Clase6 Estadística

ESTADÍSTICA
Clase 6
Wendy Plata Alarcón
wplata@espol.edu.ec

ESTADÍSTICA
II. CONTEOY PROBABILIDAD
Guayaquil, mayo de 2015
Wendy Plata Alarcón
wplata@espol.edu.ec

Experimento
Estadística para Ingenierías3
 Conjunto de acciones con las que, utilizando
procedimientos claramente establecidos, se efectúa
algún tipo de observación o medida.
 En general, el propósito de la experimentación es
generar nuevo conocimiento o puede ser con la
finalidad de verificar el cumplimiento de algún
principio, supuesto o teoría.

Experimento Estadístico
 Un experimento se dice es un Experimento
Estadístico si reúne las siguientes características:
 Se conoce cuales son todos los resultados posibles del
experimento antes de su ejecución;
 Cualquier realización del experimento debe conducir a
un resultado que no es conocido previo a tal ejecución,
pero que se sabe es uno de los “posibles”; y,
 El experimento puede ser repetido bajo idénticas
condiciones.

Espacio Muestral Continúa…
 Dado un Experimento Estadístico, se denomina
Espacio Muestral de un Experimento, al par ( , L),
donde:
  es el conjunto de todos los resultados posibles del
experimento; y,
 L es el conjunto potencia de , esto es, L es el
conjunto de todos los subconjuntos de ; L es
denominado Espacio de Eventos.

Espacio Muestral Continúa…
 Los elementos de  son llamados “puntos” y se los suele
representar por la letra griega w. Los elementos de L se
los denomina Eventos.
 Téngase en cuenta que para un Espacio Muestral ( , L) lo
siguiente siempre debe cumplirse:
  no es vacío; y,
 L cumple con incluir al conjunto vacío ; es “cerrado”
bajo unión contable de sus elementos (E1, E2  L 
(E1E2)  L) así como también bajo complementación de
sus elementos (E1 L   L)

Espacio Muestral: ejemplo
 Supongamos que un Experimentos Estadístico consiste
en lanzar una moneda una vez y observar si sale sello
o cara; tenemos que:
 = {w1 ; w2} = {s ; c}
 Donde s significa que el resultado del lanzamiento es
sello y c que es cara, mientras que el espacio de
eventos L es:
L = {  ; {s} ; {c} ;  }

Espacio Muestral
 Cardinalidad de un Espacio Muestral: es el número de
elementos de un conjunto finito E. Se lo denota por N(E).
 Espacio Muestral Discreto Finito: un espacio Muestral ( , L) es
Discreto si y solo si  es contable.
Ω= {ω1; ω2; ω3; ω4} = {ss; sc; cs; cc}
 Espacio Muestral Discreto Infinito: un espacio Muestral ( , L)
es Discreto Infinito si y solo si  es infinito contable.
Ω= {c; sc; ssc; sssc; ssssc; sssssc; …}
 Espacio Muestral Continuo: si  no es discreto.
Medir la estatura o el peso a un grupo de entes.
Lanzar la moneda
hasta obtener
cara

Espacio Muestral: ejemplo
 Las personas tenemos cuatro tipos de sangre: A, B, AB y O; a
su vez existe el Factor Rhesus o Factor Rh, que puede ser
positivo o negativo. Si un investigador realiza un
experimento que consiste en verificar a una persona su tipo
de sangre y el Factor Rh, ¿cuáles son los resultados posibles
de este Experimento Estadístico y la cardinalidad de  y L ?
 = {(A Rh+) ; (A Rh-) ; (B Rh+) ; (B Rh-) ; (AB Rh+) ; (AB Rh-) ;
(O Rh+) ; (O Rh-)}
El Espacio Muestral es discreto finito ya que la cardinalidad
de  es 8 y L consecuentemente contiene 28 eventos.

Eventos de un Espacio Muestral
 Todo subconjunto de  se denomina Evento.
 Eventos Mutuamente Excluyentes: es cuando dos eventos de
un mismo  no tienen elementos en común, es decir,
[(E1, E2  )  (E1E2 = )]
 Evento Imposible: es aquel cuya probabilidad de suceso es
igual a 0. Ejemplo: al lanzar un dado el resultado obtenido
sea 8.
 Evento Seguro: es aquel cuya probabilidad de suceso es igual
a 1. Ejemplo: al lanzar una moneda el resultado obtenido sea
“cara” o “sello”.

Función de Probabilidades
 Supongamos que el Experimento Estadístico tiene Espacio
Muestral ( , L); una función P cuyo dominio es L y cuyo
conjunto de llegada, es el intervalo cerrado de números
reales de cero a uno, es una Función de Probabilidades
(P: L  [0,1]) si y solamente si:
i. P() = 1;
ii. 0  P(E)  1, E L ; y,
iii. P(E1E2) = P(E1) + P(E2); siempre que E1E2 = 
 Éstos axiomas también son conocidos como los axiomas de
Kolmogorov.

Función de Probabilidades
 El número real P(E) se denomina Probabilidad de que
el Evento E ocurra, bajo las condiciones impuestas en
el experimento.
 La terna ( , L, P) es denominada Espacio de
Probabilidades.

Teorema 1
 Si P es una Función de Probabilidades, para cualquier
evento E L la probabilidad de que el mismo ocurra es
P(E) = 1 – P(Ec), siendo Ec el complemento de E en .
 Prueba: por definición de complemento Ec de un
conjunto cualquiera E, se cumple que
E  Ec = 
P(E  Ec) = P() = 1
Siendo E y Ec mutuamente excluyentes
P(E) + P(Ec) = 1
P(E) = 1 - P(Ec)

Teorema 2 Continúa…
 Si P es una Función de Probabilidades mientras que E1
y E2 son eventos en el correspondiente Espacio
Muestral ( , L), entonces
P(E1E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1E2)

E1 E2
E1E2
c
12 EE 

Teorema 2
 Prueba: Siendo E1 y E2 subconjuntos de  es cierto
que
 Los tres eventos mostrados en paréntesis son
mutuamente excluyentes, por tanto
)EE()EE()EE(EE 21
c
12
c
2121 
)EE(P)E(P)E(P)EE(P
)EE(P)E(P)]EE(P)EE(P[
)E(P)EE(P
)EE(P)EE(P)EE(P
)]EE()EE()EE[(P)EE(P
212121
21221
c
21
2
c
21
21
c
12
c
21
21
c
12
c
2121






Teorema 2: ejemplo
 Los datos recogidos en un banco de sangre concreto
indican que el 0.1% de los donantes da positivo en
el test de VIH y el 1% da positivo para el test de
herpes. Si el 1.05% da positivo para uno u otro de
estos problemas, ¿cuál es la probabilidad de que un
donante seleccionado aleatoriamente no tenga
alguno de estos problemas? ¿le sorprendería hallar
un donante con ambos problemas?

Teorema 2: ejemplo
 Datos:
 E1: el donante da positivo en el test de VIH.
 E2: el donante da positivo para el test de herpes.
 P(E1) = 0.001
 P(E2) = 0.01
 P(E1 E2) = 0.0105
 Se pide:
 P(E1 E2)c
 P(E1 E2)

P(E1)=0.001
P(E2)=0.01
E1E2
P(E1 E2) = 0.0105

Teorema 2: ejemplo
 Desarrollo:
 P(E1 E2)c = 1 - P(E1 E2) = 1 – 0.0105
 P(E1 E2)c = 0.9895
 0.9895 es la probabilidad de que un donante no tenga alguno de estos
problemas.
 P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)
 P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1  E2)
 P(E1 E2) = 0.001 + 0.01 – 0,0105
 P(E1 E2) = 0.0005
 0.0005
es la probabilidad de un donante tenga ambos problemas VIH y Herpes.

Teorema 2: extensión a tres eventos
 Si se tienen tres conjuntos en lugar de dos, se puede probar que:
P(E1E2 E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) – P(E1E2) – P(E1E3)
– P(E2E3) + P(E1E2 E3)

E1 E2
E1E2
E3
E1E2E3

Teorema 2: ejemplo
 En el gráfico se presenta un Diagrama de Venn
donde se describen tres eventos de un Espacio
Muestral ( , L) y las probabilidades de los mismos.

E1 E2
E3
0.21 0.10
0.12
0.12
0.08
0.01
x

Teorema 2: ejemplo
 Calcular P(E1); P(E1  E2)c; P(E1  E3)c; y, P(E1  E2)
1. Verificaremos que la P() = 1
P() = 0.21 + 0.12 + 0.10 + 0.01 + 0.08 + 0.12 + x
1 = 0.64 + x
1 – 0.64 = x  x = 0.36
Desarrollo:
 P(E1) = 0.21 + 0.12 + 0.01 + 0.08
P(E1) = 0.42

E1 E2
E3
0.21 0.10
0.12
0.12
0.08
0.01

Teorema 2: ejemplo
 Calcular P(E1); P(E1  E2)c; P(E1  E3)c; y, P(E1  E2)
Desarrollo:
 P(E1  E2)c = 0.12
 P(E1  E3)c = 0.10
 P(E1  E2) = 0.12 + 0.01
P(E1  E2) = 0.13

E1 E2
E3
0.21 0.10
0.12
0.12
0.08
0.01

Probabilidad de Eventos Finitos
 Es de singular importancia conocer la Cardinalidad de
Eventos Finitos, ya que la probabilidad de que ellos
ocurran, depende de su cardinalidad, esto es, del
número de elementos que posea el evento con
respecto al total contenido en.
 Si por ejemplo,  tiene N elementos y E es un evento
en un Espacio Muestral, tal que E tiene k elementos,
k  N, entonces:
0N,
N
k
)(N
)E(N
)E(P 



Probabilidad de Eventos Finitos:
ejemplo
 Si nos preguntamos cuál es la probabilidad de que
aparezca un número menor que 3 en el lanzamiento
de un dado “legal”, o equilibrado, sabemos que:
  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
 Y que el conjunto de números menores que tres es el
evento E = {1 ; 2};
 Además, N(E) = 2 y N() = 6
 Entonces, la probabilidad de que un número menor que
3 aparezca durante el lanzamiento es:
3
1
6
2
)E(P 

Regla de la Multiplicación de
opciones
 Sean E1, E2, …, Ek, k eventos cuyas cardinalidades son
respectivamente n1, n2, …, nk; si se debe tomar k
elementos, primero uno de E1, luego otro de E2 y así
sucesivamente hasta tomar el último elemento de Ek,
entonces el número de opciones que es posible elegir,
es igual a:
n1  n2  …  nk
 Esto es, al producto de las cardinalidades de los
eventos en consideración.

opciones: ejemplo
 Si una compañía de taxis opera con vehículos de tres
distintas marcas, a las que llamaremos A, B y C. la
compañía tiene 4 taxis de marca A, tres de marca B y
dos de marca C, esto es, un total de nueve vehículos. Un
cliente les pide el alquiler simultáneo de tres vehículos
pero exige que sean de diferentes marcas. ¿De cuántas
opciones de agrupamiento de sus vehículos dispone la
compañía para complacer a su cliente?

opciones: ejemplo
Desarrollo
 Tenemos tres eventos finitos
 E1: el cliente alquila un vehículo de la marca A
 E2: el cliente alquila un vehículo de la marca B
 E3: el cliente alquila un vehículo de la marca C
 Las cardinalidades de estos eventos son:
 N(E1) = n1 = 4; N(E2) = n2 = 3; y, N(E2) = n3 = 2
 Número de opciones = n1  n2  n3 = 4  3  2 = 24
 Por lo tanto, la compañía tiene 24 maneras de agrupar tres
vehículos de marcas distintas.

Combinaciones y Muestras
 Supongamos que se tiene una Población Objetivo de
tamaño N y que de ella vamos a tomar n Unidades de
Investigación, una a una y sin reemplazo, para que
constituyan una Muestra de tamaño n, siendo n menor
o como máximo igual a N. El Número de Muestras que
de esta forma pueden tomarse, se la denomina
Número de Combinaciones de n objetos y se calcula
de la siguiente manera:
)!nN(!n
!N
n
N
MuestrasdeNúmero









Combinaciones y Muestras
 Si por ejemplo se tiene una Población Objetivo compuesta por
las cuatro primeras letras del alfabeto y se quiere identificar
todas las posibles Muestras de tamaño dos que de ella pueden
obtenerse, se tiene:
 Población Objetivo de tamaño N = 4: {a; b; c; d}
 Posibles Muestras de tamaño n = 2: {a; b} {a; c} {a; d} {b; c}
{b; d} {c; d}
 Utilizando la expresión mostrada anteriormente se obtiene:
.
6
)12(!2
!234
)!24(!2
!4
2
4
MuestrasdeNúmero 












Combinaciones y Muestras: ejemplo
 De un grupo de 20 estudiantes se van a elegir 6 para
integrar un comité. En la Población Objetivo hay 9
damas y 11 caballeros; se requiere que dos de los
integrantes del comité sean necesariamente mujeres. La
pregunta es, ¿de cuántas maneras se puede elegir este
comité?
 Desarrollo
 El número de formas en que se pueden escoger dos mujeres
de un conjunto de nueve es:
36
2
72
!7!2
!789
)!29(!2
!9
2
9











Combinaciones y Muestras: ejemplo
 El número de formas en que se pueden escoger cuatro
varones de un conjunto de once es:
 Consecuentemente, el número de formas que se puede elegir
el comité con 4 varones y 2 mujeres es:
 Por lo tanto, el comité puede ser elegido de 11880
formas diferentes.
330
1234
891011
!7!4
!7891011
)!411(!4
!11
4
11













1188033036
4
11
2
9













Probabilidades de Eventos Finitos y
Combinaciones: ejemplo
 Un representante de ventas debe visitar seis ciudades
durante un viaje. Si hay 10 ciudades en el área geográfica
que va a visitar, de las cuales seis son mercados primarios
para el producto en cuestión, mientras que las otras
cuatro son mercados secundarios. Si el vendedor elige al
azar las seis ciudades que va a visitarse, ¿cuál es la
probabilidad de que…
a) cuatro de ellas sean ciudades de mercado primario y dos
sean ciudades de mercado secundario?
b) las seis resulten ser ciudades de mercado primario?

Permutaciones
 Las Permutaciones son subconjuntos ordenados de
tamaño n tomados de un conjunto de tamaño N.
 El número de Permutaciones de tamaño n que se
pueden obtener de un conjunto de tamaño N, para
n  N, es igual a:
)!nN(
!N
PN
n



Permutaciones: ejemplo
 En Guayaquil, en uno de los buses de la “Metrovía”,
existe una fila lateral de 4 asientos para personas
especiales o también de la tercera edad. Si en el
bus viajan 8 pasajeros aptos para ocupar este tipo
de asientos, ¿de cuántas maneras diferentes pueden
sentarse ellos?
)personascuatroparadasquedándosesiguenPero(
16805678
!4
!45678
)!48(
!8
4
8
!4PformasdeNúmero 8
4 











EJERCICIO
 Juego de Póker – Examen Semestre anterior

Muestreo con y sin reposición
 Muestreo sin reposición o más conocido como
Muestreo Aleatorio Simple: consiste en la selección
aleatoria de elementos sin ser reintegrados a la
Población Objetivo.
 Ejemplo: de un mazo de naipes que tiene 52 cartas
(13 son corazón rojo, 13 corazón negro, 13 brillo y 13
trébol), se van a tomar 2 cartas de manera sucesiva,
aleatoria y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de
que la segunda carta sea trébol, sabiendo que la
primera fue corazón rojo?

Que se lee, “probabilidad de que E2 ocurra dado que ya ocurrió E1”
 En primer lugar podemos afirmar que:
 E1: se selecciona una carta de corazón negro.
 E2: se selecciona una carta de trébol, sabiendo que ya se
extrajo una carta, que es corazón negro y que no ha sido
reintegrada al mazo.
52
13
)(N
)E(N
)E(P 1
1 


51
13
)EE(P 12 

 Muestreo con reposición: consiste en la selección
aleatoria de elementos de tal manera que una vez
observados sean reintegrados a la Población Objetivo.
 Ejemplo: Nótese que si una vez verificada cuál fue la
primera carta extraída hubiese sido reintegrada al
mazo tendríamos,
)E(P
52
13
)EE(P 212 

Probabilidad Condicional
 La Probabilidad Condicional es la probabilidad de que
ocurra un evento A, sabiendo que ha sucedido un
evento B.
 Se denota por:
 Dicha probabilidad también puede ser calculada
como:
"BdadoAdeadprobabilidla"leesey)BA(P


 Bquesiempre;
)B(P
)BA(P
)BA(P

Probabilidad Condicional: ejemplo
 Se sabe que el 50% de la población fuma y que el
10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad
de que alguien que es fumador sea hipertenso?
 Datos:
 A: personas que son hipertensas.
 B: personas que fuman.
 P(B) = 0.50
 P(AB) = 0.10
 Se pide:
 P(AB)

Probabilidad Condicional: ejemplo
 Se sabe que el 50% de la población fuma y que el
10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad
de que alguien que es fumador sea hipertenso?
 Desarrollo:
 Por lo tanto, la probabilidad de que alguien sea
hipertenso dado que se conoce que es fumador es
0.20.
20.0
50.0
10.0
)B(P
)BA(P
)BA(P 



 Es importante tener en cuenta que la definición de
Probabilidad Condicional satisface los axiomas de
Kolmogorov, sin embargo debe resaltarse que si el
experimento tiene un Espacio Muestral ( , L), al
“condicionar” el mismo, el espacio Muestral se restringe a
(’ , L ’); donde ’ es el conjunto de resultados posibles,
conociendo que ha ocurrido E1.
 P(E1  E1) = 1;
 P(E2  E1)  0; y,
 P(E2  E3 E1) = P(E2  E1) + P(E3  E1), siempre que E2  E3 = 

 P(E2  E3 E1) = P(E2  E1) + P(E3  E1), siempre que
E2  E3 = .
 Demostración
 P(E2  E3 E1) = P[(E2  E3)  E1]/P(E1)
= P[(E2  E1)  (E3  E1)]/P(E1)
= [P(E2  E1) + P(E3  E1)]/P(E1)
= P(E2  E1)/P(E1) + P(E3  E1)/P(E1)
 P(E2  E3 E1) = P(E2  E1) + P(E3  E1)

Probabilidad Condicional:Teorema 3
 Si P(E2) > 0 entonces
 Demostración
)EE(P1)EE(P 2
c
121 
)EE(P1
)E(P
)EE(P
1)EE(P
)E(P
)EE(P
)E(P
)E(P
)E(P
)EE(P)E(P
)E(P
)]EE(E[P
)E(P
)EE(P
)EE(P
2
c
1
2
2
c
1
21
2
2
c
1
2
2
2
2
c
12
2
2
c
12
2
21
21












Independencia Estocástica de
Eventos
 Sean E1 y E2 eventos de un mismo Espacio Muestral,
diremos que el Evento E1 es Estocásticamente
Independiente del Evento E2 cuando y solo cuando:
P(E1  E2) = P(E1) P(E2)
 También se cumple que P(E2  E1) = P(E2), así como
P(E1  E2) = P(E1).
 Si E1 y E2 son estocásticamente independientes no son
mutuamente excluyentes, pues necesariamente
P(E1  E2)  0.

Eventos: ejemplo
 Si se tienen eventos E1 y E2 que se conoce son
independientes y se sabe además que P(E1) = 0.80 y
P(E2) = 0.30, determinar P(E1  E2) y P(E1  E2).
 Desarrollo:
 Si los eventos son por hipótesis independientes, se
cumple que:
P(E1  E2) = P(E1) P(E2) = (0.80)(0.30) = 0.24
 Mientras que:
P(E1E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1E2) = 0.80 + 0.30 – 0.24
P(E1E2) = 0.86

Eventos
 Tres eventos E1, E2 y E3 se dicen son
Estocásticamente Independientes, cuando y solo
cuando es verdad que se cumplen las siguientes cuatro
condiciones:
i. P(E1  E2) = P(E1) P(E2)
ii. P(E1  E3) = P(E1) P(E3)
iii. P(E2  E3) = P(E2) P(E3)
iv. P(E1  E2  E3) = P(E1) P(E2) P(E3)
 Téngase en cuenta que
P(E1  E2  E3) = P(E1) P(E2  E1) P(E3  E1  E2 )

Eventos: ejemplo
 De un mazo de barajas se extraen de manera sucesiva y
sin reemplazo cuatro cartas, se pide calcular la
probabilidad que todas las cartas sean “reyes”.
 Desarrollo
 Ei: sale rey en la i-ésima extracción.
 Se nos pide calcular P(E1  E2  E3 E4), que usando la
expresión anterior tendríamos:
P(E1E2 E3E4) = P(E1) P(E2 E1) P(E3 E1E2) P(E4 E1E2 E3)
6497400
24
49
1
.
50
2
.
51
3
.
52
4
)EEEE(P 4321 

Regla de la ProbabilidadTotal
 En un experimento estadístico, supongamos que el
conjunto de resultados posibles , es “particionado”
en k eventos, a los que denominaremos E1, E2, …, Ek.
 Particionar significa que los k eventos son Exhaustivos
y Mutuamente Excluyentes.
jipara,EEE
k
1i
jii 



 Supongamos que A es un evento cualquiera en ( , L).
Entonces:










k
1i
ii
iii
k
1i
i
k21
k
1i
ik21
)E(P)EA(P)A(PquetenemosFinalmente
)E(P)EA(P)EA(PqueconoceseAdemás
)EA(P)A(P
)EA(P...)EA(P)EA(P)A(P
)EA()EA(...)EA()EA(A 

 A = (A  E1)  (A  E2)  …  (A  Ek)
E3
E2
E1
E4
E5
E6
Ek
A

E1  A

Regla de la ProbabilidadTotal:
ejemplo
 Cuatro ventanillas operan en la agencia de un banco,
en su orden, las ventanillas atienden al 25%, 28%, 33%
y 14% de los clientes. En la ventanilla 1 ocurre alguna
inconformidad el 13% de las veces que atienden a un
cliente; en la ventanilla 2 el 2%; en la ventanilla 3 el
5% de las veces; y, en la restante, el 1.50% de las
veces. ¿Cuál es la probabilidad que un día cualquiera
se produzca una inconformidad?

ejemplo
 Datos
 A: se produce una inconformidad.
 E1: el cliente es atendido en la ventanilla 1.
 P(E1) = 0.25 ; P(A  E1) = 0.13 ; P(E2) = 0.28 ; P(A  E2) = 0.02
 P(E3) = 0.33 ; P(A  E3) = 0.05 ; P(E4) = 0.14 ; P(A  E4) = 0.015
 Se pide
 P(A)

ejemplo
 Desarrollo
P(A) = P(AE1)P(E1) + P(AE2)P(E2) + P(AE3)P(E3) + P(AE4)P(E4)
P(A) = 0.13 (0.25) + 0.02 (0.28) + 0.05 (0.33) + 0.015 (0.14)
P(A) = 0.0325 + 0.0056 + 0.0165 + 0.0021
P(A) = 0.0567
 La probabilidad de que se produzca una inconformidad un
día cualquiera es de 0.0567.

Teorema de Bayes
 Sea ( , L) el Espacio Muestral de un Experimento
Estadístico; sean además E1, E2, …, Ek, k Eventos
Exhaustivos y Mutuamente Excluyentes en dicho
Espacio Muestral. Sea A un evento cualquiera que
resulta en el experimento. Bajo estas condiciones,
)A(P
)E(P)EA(P
)E(P)EA(P
)E(P)EA(P
)AE(P
rr
k
1i
ii
rr
r 


Teorema de Bayes: demostración
 Por la aplicación de la definición de probabilidad
condicional, se conoce que:





k
1i
ii
rr
r
rr
r
r
r
)E(P)EA(P
)E(P)EA(P
)AE(P
)A(P
)E(P)EA(P
)AE(P
)A(P
)EA(P
)AE(P

Teorema de Bayes: ejemplo
 Con los datos de las ventanillas del banco del ejercicio sobre
Probabilidad Total, si se conoce que ocurrió una
inconformidad, y no es posible identificar quien lo cometió,
por falta de cooperación del usuario. ¿Cuál es la probabilidad
que ocurrió en la ventanilla 2?
 Se pide
 P(E2  A)
 Por lo tanto, la probabilidad de que dado que ocurrió una
inconformidad ésta haya sido en la ventanilla 2 es 0.099
099.0
0567.0
)28.0(02.0
)A(P
)E(P)EA(P
)AE(P
22
2 

Referencias
 Zurita, G. (2010), “Probabilidad y Estadística:
Fundamentos y Aplicaciones”, Segunda Edición,
Escuela Superior Politécnica del Litoral, Instituto de
Ciencias Matemáticas, Guayaquil-Ecuador.

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