Este documento resume la historia del concepto de límite matemático desde su formulación inicial en el siglo XVII hasta su definición formal en el siglo XIX. Explica cómo Wallis, Cauchy y Weierstrass contribuyeron a definir el concepto con mayor precisión hasta llegar a la definición actual utilizando épsilon y delta. También introduce la definición de límites en el infinito y concluye resaltando la importancia del concepto de límite para el desarrollo del cálculo infinitesimal.

1. LIMITES
CONCEPCION DEL
CONCEPTO

2. INTRODUCCION
• En este ensayo trataré de resumir la historia
de una concepción abstracta de difícil
comprensión que ha sido de gran utilidad
para el desarrollo del cálculo infinitesimal, se
trata del concepto de límite matemático y de
sus variantes

3. Historia del concepto de límite
• Han sido tres siglos
los necesarios para
llegar a estas
definiciones desde
que John Wallis
(1616-1703)
formulase la que es
aceptada como la
primera en el siglo
John Wallis (1616-1703) XVII.

4. Historia del concepto de límite
• Habría que esperar hasta el año
1821 cuando apareció el texto
Cours d’analyse algébrique escrito
por Louis Cauchy, en su obra
Cauchy definía el límite de una
función de la siguiente forma:
“Cuando los valores atribuidos
sucesivamente a una variable se
aproximan indefinidamente a un
valor fijo para llegar por último a
diferir de este valor en una cantidad
tan pequeña como se desee,
entonces dicho valor fijo recibe el
nombre de límite de todos los
Louis Cauchy(1789 –1857) demás valores.”

5. Historia del concepto de límite
• Tendrían que pasar aún
unos treinta años para que
el riguroso alemán Karl
Weierstrass viniese a
rematar la faena del
delicado concepto de
límite, con la ayuda de sus
épsilon y delta, que no son
más que números reales,
muy pequeños y muy
próximos a cero, y que
tanto éxito le dieron.
Weierstrass, Karl (1815-1897)

6. La definición formal del límite.
• “El límite de una función , cuando x tiende a c es L si
y sólo si para todo épsilon existe un delta tal que
para todo número real x en el dominio de la función
si cero es menor que el valor absoluto de x-c y este
es menor al delta entonces el valor absoluto de f(x)-L
es menor a épsilon.”
• Esto, escrito en notación formal:

7. La definición formal del límite.
• Lo importante es comprender que el formalismo
no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la
precisión con la que queda definido el concepto
de límite.
• Esta notación es tremendamente poderosa, pues,
nos dice que si el límite existe, entonces se puede
estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra
estar lo suficientemente cerca, entonces la
elección del δ no era adecuada. La definición
asegura que si el límite existe, entonces es
posible encontrar tal δ.

8. Introducción de la definición de límites
en el infinito
• Consideramos la función f definida por:
• Vamos a determinar el comportamiento de la
función cuando x tiende a 2, cuando x tiende a
más infinito y cuando x tiende a menos
infinito .

9. Para ellos usaremos las siguientes tablas
a. X 3 2.5 2.3 2.25 2.1 2.01 2.001 2.00001
1 2 3.33 4 10 100 1000 10000
En este caso, cuando x tiende a 2 por la derecha , la función tiende a
tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como:
, es decir
b. X 1 1.5 1.6 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999
-1 -2 -2.5 -4 -10 -100 -1000 -10000
En este caso, cuando x tiende a 2 por la izquierda , la función tiende a
tomar valores negativos cada vez menores. Esto podemos escribirlo como:
, es decir

10. c. X 4 5 8 10 100 1000
0.5 0.33 0.16 0.125 0.0125 0.001002
Ahora observe que es x la que tiende a tomar valores positivos cada vez
mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos
a cero.
Así , o sea, .
d. X -3 -5 -8 -10 -100 -1000
-0.2 -0.142 -0.1 -0.083 -0.0098 -0.000998
En forma similar a la tabla anterior se tiene que
es decir,

11. Podríamos decir:
a) c)
b) d)
• Pero estos valores y equivalencias a pesar de que sea
demostrado con las tablas anteriores que son
verdaderas, en la definición formal no tienen sentido
ya que “infinito” es una noción mas no un numero real
por lo que no se pueden realizar operaciones
aritméticas con él. Así que se tuvo la necesidad de
desarrollar su propia definición y se desarrollo de tal
forma que cada caso tiene su propia definición.

12. • Caso 1: cuando x tiende a una constante y a más
infinito
• “El límite de cuando x tiende a c es infinito positivo,
si y solo si para cualquier número positivo A (tan
grande como se quiera), podemos encontrar un
número tal que, para todos los x dentro del entorno
reducido de c de radio δ se cumple que es mayor que
A. “
• En otras palabras, si para cualquier número positivo A
que consideremos, existe un entorno reducido de c
donde la función vale más que A, quiere decir que
puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de
que x se acerque lo suficiente a c. Por eso se dice que
el límite de cuando x tiende a c es .

13. • Caso 2: cuando x tiende a una constante y a
menos infinito
• Caso 3: cuando x tiende a más infinito y a más
infinito
• Para cualquier número positivo A (por grande que
sea), es posible encontrar un número positivo B
tal que para todos los mayores que B, es mayor
que A. Es decir que puede ser mayor que
cualquier número, si es lo suficientemente
grande.

14. • Caso 4: cuando x tiende a más infinito y a menos
infinito
• Caso 5: cuando x tiende a menos infinito y a más
infinito
• Caso 6: cuando x tiende a menos infinito y a menos
infinito

15. • Caso 7: cuando x tiende a más infinito y a una
constante
• Caso 8: cuando x tiende a menos infinito y a una
constante

16. • Así de esta forma se tienen cubiertos todas las
posibilidades con respecto a los valores que
puedan tomar las incógnitas y los valores
resultantes de las funciones y por ende de los
límites posibles también, de esta forma
también permite el calcular aunque
parcialmente limites en puntos donde la
función misma esta indefinida (con limites
laterales) y el utilizar las mismas definiciones
de límites en y hacia el infinito para otros
propósitos y en otras materias.

17. Conclusión
• En conclusión el hecho de haber podido definir
correctamente lo que es el límite, establecer sus
variaciones y definirlas correctamente permitió
crear las bases de un concepto maestro en el
cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual
imprescindible para poder definir los conceptos
fundamentales de convergencia, continuidad,
derivación e integración, entre otros.
• Y así el calculo avanzó, dando lugar a su uso no
solo teórico sino también practico impulsando la
generación de conocimiento.