorno de un campo cuad-
rangular cuyos lados miden 144m, 120m, 84m y 180m sabiendo que hay un árbol
11
12. en cada vértice y que la distancia entre 2 árboles consecutivos está compredido
entre 4m y 10m. ¿Cuántos árboles hay planatados?
A)60 B)56 C)40 D)44 E)88
5. Lenin trabaja cinco días seguidos y descansa el sexto días, en cambio Carolina
trabaja cuatro días seguidos y descansa el quinto día. Si ambos comienzan a
trabajar el día lunes, ¿cuántos días tiene que trabajar cada uno de ellos para que
les toque descansar un domingo simultáneamente?
De como respuesta la suma de ambas cantidades.
A)360 días B)343 días C)240 días D)390 días E)400 días
12