CONCEPTO DE FUNCIÓN

82 CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA
'f GRUPO EDITORIAL
FUNCIONES
Problema introductorio 1
La empresa “Pura Vida S. A.” produce juegos de mesa que promueven la
conservación del medio ambiente. Dado que el costo de producir cada juego fue
de ₡1 250 y se hizo una inversión inicial de ₡3 500 000 , se proyecta que el precio de
venta para cada juego sea de ₡2 750.
a) Determine la expresión algebraica que brinda la utilidad " "U que genera la
empresa en función de la cantidad de artículos producidos.
b) Grafique dicha relación en un sistema de ejes cartesianos.
c) Determine cuántos artículos es necesario vender para que la empresa empiece a
generar ganancias.

CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA 83
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FUNCIONES
H10: Representar gráficamente una función lineal.
H11: Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.
H12: Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados con ella.
Función lineal: concepto
Es una función :f   , tal que ( )f x mx b  donde m y b y su representación
gráfica es una recta, a “ m ” se le denomina pendiente de la recta, es decir, el grado
de inclinación de dicha recta con respecto al eje x .
Notación simbólica Dominio Ámbito
( )f x mx b 
ó
y mx b 


Excepto en la función
constante.
Representación gráfica de la función lineal
Creciente Decreciente Constante Identidad
Ejercicios de movilización 10
A. Grafique las siguientes funciones (se recomienda el uso del Software Geogebra en
http://www.geogebra.org/cms/) y determine en cada caso: el dominio, ámbito, si la función
es creciente, creciente (identidad), decreciente o constante.
1) ( ) 2 3f x x 
2) ( ) 2 0f x x  
3) ( )f x x
4) ( ) 6f x  
5) ( ) 9f x x 
6) 2 0y x  
7) y x 
8) 9 9y x 
9) 4y x  
10) 9y 
11) ( ) 2 3g x x 
12) ( ) 8g x x  
13) ( ) 10 7g x x 
14) ( ) 9 1g x x 
15) ( ) 7g x 
f
f
 f x x
f f
0m  0m  0m 

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Ejercicios de ampliación
A. Determine para cada una de las siguientes funciones lineales si son crecientes,
decrecientes, constantes o corresponden a la identidad. (Sin utilizar la fórmula de
la pendiente)
1) La función dada por   conf x mx b, m   0.
2) Si  f x mx b  es una función tal que    1 4 3 4f y f -  .
3) Si  f x mx b  es una función tal que    6 1 11 1f y f      .
4) Si  f x mx b  es una función tal que    1 4 3 6f y f  .
7) Si  f x mx b  es una función tal que    1 6 3 4f y f  .
8) Si  f x mx b  es una función tal que    1 1 3 3f y f    .
B. Si    3 2 3, 4fyf x x D     entonces determine el ámbito de f .
C. Si el dominio de la función   3 1f x x   es  , 3   , determine su ámbito.
D. Si el ámbito de la función   2 5f x x   es  2 ,5 entonces determine su dominio.
E. Si el ámbito de la función   4 1f x x  es  1, 21 entonces determine su dominio.
F. Si el ámbito de la función   1
2
x
f x   es
1
,1
2
 
  
, entonces determine su dominio.
G. Si el ámbito de la función   2 5f x x   es  1,   entonces determine su dominio.
H. Si el ámbito de   4 1f x x   es  11,   entonces determine su dominio.
I. Si    3 9 8f x k x    es una función creciente, determine el valor de k .
J. Si    3 9 8f x k x    es una función decreciente, determine el valor de k .
K. Si    3 9 8f x k x    es una función constante entonces determine el valor de k .
L. Si f es una función lineal dada por    5 4 .f x p x q   Si f es una función
constante, entonces determine el valor de p .
M. Si f es una función lineal dada por    5 4 .f x p x q   Si f es una función
creciente, entonces determine el valor de p .
N. Si f es una función lineal dada por    5 4 .f x p x q   Si f es una función
decreciente, entonces determine el valor de p .
O. Si f es una función lineal dada por   10f x mx  y  2 3f    , calcule  2f .
P. Si f es una función lineal dada por   10f x ax  y  3 2f    , calcule  2f  .

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FUNCIONES
Pendiente, intersección y ecuación de una recta
Sea f una función de la forma ( )f x mx b  , con :f  
Estudio de la pendiente
Intersección con los ejes
de coordenadas
a) Si 0m  , entonces la función es
estrictamente creciente.
b) Si 0m  , entonces la función es
estrictamente decreciente.
c) Si 0m  , entonces la función es
constante.
a) La intersección con el eje y es
en el punto (0, )b
b) La intersección con el eje x es
en el punto ,0
b
m
 
 
 
Ejemplo1
Determinar la ecuación de la recta y la intersección con los ejes, si (2) 8f   y
( 3) 7f   .
Primero: La pendiente se calcula con la fórmula 2 1
2 1
y y
m
x x



En este caso los pares ordenados son    
1 1 2 2
( 2 , 8 ) ( 3 , 7 )
x y x y
y 
Sustituyendo: 2 1
2 1
7 8 15
3
3 2 5
y y
m
x x
  
    
   
Segundo: Para calcular b se utiliza la fórmula:
1 1
8 3 2
2
b y mx
b
b
 
  


Tercero: Por lo tanto, el criterio de la función lineal es ( ) 3 2f x x  
Cuarto: La intersección con el eje y es en el punto    0 , 0 , 2b  
Quinto: La intersección con el eje x es en el punto
2 2
, 0 , 0 , 0
3 3
b
m
        
      
     

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A. En cada caso determine el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes que
cumple con las condiciones dadas.
1)    2 4 1 5f y f    
2)    2 3 2 4g y g  
3)    6 3 8 12h y h  
4)    
4
2 2 3
3
p y p  
5)    2 3 3 18f y f 
6)    2 6 1 3g y g   
7)    2 1 0 5h y h   
8)
1 3 3 7
2 4 4 5
p y p
   
     
   
9)    1 3 2 1f y f  
10)    4 0 3 2g y g 
11)    1 1 2 5h y h   
12)
3 14 3 2
4 13 2 3
p y p
   
    
   
B. A continuación se presentan dos pares ordenados, determine el criterio de la función
lineal y la intersección con los ejes.
1)  2, 3 ,  4,1
2)  1,7 ,  7, 6
3)  3, 4 ,  5, 2
4)  7, 2 ,  6, 2
5)  3, 4 ,  2, 2 
6) (6 7) ,  3,5
7)  9,5 ,  6, 5
8)  1, 2 ,  4, 7 
9)
1 5
,
5 4
 
 
 
,
7 2
,
5 3
  
 
 
10)
5 3
,
6 2
  
 
 
,
7 21
,
2 3
 
 
 
11)
5 11
,
2 4
 
 
 
,
5 9
,
2 4
 
 
 
C. A continuación se presenta el valor de la pendiente y un par ordenado determine en
cada caso el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes.
1) 2m   2,3
2) 3m   5, 2
3)
2
3
m

  1, 5 
4) 2m   2, 6
5) 6m   2, 3 
6) 1m    5, 1 
7) 1m   3, 5
8)
1
2
m   4, 2
9)
1
2
m


4 2
,
3 3
 
  
 
10) 1m  
7 4
,
3 3
 
 
 
11)
5
4
m 
1 3
,
2 4
  
 
 

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A. A continuación se presentan ecuaciones de diferentes rectas, determine en cada
caso el valor de “m ” y de “b ”, la intersección con los ejes y el régimen de
variación.
1) 2 3 2y x 
2) 4 5 4y x 
3) 3 3 2y x 
4) 6 3 4y x   
5)
4 7
5
3 4
x
y 
6) 1
2 4
y x
 
7)
2 3 4
5 10 5
y x
 
8)
4
1
3 2
x
y 
9)
3 1
2 2 4
y x 
 
10) 5 2 3 0x y  
11) 4 6 6 0x y   
12)
3 1
0
8 4 2
y x
  
13)
4 7 3
0
3 4 2
x y
  
14)
1
0
2 4 2
x y
  
15)
1
0
3 9
y
x   
B. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen de las coordenadas y tiene
pendiente
3
5

?
C. Si la variable dependiente de   4 5f x x  se aumenta en 12 unidades, entonces
en ¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?
D. Si la variable dependiente de   7 3f x x  se disminuye en 9 unidades, entonces
en ¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?
E. Si f es una función lineal, tal que    2 14f x f x   , entonces determine la
pendiente de la recta que representa a f .
F. Si f es una función lineal, tal que    2 8f x f x   , entonces determine la
pendiente de la recta que representa a f .

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FUNCIONES
Pendiente e intersección de una recta dada en forma gráfica
Ejemplo 1
Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una
función
Intersección eje x
 2 , 0 , 0
b
m
 
  
 
Intersección yeje
   0 , 3 0 ,b 
Pendiente
2 1
2 1
3 0 3 3
0 2 2 2
y y
m
x x
   
   
  
Criterio de la función
 
3
3
2
f x x 
Ejemplo 2
función
Intersección eje x
 1 , 0 , 0
b
m
 
  
 
Intersección yeje
   0 , 5 0 ,b
Pendiente
2 1
2 1
5 0 5
5
0 1 1
y y
m
x x
 
    
  
  5 5f x x  
y
x
f
x
yf

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FUNCIONES
Pendiente e intersección de una recta dada en forma gráfica
Ejemplo 3
función
Intersección eje x
No interseca
Intersección yeje
   0 , 3 0 ,b
Pendiente
0m 
  3f x 
A. De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones, determine la intersección con
los ejes, la pendiente y el criterio de la función.
1) 2) 3)
4) 5) 6)
2
2
x
y
3
2
x
y
3
2
x
y
3
1
x
y
y
x
f
4
x
y
y
x
2
2
1
3
2

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A. Complete el espacio indicado con el símbolo , ,   según corresponda.
1) 2) 3)
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
4) 5) 6)
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
7) 8) 9)
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
m ____ 0
b ____ 0
b
m

____ 0
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

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