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1
BINOMIO DE NEWTON
2
Sobre una mesa hay 2 bandejas en cada una hay una carta con la letra X
y la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada bandeja.
X A X A
X X
X A
A X
A A
X2
XA
AX
A2
X2
+ 2XA + A2
3 TERMIMOS
(X + A)2
cuadrado de la suma
3
Sobre una mesa hay 3 bandejas y en cada uno hay una tarjeta con la letra
X y en la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada
bandeja.
X A X A X A
X X X
X A A
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X3
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X2
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XA2
X2
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+ 3X2
A + 3XA2
+ A3
4 TERMIMOS
(X + A)3
4
El producto notable , sabemos que(a+b)² = a² + 2ab + b².
Si quisieramos calcular (a + b)³, podemos escribir:
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Si quisieramos calcular (a + b)4
, podemos seguir el mismo procedimiento :
(a + b)4
= (a + b)3
.(a+b) = (a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
).(a+b)=
a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
Del mismo modo, podemos calcular la quinta y sexta potencia y, en general ,
para obtener el desarrollo de: (a+b)n
a partir del anterior, o sea, de (a+b) n - 1
.
Sin embargo, cuando el valor de n es grande, este proceso de cálculo gradual
es muy laborioso.
Hay un método para desarrollar la enésima potencia de un binomio , conocido
como binomio de Newton (Isaac Newton, matemático y físico inglês, 1642 -
1727). Para este método que usted necesita saber cuáles son los coeficientes
binomiales , algunas de sus propiedades y el triángulo de Pascal.
5
La disposición ordenada de los
números binomiales , como se muestra
al lado, que se llama el Triângulo de
Pascal
Substituyendo cada número
binomial por su respectivo
valor, tenemos:
6
Como vimos, la potência de forma , en que a, , é llamada
binômio de Newton. :
•cuando n = 0 tenemos
•cuando n = 1 tenemos
•cuando n = 2 tenemos
•cuando n = 3 tenemos
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De modo general, cuando un exponente n, podemos escribir
la fórmula de desenvolvimento de binómio de Newton:
Tenga en cuenta que los exponentes dex va disminuyendo la unidad , que van desde n hasta 0,
Los exponnentes de a van aumentando de unidade en unidad, variando de 0 hasta
n.
El desarrollo de (x + a)n
tiene n + 1 terminos.
Ejemplo: (2x – 3y)10
tiene 11 termimos
15
En el desarrollo del binomio (x – a) n
, Los signos de cada término del
desarrollo se alternan , es decir, los términos de orden incluso (2o
, 4o
, 6o
…) son negativos , y el orden impar(1o
, 3o
, 5o
…) son positivos.
16
Si se requiere la suma de coeficientes numéricos el desarrollo de un binómio, no
es necesario hacer todo el desarrollo por Newton binomial, el hecho de saber el
siguiente tip :
-cambiar cualquier letra del binomio por 1
- calcular la cantidad que será dentro de los paréntesis , y listo , simplemente
elevarla a n .
Obtenemos la expresión:
1.16x4
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En el desarrollo anterior, la suma de los coeficientes es 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1),
ahora usando la sugerencia dada :
(2x+1)4
(2.1 + 1)4
= 34
= 81
17
Es necesario desarrollar todos los términos de un binomio para
encontrar un término en particular
La formación de cada término obedece a una ley.
T 1 = C n,0 . a0
. x n-0
T 2 = C n,1 . a1
. x n-1
T 3 = C n,2 . a2
. x n-2
T 4 = C n,3 . a3
. x n-3
T p+1 = C n,p . ap
. x n-p
T n + 1 = C n,n . an
. x n-n
En cada termino de (x + a) n
, o
coeficiente de Cn,p, o exponente de a
en p o exponente de x en n-p
18
Termino general de desarrollo de:
19
Determine el 7.° termino del binómio (2x + 1)9
Vamos aplicar la fórmula del término general
de (x + a)n
, donde x = 2x , a = 1 y n = 9. Como
queremos el séptimo término, hacemos p = 6, la fórmula
del término general, efetuamos los cálculos indicados.
Entonces tenemos :
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6
. (1)6
=
9! /[(9–6)! . 6!] .(2x)3
. 1 =
9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3
=
84.8x3
=
672x3
.
Por tanto el séptimo término buscado es 672x3
.
20
Calcule el coeficiente del termino en x9
en el desarrollo de de (x2
– 2x)6
.
Tp+1 = C6,p . (x2
)6–p
. (-2x)p
=
C6,p .x12-2p
. (-2x) p
=
C6,p .x12-2p
. (-2) p
.x p
=
Agrupando las potências de x, tenemos:
Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p
. (-2)p
Tp+1= C 6,p . x 12-p
. (-2)p
Para que el exponente de x sea igual a 9, debemos tener 12 – p =9, o sea, p
=3P = 3  T3+1= C6,3. x 12 -3
. (-2)3
T4= 20. x9
.(-8) T4 = -160x9
21
Determine el sexto termino de desarrollo de (x + 2)6
.
T5+1 = C 6,5 . x6-5
. 25
T6 = 6 . x. 32
T6 = 192x
22
¿Cuál es el plazo promedio de desarrollo(2x + 3y)8
?
Tenemos que = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que el desarrollo del
binómio tendrá 9 términos, porque n = 8.
Ahora siendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 los términos de desarrollo de
binómio, el término medio será o T5 (quinto termo). Por lo tanto, nuestro
problema se reduce Si el calculo de T5 .
Para esto, basta hacer p = 4 en la fórmula del término general y no surjan
los cálculos. Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4
. (3y)4
= 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4
. (3y)4
= 8.7.6.5.4! /
(4! . 4.3.2.1) . 16x4
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Haciendo:
T5 = 70.16.81.x4
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y4
, que él termino médio buscado.

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  • 2. 2 Sobre una mesa hay 2 bandejas en cada una hay una carta con la letra X y la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada bandeja. X A X A X X X A A X A A X2 XA AX A2 X2 + 2XA + A2 3 TERMIMOS (X + A)2 cuadrado de la suma
  • 3. 3 Sobre una mesa hay 3 bandejas y en cada uno hay una tarjeta con la letra X y en la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada bandeja. X A X A X A X X X X A A X X A X A X A A X A X X A X A X3 XA2 X2 A X2 A XA2 X2 A XA2 A3 X3 + 3X2 A + 3XA2 + A3 4 TERMIMOS (X + A)3
  • 4. 4 El producto notable , sabemos que(a+b)² = a² + 2ab + b². Si quisieramos calcular (a + b)³, podemos escribir: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Si quisieramos calcular (a + b)4 , podemos seguir el mismo procedimiento : (a + b)4 = (a + b)3 .(a+b) = (a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ).(a+b)= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 Del mismo modo, podemos calcular la quinta y sexta potencia y, en general , para obtener el desarrollo de: (a+b)n a partir del anterior, o sea, de (a+b) n - 1 . Sin embargo, cuando el valor de n es grande, este proceso de cálculo gradual es muy laborioso. Hay un método para desarrollar la enésima potencia de un binomio , conocido como binomio de Newton (Isaac Newton, matemático y físico inglês, 1642 - 1727). Para este método que usted necesita saber cuáles son los coeficientes binomiales , algunas de sus propiedades y el triángulo de Pascal.
  • 5. 5 La disposición ordenada de los números binomiales , como se muestra al lado, que se llama el Triângulo de Pascal Substituyendo cada número binomial por su respectivo valor, tenemos:
  • 6. 6 Como vimos, la potência de forma , en que a, , é llamada binômio de Newton. : •cuando n = 0 tenemos •cuando n = 1 tenemos •cuando n = 2 tenemos •cuando n = 3 tenemos
  • 7. 7
  • 8. 8
  • 9. 9
  • 10. 10
  • 11. 11
  • 12. 12
  • 13. 13
  • 14. 14 De modo general, cuando un exponente n, podemos escribir la fórmula de desenvolvimento de binómio de Newton: Tenga en cuenta que los exponentes dex va disminuyendo la unidad , que van desde n hasta 0, Los exponnentes de a van aumentando de unidade en unidad, variando de 0 hasta n. El desarrollo de (x + a)n tiene n + 1 terminos. Ejemplo: (2x – 3y)10 tiene 11 termimos
  • 15. 15 En el desarrollo del binomio (x – a) n , Los signos de cada término del desarrollo se alternan , es decir, los términos de orden incluso (2o , 4o , 6o …) son negativos , y el orden impar(1o , 3o , 5o …) son positivos.
  • 16. 16 Si se requiere la suma de coeficientes numéricos el desarrollo de un binómio, no es necesario hacer todo el desarrollo por Newton binomial, el hecho de saber el siguiente tip : -cambiar cualquier letra del binomio por 1 - calcular la cantidad que será dentro de los paréntesis , y listo , simplemente elevarla a n . Obtenemos la expresión: 1.16x4 .1 + 4.8x3 .1 + 6.4x2 .1 + 4.2x . 1 + 1.1.1 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1 En el desarrollo anterior, la suma de los coeficientes es 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), ahora usando la sugerencia dada : (2x+1)4 (2.1 + 1)4 = 34 = 81
  • 17. 17 Es necesario desarrollar todos los términos de un binomio para encontrar un término en particular La formación de cada término obedece a una ley. T 1 = C n,0 . a0 . x n-0 T 2 = C n,1 . a1 . x n-1 T 3 = C n,2 . a2 . x n-2 T 4 = C n,3 . a3 . x n-3 T p+1 = C n,p . ap . x n-p T n + 1 = C n,n . an . x n-n En cada termino de (x + a) n , o coeficiente de Cn,p, o exponente de a en p o exponente de x en n-p
  • 18. 18 Termino general de desarrollo de:
  • 19. 19 Determine el 7.° termino del binómio (2x + 1)9 Vamos aplicar la fórmula del término general de (x + a)n , donde x = 2x , a = 1 y n = 9. Como queremos el séptimo término, hacemos p = 6, la fórmula del término general, efetuamos los cálculos indicados. Entonces tenemos : T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6 . (1)6 = 9! /[(9–6)! . 6!] .(2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3 . Por tanto el séptimo término buscado es 672x3 .
  • 20. 20 Calcule el coeficiente del termino en x9 en el desarrollo de de (x2 – 2x)6 . Tp+1 = C6,p . (x2 )6–p . (-2x)p = C6,p .x12-2p . (-2x) p = C6,p .x12-2p . (-2) p .x p = Agrupando las potências de x, tenemos: Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p . (-2)p Tp+1= C 6,p . x 12-p . (-2)p Para que el exponente de x sea igual a 9, debemos tener 12 – p =9, o sea, p =3P = 3  T3+1= C6,3. x 12 -3 . (-2)3 T4= 20. x9 .(-8) T4 = -160x9
  • 21. 21 Determine el sexto termino de desarrollo de (x + 2)6 . T5+1 = C 6,5 . x6-5 . 25 T6 = 6 . x. 32 T6 = 192x
  • 22. 22 ¿Cuál es el plazo promedio de desarrollo(2x + 3y)8 ? Tenemos que = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que el desarrollo del binómio tendrá 9 términos, porque n = 8. Ahora siendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 los términos de desarrollo de binómio, el término medio será o T5 (quinto termo). Por lo tanto, nuestro problema se reduce Si el calculo de T5 . Para esto, basta hacer p = 4 en la fórmula del término general y no surjan los cálculos. Teremos: T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4 .81y4 Haciendo: T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4 y4 , que él termino médio buscado.