Distribución gamma y exponencial

DISTRIBUCIÓN GAMMA Y
EXPONENCIAL
FCC BUAP
Luis Alfredo Moctezuma
4/16/2016 Aprox. normal a la binomial, distribución
gamma-exponencial
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Introducción
• Usada en teoría de colas y en problemas de
confiabilidad
• Si se esta interesado en la ocurrencia de un evento
generado por un proceso de Poisson de media λ, la
variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n
ocurrencias del evento sigue una distribución gamma
gamma-exponencial
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Función gamma,I
• La función gamma se define como
– Propiedades
• Γ(α) = (α – 1)(α – 2) ··· (1) Γ (1)
• Γ(α+1) = αΓ(α)
• Γ(α) = (α − 1)!
• Γ(1) = 1
• Γ(1/2) = √π
gamma-exponencial
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Distribución gamma,I
• La variable aleatoria continua X tiene una distribución
gamma, con parámetros α y β, si su función de
densidad está dada por
donde α > 0 y β > 0
gamma-exponencial
4

Distribución gamma,I,~
• La media de la distribución gamma es
μ = αβ
• La varianza de la distribución gamma es
σ2 = αβ2
gamma-exponencial
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Distribución gamma, ejemplo 1
• En un estudio biomédico con ratas se utiliza una
investigación de respuesta a la dosis para determinar el
efecto de la dosis de un tóxico en su tiempo de
supervivencia.
• El tóxico es producido por el combustible que utilizan
los aviones y, en consecuencia, descargan con
frecuencia a la atmósfera. Para cierta dosis del tóxico, el
estudio determina que el tiempo de supervivencia de las
ratas, en semanas, tiene una distribución gamma con
α = 5 y β = 10.
¿Cuál es la probabilidad de que una rata no sobreviva más
de 60 semanas?
gamma-exponencial
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Distribución gamma, ejemplo 1,~
• Sea la variable aleatoria X el tiempo de supervivencia
(tiempo hasta la muerte). La probabilidad que se
requiere es
• Se puede resolver mediante la función gamma
incompleta, que se convierte en la función de
distribución acumulativa para la distribución gamma.
Esta función se escribe como
gamma-exponencial
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• Cambio de variable y = x/β, x = βy dx=βdy
• Que se denota como F(6; 5) en la tabla de la función
gamma incompleta
P (X ≤ 60) = F (6; 5)= 0.7150
gamma-exponencial
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Distribución gamma, ejemplo 2
• A partir de datos previos se sabe que la longitud de
tiempo, en meses, entre las quejas de los clientes sobre
cierto producto es una distribución gamma con α = 2 y β
= 4.
• Se realizaron cambios para hacer más estrictos los
requerimientos del control de calidad, después de los
cuales pasaron 20 meses antes de la primera queja.
¿Parecería que los cambios realizados en el control de
calidad resultaron eficaces?
gamma-exponencial
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• Sea X el tiempo para que se presente la primera queja,
el cual, en las condiciones anteriores a los cambios,
seguía una distribución gamma con α = 2 y β = 4.
• La pregunta se centra alrededor de qué tan raro es X ≥
20 dado que α y β permanecen con los valores 2 y 4,
repectivamente.
• En otras palabras, en las condiciones anteriores ¿es
razonable un “tiempo para la queja” tan grande como 20
meses?
gamma-exponencial
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α = 2 y β = 4
• De nuevo, usando y=x/β x=yβ tenemos
Donde F(5; 2) = 0.96
• Como resultado, podríamos concluir que las condiciones de la distribución gamma
con α = 2 y β = 4 no son sustentadas por los datos de que un tiempo observado para
la queja sea tan extenso como 20 meses. Entonces, es razonable concluir que el
trabajo de control de calidad resultó eficaz
gamma-exponencial
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Distribución exponencial,I
• Describe el tiempo que transcurre hasta la ocurrencia de
un evento de Poisson (o el tiempo entre eventos de
Poisson)
• El tiempo (o espacio) que transcurre hasta que ocurre
un número específico de eventos de Poisson es una
variable aleatoria, cuya función de densidad es descrita
por la distribución gamma
gamma-exponencial
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Distribución exponencial,I,~
• La distribución gamma especial para la que α = 1 se
llama distribución exponencial
• La variable aleatoria continua X tiene una distribución
exponencial, con parámetro β, si su función de densidad
es dada por
gamma-exponencial
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Distribución exponencial,I,~
• La media de la distribución exponencial es
μ = β
• La varianza de la distribución exponencial es
σ2= β2
gamma-exponencial
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Relación con el proceso de Poisson
• La relación entre la distribución exponencial y el proceso
de Poisson se denominada exponencial negativa
• La distribución de Poisson con λ que se interpreta como
el número medio de eventos por unidad de tiempo
gamma-exponencial
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Relación con el proceso de Poisson,~
• Considere ahora la variable aleatoria descrita por el
tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento.
• Si utilizamos la distribución de Poisson, vemos que la
probabilidad de que no ocurra algún evento, en el
periodo hasta el tiempo t, es dada por
gamma-exponencial
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• Si X es el tiempo para el primer evento de Poisson. La
probabilidad de que la duración del tiempo hasta el
primer evento exceda x es la misma que la probabilidad
de que no ocurra algún evento de Poisson en x.
• Así, la función de distribución acumulativa para X es
dada por
gamma-exponencial
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• Ahora, para poder reconocer la presencia de la
distribución exponencial, podemos diferenciar la función
de distribución acumulativa anterior con el fin de obtener
la función de densidad
Que es la función de densidad de la distribución exponencial con
λ = 1/β
gamma-exponencial
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Distribución exponencial,ejemplo 1
• Suponga que un sistema contiene cierto tipo de
componente cuyo tiempo de operación antes de fallar,
en años, está dado por T.
• La variable aleatoria T se modela bien mediante la
distribución exponencial con tiempo medio de operación
antes de fallar β = 5. Si se instalan 5 de estos
componentes en diferentes sistemas
¿Cuál es la probabilidad de que al final de 8 años al menos
dos aún funcionen?
gamma-exponencial
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Distribución exponencial,ejemplo 1,~
• La probabilidad de que un componente determinado
siga funcionando después de 8 años es dada por
≈ 0.2
• Representemos con X el número de componentes que
todavía funcionan después de 8 años. Entonces,
utilizando la distribución binomial tenemos
gamma-exponencial
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• Se calcula el complemento de P(X≧2)
gamma-exponencial
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La propiedad de falta de memoria y su efecto
en la distribución exponencial
• Un componente electrónico, en el que la distribución del
tiempo de vida es exponencial, la probabilidad de que el
componente dure, por ejemplo, t horas, es decir, P(X > t),
es igual que la probabilidad condicional
 Si el componente “alcanza” las t0 horas, la probabilidad de
que dure otras t horas es igual que la probabilidad de que dure t
horas
 Si la falla del componente es resultado del desgaste lento o
gradual (por ejemplo,desgaste mecánico), entonces la
distribución exponencial no es aplicable
gamma-exponencial
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Distribución exponencial,ejemplo 2
• Suponga que las llamadas telefónicas que llegan a un
conmutador particular siguen un proceso de Poisson con
un promedio de 5 llamadas entrantes por minuto. ¿Cuál
es la probabilidad de que transcurra hasta un minuto en
el momento en que han entrado 2 llamadas al
conmutador?
Se aplica el proceso de Poisson, con un lapso de tiempo
hasta que ocurren 2 eventos de Poisson que sigue una
distribución gamma con β = 1/5 y α = 2.
gamma-exponencial
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• X es el tiempo en minutos que transcurre antes de que
lleguen 2 llamadas. La probabilidad que se requiere está
dada por:
gamma-exponencial
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Referencias
• Editor de formulas: https://www.mathway.com
• Walpole,Myers.Probabilidad y estadística para ingeniería
y ciencias: Pearson
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