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Limite
- 1. Límites Límite de lavariable independiente Definición de límite de la variable independiente “c”: constante “x”: variable independiente "δ": un valor positivo y tan pequeño como se quiera En símbolos: x c δ δ c +δ c -δ x-c limx = c Û x -c <d
- 2. Límites Límite de lafunción Definición de límite de la función “L”: constante “f(x)”: función “ε": un valor positivo y tan pequeño como se quiera En símbolos: lim f (x) = L Û f (x)- L <eÙ x -c <d L+ε L-ε f(x)
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- 4. Límites Límites laterales Lim x®a + f(x) = Limx®a- f (x) = límite lateral derecho ( es el límite de la función cuando “x” se acerca a “a” desde la derecha o por valores mayores que “a”) límite lateral izquierdo( es el límite de la función cuando “x” se acerca a “a” desde la izquierda o por valores menores que “a”)
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- 6. Límites Límites laterales Lim x®a + f(x) = existe Limx®a- f (x) = existe Limx®a+ f (x) = Limx®a- f (x) Para que una función tenga límites se deben cumplir dos condiciones:
- 7. Límites Límites laterales Ejemplos: Limx®2- f(x) = 0 Limx®2+ f (x) = 4 Limx®4- f (x) = 6 Limx®4+ f (x) = 6 Sí existe el límite NO existe el límite
- 8. Límites Límites laterales Ejemplos: Limx®2- f(x) = 2 Limx®2+ f (x) = 2 Limx®4- f (x) = 4 Limx®4+ f (x) = 0 No existe el límite Existe el límite
- 9. Límites Límites laterales Ejemplos: y=tg (x) Limx®0,5p- tg (x) = +¥ Limx®0,5p+ tg (x) = -¥ No existe los límites laterales por lo tanto no existe el limite
- 10. Límites Operación de tomarlímite Consiste en reemplazar el valor al que tiende la variable independiente en la función y resolver algebraicamente según corresponda. Ejemplos:
- 11. INDETERMINACIONES En ese casodonde el resultado de tomar límite es 0/0 decimos que el límite está indeterminado: significa que no se puede determinar si existe o no existe Las indeterminaciones son : Otro caso que se puede presentar es el siguiente:
- 12. INDETERMINACIONES OPERACIÓN DE TOMAR LÍMITE Unaconstante: el límite existe ∞: el límite no existe Una indeterminación : ? Debo salvar la indeterminación
- 13. INDETERMINACIONES ¿ Cómo salvaruna indeterminación? Existen distintas formas Métodos algebraicos TEOREMA GENERAL DE LOS LIMITES INDETERMINADOS Si dos funciones permanecen iguales para cualquier valor de la variable, excepto para un valor “c”, entonces sus límites son iguales para xc
- 14. INDETERMINACIONES TEOREMA GENERAL DELOS LIMITES INDETERMINADOS Analicemos las funciones
- 15. INDETERMINACIONES Las gráficas delas funciones son iguales excepto para x=3 entonces sus límites son iguales para x 3 Entonces para salvar la indeterminación debemos por métodos algebraicos válidos, transformar la función en otra equivalente.
- 16. INDETERMINACIONES Otros ejemplos: Como elresultado es una indeterminación y la variable tiende a una constante, puedo operar algebraicamente factoreando el numerador y luego simplificando. El límite existe y es =-2
- 17. INDETERMINACIONES Otro tipo deindeterminación: la variable tiende a ∞ En este tipo de indeterminación se debe proceder algebraicamente de otra manera, para salvar la indeterminación
- 18. INDETERMINACIONES Otro tipo deindeterminación: la variable tiende a ∞ En este tipo de indeterminación se debe proceder algebraicamente de otra manera, para salvar la indeterminación
- 19. INDETERMINACIONES Para salvar laindeterminación, debemos dividir numerador y denominador por la variable x elevada al mayor exponente que se presente en el numerador y el denominador. Ejemplo:
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- 21. LIMITES NOTABLES Se denominanasí a aquellos límites , que si bien parecen indeterminados, se pueden demostrar que en realidad existen. Un tipo de límite notable es el siguiente:
- 22. LIMITES NOTABLES Ejemplo: Comparo eltérmino variable del binomio con el exponente. Debería tener como exponente 1/2x. Si a todo el límite lo elevo a 2/2 no cambia ya que sería como elevarlo a 1. Como potencia de potencia, los exponentes se multiplican Al ser un producto, puedo reescribir los factores
- 23. LIMITES NOTABLES Ordenando ellimite: Dentro del corchete ya quedó como límite notable, por lo tanto ese corchete es igual a “e”, como eso está elevado a 10, el resultado es e10