Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye ejemplos de cálculo de límites, determinación de puntos de discontinuidad y representación gráfica de funciones. El documento contiene definiciones, ejercicios propuestos y su resolución para reforzar la comprensión de estos temas fundamentales del cálculo.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con funciones reales de variable real. Calcula dominios, representa gráficas, halla funciones inversas y asíntotas. También estudia el comportamiento de funciones en puntos donde no están definidas y calcula límites.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Limitesycontinuidaddefunciones actividades complementariasMaría José Mendoza
Este documento presenta varios problemas relacionados con el cálculo de límites y la continuidad de funciones. Incluye calcular límites específicos, determinar la continuidad de funciones, encontrar puntos de discontinuidad y aplicar conceptos de límites a problemas de la vida real que involucran funciones como el precio de transporte de vino y los beneficios anuales después de una fusión de cadenas minoristas.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
funciones Byron aprendiendo en Green inferno University Tarcicio Bocacho
Este documento contiene información sobre funciones matemáticas. Incluye ejemplos de funciones cuadráticas, lineales y definidas por tramos, así como problemas relacionados con el cálculo de dominios, recorridos, puntos de equilibrio y gráficas de funciones. También presenta ejercicios sobre costos, ingresos y utilidades de empresas.
5.funciones exponenciales, logaritmicas y trigonometricasFabián N. F.
1. El documento presenta varios problemas de representación gráfica de funciones. Se pide representar gráficamente la función que modela la distancia al suelo de una noria en función del tiempo para cuatro vueltas completas. También se pide representar gráficamente el crecimiento exponencial de una población de amebas en función del tiempo y en función del número de amebas. Por último, se pide representar la desintegración radiactiva de una sustancia en función del tiempo y en función de su peso.
El documento presenta 8 preguntas de un examen de control de lectura sobre temas de funciones, gráficas, crecimiento poblacional y modelos matemáticos. Cada pregunta contiene entre 2 a 3 partes donde se pide hallar funciones, dominios, intersecciones, asíntotas, trazar gráficas, y describir comportamientos poblacionales.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye ejemplos de cálculo de límites, determinación de puntos de discontinuidad y representación gráfica de funciones. El documento contiene definiciones, ejercicios propuestos y su resolución para reforzar la comprensión de estos temas fundamentales del cálculo.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con funciones reales de variable real. Calcula dominios, representa gráficas, halla funciones inversas y asíntotas. También estudia el comportamiento de funciones en puntos donde no están definidas y calcula límites.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Limitesycontinuidaddefunciones actividades complementariasMaría José Mendoza
Este documento presenta varios problemas relacionados con el cálculo de límites y la continuidad de funciones. Incluye calcular límites específicos, determinar la continuidad de funciones, encontrar puntos de discontinuidad y aplicar conceptos de límites a problemas de la vida real que involucran funciones como el precio de transporte de vino y los beneficios anuales después de una fusión de cadenas minoristas.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
funciones Byron aprendiendo en Green inferno University Tarcicio Bocacho
Este documento contiene información sobre funciones matemáticas. Incluye ejemplos de funciones cuadráticas, lineales y definidas por tramos, así como problemas relacionados con el cálculo de dominios, recorridos, puntos de equilibrio y gráficas de funciones. También presenta ejercicios sobre costos, ingresos y utilidades de empresas.
5.funciones exponenciales, logaritmicas y trigonometricasFabián N. F.
1. El documento presenta varios problemas de representación gráfica de funciones. Se pide representar gráficamente la función que modela la distancia al suelo de una noria en función del tiempo para cuatro vueltas completas. También se pide representar gráficamente el crecimiento exponencial de una población de amebas en función del tiempo y en función del número de amebas. Por último, se pide representar la desintegración radiactiva de una sustancia en función del tiempo y en función de su peso.
El documento presenta 8 preguntas de un examen de control de lectura sobre temas de funciones, gráficas, crecimiento poblacional y modelos matemáticos. Cada pregunta contiene entre 2 a 3 partes donde se pide hallar funciones, dominios, intersecciones, asíntotas, trazar gráficas, y describir comportamientos poblacionales.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye ejemplos de cálculo de límites, determinación de puntos de discontinuidad y representación gráfica de funciones. El documento contiene definiciones, ejercicios propuestos y su resolución para reforzar la comprensión de estos temas fundamentales del cálculo.
Este documento contiene las preguntas y respuestas de un examen final de matemáticas con 20 preguntas sobre temas como funciones, derivadas, integrales, ecuaciones de rectas y parábolas. Proporciona el contacto para obtener clases de preparación para exámenes.
El documento presenta un primer parcial de matemática de la Cátedra Gutiérrez de 1995. Contiene 4 problemas de matemática, con sus respectivas soluciones. Los problemas incluyen representar funciones en el plano, hallar ceros y dominios de funciones, y determinar valores para que se cumplan ciertas condiciones.
Este documento presenta funciones elementales como lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y funciones relacionadas con la parte entera y el manto de un número. Incluye ejercicios para representar gráficamente estas funciones y operaciones entre ellas como composición e inversas.
primer parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene información sobre clases de análisis matemático en la UBA y sobre un primer parcial de análisis de ingeniería. Incluye cuatro ejercicios de cálculo y una solución propuesta. También proporciona un número de teléfono para obtener clases de apoyo.
Este documento describe operaciones básicas con funciones matemáticas como suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. Explica cómo se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas mediante estas operaciones y cuáles son sus dominios de definición. También presenta ejemplos para ilustrar el cálculo de funciones resultantes.
Este documento presenta varios problemas relacionados con funciones elementales. Incluye gráficas de funciones y sus ecuaciones correspondientes, representaciones gráficas de funciones definidas por partes, cálculo de dominios de definición, y representaciones gráficas de funciones cuadráticas, lineales y racionales. El documento proporciona ejercicios para que los estudiantes practiquen conceptos básicos de funciones a través de tareas visuales y analíticas.
Este documento explica los conceptos de asíntota y continuidad de funciones. Define una asíntota como una recta cuya distancia a la curva tiende a cero cuando el punto se mueve al infinito. Explica tipos de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Luego define la continuidad de una función y los tipos de discontinuidad. Finalmente, presenta ejemplos para identificar discontinuidades y asíntotas de funciones.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Este documento presenta cinco parciales de matemática de la cátedra Gutiérrez de diferentes años. Cada parcial contiene cuatro ejercicios con sus respectivas respuestas. Los ejercicios involucran conceptos como funciones, derivadas, integrales, máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Adicionalmente, se proporciona información de contacto para aquellos que necesiten ayuda extra con la preparación de parciales.
Este documento presenta ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye problemas para determinar el dominio de funciones, calcular límites a partir de gráficas, y evaluar límites algebraicamente. Se resuelven ejercicios paso a paso como ejemplos y se piden al estudiante que calcule límites similares. El documento proporciona una introducción completa a los conceptos fundamentales de límites de funciones y continuidad a través de una variedad de ejemplos y problemas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Este documento presenta el desarrollo y resolución paso a paso de varios ejercicios de funciones y trigonometría. Incluye 9 ejercicios resueltos que cubren temas como determinar dominios y rangos de funciones, operaciones con funciones, identidades trigonométricas, y problemas geométricos que involucran ángulos y distancias. El autor concluye que el trabajo mejoró sus conocimientos en el desarrollo de funciones y trigonometría.
Este documento presenta una serie de 13 problemas resueltos relacionados con conceptos básicos de funciones como definición, dominio, rango, gráficas, transformaciones, operaciones y composición de funciones. El documento fue escrito por el Dr. José Luis Díaz Gómez del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora con el objetivo de ayudar a estudiantes de cálculo diferencial y química biológica a comprender mejor los conceptos funcionales.
Este documento contiene 30 ejercicios resueltos sobre funciones. Los ejercicios abordan conceptos como el dominio de definición, representación gráfica de funciones, composición de funciones, funciones inversas y expresión de funciones en intervalos. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo para cada ejercicio de manera concisa.
El documento describe diferentes transformaciones de funciones como traslaciones, contracciones, estiramientos y reflexiones. Explica cómo estas transformaciones afectan la posición y forma de la gráfica de una función al modificar la variable independiente o función original. También incluye ejemplos para ilustrar gráficamente cada tipo de transformación.
Este documento contiene 21 ejercicios de sistemas de ecuaciones y funciones cuadráticas. El estudiante Iván Darío Montoya Baena en el área de matemáticas del colegio I.E.R. Chaparral debe resolver estos ejercicios como prerrequisito para la evaluación de curso remedial del año 2012. Los ejercicios involucran métodos como sustitución, igualación, comparación de Cramer y resolución gráfica de sistemas de ecuaciones, así como determinación de raíces, vértices
1. El documento presenta ejercicios sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye aproximaciones sucesivas para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y el tipo de discontinuidad, calcular límites cuando la variable tiende a números reales o infinito, y representar gráficamente las ramas de funciones.
2. Se piden cálculos de límites, determinar intervalos de continuidad y tipos de discontinuidad, hallar asíntotas verticales u horizontales, y representar gráficamente las
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de límites. Incluye tablas para calcular límites, gráficas funcionales, y funciones con diferentes dominios para analizar la continuidad en puntos determinados.
2. Se pide completar tablas para estimar límites, graficar funciones para encontrar límites, calcular límites por definición, y analizar la continuidad de funciones a través de su representación gráfica y analítica.
3. El objetivo es practicar diferentes
1. El documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con funciones crecientes, decrecientes y constantes, extremos locales, e identificar funciones pares e impares. 2. Se definen funciones crecientes, decrecientes y constantes usando gráficas e intervalos. También se explican extremos locales y cómo identificarlos. 3. Se proveen ejemplos para practicar la identificación de intervalos donde funciones son crecientes, decrecientes o constantes, así como la detección de extremos locales.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la representación de funciones. Incluye ejercicios para determinar el dominio, simetrías, periodicidades y asintotas de diferentes funciones. También presenta ejercicios para identificar puntos singulares como máximos, mínimos y puntos de inflexión al analizar las derivadas de primer y segundo orden de funciones dadas.
Este documento contiene las preguntas y respuestas de un examen final de matemáticas con 20 preguntas sobre temas como funciones, derivadas, integrales, ecuaciones de rectas y parábolas. Proporciona el contacto para obtener clases de preparación para exámenes.
El documento presenta un primer parcial de matemática de la Cátedra Gutiérrez de 1995. Contiene 4 problemas de matemática, con sus respectivas soluciones. Los problemas incluyen representar funciones en el plano, hallar ceros y dominios de funciones, y determinar valores para que se cumplan ciertas condiciones.
Este documento presenta funciones elementales como lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y funciones relacionadas con la parte entera y el manto de un número. Incluye ejercicios para representar gráficamente estas funciones y operaciones entre ellas como composición e inversas.
primer parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene información sobre clases de análisis matemático en la UBA y sobre un primer parcial de análisis de ingeniería. Incluye cuatro ejercicios de cálculo y una solución propuesta. También proporciona un número de teléfono para obtener clases de apoyo.
Este documento describe operaciones básicas con funciones matemáticas como suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. Explica cómo se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas mediante estas operaciones y cuáles son sus dominios de definición. También presenta ejemplos para ilustrar el cálculo de funciones resultantes.
Este documento presenta varios problemas relacionados con funciones elementales. Incluye gráficas de funciones y sus ecuaciones correspondientes, representaciones gráficas de funciones definidas por partes, cálculo de dominios de definición, y representaciones gráficas de funciones cuadráticas, lineales y racionales. El documento proporciona ejercicios para que los estudiantes practiquen conceptos básicos de funciones a través de tareas visuales y analíticas.
Este documento explica los conceptos de asíntota y continuidad de funciones. Define una asíntota como una recta cuya distancia a la curva tiende a cero cuando el punto se mueve al infinito. Explica tipos de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Luego define la continuidad de una función y los tipos de discontinuidad. Finalmente, presenta ejemplos para identificar discontinuidades y asíntotas de funciones.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Este documento presenta cinco parciales de matemática de la cátedra Gutiérrez de diferentes años. Cada parcial contiene cuatro ejercicios con sus respectivas respuestas. Los ejercicios involucran conceptos como funciones, derivadas, integrales, máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Adicionalmente, se proporciona información de contacto para aquellos que necesiten ayuda extra con la preparación de parciales.
Este documento presenta ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye problemas para determinar el dominio de funciones, calcular límites a partir de gráficas, y evaluar límites algebraicamente. Se resuelven ejercicios paso a paso como ejemplos y se piden al estudiante que calcule límites similares. El documento proporciona una introducción completa a los conceptos fundamentales de límites de funciones y continuidad a través de una variedad de ejemplos y problemas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Este documento presenta el desarrollo y resolución paso a paso de varios ejercicios de funciones y trigonometría. Incluye 9 ejercicios resueltos que cubren temas como determinar dominios y rangos de funciones, operaciones con funciones, identidades trigonométricas, y problemas geométricos que involucran ángulos y distancias. El autor concluye que el trabajo mejoró sus conocimientos en el desarrollo de funciones y trigonometría.
Este documento presenta una serie de 13 problemas resueltos relacionados con conceptos básicos de funciones como definición, dominio, rango, gráficas, transformaciones, operaciones y composición de funciones. El documento fue escrito por el Dr. José Luis Díaz Gómez del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora con el objetivo de ayudar a estudiantes de cálculo diferencial y química biológica a comprender mejor los conceptos funcionales.
Este documento contiene 30 ejercicios resueltos sobre funciones. Los ejercicios abordan conceptos como el dominio de definición, representación gráfica de funciones, composición de funciones, funciones inversas y expresión de funciones en intervalos. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo para cada ejercicio de manera concisa.
El documento describe diferentes transformaciones de funciones como traslaciones, contracciones, estiramientos y reflexiones. Explica cómo estas transformaciones afectan la posición y forma de la gráfica de una función al modificar la variable independiente o función original. También incluye ejemplos para ilustrar gráficamente cada tipo de transformación.
Este documento contiene 21 ejercicios de sistemas de ecuaciones y funciones cuadráticas. El estudiante Iván Darío Montoya Baena en el área de matemáticas del colegio I.E.R. Chaparral debe resolver estos ejercicios como prerrequisito para la evaluación de curso remedial del año 2012. Los ejercicios involucran métodos como sustitución, igualación, comparación de Cramer y resolución gráfica de sistemas de ecuaciones, así como determinación de raíces, vértices
1. El documento presenta ejercicios sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye aproximaciones sucesivas para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y el tipo de discontinuidad, calcular límites cuando la variable tiende a números reales o infinito, y representar gráficamente las ramas de funciones.
2. Se piden cálculos de límites, determinar intervalos de continuidad y tipos de discontinuidad, hallar asíntotas verticales u horizontales, y representar gráficamente las
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de límites. Incluye tablas para calcular límites, gráficas funcionales, y funciones con diferentes dominios para analizar la continuidad en puntos determinados.
2. Se pide completar tablas para estimar límites, graficar funciones para encontrar límites, calcular límites por definición, y analizar la continuidad de funciones a través de su representación gráfica y analítica.
3. El objetivo es practicar diferentes
1. El documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con funciones crecientes, decrecientes y constantes, extremos locales, e identificar funciones pares e impares. 2. Se definen funciones crecientes, decrecientes y constantes usando gráficas e intervalos. También se explican extremos locales y cómo identificarlos. 3. Se proveen ejemplos para practicar la identificación de intervalos donde funciones son crecientes, decrecientes o constantes, así como la detección de extremos locales.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la representación de funciones. Incluye ejercicios para determinar el dominio, simetrías, periodicidades y asintotas de diferentes funciones. También presenta ejercicios para identificar puntos singulares como máximos, mínimos y puntos de inflexión al analizar las derivadas de primer y segundo orden de funciones dadas.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y afines. Se pide determinar si funciones dadas son lineales o afines, calcular pendientes, obtener ecuaciones de rectas a partir de puntos dados, y representar gráficamente funciones. También se piden detalles sobre posiciones relativas y puntos de corte de rectas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre la representación de funciones. Incluye ejercicios para hallar el dominio, simetrías, periodicidades, puntos singulares y puntos de inflexión de diferentes funciones. También incluye ejercicios para describir gráficas a partir de sus características y representar gráficas a partir de descripciones.
Este documento presenta varios temas relacionados con cálculo I. Incluye problemas sobre números reales como decimales periódicos, números racionales e irracionales. También cubre conceptos de funciones como dominio, imagen, continuidad y límites. Finalmente, introduce temas de continuidad como puntos fijos, ecuaciones y gráficas de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes y funciones relacionadas con la función valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se proporcionan más ejercicios para practicar el cálculo del dominio de definición.
El documento presenta definiciones sobre asintotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones. Luego, proporciona 30 ejercicios para encontrar las asintotas de funciones específicas. Finalmente, incluye ejercicios adicionales sobre límites de funciones y la creación de gráficas de funciones según ciertas condiciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Incluye ejercicios para calcular derivadas aplicando definiciones, reglas de derivación y tablas de derivadas. También contiene problemas para analizar la derivabilidad de funciones y hallar puntos tangentes. El documento proporciona soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye tablas para estimar límites, gráficas, y funciones dadas para calcular sus límites en diferentes puntos y analizar su continuidad.
2) Se pide graficar funciones, calcular límites cuando la variable tiende a ciertos valores, y determinar si los límites existen.
3) Finalmente, se estudia la continuidad de varias funciones a través de métodos analíticos y gráficos.
Este documento presenta una tabla de derivadas de funciones comunes y propiedades de derivadas como la derivada de una suma, diferencia, producto y cociente. También incluye ejemplos de cálculo de derivadas de funciones compuestas utilizando las reglas presentadas. Finalmente, introduce algunas aplicaciones de las derivadas como determinar la monotonía de una función y localizar sus extremos relativos.
1. El documento presenta ejercicios sobre continuidad de funciones, incluyendo definiciones básicas de continuidad, ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y ejercicios para determinar si funciones son continuas y encontrar valores que las hagan continuas.
2. Se incluyen ejercicios para aplicar el Teorema de Bolzano y demostrar la existencia de raíces de ecuaciones en determinados intervalos.
3. El documento proporciona una guía detallada para estudiar la continuidad de funciones y aplicar el
Este documento introduce las funciones exponenciales. Explica que para funciones exponenciales, si la diferencia entre valores consecutivos de la variable independiente es constante, la razón entre los valores correspondientes de la función también es constante. Incluye ejemplos de tablas de valores que ilustran esta propiedad y aplican leyes de exponentes para calcular valores de funciones exponenciales.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye tablas para estimar límites, gráficas, y funciones explícitas para analizar límites y continuidad.
2) Se piden calcular límites, comprobar límites por definición, estudiar continuidad de funciones, y determinar valores para que funciones sean continuas.
3) Los ejercicios abarcan una variedad de temas relacionados a límites y continuidad como estimación de límites,
Este documento contiene 36 problemas de matemáticas que involucran álgebra, ecuaciones, desigualdades, funciones, porcentajes y geometría. Los problemas van desde resolver ecuaciones y desigualdades hasta calcular porcentajes de aumento o descuento, determinar coordenadas de vértice de funciones cuadráticas y factorizar polinomios. El documento provee una variedad de ejercicios matemáticos para practicar diferentes temas y conceptos.
Este documento trata sobre los conceptos de límites de funciones cuando la variable tiende al infinito o a un punto. Explica cómo calcular límites de funciones polinómicas y racionales cuando la variable tiende a infinito, así como límites laterales y continuidad de funciones en un punto. También introduce el concepto de asíntota horizontal y vertical y cómo representar gráficamente límites infinitos. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de límites de funciones de una variable. Se piden determinar límites a partir de tablas de valores, gráficas de funciones, y aplicando propiedades y teoremas de límites. También se plantean ejercicios prácticos sobre límites en contextos como el volumen de ventas, la productividad laboral y la pureza del agua. Por último, se incluyen preguntas para reflexionar sobre conceptos fundamentales de los límites.
El documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Se incluyen preguntas tipo test sobre tasas de variación media, rectas tangentes, derivadas de funciones compuestas y derivabilidad. También contiene ejercicios para calcular derivadas, analizar derivabilidad y hallar valores que hagan derivable una función.
Este documento presenta una serie de problemas relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. En los primeros problemas se pide calcular tasas de variación media y derivadas aplicando la definición. Luego se piden derivadas de funciones polinómicas, trigonométricas y exponenciales. Otros problemas involucran hallar ecuaciones de rectas tangentes a curvas dadas en diferentes puntos. Finalmente, se plantean problemas de aplicación al movimiento rectilíneo uniforme y acelerado.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el movimiento de pasajeros que intentan subir a un autobús en movimiento, la velocidad de un autobús, y el intercambio de relevos en una carrera. Calcula derivadas, determina pendientes de tangentes, y analiza gráficas de funciones y sus derivadas.
Funciones exponenciales logarítmicas y trigonométricasMaría José Mendoza
1. El documento presenta varios problemas de representación gráfica de funciones. Se pide representar gráficamente la función que modela la distancia al suelo de una noria en función del tiempo para cuatro vueltas completas. También se pide representar gráficamente el crecimiento exponencial de una población de amebas en función del tiempo y en función del número de amebas. Por último, se pide representar la desintegración radiactiva de una sustancia en función del tiempo y en función de su peso.
1. El documento presenta varias funciones matemáticas que relacionan cantidades como el área de un polígono, el consumo de energía de un refrigerador o la temperatura de un enfermo con el paso del tiempo. Se piden determinar dominios, imágenes, ecuaciones y representaciones gráficas de estas funciones.
2. También incluye gráficas de distintos escenarios como el recorrido de una persona o la velocidad de ladrones y policías, pidiendo extraer información a partir de ellas.
3. Por último, present
Este documento describe un proyecto de educación financiera para estudiantes de primer año de secundaria que involucra la creación de un juego de mesa educativo. El proyecto consta de cinco fases: 1) introducir términos económicos clave, 2) investigar definiciones y ejemplos para crear un glosario, 3) diseñar tableros de juego, 4) jugar respondiendo preguntas sobre conceptos económicos, y 5) realizar un concurso entre grupos para determinar un ganador. El ganador recibirá recon
Este documento contiene 40 preguntas de estadística y probabilidad sobre diferentes temas como: tipos de variables, parámetros de centralización y dispersión, números racionales e irracionales, operaciones con fracciones, cálculo de valores iniciales y finales con índices de variación, conceptos básicos de probabilidad como experiencias aleatorias, sucesos, espacio muestral y casos posibles. El documento provee una guía de conceptos y definiciones estadísticas y de probabilidad en forma de preguntas de opción múltiple.
El documento describe cómo crear una hoja de cálculo en OpenOffice Calc para calcular el interés simple y compuesto de varios problemas de matemáticas financieras. Explica las fórmulas para calcular el interés simple, el capital final e interés compuesto y proporciona cinco ejercicios de ejemplo para practicar. La hoja de cálculo resuelve los ejercicios usando las fórmulas apropiadas de interés simple y compuesto.
Trivial matemáticas aplicado a la economía juan pablo 1º bach dMaría José Mendoza
Este documento presenta 20 preguntas de matemáticas aplicadas a la economía sobre conceptos como costes de producción, beneficios, productividad, elasticidad de la demanda, costes fijos y variables, y equilibrio de mercado. Las preguntas abarcan temas como cálculo de beneficios de una empresa, determinación de la eficiencia técnica, cálculo de la elasticidad precio de la demanda, identificación del coste de oportunidad y el precio de equilibrio en un gráfico de oferta y demanda.
Trivial de mates aplicada a la economía de cristina espíMaría José Mendoza
Este documento contiene 21 preguntas de matemáticas aplicadas a la economía y las finanzas, con múltiples opciones de respuesta para cada pregunta. Las preguntas cubren temas como costos de producción, productividad, tipos de interés, impuestos y tasas de cambio. Al final se proporcionan las respuestas correctas a cada pregunta.
La economía estudia la creación de riqueza y producción de bienes financieros. Los beneficios de una empresa son los ingresos menos los gastos. Las siglas IVA significan Impuesto al Valor Agregado. Los bienes capitales son aquellos que se utilizan junto a otros factores de producción. La balanza comercial registra las exportaciones e importaciones. Los tres factores de producción son trabajo, capital y recursos naturales. La macroeconomía estudia agregados como el PIB, inflación y empleo. La economía positiva explica objetivamente el funcionamiento de la econom
Este documento trata sobre variables aleatorias discretas y continuas. Introduce conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios, sucesos, frecuencia y probabilidad. Explica la distribución binomial para variables discretas y la distribución normal para variables continuas. Incluye ejemplos y fórmulas para calcular probabilidades de estas distribuciones.
Este documento proporciona una lista de las principales empresas de trabajo temporal (ETT) en Sevilla, España. Incluye el nombre, dirección, teléfono y sitio web de cada empresa. La lista contiene información sobre más de 20 ETT diferentes que operan en la región de Sevilla.
Guillermo lópez 1º bachillerato ccss cultura emprendedoraMaría José Mendoza
Directorio Central de Empresas del INE: los datos de empresas por número de asalariados correspondientes a la provincia de Sevilla y determinación de si su estructura se ajusta a la estructura empresarial española.
Augustin Cournot fue un matemático y economista francés que introdujo el uso de funciones matemáticas para describir conceptos económicos como la demanda, la oferta y el precio. Fue pionero en el estudio de los mercados monopólicos y oligopólicos. Además, desarrolló un modelo de duopolio donde dos empresas compiten en cantidades y dividen el mercado por igual cuando tienen costes iguales.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Lecciones 10 Esc. Sabática. El espiritismo desenmascarado docx
Límites 1º bhs
1. Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
1
Página 147
REFLEXIONA Y RESUELVE
Aproximaciones sucesivas
■ Comprueba que:
f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995
■ Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …
■ A la vista de los resultados anteriores, ¿te parece razonable afirmar que,
cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos
así: f (x) = 7
Si f(x) = , entonces:
f(4,999) = 6,9995; f(4,9999) = 6,99995; f(4,99999) = 6,999995
f(x) = 7
■ Calcula, análogamente, .
f(2) = 5,5; f(2,9) = 5,95; f(2,99) = 5,995; f(2,999) = 5,9995; f(2,9999) = 5,99995
f(x) = 6
Página 149
1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es conti-
nua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:
a) y = b) y = c) y = d) y =
a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 4.
3 si x ? 4
1 si x = 4
°
¢
£
x2 – 3
x
x2 – 3x
x
x + 2
x – 3
lím
x 8 3
x2 + 6x – 27
2x – 6
lím
x 8 3
lím
x 8 5
x2 + 4x – 45
2x – 10
lím
x 8 5
LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD
Y RAMAS INFINITAS6
2. 2. Explica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el interva-
lo en el que están definidas:
a) y = x2 – 5 b) y =
c) y = d) y =
a) Está definida y es continua en todo Á.
b) Está definida y es continua en (–@, 5].
Las funciones dadas mediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos)
son continuas donde están definidas.
c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en
que se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3:
3 · 3 – 4 = 9 – 4 = 5 3 + 2 = 5
Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también conti-
nua en x = 3.
d) También las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la función es con-
tinua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).
Página 152
1. Calcula el valor de los siguientes límites:
a) b) (cos x – 1)
a) – b) 0
2. Calcula estos límites:
a) b) log10 x
a) b) –1
Página 153
3. Calcula k para que la función y = f (x) sea continua en Á:
f (x) =
(x3 – 2x + k) = 21 + k
21 + k = 7 8 k = –14
f (3) = 7
lím
x 8 3
x3 – 2x + k, x ? 3
7, x = 3
°
¢
£
√3
lím
x 8 0,1
√x2 – 3x + 5lím
x 8 2
3
2
lím
x 8 0
3
x – 2
lím
x 8 0
x, 0 Ì x < 2
2, 2 Ì x < 5
°
¢
£
3x – 4, x < 3
x + 2, x Ó 3
°
¢
£
√5 – x
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
2
°
§
¢
§
£
3. Página 155
4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del
punto. Representa gráficamente los resultados:
a) f (x) = en –2, 0 y 2 b) f (x) = en 2, 0 y 3
c) f (x) = en 1 y –3 d) f (x) = en 0 y –3
a) f (x) =
f (x) = –@
f (x) = +@
f (x) = 0
f (x) = –@
f (x) = +@
b) f (x) =
f (x) = –@
f (x) = –3
f (x) = 0
c) f (x) =
f (x) = 0
f (x) = +@
f (x) = –@lím
x 8 –3+
lím
x 8 –3–
lím
x 8 1
(x – 1)2
(x – 1) (x + 3)
lím
x 8 3
lím
x 8 0
lím
x 8 2
4(x – 3)
(x – 2)2
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 0
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
x3
(x + 2) (x – 2)
x4
x3 + 3x2
x2 – 2x + 1
x2 + 2x – 3
4x – 12
(x – 2)2
x3
x2 – 4
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
3
11UNIDAD
°
§
¢
§
£
°
§
¢
§
£
No existe f (x).lím
x 8 –2
No existe f (x).lím
x 8 2
°
§
¢
§
£
No existe f (x).lím
x 8 –3
2–2 3
–3
2 3
–3 1
4. d) f (x) =
f (x) = 0
f (x) = –@
f (x) = +@
Página 156
1. Di el límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones dadas por sus gráfi-
cas:
f1(x) = –@ f2(x) = –3
f3(x) = +@ f4(x) no existe.
Página 157
1. Di el valor del límite cuando x 8 +@ de las siguientes funciones:
a) f (x) = –x2 + 3x + 5 b) f (x) = 5x3 + 7x
c) f (x) = x – 3x4 d) f (x) =
e) f (x) = – f) f (x) =
a) –@ b) +@ c) –@
d) 0 e) 0 f) –@
x3 – 1
–5
1
x2
1
3x
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
y = f3(x)
y = f4(x)
y = f1(x)
y = f2(x)
lím
x 8 –3+
lím
x 8 –3–
lím
x 8 0
x4
x2 (x + 3)
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
4
°
§
¢
§
£
No existe f (x).lím
x 8 –3
–3
5. Página 158
2. Calcula f (x) y representa sus ramas:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = – d) f (x) = 3x – 5
3. Calcula f (x) y representa sus ramas:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
Página 159
1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y =
b) y =
x2 + 3x
x + 1
x2 + 3x + 11
x + 1
a) –@ b) 0
c) +@ d ) –1
–1
1 – x3
1 + x3
x3
x2 – 3
x2 – 3
x3
x3 – 1
–5
lím
x 8 +@
a) 0
c) 0
b) 0
d) +∞
1
x2
3
x
1
3x
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
5
6UNIDAD
6. a) f (x) = –@
f (x) = +@
b) f (x) = +@
f (x) = –@
2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y =
b) y =
a) f (x) = +@
f (x) = –@
f (x) = –@
f (x) = +@
b) f (x) = +@
f (x) = +@
Página 161
3. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respecto
a su asíntota:
a) y =
b) y =
x3
1 + x2
x
1 + x2
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
x2 + 2
x2 – 2x + 1
x2 + 2
x2 – 2x
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
6
°
§
¢
§
£
x = –1 es asíntota vertical.
°
§
¢
§
£
x = –1 es asíntota vertical.
–1
–1
°
§
¢
§
£
x = 2 es asíntota vertical.
°
§
¢
§
£
x = 0 es asíntota vertical.
°
§
¢
§
£
x = 1 es asíntota vertical.
2
1
7. a) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.
b) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua.
4. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a sus
asíntotas, si las hay:
a) y =
b) y =
a) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.
b) grado de P – grado de Q Ó 2
f (x) = +@ 8 rama parabólica hacia arriba.
Página 162
1. Halla f (x) y representa la rama correspondiente:
f (x) = –2x3 + 7x4 – 3
f (x) = 7x4 = +@lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
1
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
2x3 – 3x2 + 7
x
x2 + 2
x2 – 2x
–x
1 + x2
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
7
6UNIDAD
1
1
8. 2. Halla f (x) y traza las ramas correspondientes:
a) f (x) = (x2 + 3)/(–x3)
b) f (x) = –x3/(x2 + 3)
a) f (x) = = = 0
b) f (x) = = –x = +@
Página 163
3. Halla las ramas infinitas, x 8 –@, de estas funciones, y sitúa la curva respec-
to a las asíntotas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.
b) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.
c) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.
d) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua.
1
1
1
–x
1 + x2
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
x3
1 + x2
x2
1 + x2
x
1 + x2
1
x2 + 1
lím
x 8 –@
–x3
x2
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
1
–x
lím
x 8 –@
x2
–x3
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
8
9. 4. Halla las ramas infinitas, cuando x 8 –@, y si tienen asíntotas, sitúa la curva
respecto a ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) grado P – grado Q Ó 2
f (x) = +@ 8 rama parabólica.
b) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.
c) y = x + 2 + 8 y = x + 2 es asíntota oblicua.
d) f (x) = (2x2 – 3x) = +@
–2
2
1
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
–2
x + 1
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
2x3 – 3x2
x
x2 + 3x
x + 1
x2 + 2
x2 – 2x
x4
x2 + 1
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
9
6UNIDAD
10. Página 169
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Discontinuidades y continuidad
1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua?
b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.
a) Solo la a).
b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 2.
e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; f (x) = 2.
f) No está definida en x = 2.
2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:
a) y = x2 + x – 6 b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
a) Continua. b) 2
c) – d) Continua.
e) 0 y 5 f) Continua.
1
2
1
x2 + 2
2
5x – x2
1
x2 + 2x + 3
x – 1
2x + 1
x
(x – 2)2
lím
x 8 1
a) b) c)
d) e) f)
2
2
–2 2
2
–2
4
–2 2
2
–2
–2 2
–22
2
4
4–2 2
2
4
4–2
PARA PRACTICAR
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
10
11. 3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2.
b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2.
c) No es continua en x = 0, sí en x = –2.
d) Continua en x = 0 y en x = –2.
4 Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones:
a) y = 5 – b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y = x2 – x
a) Á b) [3, +@) c) Á – {0}
d) (–@, 0] e) –@, f) Á
5 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión
analítica dada y di si son continuas o discontinuas en x = 1.
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) Continua.
b) Discontinua.
c) Discontinua.
2
2
–2
2
2
–2
2
2
–2
x2 si x ≠ 1
–1 si x = 1
°
¢
£
x + 2 si x < 1
3 si x > 1
°
¢
£
1 – x2 si x ≤ 1
x – 1 si x > 1
°
¢
£
]5
2(
√5 – 2x
√–3x1
x
√x – 3x
2
√7 – 2x√x2 – 4
x
x2 – 4
1
√x
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
11
6UNIDAD
12. 6 Comprueba si la función f (x) = es continua en x = 0.
☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que:
f (x) = f (0)
f (x) = f (x) = f (x) = –1 = f (0)
Es continua en x = 0.
7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se
indican:
a) f (x) = en x = –1
b) f (x) = en x = 2
c) f (x) = en x = 1
a) No, pues no existe f (–1).
b) f (x) = f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2.
c) f (x) = 3 ? f (x) = 4. No es continua en x = 1.
Página 170
Visión gráfica del límite
8
Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones:
f1(x) = y f2(x) =
¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x 8 –2?
☛ Observa la función cuando x 8 –2 por la izquierda y por la derecha.
–1
x + 2
1
(x + 2)2
f1(x)
–2
f2(x)
–2
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
3x si x Ì 1
x + 3 si x > 1
°
¢
£
2 – x2 si x < 2
(x/2) – 3 si x Ó 2
°
¢
£
(3 – x)/2 si x < –1
2x + 4 si x > –1
°
¢
£
lím
x 8 0
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 0
x2 – 1 si x < 0
x – 1 si x Ó 0
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
12
13. f1(x) = +@
f1(x) = +@
f2(x) = +@
f2(x) = –@
9 Sobre la gráfica de la función f (x), halla:
a) f (x) b) f (x) c) f (x) d) f (x)
e) f (x) f) f (x) g) f (x) h) f (x)
a) +@ b) –@ c) 2 d) 0
e) 0 f) 3 g) +@ h) 0
Límite en un punto
10 Calcula los siguientes límites:
a) 5 – b) (x3 – x)
c) d) 2x
e) f) log2 x
g) h) ex
a) 5 b) 0 c) –2 d)
e) 2 f) 2 g) 0 h) e2
√2
lím
x 8 2
3
√x2lím
x 8 0
lím
x 8 4
√10 + x – x2
lím
x 8 –2
lím
x 8 0,5
1 – x
x – 2
lím
x 8 3
lím
x 8 –1
)x
2(lím
x 8 0
–3 2
lím
x 8 –2
lím
x 8 +@
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 –@
lím
x 8 0
lím
x 8 –3+
lím
x 8 –3–
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2
–
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2
–
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
13
6UNIDAD
°
§
¢
§
£
f1(x) = +@lím
x 8 –2
°
§
¢
§
£
No existe f2(x).lím
x 8 –2
14. 11 Dada la función f(x) = , halla:
a) f (x) b) f (x) c) f (x)
☛ Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límites
laterales.
a) 5
b) 4
c) f (x) = f (x) = f (x) = 1
12 Calcula los siguientes límites:
a) b)
c) d)
☛ Saca factor común y simplifica cada fracción.
a) = = –2
b) = 2x + 3 = 3
c) = h(3h – 2) = 0
d) = = –
13 Resuelve los siguientes límites:
a) b)
c) d)
e) f)
a) = 2
b) = = = –3
3
–1
(x + 1) (x2 – x + 1)
x (x + 1)
lím
x 8 –1
x3 + 1
x2 + x
lím
x 8 –1
(x + 1) (x – 1)
(x – 1)
lím
x 8 1
x4 – 1
x2 – 1
lím
x 8 1
x + 3
x2 + 4x + 3
lím
x 8 –3
x2 – x – 2
x – 2
lím
x 8 2
x + 2
x2 – 4
lím
x 8 –2
x3 + 1
x2 + x
lím
x 8 –1
x2 – 1
x – 1
lím
x 8 1
7
4
h – 7
4
lím
h 8 0
h (h – 7)
4h
lím
h 8 0
lím
h 8 0
h2(3h – 2)
h
lím
h 8 0
lím
x 8 0
x (2x + 3)
x
lím
x 8 0
4
x – 2
lím
x 8 0
4x
x (x – 2)
lím
x 8 0
h2 – 7h
4h
lím
h 8 0
3h3 – 2h2
h
lím
h 8 0
2x2 + 3x
x
lím
x 8 0
4x
x2 – 2x
lím
x 8 0
lím
x 8 0
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 0
lím
x 8 3
lím
x 8 –2
x2 + 1 si x < 0
x + 1 si x Ó 0
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
14
15. c) = – d) = 3
e) = – f) = 2
14 Calcula el límite de la función f (x) = en x = 3, x = 0 y x = –1.
f (x) = f (x) = 0
f (x) = +@ f (x) = –@
Límite cuando x 8 +@ o x 8 –@
15 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) (7 + x – x3) b)
c) – + – 17 d) (7 – x)2
☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones.
16 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x 8 –@ y
representa la información que obtengas.
Resolución de los ejercicios 15 y 16:
a) (7 + x – x3) = –@; (7 + x – x3) = +@
b) = +@
c) ( + – 17)= –@
d) (7 – x)2 = +@lím
x 8 ±@
x
2
–x4
3
lím
x 8 ±@
x2 – 10x – 32
5
lím
x 8 ±@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
)x
2
x4
3(lím
x 8 +@
x2 – 10x – 32
5
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
lím
x 8 0
3
4
lím
x 8 3
x2
x2 + x
(x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
(x – 1)(x + 1)
lím
x 8 1
1
2
(x + 3)
(x + 3) (x + 1)
lím
x 8 –3
(x + 1) (x – 2)
(x – 2)
lím
x 8 2
1
4
(x + 2)
(x + 2) (x – 2)
lím
x 8 –2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
15
6UNIDAD
16. 17 Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden
a 0 cuando x 8 +@.
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (x) =
a) f(100) = 0,0001 b) f(100) = 0,003
f (x) = 0 f (x) = 0
c) f (10000) = –0,07 d) f (100) = –0,000002
f (x) = 0 f (x) = 0
18 Calcula el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@ de cada una de las si-
guientes funciones. Representa los resultados que obtengas.
a) f (x) = x3 – 10x
b) f (x) =
c) f (x) =
d) f (x) =
Cuando x 8 +@:
a) f (x) = +@ b) f (x) = +@
c) f (x) = –@ d) f (x) = –@
Cuando x 8 –@:
a) f (x) = –@ b) f (x) = +@
c) f (x) = +@ d) f (x) = –@lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
x2 – 2x
–3
3 – x
2
√x2 – 4
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
2
10x2 – x3
–7
√x
100
3x2
1
x2 – 10
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
16
17. Página 171
19 Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
20 Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando
x 8 –@.
Resolución de los ejercicios 19 y 20:
a) = 0; = 0
b) = +@; = –@
c) = 0; = 0
d) = 0; = 0
e) = 2; = 2
2x – 1
x + 2
lím
x 8 –@
2x – 1
x + 2
lím
x 8 +@
1
(2 – x)3
lím
x 8 –@
1
(2 – x)3
lím
x 8 +@
–1
x2 – 1
lím
x 8 –@
–1
x2 – 1
lím
x 8 +@
–2x2
3 – x
lím
x 8 –@
–2x2
3 – x
lím
x 8 +@
3
(x – 1)2
lím
x 8 –@
3
(x – 1)2
lím
x 8 +@
3 – 2x
5 – 2x
lím
x 8 +@
2 – 3x
x + 3
lím
x 8 +@
x2 + 5
1 – x
lím
x 8 +@
2x – 1
x + 2
lím
x 8 +@
1
(2 – x)3
lím
x 8 +@
–1
x2 – 1
lím
x 8 +@
–2x2
3 – x
lím
x 8 +@
3
(x – 1)2
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
17
6UNIDAD
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
18. f) = –@; = +@
g) = –3; = –3
h) = 1; = 1
21 Resuelve los siguientes límites:
a) b) 1 – (x – 2)2
c) d)
a) 3 b) –@ c) 0 d) +@
22 Calcula el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@ de las siguientes fun-
ciones y representa las ramas que obtengas:
a) f (x) = b) f (x) = 10x – x3
c) f (x) = d) f (x) =
a) f (x) = 0; f (x) = 0
b) f (x) = –@; f (x) = +@
c) f (x) = +@; f (x) = –@
d) f (x) = –4; f (x) = –4lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
1 – 12x2
3x2
x2
x – 1
–1
x2
x3 + 1
5x
lím
x 8 –@
1 – x
(2x + 1)2
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
3x2
(x – 1)2
lím
x 8 +@
3 – 2x
5 – 2x
lím
x 8 –@
3 – 2x
5 – 2x
lím
x 8 +@
2 – 3x
x + 3
lím
x 8 –@
2 – 3x
x + 3
lím
x 8 +@
x2 + 5
1 – x
lím
x 8 –@
x2 + 5
1 – x
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
18
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–4
19. Asíntotas
23 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada
una de ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) Asíntotas: b) Asíntotas:
x = 3; y = 2 x = –3; y = 1
c) Asíntotas: d) Asíntotas:
x = 4; y = –2 x = 1; y = 0
24 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a
ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) Asíntota: y = 1 b) Asíntota: y = 0
Y
X
Y
X
1
x4
x – 1
2x2 – 1
x2
3
x2 + 1
x2
x2 + 4
Y
X
1
Y
X
–2
4
Y
X
1
–3
Y
X3
2
2
1 – x
2x + 3
4 – x
x – 1
x + 3
2x
x – 3
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
19
6UNIDAD
20. c) Asíntotas: x = 0; y = 2 d) Asíntota: x = 1
25 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a
ellas:
a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =
d) f (x) = e) f (x) = f) f (x) =
a) Asíntota vertical: x =
Asíntota horizontal: y = 2
b) Asíntota vertical: x =
Asíntota horizontal: y =
c) Asíntota vertical: x = 2
Asíntota horizontal: y = 0
d) Asíntota vertical: y = 0
No tiene más asíntotas.
2
2
2
2
3
3
2
5
2
3
2
–1
(x + 2)2
3x
x2 – 1
1
x2 + 9
1
2 – x
3x
2x – 5
4x + 1
2x – 3
Y
X1
Y
X
2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
20
21. e) Asíntota vertical: x = 1, x = –1
Asíntota horizontal: y = 0
f) Asíntota vertical: x = –2
Asíntota horizontal: y = 0
26 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y es-
tudia la posición de la curva respecto a ella:
a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =
d) f (x) = e) f (x) = f) f (x) =
a) = 3x – 3 +
Asíntota oblicua: y = 3x – 3
b) = –x + 1 +
Asíntota oblicua: y = –x + 1
c) = 2x –
Asíntota oblicua: y = 2x
d) = x + 4 +
Asíntota oblicua: y = x + 4
1
–3
1
1
1
1
–4
4
10
x – 3
x2 + x – 2
x – 3
3
2x
4x2 – 3
2x
3
x
3 + x – x2
x
3
x + 1
3x2
x + 1
–2x2 + 3
2x – 2
2x3 – 3
x2 – 2
x2 + x – 2
x – 3
4x2 – 3
2x
3 + x – x2
x
3x2
x + 1
1–1
–2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
21
6UNIDAD
22. e) = 2x +
Asíntota oblicua: y = 2x
f) = –x – 1 +
Asíntota oblicua: y = –x – 1
27 Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su
denominador:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (t) =
a) f (x) = +@; f (x) = –@
b) f (x) =
f (x) = –@; f (x) = +@; f (x) = –@; f (x) = +@
c) f (x) =
f (x) = = ; f (x) = +@; f (x) = –@
d) f (t) = ; f (t ) = –2
28 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada
una de ellas:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f) y =
3x2
x2 + 2
x2
x2 – 4
x2
x2 + x + 1
x + 2
x2 – 1
5x – 2
2x – 7
3 – x
2x + 1
lím
t 8 0
t2(t – 2)
t2
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
1
2
2
4
lím
x 8 2
x (x – 2)
(x – 2) (x + 2)
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
x – 1
x (x – 2)
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
t3 – 2t2
t2
x2 – 2x
x2 – 4
x – 1
x2 – 2x
3x
2x + 4
PARA RESOLVER
1
1
–1
–1
1
2x – 2
–2x2 + 3
2x – 2
4x – 3
x2 – 2
2x3 – 3
x2 – 2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
22
23. a) Asíntotas: x = – ; y = –
b) Asíntotas: y = ; x =
c) Asíntotas: y = 0; x = ±1
d) Asíntota: y = 1
e) Asíntotas: y = 1; x = –2, x = 2
f) Asíntotas: x = –2; y = 3x – 6
7
2
5
2
1
2
1
2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
23
6UNIDAD
–1/2
–1/2
7/2
1
1
1
–2 2
–2 2
–1
5/2
24. 29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa
la curva:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f) y =
a) f (x) = +@; f (x) = +@
Asíntota vertical: x = 0
b) Asíntota vertical: x = –1
Asíntota horizontal: y = 1
c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3
Asíntota horizontal: y = 0
d) Asíntota horizontal: y =
e) Asíntota vertical: x = –3
Asíntota oblicua: y = 2x – 6
f) f (x) = +@; f (x) = +@
Asíntota vertical: x =
5
2
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
1
2
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
x3
2x – 5
2x2
x + 3
x2 – 1
2x2 + 1
1
9 – x2
(x + 3)2
(x + 1)2
x4 – 1
x2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
24
–3 3
–1
1
—
2
5
—
2
1
–3 3
–6
25. Página 172
30 Prueba que la función f (x) = solo tiene una asíntota vertical y otra
horizontal.
☛ Al hallar f (x) verás que no es @.
f (x) = 2; f (x) = –@; f (x) = +@; f (x) = 1
Asíntota vertical: x = 0
Asíntota horizontal: y = 1
31 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
a) = =
b) = =
Calculamos los límites laterales:
= +@; = –@
32 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
c)
d)
2x2 – 8
x2 – 4x + 4
lím
x 8 2
x4 – 1
x – 1
lím
x 8 1
x3 + x2
x2 + 2x + 1
lím
x 8 –1
x2 – 2x
x3 + x2
lím
x 8 0
x – 2
x – 1
lím
x 8 1+
x – 2
x – 1
lím
x 8 1–
x – 2
x – 1
lím
x 8 1
(x – 2) (x – 1)
(x – 1)2lím
x 8 1
x2 – 3x + 2
x2 – 2x + 1
lím
x 8 1
5
3
(x – 3) (x + 2)
x (x – 3)
lím
x 8 3
x2 – x – 6
x2 – 3x
lím
x 8 3
x2 – 3x + 2
x2 – 2x + 1
lím
x 8 1
x2 – x – 6
x2 – 3x
lím
x 8 3
lím
x 8 ±@
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 2
lím
x 8 2
x2 – 4
x2 – 2x
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
25
6UNIDAD
1
1 2 3
1
2
3
26. a) = =
Calculamos los límites laterales:
= +@; = –@
b) = =
Calculamos los límites laterales:
= –@; = +@
c) = = 4
d) = =
Calculamos los límites laterales:
= –@; = +@
33 Halla las asíntotas de estas funciones:
a) y = b) y = x2 +
c) y = d) y =
e) y = x + f) y = x + 1 +
a) y = x + b) Asíntota vertical: x = 0
Asíntotas verticales: x = –1, x = 1
Asíntota oblicua: y = x
c) Asíntota horizontal: y = 2 d) Asíntota horizontal: y = 0
Asíntotas verticales: x = ±1
e) Asíntota vertical: x = 5 f) Asíntota vertical: x = 0
Asíntota oblicua: y = x Asíntota oblicua: y = x + 1
x
(x – 1) (x + 1)
5
x
4
x – 5
x2 + 1
(x2 – 1)2
2x2 + 5
x2 – 4x + 5
1
x
x3
x2 – 1
2(x + 2)
x – 2
lím
x 8 2+
2(x + 2)
x – 2
lím
x 8 2–
2(x + 2)
x – 2
lím
x 8 2
2(x – 2) (x + 2)
(x – 2)2lím
x 8 2
2x2 – 8
x2 – 4x + 4
lím
x 8 2
(x – 1) (x3 + x2 + x + 1)
x – 1
lím
x 8 1
x4 – 1
x – 1
lím
x 8 1
x2
x + 1
lím
x 8 –1+
x2
x + 1
lím
x 8 –1–
x2
x + 1
lím
x 8 –1
x2(x + 1)
(x + 1)2
lím
x 8 –1
x3 + x2
x2 + 2x + 1
lím
x 8 –1
x – 2
x (x + 1)
lím
x 8 0+
x – 2
x (x + 1)
lím
x 8 0–
x – 2
x (x + 1)
lím
x 8 0
x (x – 2)
x2 (x + 1)
lím
x 8 0
x2 – 2x
x3 + x2
lím
x 8 0
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
26
–1
2
1
4
27. 34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en alguno
de sus puntos:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) Discontinua en x = 3.
b) Función continua.
c) Discontinua en x = 2.
35 a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x = –3 y x = 5.
b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@.
a) f (x) = –7; f (x) = 0; f (x) = –@; f (x) = –@
b) f (x) = 1; f (x) = 26; f (x) = +@; f (x) = 1
c) f (x) = 7; f (x) = 5; f (x) = +@; f (x) = +@lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 5
lím
x 8 –3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 5
lím
x 8 –3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 5
lím
x 8 –3
–2
1–1
2 3 4 5
2
4
Y
X
2–2–4 4 6 8
2
4
6
8
Y
X
–2
1 2 3 4 5
2
4
Y
X
6
x2 – 2 si x < 2
x si x > 2
°
¢
£
1 si x Ì 0
x2 + 1 si x > 0
°
¢
£
2x – 1 si x < 3
5 – x si x Ó 3
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
27
6UNIDAD
28. 36 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f (x) sea continua
en todo Á.
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) =
a) f (x) = 5 = f (3)
f (x) = 3 + k
b) f (x) = 5
f (x) = 4 + 2k = f (2)
c) f (x) = = 1 8 k = 1
37 Estudia la continuidad de estas funciones:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) f (x) = f (x) = f (1) = 1 8 Continua en x = 1.
x ? 1 8 Continua.
Es continua en Á.
b) f (x) = f (x) = f (–1) = 0 8 Continua en x = 1.
f (x) = f (x) = f (1) = 0 8 Continua en x = 1.
x ? 1 y x ? –1 8 Continua.
Es continua en Á.
c) f (x) = 1 ? f (x) = 2 8 Discontinua en x = 0.
Si x ? 0, es continua.
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
1 – x2 si x Ì 0
2x + 1 si x > 0
°
¢
£
–x – 1 si –1 Ó x
1 – x2 si –1 < x < 1
x – 1 si x Ó 1
°
§
¢
§
£
2 – x si x < 1
1/x si x Ó 1
°
¢
£
x (x + 1)
x
lím
x 8 0
lím
x 8 0
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 3+
lím
x 8 3–
(x2 + x)/x si x ? 0
k si x = 0
°
¢
£
6 – (x/2) si x < 2
x2 + kx si x Ó 2
°
¢
£
x2 – 4 si x Ì 3
x + k si x > 3
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
28
°
§
¢
§
£
5 = 3 + k 8 k = 2
°
§
¢
§
£
5 = 4 + 2k 8 k = 1/2
29. 38 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1:
a) f (x) = b) f (x) =
a) f (x) = 2 = f (1)
f (x) = 4 – a
b) f (x) = = 2
f (1) = a
39 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes rea-
lizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena-
miento según la función M(t) = (t en días).
a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo?
b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un
mes.
c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mu-
cho más largo?
a) M (1) = 6 montajes el primer día.
M (10) = 21,43 8 21 montajes el décimo día.
b)
c) Se aproxima a 30 (pues = 30).
40 Los gastos de una empresa dependen de sus ingresos, x. Así:
g (x) =
donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.
a) Representa g (x) y di si es función continua.
b) Calcula el límite de g (x) cuando x 8 +@ y explica su significado.
0,6x + 200 si 0 ≤ x Ì 1 000
1 000x/(x + 250)si x > 1 000
°
¢
£
30t
t + 4
lím
t 8 +@
5
10
5 10
15
20
25
15 20 25 30
DÍAS
MONTAJES
30t
t + 4
(x – 1) (x + 1)
(x – 1)
lím
x 8 1
lím
x 8 1
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
(x2 – 1)/(x – 1) si x ? 1
a si x = 1
°
¢
£
x + 1 si x Ì 1
4 – ax2 si x > 1
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
29
6UNIDAD
°
§
¢
§
£
2 = 4 – a 8 a = 2
°
§
¢
§
£
a = 2
30. a)
Es continua.
b) g (x) = 1000.
Como máximo gasta 1000 € al mes.
Página 173
41 ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función
no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto?
Sí se puede calcular, pero no puede ser continua.
42 ¿Puede tener una función más de dos asíntotas verticales? ¿Y más de dos
asíntotas horizontales? Pon ejemplos.
Sí. Por ejemplo, f (x) = tiene x = 0, x = 1 y x = 2 como asín-
totas verticales.
No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia +@ y otra hacia –@,
como en esta gráfica:
43 El denominador de una función f (x) se anula en x = a. ¿Podemos asegu-
rar que tiene una asíntota vertical en x = a? Pon ejemplos.
No. Por ejemplo, f (x) = en x = 0; puesto que:
f (x) = = 1
x (3x + 1)
x
lím
x 8 0
lím
x 8 0
3x2 + x
x
1
x(x – 1)(x – 2)
CUESTIONES TEÓRICAS
lím
x 8 +@
200
400
1000
600
800
1000
GASTOS (€)
INGRESOS (€)
2000 3000 4000
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
30
31. 44 Representa una función que cumpla estas condiciones:
f(x) = +@, f(x) = 2, f(x) = 0
¿Es discontinua en algún punto?
Sí, es discontinua al menos en x = 3.
45 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:
a) y = 2x + 3 b) y = 0,75x
c) y = 2 + ex d) y = e–x
a) f (x) = +@; f (x) = 0
Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0
b) f (x) = 0; f (x) = +@
Asíntota horizontal cuando x 8 +@: y = 0
c) f (x) = +@; f (x) = 2
Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 2
d) f (x) = 0; f (x) = +@
Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0
46 Puesto que (x2 – 3x) = +@ halla un valor de x para el cual x2 – 3x
sea mayor que 5 000.
Por ejemplo, para x = 100, f (x) = 9 700.
47 Halla un valor de x para el cual f (x) = sea menor que 0,001.
Por ejemplo, para x = 1000, f (x) = 0,00033.
1
3x – 5
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
PARA PROFUNDIZAR
3
2
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 3
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
31
6UNIDAD
32. 48 ¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límite
cuando x 8 +@:
a) y = log2(x – 3) b) y = ln(x + 2)
a) Asíntota vertical: x = 3
f (x) = +@
b) Asíntota vertical: x = –2
f (x) = +@
Página 173
AUTOEVALUACIÓN
1. Calcula los límites de la función f (x) = en x = 0, x = 3 y
x = 5.
Explica si la función es continua en x = 3.
• f (x) = (2x – 5) = –5
• f (x) = (2x – 5) = 1
f (x) = (x2 – x – 7) = –1
No existe el límite de f (x) cuando x tiende a 3.
• f (x) = (x2 – x – 7) = 13
• La función no es continua en x = 3, porque no existe el límite de la función en
ese punto.
2. Halla los siguientes límites:
a) 2x – 1 b) c)
a) 2x – 1 = 2–1 = b) = =
c) = +@
(Si x 8 4+ o si x 8 4–, los valores de la función son positivos.)
x
(x – 4)2lím
x 8 4
1
3
1
√9
1
√x + 4
lím
x 8 5
1
2
lím
x 8 0
x
(x – 4)2lím
x 8 4
1
√x + 4
lím
x 8 5
lím
x 8 0
lím
x 8 5
lím
x 8 5
lím
x 8 3+
lím
x 8 3+
lím
x 8 3–
lím
x 8 3–
lím
x 8 0
lím
x 8 0
2x – 5, x Ì 3
x2 – x – 7, x > 3
°
¢
£
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
32
33. 3.
Sobre la gráfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes lí-
mites:
f (x); f (x); f (x); f (x)
a) f (x) No tiene límite en x = 3.
f (x) = 1
f (x) = 0
f (x) = +@
b) f (x) = 0
f (x) No tiene límite en x = 2.
f (x) = –@
f (x) = 3
4. Calcula el valor que debe tomar a para que la función f (x) =
sea continua en x = 1. ¿Puede ser discontinua en otro punto?
Para que f (x) sea continua en x = 1, debe cumplir que: f (x) = f (1)
Veamos:
f (x) = (3x – 5) = –2
f (x) = (4x – a) = 4 – a
Como deben coincidir:
–2 = 4 – a 8 a = 6
lím
x 8 1+
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 1–
lím
x 8 1
3x – 5, x < 1
4x – a, x Ó 1
°
¢
£
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
°
§
¢
§
£
lím f (x) = 3
x 8 2–
lím f (x) = 1
x 8 2+
lím
x 8 2
lím
x 8 3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 2
°
§
¢
§
£
lím f (x) = +@
x 8 3–
lím f (x) = –@
x 8 3+
lím
x 8 3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 2
lím
x 8 3
Y
X
a) Y
X
b)
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
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6UNIDAD
34. Por tanto, f (x) =
No puede ser discontinua en ningún otro punto, por estar definida mediante funcio-
nes polinómicas.
5. Justifica qué valor debe tomar a para que la función sea continua en Á:
f (x) =
f (x) =
La función es continua para valores de x menores que 1 y mayores que 1, porque
ambos tramos son rectas.
Para que sea continua en x = 1, debe cumplirse: f (x) = f (1)
f (1) = a – 2
f (x)
Para que exista el límite, debe ser:
a – 2 = 4 – 2a 8 3a = 6 8 a = 2
6. Halla las asíntotas de la función y = y estudia la posición de la curva
respecto a ellas.
• Asíntota vertical:
f (x) = +@
f (x) = –@
Así, x = 4 es una asíntota vertical.
• Asíntota horizontal:
f (x) = –2 8 y = –2
Si x 8 +@, f (x) < 0 8 la curva está por debajo de
la asíntota.
Si x 8 –@, f (x) > 0 8 la curva está por encima de
la asíntota.
• No tiene asíntotas oblicuas.
X
Y
1
–2
4
lím
x 8 @
lím
x 8 4+
lím
x 8 4–
2x + 1
4 – x
°
§
¢
§
£
lím f (x) = a – 2
x 8 1–
lím f (x) = 4 – 2a
x 8 1+
lím
x 8 1
lím
x 8 1
ax – 2 si x Ì 1
4x – 2a si x > 1
°
¢
£
ax – 2 si x Ì 1
4x – 2a si x > 1
°
¢
£
3x – 5, si x < 1
4x – 6, si x Ó 1
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
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35. 7. Representa una función que cumpla las siguientes condiciones:
f (x) = –@ f (x) = +@ f (x) = 0 f (x) = 2
8. Estudia las ramas infinitas de la función y = y representa la información
que obtengas.
= +@
= +@
= +@
= –@
9. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua? Hállala y sitúa la
curva respecto a ella:
a) y = b) y = c) y =
La única que tiene asíntota oblicua es la función b) y = .
x3 + 2 x2
– x3 x
————
2
y = = x +
La asíntota es y = x. Como > 0, la curva está por encima de la asíntota.
2
x2
2
x2
x3 + 2
x2
x3 + 2
x2
x2
(x – 2)2
x3 + 2
x2
x
x2 + 1
x3
x + 3
lím
x 8 –3+
x3
x + 3
lím
x 8 –3–
x3
x + 3
lím
x 8 –@
x3
x + 3
lím
x 8 +@
x3
x + 3
X
Y
–2
2
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
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6UNIDAD
X
Y
1–3