Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, la integración por partes y las sustituciones trigonométricas. Explica la fórmula del cambio de variable y cómo puede usarse para reducir integrales a formas más simples mediante la sustitución de la variable por una función. Luego resuelve ejemplos ilustrativos aplicando estos métodos.
Este documento describe fracciones algebraicas. Define una fracción algebraica como el cociente de dos polinomios racionales donde el denominador no es una constante. Explica conceptos como valores admisibles, clasificación de fracciones algebraicas, operaciones con fracciones algebraicas como adición, sustracción, multiplicación y división. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento trata sobre los polinomios y sus propiedades. Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de monomios y están presentes en contextos científicos y tecnológicos. Un monomio es una expresión con letras y exponentes que puede ser multiplicada o elevada a una potencia, mientras que un polinomio está formado por la suma de dos o más monomios distintos.
Este documento trata sobre límites y continuidad en cálculo. Explica conceptos como rapidez promedio, límites de funciones, reglas para calcular límites, y la definición formal de límite. Incluye ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar estos conceptos.
I. El documento presenta los conceptos básicos de la integral indefinida y algunas de sus propiedades y métodos de cálculo como las integrales inmediatas, la integración por partes y la integración por sustitución.
II. Se explica que una primitiva de una función f(x) es aquella función G(x) cuya derivada es f(x) y que la integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) de la forma G(x)+C.
III. Se describen métodos como la descomposición en fracciones
Este documento describe varios métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) factor común, 2) productos notables como diferencia de cuadrados y cuadrados perfectos, 3) suma y diferencia de cubos, y 4) agrupamiento de términos con factores comunes. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo descomponer polinomios en factores.
El documento introduce el álgebra comenzando con una ecuación simple de suma para encontrar el valor desconocido x. Explica que las letras como x representan valores desconocidos y que el álgebra estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Además, describe cómo se usa el álgebra en la vida diaria, como en las cajas registradoras.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y el uso de la integración por partes, sustitución y descomposición en fracciones simples para integrales más complejas. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
Este documento describe fracciones algebraicas. Define una fracción algebraica como el cociente de dos polinomios racionales donde el denominador no es una constante. Explica conceptos como valores admisibles, clasificación de fracciones algebraicas, operaciones con fracciones algebraicas como adición, sustracción, multiplicación y división. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento trata sobre los polinomios y sus propiedades. Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de monomios y están presentes en contextos científicos y tecnológicos. Un monomio es una expresión con letras y exponentes que puede ser multiplicada o elevada a una potencia, mientras que un polinomio está formado por la suma de dos o más monomios distintos.
Este documento trata sobre límites y continuidad en cálculo. Explica conceptos como rapidez promedio, límites de funciones, reglas para calcular límites, y la definición formal de límite. Incluye ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar estos conceptos.
I. El documento presenta los conceptos básicos de la integral indefinida y algunas de sus propiedades y métodos de cálculo como las integrales inmediatas, la integración por partes y la integración por sustitución.
II. Se explica que una primitiva de una función f(x) es aquella función G(x) cuya derivada es f(x) y que la integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) de la forma G(x)+C.
III. Se describen métodos como la descomposición en fracciones
Este documento describe varios métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) factor común, 2) productos notables como diferencia de cuadrados y cuadrados perfectos, 3) suma y diferencia de cubos, y 4) agrupamiento de términos con factores comunes. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo descomponer polinomios en factores.
El documento introduce el álgebra comenzando con una ecuación simple de suma para encontrar el valor desconocido x. Explica que las letras como x representan valores desconocidos y que el álgebra estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Además, describe cómo se usa el álgebra en la vida diaria, como en las cajas registradoras.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y el uso de la integración por partes, sustitución y descomposición en fracciones simples para integrales más complejas. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y cómo aplicar técnicas como la integración por partes y el cambio de variable para calcular otras integrales. También introduce la descomposición de funciones racionales en fracciones simples para integrarlas.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones par e impar, funciones polinómicas, racionales, exponenciales y trigonométricas. Explica que una función par cumple f(x)=f(-x), mientras una función impar cumple f(-x)=-f(x). También define funciones polinómicas como aquellas de la forma f(x)=P(x) donde P(x) es un polinomio, y funciones racionales como f(x)=P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x
Este documento presenta las respuestas modelo a 6 preguntas sobre álgebra lineal y análisis matemático. La primera pregunta resuelve un sistema de ecuaciones lineales. La segunda expresa la sucesión de Fibonacci de forma matricial. La tercera demuestra que los polinomios pares forman un subespacio. La cuarta prueba que una aplicación dada es lineal. La quinta calcula los autovalores de una matriz. Y la sexta aplica el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de polinomios.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
Este capítulo trata sobre el cálculo integral. Se define la integral indefinida como la función primitiva de otra función, es decir, aquella cuya derivada es igual a la función dada. Se presentan varias integrales inmediatas y se explican métodos como la integración por cambio de variable para calcular otras integrales más complejas. Finalmente, se resuelven algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento introduce los conceptos de polinomios, incluyendo su definición como expresiones algebraicas donde los exponentes de la variable son enteros no negativos. Explica cómo calcular sumas, restas y productos de polinomios, y que el grado de un polinomio producto es la suma de los grados de los factores. También presenta ejemplos para ilustrar estas operaciones con polinomios.
Este documento presenta varios problemas relacionados con el estudio de la continuidad de funciones. En particular, analiza las asíntotas de diferentes funciones, estudia la continuidad de funciones dadas y determina los valores necesarios de constantes para que funciones sean continuas. Proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los problemas planteados.
Este documento presenta varios temas relacionados con cálculo I. Incluye problemas sobre números reales como decimales periódicos, números racionales e irracionales. También cubre conceptos de funciones como dominio, imagen, continuidad y límites. Finalmente, introduce temas de continuidad como puntos fijos, ecuaciones y gráficas de funciones.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
Este documento trata sobre funciones polinomiales. Define funciones polinomiales y monomiales, y explica cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con polinomios y monomiales. También cubre conceptos como grado de un polinomio/monomio, reducción de términos semejantes, y ordenar polinomios en forma creciente y decreciente. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios para practicar estas operaciones con polinomios.
Este documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes del noveno semestre de matemáticas. El autor creó este cuaderno para facilitar el aprendizaje de los objetivos del programa de matemáticas de una manera práctica y sencilla. El cuaderno contiene ejercicios sobre funciones constantes, sumas y productos de funciones, polinomios, ecuaciones de primer grado y agradecimientos.
1. El documento presenta una serie de ejercicios sobre derivadas que incluyen calcular derivadas de funciones, estudiar monotonicidad, extremos relativos, puntos de inflexión, asíntotas y representar funciones gráficamente.
2. También incluye calcular ecuaciones de rectas tangentes a funciones en puntos dados y determinar valores para que funciones tengan ciertas propiedades.
3. Los ejercicios abarcan temas fundamentales sobre derivadas como calcular derivadas, estudiar funciones, representar gráficamente funciones y calcular rect
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
Este documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las primitivas, la integral indefinida, las propiedades de la integral indefinida, las integrales inmediatas, la integración por partes, la integración por sustitución y la integración de funciones racionales. Explica cómo calcular primitivas, integrales indefinidas y cómo aplicar diferentes métodos para resolver integrales definidas.
Este documento presenta una tabla de símbolos matemáticos comúnmente usados en diferentes áreas como aritmética, álgebra, lógica, teoría de conjuntos, cálculo y análisis funcional. Incluye los símbolos para operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división, así como símbolos para conceptos más avanzados como integrales, derivadas, conjuntos, funciones y límites. Explica brevemente el significado y uso de cada símbolo.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
El documento presenta una definición y propiedades sobre el cálculo de primitivas. Explica que una función F es primitiva de otra f si la derivada de F es igual a f. Luego, detalla algunas primitivas inmediatas como la integral de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y racionales.
Calculo integral, metodos de integracion y ejemplosandoresu sama
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y cómo aplicar técnicas como la integración por partes y el cambio de variable para calcular otras integrales. También introduce la descomposición de funciones racionales en fracciones simples para integrarlas.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones par e impar, funciones polinómicas, racionales, exponenciales y trigonométricas. Explica que una función par cumple f(x)=f(-x), mientras una función impar cumple f(-x)=-f(x). También define funciones polinómicas como aquellas de la forma f(x)=P(x) donde P(x) es un polinomio, y funciones racionales como f(x)=P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x
Este documento presenta las respuestas modelo a 6 preguntas sobre álgebra lineal y análisis matemático. La primera pregunta resuelve un sistema de ecuaciones lineales. La segunda expresa la sucesión de Fibonacci de forma matricial. La tercera demuestra que los polinomios pares forman un subespacio. La cuarta prueba que una aplicación dada es lineal. La quinta calcula los autovalores de una matriz. Y la sexta aplica el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de polinomios.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
Este capítulo trata sobre el cálculo integral. Se define la integral indefinida como la función primitiva de otra función, es decir, aquella cuya derivada es igual a la función dada. Se presentan varias integrales inmediatas y se explican métodos como la integración por cambio de variable para calcular otras integrales más complejas. Finalmente, se resuelven algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento introduce los conceptos de polinomios, incluyendo su definición como expresiones algebraicas donde los exponentes de la variable son enteros no negativos. Explica cómo calcular sumas, restas y productos de polinomios, y que el grado de un polinomio producto es la suma de los grados de los factores. También presenta ejemplos para ilustrar estas operaciones con polinomios.
Este documento presenta varios problemas relacionados con el estudio de la continuidad de funciones. En particular, analiza las asíntotas de diferentes funciones, estudia la continuidad de funciones dadas y determina los valores necesarios de constantes para que funciones sean continuas. Proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los problemas planteados.
Este documento presenta varios temas relacionados con cálculo I. Incluye problemas sobre números reales como decimales periódicos, números racionales e irracionales. También cubre conceptos de funciones como dominio, imagen, continuidad y límites. Finalmente, introduce temas de continuidad como puntos fijos, ecuaciones y gráficas de funciones.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida representa el conjunto de todas las primitivas de una función, y que las primitivas difieren entre sí en una constante arbitraria. También presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, como integrales inmediatas, integración por partes, sustitución y descomposición de fracciones para integrales racionales.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
Este documento trata sobre funciones polinomiales. Define funciones polinomiales y monomiales, y explica cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con polinomios y monomiales. También cubre conceptos como grado de un polinomio/monomio, reducción de términos semejantes, y ordenar polinomios en forma creciente y decreciente. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios para practicar estas operaciones con polinomios.
Este documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes del noveno semestre de matemáticas. El autor creó este cuaderno para facilitar el aprendizaje de los objetivos del programa de matemáticas de una manera práctica y sencilla. El cuaderno contiene ejercicios sobre funciones constantes, sumas y productos de funciones, polinomios, ecuaciones de primer grado y agradecimientos.
1. El documento presenta una serie de ejercicios sobre derivadas que incluyen calcular derivadas de funciones, estudiar monotonicidad, extremos relativos, puntos de inflexión, asíntotas y representar funciones gráficamente.
2. También incluye calcular ecuaciones de rectas tangentes a funciones en puntos dados y determinar valores para que funciones tengan ciertas propiedades.
3. Los ejercicios abarcan temas fundamentales sobre derivadas como calcular derivadas, estudiar funciones, representar gráficamente funciones y calcular rect
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
Este documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las primitivas, la integral indefinida, las propiedades de la integral indefinida, las integrales inmediatas, la integración por partes, la integración por sustitución y la integración de funciones racionales. Explica cómo calcular primitivas, integrales indefinidas y cómo aplicar diferentes métodos para resolver integrales definidas.
Este documento presenta una tabla de símbolos matemáticos comúnmente usados en diferentes áreas como aritmética, álgebra, lógica, teoría de conjuntos, cálculo y análisis funcional. Incluye los símbolos para operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división, así como símbolos para conceptos más avanzados como integrales, derivadas, conjuntos, funciones y límites. Explica brevemente el significado y uso de cada símbolo.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
El documento presenta una definición y propiedades sobre el cálculo de primitivas. Explica que una función F es primitiva de otra f si la derivada de F es igual a f. Luego, detalla algunas primitivas inmediatas como la integral de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y racionales.
Calculo integral, metodos de integracion y ejemplosandoresu sama
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo de primitivas. En cada ejercicio se pide calcular la primitiva de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También incluye ejemplos de cambio de variables para calcular primitivas más complejas.
Este documento presenta diferentes métodos de integración como la integración por partes, la integración por sustitución o cambio de variables, las integrales trigonométricas y las potencias impares de senos y cosenos. Explica cómo aplicar cada uno de estos métodos para calcular integrales definidas.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
Métodos de integración expresan una integral original en términos de otra integral más fácil de calcular. Al elegir la variable u y dv, se toma dv como la parte más complicada que se ajuste a una regla de integración y u como el factor restante cuya derivada sea simple, dividiendo así la integral original en dos integrales más manejables.
Este documento explica cómo calcular la función primitiva del producto de dos funciones utilizando la fórmula de integración por partes. La fórmula es ∫udv = uv - ∫vdu, donde u y v son funciones de la variable de integración y dv y du son sus diferenciales. El documento proporciona un ejemplo paso a paso de cómo aplicar esta fórmula para calcular la integral ∫xcosxdx.
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisRonildo Oliveira
1) O documento apresenta uma breve introdução sobre o estudo de integrais definidas e indefinidas, incluindo definições, métodos de cálculo e exemplos.
2) Aborda conceitos como primitivas, integrais indefinidas e definidas, método de substituição e integral de Riemann.
3) Inclui uma tabela de integrais comuns e exemplos numéricos de cálculo.
El documento explica cómo calcular el área de una región delimitada por una curva en coordenadas polares. Primero, es necesario trazar la gráfica de la curva para determinar los límites de integración. Luego, se calculan las tangentes en el polo para encontrar precisamente los límites de integración para el cálculo del área bajo la curva entre esos límites usando la integral definida.
Este documento apresenta um número especial da Revista do Professor de Matemática destinado ao Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Contém vários artigos e atividades sobre tópicos matemáticos do ensino fundamental e médio, incluindo problemas, jogos e demonstrações. As atividades propostas no início visam trabalhar operações aritméticas e visualização espacial de figuras para que os alunos possam "fazer matemática".
El documento trata sobre la interpretación de la ley. Explica que la interpretación implica descubrir el sentido de los signos escritos en la ley. Luego discute diferentes enfoques a la interpretación incluyendo el método exegético que busca la intención del legislador, y la escuela de Geny que argumenta que la ley no puede prever todos los casos y que el intérprete debe considerar factores objetivos. Finalmente, analiza otros temas como la costumbre, analogía y papel de la jurisprudencia en la interpretación.
Este documento explica el método de integración por partes, el cual involucra sustituir los valores de la integral por "u" y "v" y sus derivadas ("du" y "dv"). Se debe derivar "u" e integrar "dv" para encontrar "du" y "v", y luego aplicar la fórmula para resolver la integral. A veces se requiere integrar por partes más de una vez, y la respuesta puede ser simplificada sacando factores comunes.
Este documento describe funciones de varias variables. Explica que una función de varias variables asigna un único valor a cada par ordenado de sus variables y que su dominio es el conjunto de pares ordenados. También describe cómo graficar funciones de dos variables en 3D y mediante curvas de nivel, las cuales son conjuntos de puntos donde la función es constante.
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre integración por partes. Cada ejercicio contiene los pasos para calcular la integral propuesta aplicando la fórmula de integración por partes. El autor explica cada paso de manera detallada.
Este documento presenta una clase sobre coordenadas polares. La clase cubrirá el sistema de coordenadas polares, cómo expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa, y cómo trazar gráficas de ecuaciones dadas en forma polar. La clase también cubrirá cómo calcular el área de una región limitada por una gráfica polar.
Este documento presenta un método tabular para aplicar la integración por partes de manera sistemática. Propone usar la palabra "ILATE" para elegir las funciones u y dv, y representar la fórmula de integración por partes mediante un diagrama con tres columnas. Explica cómo usar este método en diferentes tipos de integrales como las que involucran funciones trigonométricas, exponenciales o polinomios.
Este documento proporciona instrucciones para compartir contenido de correo electrónico en redes sociales como Facebook y Twitter a través de enlaces. Explica cómo codificar las URL para compartir en estas plataformas y da ejemplos de cómo compartir contenido específico con títulos y metadatos. También recomienda agregar botones de compartir al final de cada artículo para facilitar que los usuarios compartan el contenido fácilmente en redes sociales.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define las ecuaciones, el grado y cómo resolverlas. Explica el procedimiento para resolver ecuaciones, que incluye eliminar denominadores, paréntesis y términos, y despejar la incógnita. También cubre la equivalencia de ecuaciones y cómo resolver problemas usando ecuaciones de primer grado. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones y problemas.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita, incluyendo cómo resolverlas mediante el despeje de la incógnita y comprobando la solución. También incluye ejemplos de ecuaciones equivalentes y no equivalentes, y problemas resueltos que implican plantear y resolver ecuaciones de primer grado.
1) El documento introduce el concepto de integral como la operación inversa a la derivación. La integral indefinida de una función f(x) se representa mediante el símbolo ∫ f(x) dx.
2) Se presentan las reglas básicas para calcular integrales, incluyendo sumas algebraicas, funciones elevadas a exponentes constantes, funciones trigonométricas y logarítmicas.
3) Se proveen ejemplos detallados para aplicar estas reglas al cálculo de diferentes integrales indefinidas. Finalmente, se proponen ejerc
El documento presenta los pasos para estudiar y representar gráficamente una función real de variable real. Estos pasos incluyen determinar el dominio, estudiar la continuidad y derivabilidad, identificar simetrías y períodos, calcular puntos de corte con los ejes, y analizar crecimiento, extremos, concavidad, así como puntos de inflexión y asíntotas. Se aplican estos pasos al ejemplo de la función f(x)=x3/(x-1)2 para ilustrar el proceso de análisis y representación gráfica.
1. Resume el documento en 3 oraciones o menos:
El documento presenta 5 problemas de integrales y sus respectivas soluciones. Cada problema involucra distribuir el diferencial, aplicar propiedades de exponentes, y realizar sustituciones para resolver las integrales de funciones trigonométricas y exponenciales. Las respuestas proporcionan los pasos detallados para llegar a la solución de cada integral planteada.
1) El documento habla sobre los conceptos de límites y continuidad de funciones. 2) Explica qué es un límite matemáticamente y cómo calcular límites laterales. 3) Describe diferentes tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos o en el infinito.
1) El documento introduce el concepto de límite matemático como el valor al que se acerca una función cuando se acerca a un punto determinado o al infinito.
2) Explica cómo calcular límites laterales y diferentes tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito.
3) Detalla reglas para calcular límites cuando hay indeterminaciones como el cociente de polinomios, la resta de fracciones o raíces, entre otros.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
1) El capítulo introduce el concepto de límite matemático como el valor al que se acerca una función cuando se acerca a un punto determinado.
2) Explica cómo calcular límites laterales y diferentes tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito.
3) Detalla reglas para calcular límites en casos de indeterminación como límites de polinomios, cocientes de polinomios, restas y raíces.
Este documento define funciones lineales y racionales. Explica que una función lineal tiene la forma y=mx+b y describe sus características como pendiente, interceptos y dominio/alcance. Luego define una función racional como la razón de dos polinomios y contrasta sus características con una función lineal, incluyendo que puede tener asíntotas y un dominio restringido cuando el denominador es cero. Finalmente, traza gráficas de ejemplos de ambos tipos de funciones.
1. El documento presenta el concepto fundamental de límite de una función y cómo se utiliza para encontrar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto.
2. Introduce la idea intuitiva de límite mediante una tabla de valores y define formalmente el límite.
3. Explica propiedades de los límites como la adición, multiplicación y división, así como límites trigonométricos.
Este documento trata sobre los conceptos fundamentales de límites y continuidad de funciones. Explica las definiciones de límite de una función, límite por la izquierda y derecha, funciones que crecen o decrecen sin límite y límites indeterminados. También presenta ejemplos para ilustrar cómo calcular límites mediante la definición formal y el uso de teoremas como el límite de una función lineal o constante.
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones con números enteros. Resume los pasos para despejar la incógnita en ecuaciones lineales, incluyendo mover términos que suman o restan al otro lado de la igualdad, y mover términos que multiplican o dividen usando la operación inversa. También cubre cómo resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios o decimales. El documento concluye con ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones.
El documento introduce los conceptos básicos de límites matemáticos, incluyendo la definición formal de límite y varios ejemplos de cálculo de límites para funciones polinomiales y racionales. También presenta propiedades clave de los límites que pueden usarse para simplificar cálculos.
El documento explica el concepto y aplicación de la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. También cubre la derivación implícita, que se usa para derivar funciones definidas implícitamente por una ecuación en lugar de explícitamente. Incluye ejemplos de aplicar estas técnicas para calcular derivadas.
El documento explica el concepto de derivada de funciones compuestas utilizando la regla de la cadena. También cubre la derivación implícita y la derivación logarítmica. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos métodos para calcular derivadas.
1. La solución de la inecuación está dada por el intervalo Cs=(-∞;1/5).
2. El dominio de la función es Df={∀x∈R/x≠0} y la función es impar.
3. La función h(x) no es continua ya que no cumple las condiciones de continuidad.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones polinómicas y racionales. Define polinomios y sus operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Luego, introduce las raíces de un polinomio y las ecuaciones polinómicas, así como la divisibilidad y factorización de polinomios, que son útiles para encontrar las raíces de un polinomio.
1. Métodos de Integración
Indice
Introducción
Cambio de Variable
Integración por partes
Integrales de funciones trigonométricas
Sustitución Trigonométrica
Fracciones parciales
2. Introducción.
En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las
principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas
de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se
presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos
permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.
estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la
integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien
reducirla a una integral más sencilla.
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3. El Método de Cambio de Variable.
Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos
que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula.
Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:
x α +1
∫ xα dx =
α +1
+k si α ≠ −1
a partir de ésta podemos encontrar integrales como
1 3
+1
5
x2 x2
∫x ∫
x 2 3
4
dx = +k , x dx = +k = +k = x +k , etc.
5 1 3 3
+1
2 2
Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar,
¿podemos afirmar que
(3 x − 5) 5
∫ (3 x − 5) dx = +k?
4
5
La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando
d (3 x − 5) 5
= 3(3 x − 5)
4
dx 5
lo correcto sería
(3 x − 5) 5
∫ 3(3 x − 5) 4 dx =
5
+k
o bien
4. 1 (3 x − 5) 5
∫ (3 x − 5) 4 dx =
3
5
+k
(cos x) 5
Análogamente ¿podemos afirmar que
∫ (cos x) 4 dx =
5
+k?
De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando
d (cos x) 5
= − senx(cos x)
4
dx 5
lo correcto sería
(cos x) 5
∫ senx(cos x) 4 dx = −
5
+k
En el cálculo de estas dos integrales
(3 x − 5) 5 (cos x) 5
∫ 3(3 x − 5) 4 dx =
5
+k
∫ senx(cos x) 4 dx = −
5
+k
como una variante de la fórmula
x α +1
∫ xα dx =
α +1
+k si α ≠ −1
advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se
calcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)α,
es decir
[u( x)]α u' ( x)dx = [u ( x)]
α +1
∫ α +1
+k si α ≠ −1
En general, si partimos de una integral conocida
∫ f ( x) dx = g ( x) + k
y cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u'(x) es continua,
obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE
5. ∫ f [u( x)] u' ( x)dx = g[u( x)] + k
Podemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho
d
[g[u ( x)] + k ] = g ' [u ( x)]u ' ( x) = f [u( x)]u' ( x)
dx
este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f.
Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u'(x)dx = du, la fórmula de cambio de
variable nos quedaría como:
∫ f (u)du = g (u) + k
En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado de
dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral
resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de
cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a
una función u y a u', su derivada.
Ejemplo 1. Encuentre
∫ (3 x − 5) 4 dx
∫ u du ,
4
Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a
lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5
u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du
Sustituyendo en la integral,
1 u5 u5 (3 x − 5) 5
∫ ∫ ∫
1
(3 x − 5) 4 dx = u 4 du / 3 = u 4 du = ( ) + c = +c = +c
3 3 5 15 15
coincidiendo con el resultado anterior.
∫ cos
4
Ejemplo 2. Encuentre x senx dx
6. ∫ u du , lo cual
4
Solución. En este caso podemos observar que esta integral "se parece" a
nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx
u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ senx dx = -du
Sustituyendo en la integral,
u5 cos 5 x
∫ ∫ ∫
(cos x) ( senx dx) = (u )(− du ) = − u du = −( ) + c = − +c
4 4 4
5 5
coincidiendo con el resultado anterior.
(3 ln x − 5) 4
Ejemplo 3. Encuentre
∫x
dx
Solución. Advertimos la presencia de la función lnx y su derivada 1/x, lo cual nos sugiere
tomar el cambio de variable:
u = lnx ⇒ du = dx/x
Sustituyendo en la integral,
(3 ln x − 5) 4
∫ x ∫
dx = (3u − 5) 4 du
A su vez esta integral tendría que resolverse por cambio de variable, tomando w = 3u-5,
como se hizo en el ejemplo 1, obteniendo:
(3 ln x − 5) 4 (3u − 5) 5 (3 ln x − 5) 5
∫ x ∫
dx = (3u − 5) 4 du =
15
+c =
15
+c
Sin embargo para evitar tomar dos o más cambios de variable, debemos percatarnos de que
lo importante es que aparece la expresión 1/x que es la derivada de lnx, que también lo es
de (3lnx-5), salvo constantes.
Más precisamente, podemos tomar el cambio de variable:
u = 3lnx-5 ⇒ du = 3dx/x, ò bien dx/x = du/3,
y al sustituir en la integral original:
(3 ln x − 5) 4 1 u5 (3 ln x − 5) 5
∫ ∫
1
dx = u 4 du = +c = +c
x 3 3 5 15
7. Observación: De lo anterior podemos concluir que el cambio de variable procede cuando
en el integrando aparece una función u y su derivada multiplicada por una constante.
Además que la integral de la variable u sea posible resolverla.
∫ 3x 2 − x 7 dx
6
Ejemplo 4. Encuentre
Solución. En este caso aparece la función u = 2-x7 y su derivada (-7x6) multiplicada por la
constante (-3/7), precisando:
u = 2-x7 ⇒ du = -7x6 dx
Como en la integral tenemos que sustituir 3x6 dx,
−1 −3
du = -7x6 dx ⇒ x 6 dx = du ⇒ 3 x 6 dx = du
7 7
−3 − 3 u 3/ 2 − 2 3/ 2 −2
∫ 3x 2 − x dx =
∫ u du = )+c = u +c = (2 − x 7 ) 3 / 2 + c ,
6 7
(
7 7 3/ 2 7 7
así pues
−2
∫ 3x 2 − x 7 dx = (2 − x 7 ) 3 + c ,
6
7
Nótese que una vez identificado el cambio de variable u, vemos que la integral por resolver
∫ ∫ 3x 2 − x 7 dx se reduce a resolver
6
es u du , es decir, resolver nuestra integral
∫ u du mediante el citado cambio de variable ó en otras palabras nuestra integral de la
variable x es similar a
∫ u du
Existen otras situaciones en que el cambio de variable no es tan evidente en términos de la
función u y su derivada, por lo cual tenemos que echar la vista adelante y ver a que función
fácil de integrar es similar nuestra función.
x2
Ejemplo 5. Encuentre
∫ 1 + x6
dx
Solución. En una primera vista no advertimos la presencia de una función u y su derivada,
ya que la derivada de 1 + x6 = 6x5 y en el integrando no aparece x5 sino x2. No debemos
8. perder de vista que al hacer un cambio de variable es por que nuestra integral es similar ó se
puede reducir a otra fácil de resolver.
Si pensamos que x2 dx será el nuevo diferencial, entonces u tendría que ser x3, es decir
u = x3 ⇒ du = 3x2 dx
como se ve al expresar la integral de la siguiente manera:
x2
∫ 1 + (x ) ∫
1 du 1 1
dx = = arctan u + c = arctan( x 3 ) + c
3 2
3 1+ u 2
3 3
x3
Ejemplo 6. Encuentre
∫ 1 − 9x8
dx
Solución. En analogía al ejemplo anterior, podemos decir que esta integral se reduce a
∫
du
du , ya que si tomamos el cambio de variable u2 =9x8, ó equivalentemente
1− u2
u = 3x4 ⇒ du = 12x3 dx, es decir x3 dx = (1/12)du, y sustituyendo:
x3
∫ ∫
1 du 1 1
dx = = arcsen(u ) + c = arcsen(3x 4 ) + c
1 − 9x8 12 1− u2 12 12
Podemos utilizar el método de cambio de variable para encontrar las integrales de algunas
funciones conocidas
Ejemplo 7. Encuentre
∫ tan x dx
∫ tan x dx = ∫ cos x dx
senx
Solución.
u = cosx ⇒ du = -senx
∫ ∫
senx du
dx = − = − ln u + c = − ln(cos x) + c
cos x u
Como -ln(cosx) = ln1 - ln(cosx) = ln(1/cosx) = ln(secx)
Podemos expresar
9. ∫ tan x dx = ln sec x + C
Análogamente
∫ cot x dx = ln senx + C
∫9+ x
dx
Ejemplo 8. Encuentre 2
∫
du
Solución. Debemos poder reducir esta integral a mediante un cambio de variable,
1+ u2
por la similitud de las expresiones.
Primeramente vemos que en el denominador la variable al cuadrado esta sumada a 1, lo
cual nos sugiere factorizar el 9 para tener algo similar, es decir:
∫9+ x ∫ ∫
dx 1 dx 1 dx
= =
2
9 1 + x 2 / 9 9 1 + ( x / 3) 2
y esto nos sugiere tomar el cambio de variable
u = x/3 ⇒ du =dx/3
∫ 9 + 4x ∫ ∫
dx 1 dx 3 du 1 1
= =( ) = arctan u + c = arctan( x / 3) + c
2
9 1 + ( x / 3) 2
9 1+ u 2
3 3
En general podemos deducir la fórmula que engloba todo este tipo de integrales.
∫
dx
Ejemplo 9. Encuentre
a + x2
2
Solución. En analogía al problema anterior:
∫a ∫ 1 + ( 1 )x
dx 1 dx
= 2
2
+x 2
a 2
2
a
y tomando el cambio de variable u =(1/a)x y por lo tanto du =(1/a)dx
10. a du x
∫a ∫ 1 + ( 1 )x ∫
dx 1 dx 1 1
= 2 = 2 = arctan u + c = arctan + c
2
+x 2
a 2 a 1+ u 2
a a a
a2
es decir:
x
∫a
dx 1
= arctan + c ---------- (I)
2
+x 2
a a
a reserva de probarlo más adelante, aceptaremos la siguiente fórmula:
a+x
∫
dx 1
= ln +c --------- (II)
a2 − x2 2a a − x
y probaremos lo siguiente:
∫
dx
Las integrales de la forma , con a ≠ 0, se reducen a las fórmulas (I) ó
ax + bx + c 2
(II) mediante cambio de variable.
El procedimiento consistirá en completar trinomio cuadrado perfecto y tomar el cambio de
variable adecuado.
∫
dx
Ejemplo 10. Encuentre
2 x + 12 x + 10
2
Solución. Completemos el trinomio cuadrado perfecto.
2 x 2 + 12 x + 10 = 2[x2 + 6x + 5] = 2[x2 + 6x + 9-9 +5] = 2[(x2 + 6x + 9) - 4] =2[(x+3)2 - 4]
sustituimos en la integral e identificamos con la fórmula (II)
1 1 2 + ( x + 3)
∫ ∫ ∫
dx 1 dx 1 dx
= =− = − ln +c
2 x 2 + 12 x + 10 2 ( x + 3) 2 − 4 2 4 − ( x + 3) 2 2 4 2 − ( x + 3)
11. es decir
1 5+ x
∫
dx
= − ln +c
2 x + 12 x + 10 8 − 1 − x
2
Obsérvese que no importa cual sea el trinomio cuadrado, al completarlo nuestra integral
siempre se reducirá a una de las dos fórmulas.
Una vez visto lo anterior, veremos un procedimiento que nos permitirá calcular integrales
de la forma
( Ax + B)
∫ ax 2 + bx + c
dx con a ≠ 0
(5 x + 3)dx
Ejemplo 11. Encuentre
∫ 3x 2 + 4 x + 2
Solución. Por supuesto que el tipo más sencillo de este tipo de integrales es cuando en el
numerador aparece la derivada del término cuadrático del denominador.
(6 x + 4)dx
∫ 3x + 4 x + 2
2
= ln 3 x 2 + 4 x + 2 + c
Partiremos de esta función y modificaremos el numerador para obtener una expresión fácil
de integrar
(5 x + 3) 5
(6 x + 4) + 3 − 20 5
(6 x + 4) − 1
∫ 3x 2 + 4 x + 2
dx =
∫ 6
3x 2 + 4 x + 2
6
dx =
∫ 3x
6
2
3
+ 4x + 2
dx =
( 6 x + 4)
∫ ∫
1 dx
= 5
dx −
3x + 4 x + 2 3 3x + 4 x + 2
6 2 2
La primera de las integrales ya está resuelta y la segunda se resuelve con el procedimiento
descrito en el ejemplo anterior.
3x2+4x+2 = 3[x2 + 4/3x + 2/3] = 3[(x2 + 4/3x + 4/9) + 2/3-4/9] = 3[(x +2/3)2 + 2/9]
1 3 3( x + 2 )
∫ ∫
dx 1 dx
= = arctan
3
+c
3x + 4 x + 2
2
3 (x + 3) + 9
2 2 2
3 2 2
En consecuencia :
12. (5 x + 3)dx 3x + 2
∫ 3x
5 1
= ln 3x 2 + 4 x + 2 − arctan +c
2
+ 4x + 2 6 3 2 3 2
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El método de Integración por partes
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un
producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula
de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.
[f(x)g(x)]' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
integrando en ambos lados
∫ [f(x)g(x)] dx = ∫ f ' (x)g(x) dx + ∫ f (x)g' (x) dx
'
obtenemos:
∫ ∫
f ( x) g ( x) = f ' (x)g(x) dx + f ( x)g' (x) dx
y despejando la segunda integral:
∫ f (x)g' (x) dx = f ( x) g ( x) + ∫ f ' (x)g(x) dx
obtenemos finalmente la FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES.
A continuación veremos en algunos ejemplos como utilizar esta fórmula.
Ejemplo 1. Encuentre
∫ x cos(x) dx
Solución. Con el fin de utilizar la fórmula anterior, tomaremos f(x) = x y g'(x) = cos(x), es
decir el integrando xcos(x) = f(x) g'(x)
f(x) = x g '(x) = cos(x)
f '(x) = 1 g(x) = sen(x)
13. ∫ x cos( x) dx = xsen( x) − ∫ sen( x) dx = − xsen( x) + cos( x) + c
Observe que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g':
f(x) = cos(x) g '(x) = x
f '(x) = -sen(x) g(x) = x2/2
sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad para
resolverse que la original.
x2 x2
∫ x cos( x) dx =
2 ∫
cos( x) − −
2
sen( x) dx
NOTACIÓN. Con el fin de ser congruentes con la notación utilizada en la mayoría de los
libros del mercado, le llamaremos
u = f(x) y v = g(x) y en consecuencia du = f '(x)dx así como du = g '(x)dx. Con esta
nueva notación resolveremos los siguientes ejercicios.
∫ xe
x
Ejemplo 2. Encuentre dx
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u=x v = ex
du = dx dv = ex dx
obsérvese que con esta notación, en vez de tomar g' (x) = ex , tomamos su diferencial
dv = ekdx y análogamente con f, permitiendo que una parte del integrando sea u y el resto
sea dv.
∫ xe ∫
dx = xe x − e x dx = xe x − e x + c
x
En estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de u y dv nos lleva en un solo paso
a resolver nuestra integral reduciéndola a una integral más fácil de resolver.
Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integral
del lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requiere
de un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algún
otro procedimiento.
14. ∫x e
2 x
Ejemplo 3. Encuentre dx
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = x2 v = ex
du = 2xdx dv = ex dx
∫x e ∫
dx = x 2 e x − 2 xe x dx
2 x
la integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo:
∫x e dx = x 2 e x − 2( xe x − e x ) + c
2 x
Observación: La elección u = ex, dv = x2dx nos lleva a una integral con un mayor grado de
dificultad.
Ejemplo 4. Encuentre
∫ arctan x dx
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = arctanx v=x
dx
du = dv = dx
1 + x2
∫ ∫
x
arctan x dx = x arctan x − dx
1 + x2
En este caso, la integral del lado derecho se resuelve por un cambio de variable,
obteniendo:
∫ 1+ x ∫
x 1 2x 1
dx = dx = ln(1 + x 2 ) + c
2
2 1+ x 2
2
y en consecuencia:
∫
1
arctan x dx = x arctan x − ln(1 + x 2 ) + c
2
15. ∫ sen (x) dx
2
Ejemplo 5. Encuentre
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = senx v = -cosx
du =cos dx dv = senx dx
∫ sen ( x) dx = −senx cos x − ∫ − cos ( x) dx = −senx cos x + ∫ cos ( x) dx
2 2 2
La integral del lado derecho, al parecer tiene el mismo grado de dificultad que la integral
original, incluso es de la misma naturaleza que la original, lo que nos sugiere utilizar de
nuevo el método de integración por partes
u = cosx v = senx
du =-sen dx dv = cos dx
∫ cos ( x) dx = −senx cos x − ∫ − sen ( x) dx = senx cos x + ∫ sen ( x) dx
2 2 2
que al sustituirse nos da:
∫ sen ( x) dx = −senx cos x + ∫ cos ( x) dx = −senx cos x + senx cos x + ∫ sen ( x) dx
2 2 2
obteniendo la identidad
∫ sen ( x) dx = −senx cos x + senx cos x + ∫ sen ( x) dx
2 2
en la que si dejamos en el lado izquierdo las integrales, obtenemos 0 = 0, que no nos ayuda
a encontrar el valor de nuestra integral.
La alternativa en este caso es utilizar la identidad trigonométrica sen2x + cos2x =1
inmediatamente después de la primera integración por partes.
∫ sen ( x) dx = −senx cos x + ∫ cos ( x) dx = −senx cos x + ∫ (1 − sen x) dx
2 2 2
16. ∫ sen ( x) dx = −senx cos x + x − ∫ sen ( x) dx .
2 2
Si bien nos vuelve a aparecer la misma integral, esta vez aparece con distinto signo, lo que
nos permite despejarla, es decir si dejamos del lado izquierdo las integrales, obtendremos:
∫
2 sen 2 ( x) dx = − senx cos x + x .
O bien
x − senx cos x
∫ sen ( x) dx = +c.
2
2
∫ e sen( x) dx
x
Ejemplo 6. Encuentre
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = ex v = -cosx
du = ex dx dv = senx dx
∫ e sen( x) dx = −e ∫
cos x + e x cos x
x x
De nuevo como en el ejemplo anterior, la integral del lado derecho es de la misma
naturaleza y del mismo grado de dificultad, por lo que podríamos intentar utilizar de nuevo
el método de integración por partes.
u = ex v = senx
du = ex dx dv = cosx dx
∫e ∫
cos x dx = e x senx − e x senx dx
x
Sustituyendo, obtenemos:
17. ∫ e senx dx = −e ∫ ∫
cos x + e x cos x = e x senx − e x cos x − e x senx
x x
∫ e senx dx = e senx − e ∫
cos x − e x senx
x x x
de donde podemos despeja a la integral
∫
2 e x senx dx = e x senx − e x cos x
y en consecuencia
e x senx − e x cos x
∫ e x senx dx =
2
+c
A continuación abordaremos unos ejemplos en que, debido a la gran cantidad de
posibilidades debe tenerse un criterio preciso para decidir sobre la elección de u y dv.
∫
2
Ejemplo 7. Encuentre x 3e x dx
Solución. En este tipo de funciones a integrar, hay muchas maneras de expresar al
integrando como un producto:
2 2 2 2
u = x3, dv = e x dx ; u = x2, dv = x e x dx ; u = x, dv = x2 e x dx ; u = 1, dv = x3 e x dx ;
2
u = x3 e x dx , dv = dx, etc.
¿Cuál de estas opciones elegir?
Lo primero que debemos hacer es asegurarnos que en nuestra elección, dv sea una función
fácil de integrar. Si examinamos con detalle las opciones, sólo la opción
2
u = x2, dv = x e x dx cumple con esto ya que dv es fácil integrar por un simple cambio de
variable:
∫ ∫
2 1 2 1 2
v= xe x dx = 2 xe x dx = e x + c
2 2
Así pues el cuadro para la integración por partes será:
1 x2
u = x2 v= e
2
2
du = 2x dx dv = xe x dx
18. ∫ ∫
2 1 2 x2 2 1 2 1 2
x 3e x dx = x e − xe x dx = x 2 e x − e x + c
2 2 2
∫x 6 − 3 x 5 dx
9
Ejemplo 8. Encuentre
Solución. Con un criterio similar al del caso anterior, tomamos la siguiente elección:
3
−2
u=x 5
v= (6 − 3 x 5 ) 2
45
du = 5x4 dx dv = x 4 6 − 3x 5 dx
1 3
−1 − 1 2
donde v =
∫ dv =∫ x 6 − 3x dx =
∫
− 15 x 4 (6 − 3x 5 ) 2 dx = (6 − 3 x 5 ) 2
4 5
15 15 3
3 3
− 2x5
∫x ∫
10 4
9
6 − 3x dx =
5
(6 − 3 x 5 ) 2 + x (6 − 3x 5 ) 2 dx
45 45
3 3
− 2x5 10 − 1
=
45 45 15 ∫
(6 − 3x 5 ) 2 + − 15 x 4 (6 − 3x 5 ) 2 dx
3 5
− 2 x5 2 2
= (6 − 3 x 5 ) 2 − ( 6 − 3 x ) 2 + c
5
45 135 5
Así pues:
− 2 x5 4
∫ x 9 6 − 3 x 5 dx = (6 − 3 x 5 ) 3 − (6 − 3 x ) + c
5 5
45 675
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19. Integrales de funciones trigonométricas
A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones
trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución
trigonométrica.
∫ sen x dx ∫ cos x dx
n n
I. Potencias de senos y cosenos
Para resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos:
a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo
senn x dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dx
Utilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx.
De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable
u= senx.
b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo
senn x = sen2k x = (sen2 x)k
ó en el caso del coseno
cosn x = cos2k x = (cos2 x)k
y utilizamos las identidades trigonométricas:
1 − cos(2 x) 1 + cos(2 x)
sen 2 x = ó cos 2 x =
2 2
∫ sen x dx
3
Ejemplo 1. Resolver
Solución:
∫ sen x dx = ∫ sen x senx dx = ∫ (1 − cos
3 2 2
x ) senx dx
20. sea u = cosx, entonces du = -senx, y al sustituir en la integral obtenemos:
u3 cos 3 x
∫ sen 3 x dx =
∫ ∫
(1 − cos 2 x) senx dx = − (1 − u 2 ) du =
3
−u +c =
3
− cos x + c
∫ cos x dx
5
Ejemplo 2. Resolver
Solución:
2 2
∫ cos 5 x dx =
∫ (cos 2 x) cos x dx =
∫ (1 − sen 2 x) cos x dx
sea u = senx, entonces du = cosx, y al sustituir en la integral obtenemos:
2
2u 3 u 5 2 sen 3 x sen 5 x
∫ ∫
cos 5 x dx = (1 − u 2 ) du =
∫ (1 − 2u 2 + u 4 )du = u −
3
+
5
+ c = senx −
3
+
5
+c
∫ sen x dx
4
Ejemplo 3. Resolver
Solución:
1 − cos( 2 x)
2
∫ sen x dx = ∫ ∫ ∫
1
4
( sen x) dx = (
2 2
) dx = (1 − 2 cos(2 x) + cos 2 ( 2 x )) dx
2 4
∫ ∫ ∫
1 1 1
= dx − cos( 2 x) dx + cos 2 ( 2 x ) dx
4 2 4
∫ sen
m
II. Productos de potencias de senos y cosenos x cos n x dx .
a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x
sen 2 x = y cos 2 x =
2 2
b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen2x + cos2x = 1
∫ tan
m
II. Productos de potencias de tangentes y secantes x sec n x dx .
a) Si n es par, utilizamos la identidad: sec2x = 1 + tan2x.
21. b) Si m es impar, utilizamos la identidad: tan2x = sec2x- 1.
c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como por ejemplo integración
por partes.
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El Método de Sustitución Trigonométrica
Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto
tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas,
como por ejemplo nuestra conocida fórmula:
∫
1
dx = arcsenx + c
1− x2
la cual "resolveremos" con el fin de motivar el uso del método.
Observe que si tomamos el cambio de variable
x = senθ donde -π/2 < θ < π/2 pues -1 < x < 1
y en consecuencia dx = cosθ dθ y
1 − x 2 = 1 − sen 2θ = cos 2 θ = cos θ = cos θ
pues cosθ > 0 en el intervalo -π/2<θ<π/2
Sustituyendo x en términos de θ, obtenemos una integral en la variable θ, la cual
resolvemos fácilmente y del cambio de variable la expresamos en términos de x.
∫ ∫ cosθ cosθ dθ = ∫ dθ = θ + c = arcsenx + c
1 1
dx =
1− x 2
Como podemos apreciar, al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolver
una integral trigonométrica, como las que se resolvieron en la sección anterior.
Primer caso.
Si en el integrando aparece un radical de la forma a 2 − x 2 tomamos el cambio de
variable
22. x = a senθ, con a > 0.
Como se apreció anteriormente, la variación de x en el intervalo (-a, a) se corresponde con
la variación de θ en el intervalo (-π/2 , π/2)
En este primer caso la expresión del radical en términos de θ será:
a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sen 2θ = a 2 (1 − sen 2θ ) = a cos 2 θ = a cos θ = a cos θ
esta última igualdad pues cosθ > 0 en el intervalo (-π/2 , π/2)
También del cambio de variable obtenemos el valor de
θ = arcsenx,
pues la función inversa de f(x) = senx se encuentra definida precisamente en el intervalo
(-a,a) y con valores en (-π/2, π/2).
Ejemplo 1. Encuentre el área del círculo de radio 2.
Solución. La ecuación de la circunferencia de radio 2 y centro en le origen es:
x2 + y2 = 4
cuya gráfica es:
-2 2
Evidentemente esta gráfica no corresponde a una función, pero podemos restringirnos al
intervalo [0, 2], calcular el área bajo la grafica y multiplicarla por 4 para obtener el área
deseada.
23. La función de la figura la obtenemos despejando a y en términos de x, en la ecuación de la
circunferencia:
y = 4 − x2
Así pues el área buscada será:
2
A=4
∫ 0
4 − x 2 dx
Primeramente encontraremos
∫ 4 − x 2 dx
En esta integral, tomamos el cambio de variable trigonométrico
x = 2senθ por lo cual dx = 2cosθ dθ y 4 − x 2 = 2 cos θ .
sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando,
obtenemos:
∫ ∫ ∫
4
4 − x 2 dx = ( 2 cosθ )(2 cosθ ) dθ = 4 cos 2 θ dθ = (θ + senθ cosθ ) + c
2
Del cambio de variable x = 2senθ obtenemos que senθ = x/2, es decir, θ = arcsen(x/2).
Asimismo del cambio de variable, podemos construir el triángulo:
2
x
θ
4 − x2
24. 4 − x2
En este caso particular senθ = x/2 y cosθ = .
2
Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ, la expresamos en términos de la
variable original, x.
x 4 − x2
∫
4
4 − x 2 dx = (θ + senθ cos θ ) + c = 2(arcsenθ + )+c
2 4
x 4 − x2
∫ 4 − x 2 dx = 2arcsenθ +
2
+c
Calculemos ahora la integral definida
2
2 4 − 22 0 4 − 02
∫0
4 − x 2 dx = 2arcsen(1) +
2
− 2arcsen(0) +
2
= 2arcsen1 = 2(π / 2) = π
y finalmente el área será:
2
A=4
∫
0
4 − x 2 dx = 4π
∫x
dx
Ejemplo 2. Encuentre
9 − x2
Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico:
x = 3senθ por lo cual dx = 3cosθ dθ y 9 − x 2 = 3 cos θ .
sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando,
obtenemos:
3 cosθ
∫x ∫ ∫ ∫
dx 1 1 1 1
= dθ = dθ = cscθdθ = ln cscθ − cot θ + c
9 − x2 (3senθ )(3 cosθ ) 3 senθ 3 3
Del cambio de variable x = 3senθ obtenemos que senθ = x/3, y , podemos construir el
triángulo:
3
x
θ
9 − x2
25. A partir del cual podemos encontrar cualquier función trigonométrica de θ.
9 − x2
En este caso particular cscθ = 3/x y cotθ = .
3
Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ, la expresamos en términos de la
variable original, x.
9 − x2
∫
dx 1 1 3
= ln csc θ − cot θ + c = ln − +c
x 9 − x2 3 3 x x
9 − x2
∫
dx 1 3
= ln − +c
x 9 − x2 3 x x
∫
x dx
Ejemplo 3. Encuentre
16 − x 2
Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico:
x = 4senθ por lo cual dx = 4cosθ dθ y 16 − x 2 = 4 cos θ .
sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando,
obtenemos:
(4senθ )(4 cosθ )
∫ ∫ ∫
x dx
= dθ = 4 senθ dθ = − 4 cosθ + c
16 − x 2 (4 cosθ )
Del cambio de variable x = 4senθ obtenemos que senθ = x/4, y , podemos construir el
triángulo:
4
x
θ
16 − x 2
26. 16 − x 2
Y a partir de él calcular cosθ = .
4
Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ , la expresamos en términos de la
variable original, x.
16 − x 2
+ c = 16 − x + c
2
∫
x dx
= − 4 cos θ + c = −4
16 − x 2 4 4
Observación: Esta integral puede resolverse también con un sencillo cambio de variable
algebraico u = 16 - x2. Compruebe este resultado como ejercicio.
x 3 dx
Ejemplo 4. Encuentre
∫ 4 − 9x2
Solución. Nótese que para verlo como una integral del primer caso, debemos hacer un
cambio de variable ó sencillamente factorizar el 9 en el radical:
4 − 9 x 2 = 9( 4 / 9 − x 2 ) = 3 4 / 9 − x 2 .
A continuación tomamos el cambio de variable:
2 2 2
x= senθ por lo cual dx = cosθ dθ y 4 / 9 − x2 = cos θ .
3 3 3
sustituyendo en la integral original, obtenemos:
2 2
3 ( senθ ) 3 ( cosθ )
8 1
∫ ∫ ∫
x dx 1 3 3 8
= dθ = sen 3θ dθ = cos 3 θ − cosθ + c
4 − 9x 2 3 2
( cosθ ) 81 81 3
3
2 3x
Del cambio de variable x = senθ , obtenemos que senθ = , y podemos construir el
3 2
triángulo:
2
3x
θ
4 − 9x 2
27. 4 − 9x2
Y a partir de él, calcular cosθ = .
2
Finalmente:
3
x 3 dx 8 1 8 4 − 9x2
− 8 4 − 9x
2
∫ = cos θ − cos θ + c = +c
3
4 − 9x 2 81 3 243
2 81
2
Segundo caso.
Si en el integrando aparece un radical de la forma a 2 + x 2 tomamos el cambio de
variable
x = a tanθ, con a > 0.
En este tipo de radicales la variación de x es en toda la recta real, razón por la cual se toma
a la tangente, la cual varía tiene esta misma variación en el intervalo (-π/2 , π/2)
En este segundo caso la expresión del radical en términos de θ será:
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 (1 + tan 2 θ ) = a sec 2 θ = a sec θ = a sec θ
y al igual que en el caso anterior como cosθ > 0 en el intervalo (-π/2 , π/2), también lo será
secθ.
También del cambio de variable obtenemos el valor de
θ = arctanx.
Pues la inversa de la función f(x) = tanx se encuentra definida en todos los reales y con
valores en (-π/2 , π/2)
Ejemplo 5. Encuentre
∫ 2 + x 2 dx
Solución. Tomamos el cambio de variable:
x = 2 tan θ por lo cual dx = 2 sec 2 θ dθ y 2 + x 2 = 2 sec θ .
sustituyendo en la integral original, obtenemos:
28. ∫ ∫ ∫
2 + x 2 dx = ( 2 secθ )( 2 sec 2 θ )dθ = 2 sec 3 θ dθ = 2(secθ tan θ + ln secθ + tan θ + c
x
Del cambio de variable x = 2 tan θ , obtenemos que tanθ = , y podemos construir el
2
triángulo:
2 + x2 x
θ
2
2 + x2 x
Y a partir de él calcular secθ = y tan θ = , que al sustituir en la integral
2 2
obtenemos:
x 2 + x2
+ 2 ln x + 2 + x
2
∫ 2 + x dx == 2(sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ ) + c = 2 +c
2
2 2
En general el método de sustitución trigonométrica se utiliza cuando aparece un radical de
las formas señaladas en los casos, lo cual no significa que debe aparecer solo (elevado a la
potencia 1). En el siguiente ejemplo calcularemos una integral en la que el radical aparece
elevado al cubo.
∫
dx
Ejemplo 6. Encuentre
(1 + x 2 ) 3
Solución. Tomamos el cambio de variable:
x = tan θ por lo cual dx = sec 2 θ dθ y (1 + x )
2 3
= ( 1 + x ) = sec θ .
2
3
3
sustituyendo en la integral original, obtenemos:
sec 2 θ dθ
∫ ∫ ∫
dx
= = cosθ dθ = senθ + c
(1 + x 2 ) 3 sec 3 θ
Del cambio de variable x = tanθ , podemos construir el triángulo:
x
1+ x2
29. θ
1
x
a partir del cual calculamos senθ = .
1 + x2
∫
dx x
= senθ + c = +c
(1 + x ) 2 3
1 + x2
A continuación encontraremos la integral de una función en la que no aparece
explícitamente el radical.
∫ (1 + x )
2 −2
Ejemplo 7. Encuentre dx
Solución. Obsérvese que el integrando lo podemos expresar como
1 1
(1 + x 2 ) −2 = =
(1 + x 2 ) 2 ( 1+ x ) 2
4
Tomamos el cambio de variable:
x = tan θ por lo cual dx = sec 2 θ dθ y ( 1 + x ) = sec θ .
2
4
4
sustituyendo en la integral original, obtenemos:
sec 2 θ dθ
∫ (1 + x ) ∫ ∫ ∫
2 −2 dx 1
dx = = = cos 2 θ dθ = (θ + senθ cos θ) + c
(1 + x ) 2 4 sec θ 4
2
Del cambio de variable x = tanθ , construimos el triángulo:
x
1+ x2
θ
1
x 1
a partir del cual calculamos senθ = y cosθ = .
1+ x 2
1 + x2
Obteniendo finalmente:
30. ∫
1 1 x
(1 + x 2 ) −2 dx = (θ + senθ cos θ ) + c = (arctan x + )+c
2 2 1 + x2
Tercer caso.
Si en el integrando aparece un radical de la forma x 2 − a 2 tomamos el cambio de
variable x = a secθ, con a > 0.
En este tipo de radicales la variación de x es en (-∞, -a)∪(a, ∞), razón por la cual se toma
x = asecθ, la cual tiene esta misma variación en (0, π/2) ∪( π/2, π), justamente donde la
función secante tiene inversa.
En este tercer caso la expresión del radical en términos de θ será:
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 θ − a 2 = a 2 (sec 2 θ − 1) = a tan 2 θ = a tan θ
solamente que en este dominio, la tangente toma valores positivos y negativos, por lo que
no podemos quitar impunemente el valor absoluto.
Para resolver este conflicto, asociaremos las variaciones de x y de θ, de la siguiente manera:
x > k ⇔ 0 < θ < π/2
x < -a ⇔ π < θ < 3π/2
siendo la función tangente, positiva en estos intervalos para poder tomar
x 2 − a 2 = a tan θ
tomaremos el valor de θ de la siguiente manera:
x
θ = arc sec si x > a
a
x
θ = 2π − arc sec si x < − a
a
31. ∫
dx
Como ejercicio, encuentre .
x2 − 9
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El Método de las Fracciones Parciales
Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de
polinomios)
A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:
x2 + x + 3
.
∫ x−2
dx.
Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que
disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:
x+3
2
x-2 x +x+3
-x2 + 2x
3x + 3
-3x + 6
9
Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:
x2 + x + 3 = (x - 2 ) ( x + 3 ) + 9
Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar,
dividimos en ambos lados entre ( x - 2 ):
32. x2 + x + 3 9
= ( x + 3) +
x−2 x−2
descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones
"sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.
x2 + x + 3 x2
∫ ∫ ∫
9
dx = ( x + 3) dx + dx = + 3 x + 9 ln x − 2 + c
x−2 x−2 2
P( x)
En general si queremos integrar un cociente de polinomios en el que el grado de P(x)
Q( x)
es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando el
algoritmo de la división
q(x)
Q(x) P(x)
r(x)
Donde r(x) = 0 ó grad r(x) < grad Q(x)
P(x) = Q(x) q(x) + r(x)
Dividiendo entre Q(x), obtenemos:
P( x) r ( x)
= q ( x) +
Q( x) Q( x)
en donde la integral buscada,
∫ Q( x) dx = ∫ q( x) dx + ∫ Q( x) dx
P( x) r ( x)
con gr r ( x) < gr Q( x)
se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en
la cual el numerados tiene grado menos que el denominador.
A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en
las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una
suma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar.
Primer caso.
33. [Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas]
Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:
Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3)... (x - an),
hacemos la siguiente descomposición:
P ( x) A1 A2 A3 An
= + + + ... +
Q( x) x − a1 x − a 2 x − a3 x − an
donde A1, A2, A3,... An son constantes reales.
Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:
Ak
∫ x − ak
dx = ln x − a k + c
y por lo tanto:
A1 A2 A3 An
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
P ( x)
dx = dx + dx + dx + ... + dx
Q( x) x − a1 x − a2 x − a3 x − an
∫ Q( x) dx = ln x − a
P ( x)
1 + ln x − a 2 + ln x − a3 + ... + ln x − a n + c
∫x
dx
Ejemplo 1. Calcular 2
−16
Solución: En este ejemplo Q(x) = x2 -16 = (x-4) (x+4).
La descomposición en fracciones parciales sería:
1 A B
= + ,
x − 16 x + 4 x − 4
2
en la que bastará determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral.
Procederemos a la determinación de las constantes, efectuando la suma del lado derecho:
1 A( x − 4) + B( x + 4) Ax − 4 A + Bx + 4 B x( A + B) + (4 B − 4 A)
= = = ,
x − 16
2
( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4)
34. Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismo
denominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir:
1 = x(A+B) + (4B-4A)
o bien
0x +1 = x(A+B) + (4B-4A)
de donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
A+B = 0
4B -4A = 1
que resolviéndolo nos queda
4A+4B = 0
4B -4A = 1
8B = 1
por lo que B = 1/8, y sustituyendo en la primera ecuación, A = -B = -1/8.
Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la descomposición
inicial, obteniendo:
1 A B 1/ 8 1/ 8
= + = − ,
x − 16 x + 4 x − 4 x + 4 x − 4
2
quedando finalmente la integración:
∫ ∫ ∫
dx 1/ 8 1/ 8 1 1
= dx − dx = ln x + 4 − ln x − 4 + c
x − 16
2
x+4 x−4 8 8
o bien , utilizando las propiedades de los logaritmos:
1 x+4
∫x
dx
= ln +c
2
− 16 8 x − 4
Observación: Esta integral es un caso particular de la fórmula presentada sin demostración
en el método de cambio de variable
35. a−u
∫
du 1
= ln +c
a −u
2 2
2a a + u
la cual puede ahora probarse con el método de fracciones parciales como un ejercicio.
x+2
Ejemplo 2. Calcular
∫x 2
− 2 x − 15
dx
Solución: En este ejemplo, Q(x) = x2 -2x - 15 = (x-5) (x+3).
La descomposición en fracciones parciales sería:
x+2 A B
= + ,
x − 2 x − 15 x − 5 x + 3
2
y siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior
x+2 A B A( x + 3) + B( x − 5) x( A + B) + (3 A − 5B)
= + = = ,
x − 2 x − 15 x − 5 x + 3
2
( x − 5)( x + 3) ( x − 5)( x + 3)
igualando coeficientes, obtenemos el sistema:
A+B=1
3A -5B = 2
que al resolverlo nos da:
5A + 5B = 5
3A -5B = 2
8A = 7
obteniendo el valor de A = 7/8.
Para encontrar B, la despejamos en la primera ecuación
B = 1 - A = 1 - 7/8 = 1/8
Así pues, la descomposición en fracciones parciales es:
x+2 7 / 8 1/ 8
= + ,
x − 2 x − 15 x − 5 x + 3
2
36. y nuestra integral:
x+2
∫ ∫ ∫
7/8 1/ 8 7 1
dx = dx + dx = ln x − 5 + ln x + 3 + c
x − 2 x − 15
2
x−5 x+3 8 8
Observación: En cada uno de los casos de este método se afirma que se puede dar una
descomposición en fracciones parciales, lo cual es un resultado del álgebra y que por lo
tanto debería probarse algebraicamente, ya que podría surgir la duda de que en una de estas
descomposiciones se produjera un sistema de ecuaciones sin solución. No daremos aquí la
demostración pero veremos que por lo menos en el primer caso siempre será posible
encontrar las constantes, es decir los sistemas resultantes si tendrán solución.
Otro método para determinar las constantes:
Tratemos de "despejar" la constante A de la descomposición deseada:
Multiplicamos en ambos lados de la ecuación por (x-5)
x+2 A B
= +
( x − 5)( x + 3) x − 5 x + 3
obteniendo:
x+2 B ( x − 5)
= A+
x+3 x+3
despejamos a la constante A
x + 2 B ( x − 5)
A= −
x+3 x+3
evaluamos en x = 5 y obtenemos
A =7/8
Obsérvese que estos pasos para determinar A se pueden comprimir en uno solo:
Determinando las constantes por otro método: De la expresión a descomponer en
fracciones parciales, se elimina del denominador el factor lineal correspondiente a esta
constante y finalmente se evalúa en el punto donde este factor eliminado se anula.
x+2
Es decir A = evaluado en x = 5 , resultando A = 7/8.
x+3
37. Similarmente para obtener el valor de B, multiplicamos en ambos lados de la ecuación
original por (x+3), despejamos B y evaluamos en x = -3, obteniendo:
x+2
B= evaluado en x = -3
x−5
B = 1/8.
2 x 2 − 3x + 1
Ejemplo 3. Calcular
∫ x 3 − 6x 2 + 8x
dx
Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -6x2 + 8x = x(x-4)(x-2).
La descomposición en fracciones parciales sería:
2 x 2 − 3x + 1 A B C
= + + ,
x( x − 4)( x − 2) x x − 4 x − 2
siendo los valores de las constantes:
2 x 2 − 3x + 1
A= evaluado en x = 0 ⇒ A = 1/8
( x − 4)( x − 2)
2 x 2 − 3x + 1
B= evaluado en x = 4 ⇒ B = 21/8
x( x − 2)
2 x 2 − 3x + 1
C= evaluado en x = 2 ⇒ C = -3/4
x( x − 4)
Así pues
2 x 2 − 3x + 1
∫ ∫ ∫ ∫
1 dx 21 dx 3 dx
dx = + −
x − 6 x + 8x
3 2
8 x 8 x−4 4 x−2
es decir:
2 x 2 − 3x + 1
∫
1 21 3
dx = ln x + ln x − 4 − ln x − 2 + c
x − 6x + 8x
3 2
8 8 4
Segundo caso.
38. [Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas]
Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente
distintos, es decir:
Q( x) = ( x − a1 ) m1 ( x − a2 ) m2 ( x − a3 ) m3 ...( x − a n ) mn
Por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este
factor, por ejemplo para el factor (x-ak)mk habrá mk fracciones parciales:
A1 A2 Amk
+ + ... +
( x − a k ) ( x − ak ) 2 ( x − ak ) mk
donde A1, A2, A3,... Amk son constantes reales.
De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se
reduce a calcular integrales de la forma:
∫ ( x − a)
dx
n
las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.
3x + 8
Ejemplo 4. Calcular
∫x 3
− 4x 2 + 4x
dx
Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -4x2 + 4x = x(x - 2)2.
La descomposición en fracciones parciales sería:
3x + 8 A B C
= + +
x( x − 2) 2
x x − 2 ( x − 2)2
Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, como en los ejemplos anteriores,
obtendremos las constantes de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si
observamos con detalle la igualdad anterior nos daremos cuenta que la constante B no
puede determinarse por el método "corto", pero sí las otras dos, es decir del sistema de tres
por tres ya habremos determinado dos de las incógnitas y de cualquiera de las ecuaciones
en que aparezca B la despejamos.
3x + 8
A= evaluado en x = 0 nos da A = 2
( x − 2) 2
39. 3x + 8
C= evaluado en x = 2 nos da C = 7
x
Efectuando las operaciones y factorizando x2 y x, tenemos:
3x + 8 A B C x 2 ( A + B ) + x(−4 A − 2 B + C ) + 4 A
= + + = ... =
x( x − 2) 2 x x − 2 ( x − 2)2 x( x − 2) 2
igualando los coeficientes de los numeradores, obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones:
A+B = 0
-4A -2 B + C = 3
4A = 8
Como sólo falta determinar la constante B, la despejamos de la primera ecuación,
obteniendo B = -2.
Sustituyendo e integrando:
3x + 8 −2
∫ x( x − 2) ∫ x dx + ∫ x − 2 dx + ∫ (x − 2)
2 7
2
dx = 2
dx
3x + 8
∫ x ( x − 2)
7
dx = 2 ln x − 2 ln x − 2 − +c
2
x−2
x +8
Ejemplo 5. Calcular
∫ x 6 − 2x 4 + x 2
dx
Solución: En este ejemplo, Q(x) = x6 -2x4 + x2 = x2(x4 -2x2 + 1) = x2(x2 -1)2
Q(x) = x2(x +1)2(x +1)2
La descomposición en fracciones parciales sería:
x+8 A B C D E F
= + 2 + + + +
x ( x + 1) ( x − 1)
2 2 2
x x x + 1 ( x + 1) 2
x − 1 ( x − 1)2
Por el método corto podemos fácilmente encontrar que B = 8, D = 7/4 y F = 9/4.
40. Para determinar el resto de las constantes tenemos que plantear el sistema de ecuaciones:
x+8 A( x 5 − 2 x 3 + x) + B( x 4 − 2 x 2 + 1) + C ( x 5 − x 4 − x 3 + x 2 )
= +
x 2 ( x 2 − 1) 2 x 2 ( x 2 − 1) 2
D( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) + E ( x 5 + x 4 − x 3 − x 2 ) + F ( x 4 + 2 x 3 + x 2 )
+
x 2 ( x 2 − 1) 2
conduciéndonos al siguiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas
A+C+E=0
B-C+D+E+F=0
-2A - C + 2D - E + 2F = 0
-2B + C + D - E + F = 0
A=1
B=8
Como ya tenemos los valores A = 1, B = 8, D = 7/4 y F = 9/4, sustituyéndolos en las
primeras dos ecuaciones, encontraremos los valores de C y E resolviendo el sistema:
C + E = -1
-C + E = -12
cuya solución es C = 11/2 y E = -13/2.
El valor de la integral, entonces será:
x+8
∫x
8 11 13 9
dx = ln x − + ln x + 1 − ln x − 1 − +c
6
− 2x + x
4 2
x 2 2 4( x − 1)
Tercer caso.
[Q(x) tiene raíces complejas distintas]
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma
ax2 + bx + c con b2 - 4ac < 0
41. a cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma
Ax + B
ax + bx + c
2
donde A y B son constantes reales.
3x + 1
Ejemplo 6. Calcular
∫x 3
+ 2x 2 + 5x
dx
Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 +2x2 + 5x = x(x2 +2x + 5)
Con b2 - 4ac = 4-20 = -16 < 0
La descomposición en fracciones parciales sería:
3x + 1 A Bx + C A( x 2 + 2 x + 5) + x( Bx + C )
= + =
x( x 2 + 2 x + 5) x x 2 + 2 x + 5 x( x 2 + 2 x + 5)
el sistema a resolver:
A+B=0
2A + C = 3
5A = 1
y la solución: A = 1/5, B = -1/5 y C = 13/5
1
(2 x + 2) − 13 − 1
3x + 1 x − 13
∫x ∫ x −5∫ x ∫ x −5∫
1 dx 1 1 dx 1 2
dx = dx = dx =
3
+ 2 x + 5x
2
5 2
+ 2x + 5 5 x 2 + 2x + 5
( 2 x + 2)
∫x ∫x
1 1 14 dx
= ln x − dx + =
5 10 2
+ 2x + 5 5 2
+ 2x + 5
∫
1 1 14 dx
= ln x − ln x 2 + 2 x + 5 + =
5 10 5 ( x + 1) 2 + 4
1 1 14 1 x + 1
= ln x − ln x 2 + 2 x + 5 + arctan
2 + c
5 10 5 2
42. Cuarto caso.
[Q(x) tiene raíces complejas repetidas]
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos repetidos de la
forma
(ax2 + bx + c)n con b2 - 4ac < 0
a cada uno de estos factores le corresponderán n fracciones parciales de la forma
A1 x + B1 A2 x + B2 An x + Bn
+ + ... +
ax + bx + c
2
( ax + bx + c)
2 2
(ax 2 + bx + c ) n
donde Ak y Bk son constantes reales para k = 1,2 ... n.
x2
Ejemplo 7. Calcular
∫ x 4 + 2x 2 + 1
dx
Solución: En este ejemplo, Q(x) = x4 +2x2 + 1 = (x2 +1)2
Con b2 - 4ac < 0
La descomposición en fracciones parciales sería:
x2 Ax + B Cx + D Ax 3 + Bx 2 + Ax + B + Cx + D
= + =
( x 2 + 1) 2 x2 +1 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2
planteándose el sistema de ecuaciones:
A=0
B=1
A+C=0
B+D=0
Con solución A = 0, B = 1, C = 0 y D = -1
Así pues la integral
43. x2
∫x ∫x ∫ (x
dx dx
dx = −
4
+ 2x + 1
2 2
+1 2
+ 1) 2
donde la primera integral es la inversa de la tangente y la segunda se resuelve mediante el
segundo caso de sustitución trigonométrica.
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