Este documento describe dos métodos para resolver problemas de optimización sujeta a restricciones utilizando las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): 1) Cuando se tiene un candidato a mínimo, se verifican las condiciones de convexidad y se resuelve el sistema de ecuaciones de KKT. 2) Cuando no se tiene candidato, se escriben las condiciones de KKT genéricamente y se prueban combinaciones posibles hasta encontrar una solución válida.

1. Universidad Nacional Andrés Bello Microeconomía Avanzada
Facultad de Economía y Negocios Prof. Christian Belmar
¿Cómo Afrontar un Problema de KKT? (Para Minimización)
Ayudante: Mauricio Vargas S.
Caso 1: Ya tienen un candidato a mínimo
1. Dejan el problema como uno con la forma canónica de KKT (en las restricciones
solo desigualdades de ≤ 0 e = 0).
2. Verifican que tanto la función objetivo como las restricciones sean todas
convexas (recuerden que funciones lineales o lineales afines son convexas y
cóncavas, en particular convexas) (*)
3. Revisan, para su candidato, en que restricciones se alcanza la igualdad. Esas
serán las restricciones activas.
4. Calculan el gradiente de f (función objetivo) y gi para cada i (restricciones).
5. Escriben las condiciones de KKT para su punto candidato
6. Resuelven el sistema de ecuaciones que tendrán (será lineal), y ven si encuentran
soluciones positivas (≥ 0) para los !!.
7. Si es así, concluyen que el punto verifica las condiciones de KKT. Si además ya
habían probado (*), concluyen que el punto es el mínimo de f sujeta a las
restricciones.
8. Si aparece que el sistema no tiene solución, o que la tiene pero con algún !!
negativo, concluyen que el punto no verifica KKT, y por lo tanto, no es solución
del problema.
Caso 2: No tienen candidato a mínimo
1. Dejan el problema como uno con la forma canónica de KKT (i.e., en las
restricciones puras desigualdades de ≤ 0).
2. Verifican que tanto la función objetivo como las restricciones sean todas
convexas (recuerden que funciones lineales o lineales afines son convexas y
cóncavas, en particular convexas) (*)
3. Calculan el gradiente de la función objetivo y de todas las restricciones
4. Escriben las condiciones de KKT y tomando en cuanta que que !!ℎ! ! = 0
para cada j. En los gradientes, evalúan en un punto x* (vector) genérico.
5. Van resolviendo por casos para cada !!, tomando todas las combinaciones
posibles de cuáles son cero y cuáles no.
6. Ven en cuáles hay solución, que respete todas las restricciones, y que cumpla
que todos los u sean no negativos. Si demostraron (*), la primera solución que
encuentren ya será suficiente para concluir.
Para maximización en el punto (*) habría que verificar si las funciones son cóncavas.