El documento describe cómo encontrar el vértice C de un triángulo ABC de manera que maximice su área, donde A(1,4) y B(3,0) se encuentran en una elipse dada. Se deriva la función de área respecto a x para encontrar los puntos críticos, los cuales son (√6,√6) y (√6,-√6). Evaluando la función de área en estos puntos, se determina que el área máxima ocurre cuando C=(√6,-√6).

1. OPTIMIZACIÓN APLICANDO LA DERIVADA
Ejercicio: Dados los puntos A(1; 4) y B = (3; 0) en la elipse 2x2
+y2
= 18;
hallar un tercer vértice C tal que el área del triángulo ABC sea máxima
RESOLUCIÓN:(Por WhatsMath)
Sea C(x; y) el punto buscado. Luego el área del triángulo es dada por:
S(x; y) =
1
2
3 0
1 4
x y
3 0
=
1
2
[12 + y + 0 (0 + 4x + 3y)]
=
1
2
[12 4x 2y] = 6 2x y
De la ecuación de la elipse despejemos la variable y:
2x2
+ y2
= 18 ! y =
p
18 2x2
Reemplazando x =
p
18 2x2 en S(x; y) :
S(x; y) = 6 2x
p
18 2x2
1

2. Derivamos respecto a la variable x y hallamos los puntos críticos.
0 = S0
(x; y)
0 =
d (S(x; y))
dx
=
d 6 2x
p
18 2x2
dx
0 = 2
1
2
( 4x)
p
18 2x2
0 =
2x
p
18 2x2
2
2 =
2x
p
18 2x2
p
18 2x2 = x
18 2x2
= x2
18 = 3x2
6 = x2
! x =
p
6
Reemplazando obtenemos la otra coordenada:
y2
= 18 2(
p
6)2
= 18 12
= 6 ! y =
p
6
Luego los puntos críticos son:
C1(
p
6;
p
6); C2(
p
6;
p
6); C3(
p
6;
p
6); C4(
p
6;
p
6)
Sabemos que los valores máximos y mínimos de una función se obtiene evalu-
ando dicha función en los puntos críticos, luego por simple inspección calculamos
los valores críticos:
SC1=S(
p
6;
p
6) = 6 2
p
6
p
6 = 6 3
p
6
SC2=S(
p
6;
p
6) = 6 2
p
6
p
6 = 6
p
6
SC3=S(
p
6;
p
6) = 6 2
p
6
p
6 = 6 +
p
6
SC4=S(
p
6;
p
6) = 6 2
p
6
p
6 = 6 + 3
p
6
Vemos que el valor máximo ocurre en C4(
p
6;
p
6)
2